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2.1 圆周角定理 课件 (新人教A版选修4-1)


第二讲 直线与圆的位置关系

黄建忠

我们已经掌握了圆的一 些知识 , 知道了 圆的结构特点, 学习了与圆相关的一些 概 念 , 并且也 研究过圆的弦、圆心角 、 圆周角、切线等性质 . 本讲将在此基础 上, 进一步学习圆的知识 , 特别是要证明 一些反映圆与直线关系 的重要定理 .

一 圆周角定理

我们知道,圆心角和圆周角是与圆 相关的两个 重要的角 , 它们之间有没有内在联 系呢 ?
探究 在圆O中作一个顶点为 A的圆周角?BAC , 连结OB、OC , 得圆心角?BOC 的度数,它们之间 有什么关系 ?改变圆周角的大小 , 这种关系会改 变吗?
单击图标, 用打开的几何画板来完 成这个探究.

可以发现, 无论圆周角的大小怎样 改变, 都 1 有?BAC ? ?BOC . 2 一般地 , 我们有

圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周 角等于它 所对的圆心角的一半. A
已知 : 如图2 ? 1 , 在圆O中, 弧 BC 所对的圆周角和圆心角 分别是?BAC 、?BOC . 1 求证 : ?BAC ? ?BOC . 2
O
B C

图2 ? 1 分析 从图2 ? 1一时难以发现 证明思路 .在圆中 ,圆心和直径是两个最重 要的几何元 素.利用直径 , 先考察一个特殊位置 ,即圆周角的一边是 直径, 如图2 ? 1?1?, 圆周角?BAC 是等腰三角形AOC的 底角, 圆心角?BOC 是等腰三角形 AOC的外角 , 利用"三

角形外角等于不相邻两 内角的和 "以及等腰三角形的 性质, 可以得到结论成立 .
以直径为分界线 , 可以得到另外两类圆周 角及相应的 ?3?所示, 只要能将它们化归为 ?1? 圆心角 , 如图2 ? 2?2?、 的情形,问题就能解决.
A A A

O
C B B

O
C

O
C

B

?1?

?2?

?3?

图2 ? 2

证明 分三种情况讨论

A

?1?如图2 ? 2?1?,圆心O
在?BAC的一条边上 .
O
C B

因为OA ? OC, 所以?C ? ?BAC. 因为?BOC ? ?BAC ? ?C , 1 所以 ?BAC ? ?BOC . 2
?1?

图2 ? 2

?2?如图2 ? 2?1?, 圆心O在
?BAC的内部.

A

O 作直径AD, 利用?1?的结果, C B 1 有?BAD ? ?BOD, D 2 ?2? 1 ?DAC ? ?DOC. 图2 ? 2 2 1 所以?BAD ? ?DAC ? ??BOD ? ?DOC?, 2 1 即?BAC ? ?BOC. 2

?3?如图2 ? 2?3?, 圆心O在?BAC的 外部. 作直径AD, 利用?1?的结果, 有
1 1 ?BAD ? ?BOD , ?DAC ? ?DOC . 2 2 1 则?DAC ? ?DAB ? ??DOC ? ?DOB?, 2 1 即?BAC ? ?BOC. 2
O

A

C

D

B

?3?

图2 ? 2

上面的证明考虑了圆周 角的三类情形 .因为圆周角 与圆的任意位置关系都 包含在这三类情形中 , 分三 类情形讨论就覆盖了所 有可能的位置关系 , 使证明 具有一般性 .这种依据问题的特点进 行分类讨论的 方法, 是数学中常用的方法 .

我们知道, 一个周角是360 0.把圆周等分成 360 份, 每 一份叫做10 的弧.由此, n 0 的圆心角所对的弧是n 0的 弧; 反之, n 0的弧所对的圆心角的度 数是n 0 , 从而有:

圆心角定理 圆心角的度数等于它所 对弧的度数.
在同圆或等圆中 , 相等的弧所对的圆心角 相等,因此, 由圆周角定理可以直接 得到:

推论1 同弧或等弧所对的圆心 角相等;同圆等圆 中, 相等的圆周角所对的弧 也相等.
推论 2 半圆?或直径?所对的圆周角是直角;900的 圆周所对的弦是直径 .

例1 如图2 ? 3, AD 是 ?ABC 的高, AE是?ABC 的外接圆 .直 径.求证 : AB ? AC ? AE ? AD

A

O
B D E C

证明 连接BE .
因为?ADC ? ?ABE ? 90 , ?C ? ?E, 所以?ADE ~ ?ABE,
0

图2 ? 3

AC AD 则 ? , 即 AB ? AC ? AE ? AD . AE AB

例 2 如图2 ? 4, AB与CD交于 圆内一点P.求证 : 弧AD的度数 与弧BC 的度数和的一半等于 ?APD的度数.

D P A

B

分析 由于?APD既不是圆心角 , E 图2 ? 4 也不是圆周角 , 为此我们需要构 造一个与它相等的圆心 角或圆周角 ,以便利用定理 .

C

证明 如图2 ? 4, 过点C作CE // AB交圆于E, 则 有?APD ? ?C. 因为弧AE ? 弧BC, ?为什么?? 弧DAE ? 弧DA ? 弧AE ? 弧AD ? 弧BC . 又因为?C的度数等于弧 DAE的度数的一半 . ?APD的度数等于弧 AD与弧BC的度数和的一半 .


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