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中山市2012—2013高二第一学期期末考试数学(理)


中山市高二级 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,

用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案,不能答在试题上. 3、不可以使用计算器. 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交.

第Ⅰ卷(选择题共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符 合题目要求的.) 1.在△ABC 中, A ? 60? , B ? 75? ,c=20,则边 a 的长为 A. 10 6 A. (??,50) B. 20 2 B. (60, ??) C. 20 3 C. (50,60) D. 20 6 D. (??,50) ? (60, ??) 2.不等式 ( x ? 50)(60 ? x) ? 0 的解集是

3.十三世纪初,意大利数学家斐波那契(Fibonacci,1170~1250)从兔子繁殖的问题,提出了世界著

?1, n ? 1,2; 名数学问题“斐波那契数列”,该数列可用递推公式 Fn ? ? 由此可计算出 F8 ? ? Fn ?1 ? Fn ? 2 , n ? 3.
A.8 B.13 C.21
1 C. (0, ) e

D.34
1 D. ( , ??) e

4.函数 f ( x) ? x ln x 的单调递减区间是 A. (0, e) B. (e, ??)

5.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ,若 S10 ? 31 , S20 ? 122 ,则 S30 = A.153
2

B.182
2

C.242

D.273

6.关于双曲线 9 y ? 16 x ? 144 ,下列说法错误的是 A.实轴长为 8,虚轴长为 6 C.渐近线方程为 y ? ? x 7.下列命题为真命题的是 A. ?x ?N, x3 ? x2 B. ?x0 ? R, x0 2 ? 2 x0 ? 2 ? 0 C.“ x ? 3 ”是“ x 2 ? 9 ”的必要条件 D.函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 为偶函数的充要条件是 b ? 0 8.已知函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c , x?[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=± 处的切线斜率均为-1, 1 有以下命题: ① f(x)的解析式为: f ( x) ? x3 ? 4 x , x?[-2,2];
1

B.离心率为

5 4

4 3

D.焦点坐标为 (?5,0)

② f(x)的极值点有且仅有一个; ③ f(x)的最大值与最小值之和等于零. 则下列选项正确的是( A.①② ). C.②③ D.①②③

B.①③

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡相应横线上) 9.一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,则它的第 2 项为 10 . 与 椭 圆 为 .

x2 y 2 ? ?1 焦点相同的等轴双曲线的标准方程 25 9
.

11 . 小 明 用 TI-Nspire? CAS 中 文 图 形 计 算 器 作 出 函 数
1 f ( x) ? x( x ? 2)( x ? 3), x ?[?4, 4] 的图像如右图所示,那么 8

不等式 f ( x) ? 0 的解集是 .(用区间表示) ? ? ? ? 12 . 已 知 a ? ( 2 , 1 ,3 b ? (?4, 2, x) , 且 a ? b , 则 , ) ? ? | a ? b |? . 13.在周长为定值 P 的扇形中,当半径为 时,扇形的面积最大,最大面积为 .

14.已知抛物线 f ( x) ? 2 x2 ? x 上一点 P(3, f (3)) 及附近一点 P '(3 ? ?x, f (3 ? ?x)) ,则割线 PP ' 的斜率为
kPP ' ? f (3 ? ?x) ? f (3) ? ?x

,当 ?x 趋近于 0 时,割线趋近于点 P 处的切线,由此可得到 .

点 P 处切线的一般方程为 15. (13 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? 2)( x ? 3) . (1)求导数 f ?( x) ;

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) (2)求 f ( x) 的单调区间.

2

16. (13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n, (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 3

Sn 1 ) (n ? N ? ) 均在直线 y ? x ? 上. 2 n
1 2

an ?

, Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,试求 Tn .

17. (13 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. (1)若边 BC 上的中线 AD 记为 ma ,试用余弦定理证明: ma ?
1 (2)若三角形的面积 S= (a 2 ? b2 ? c 2 ) ,求∠C 的度数. 4

1 2(b2 ? c 2 ) ? a 2 . 2

18. (13 分)某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示. 用煤(吨) 甲产品 乙产品 7 3 用电(千瓦) 20 50 产值(万元) 8 12

但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问该厂如何安排 生产,使得该厂日产值大?最大日产值为多少?

3

19. (14 分)如图,在长方体 AC1 中, AB ? BC ? 2, AA1 ? 2 ,点 E、F 分别是面 AC1 、面 BC1 的中心.以 1 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 所为直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,试用向量方法解决下列问 题: (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角; (2)求直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值.

D1 E A1 D A B B1 F

C1

C

20. (14 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上, 右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M 、 N ,当 AM ? AN 时,求实数 m 的取 值范围.

4

中山市高二级 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷(理科)答案
一、选择题:ACCCD 二、填空题:9. 8; 13. DDB 10.

x2 y 2 ? ? 1; 8 8

11. [?2,0] ? [3,4] ;

12.

38 ;

P P2 , ; 14. 11 ? 2?x , 11x ? y ? 18 ? 0 . (前空 3 分,后空 2 分) 16 4
……………(3 分)

三、解答题: 15. 解: (1)由原式得 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 6 x , ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 6 . (2)令 f ?( x) ? 0 ,解得 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ……(6 分)

1 ? 19 1 ? 19 , ?x? 3 3

……………(9 分) ……………(11 分) ……………(12 分)

1 ? 19 1 ? 19 或x? , 3 3

1 ? 19 1 ? 19 所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( , ), 3 3
单调递增区间为 (??,

1 ? 19 1 ? 19 ) ,( , ??) . 3 3

……………(13 分)

16. 解: (1)依题意得,

Sn 1 1 ? n ? , 即 Sn ? n 2 ? n . n 2 2
1 1 1 ? ? n) ? ?(n ? 1)2 ? (n ? 1) ? ? 2n ? ; 2 2 2 ? ?

……………(2 分)

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n 2 ? 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 12 ? 所以 an ? 2n ?

………(5 分) ……………(6 分) ……………(7 分)

1 3 1 ?1 ? ? 2 ?1 ? . 2 2 2

1 (n ? N * ) . 2
an ? 1 2

(2)由(1)得 bn ? 3 由

? 32 n ,

……………(8 分) ……………(10 分) ……………(11 分)

bn ?1 32( n ?1) ? 2 n ? 32 ? 9 ,可知 {bn } 为等比数列. bn 3

由 b1 ? 32?1 ? 9 , 故 Tn ?

9(1 ? 9n ) 9n ?1 ? 9 . ? 1? 9 8

……(13 分)

5

a c 2 ? ( ) 2 ? ma 2 2 17.解: (1)在 ?ABD 中, cos B ? ; a 2?c? 2
在 ?ABC 中, cos B ?

……………(2 分)

c2 ? a 2 ? b2 . 2?c?a

……………(4 分)

a c 2 ? ( ) 2 ? ma 2 c2 ? a2 ? b2 2 ? ∴ , a 2?c?a 2?c? 2
化简为: ma 2 ? c 2 ? ∴

………………(5 分)

a 2 c 2 ? a 2 ? b2 2(b2 ? c 2 ) ? a 2 , ? ? 4 2 4
………………(7 分) ………………(10 分) ………………(13 分)

ma ?

1 2 2 2 (b ? c ) ? a2. 2

1 1 1 (2)由 S= (a 2 ? b2 ? c 2 ) ,得 absinC= ?2ab cos C . 4 2 4

∴ tanC=1,得 C= 45? .

18. 解:设该厂每天安排生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,则日产值 z ? 8x ? 12 y ,…(1 分)

?7 x ? 3 y ? 56 ? 线性约束条件为 ?20 x ? 50 y ? 450 . ? x ? 0, y ? 0 ?
作出可行域.

…………(3 分)

…………(6 分)

把 z ? 8x ? 12 y 变形为一组平行直线系 l : y ? ? 线 l 经过可行域上的点 M 时,截距

8 z 由图可 x? , 12 12

知,当直

z 最大,即 z 取最大值. 12
……………(10 分) ……………(12 分)

?7 x ? 3 y ? 56 解方程组 ? ,得交点 M (5,7) , ?20 x ? 50 y ? 450
zmax ? 8 ? 5 ? 12 ? 7 ? 124 .

所以,该厂每天安排生产甲产品 5 吨,乙产品 7 吨,则该厂日产值最大,最大日产值为 124 万元. ………………(13 分) 19. 解: (1)A(2,0,0) ,F(1,2,
2 ) , 2

B(2,2,0) ,E(1,1, 2 ) ,C(0,2,0).
??? ? ? 2 ??? ∴ AF ? (?1, 2, ), BE ? (?1, ?1, 2) , 2

D1 E A1 D B1 F

C1

……(4 分) ……(6 分) ……(7 分)

∴ AF ? BE ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 . 所以 AF 和 BE 所成的角为 90? .
? (2)设平面 BEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

?

?

C B

A

6

??? ? ??? ? 又 BC ? (?2,0,0), BE ? (? 1? 1 , 2 ) , , ? ??? ? ? ??? ? 则: n ? BC ? ?2 x ? 0 , n ? BE ? ? x ? y ? 2 z ? 0 .

∴ x ? 0 , 令 z ? 1 ,则: y ? 2 ,∴
???? ? ???? ? AF ? n COS ? AF , n ?? ???? ? ? AF ? n

?

n?(0,

2 ,.1 )

…………(10 分)



5 2 5 33 2 ? . 33 22 ? 3 2

……………(12 分)

设直线 AF 和平面 BEC 所成角为 ? ,则: Sin? ?

5 33 . 33

即 直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值为 20. 解: (1)依题意可设椭圆方程为 则右焦点 F ( a 2 ? 1, 0) .

5 33 . 33

……………(14 分) ……………(1 分)

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , a2

……(2 分)
? 3 , 解得: a 2 ? 3 .

a2 ? 1 ? 2 2

由题设条件:
2

……………(4 分) ……………(5 分)

故 所求椭圆的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 . 3

? y ? kx ? m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,联立 ? x 2 , 2 ? ? y ?1 ?3

………………(6 分)

消 y 得: (3k 2 ? 1) x2 ? 6mkx ? 3(m2 ? 1) ? 0 . 由于直线与椭圆有两个交点, ?? ? 0, 即 m2 ? 3k 2 ? 1
? xp ?
? k Ap ?

………………(7 分) ① …………(8 分)

xM ? xN 3mk m , 从而 y p ? kx p ? m ? 2 , ?? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
yp ? 1 xp ?? m ? 3k 2 ? 1 . 3mk



A M ? A N, ? A P ?

, MN ② , ……………(12 分)

则: ?

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即: 2m ? 3k 2 ? 1 3mk k

把②代入①得: 2m ? m2 ,解得: 0 ? m ? 2 ; 由②得: k 2 ? 所以,
1 ?m?2. 2
2m ? 1 1 . ? 0 ,解得: m ? 3 2

………………(14 分)

7


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