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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年高二下学期期中数学 试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)命题“任意 x∈R,都有 x +x+1>0”的否定为() 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x +x+1≤0 B. 不存在 x∈R,都有 x +x+1≤0 2 2 C. 存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1>0 D.存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1≤0 2. (5 分)已知命题:p:对任意 x∈R,总有|x|≥0,q:x=1 是方程 x+2=0 的根;则下列命题为 真命题的是() A.p∧¬q B.¬p∧q C.¬p∧¬q D.p∧q 3. (5 分)设条件 p:a≥0;条件 q:a +a≥0,那么 p 是 q 的() A.必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分)抛物线 y= x 的准线方程是() A. B. C.y=﹣1 D.y=﹣2
2 2 2

5. (5 分)双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为



则 C 的焦距等于() A.2 B. 2

C. 4

D.4

6. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,则 C 的方程为() + =1 D. + =1

,过 F2

的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△ AF1B 的周长为 4 A. + =1 B. +y =1
2

C.

7. (5 分)过双曲线 C:



=1 的右顶点做 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A,

若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点) ,则双曲线 C 的方程 为()

-1-

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

8. (5 分)已知 y= x +bx +(b+2)x+3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值是() A.b<﹣1 或 b>2 B.b≤﹣2 或 b≥2
2

3

2

C.﹣1<b<2

D.﹣1≤b≤2

9. (5 分)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点 M(0,2)的距离与点 P 到 该抛物线准线的距离之和的最小值为() A.3 B. C. D.

10. (5 分)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图 所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值()

A.2 个

B. 1 个

C. 3 个

D.4 个

11. (5 分)定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f(x)>f′(x)且 f(0) =1,则不等式 A.(﹣∞,0) <1 的解为() B.(0,+∞)
2

C.(﹣∞,2)

D.(2,+∞) ,与

12. (5 分) (平)若二次函数 y=ax +bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为

x 轴的交点 P、Q 位于 y 轴的两侧,以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴交于 M(0,4)和 N(0,﹣ 4) .则点(b,c)所在曲线为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)命题“若 x≥0,则 x ≥0”的否命题是. 14. (5 分)函数 y=lnx﹣x 的递增区间是.
2

15. (5 分)已知椭圆

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆于

A、B 两点.若线段 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则椭圆的方程为.

-2-

16. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣ lnx+1 在其定义域内的一个子区间(a﹣1,a+1)内存在极值, 则实数 a 的取值范围.

2

三、解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤. 17. (10 分)直线 y=x﹣4 与抛物线 y =4x 交于 A、B 两点,F 为抛物线的焦点,求△ ABF 的 面积. 18. (12 分)已知命题 p:|4﹣x|≤6,q:x ﹣2x+1﹣a ≥0(a>0) ,若非 p 是 q 的充分不必要条 件,求 a 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值. 20. (12 分)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,△ APB 面积的最大值为 2 . (I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 AP 的倾斜角为 ,且与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,试判断以 BD 为直径
3 2 2 2 2

的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明.

21. (12 分)已知椭圆 C:

,若椭圆 C 上的一动点到右焦点的最短距

离为

,且右焦点到直线

的距离等于短半轴的长,已知 P(4,0) ,过 P 的直线与

椭圆交于 M、N 两点 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)求 的取值范围.

22. (12 分)已知函数 f (x)=ax﹣e (a∈R) ,g(x)=

x



(I)求函数 f (x)的单调区间; x (Ⅱ)?x0∈(0,+∞) ,使不等式 f (x)≤g(x)﹣e 成立,求 a 的取值范围.

湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年高二下学期期 中数学试卷(文科)
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参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 2 1. (5 分)命题“任意 x∈R,都有 x +x+1>0”的否定为() 2 2 A.对任意 x∈R,都有 x +x+1≤0 B. 不存在 x∈R,都有 x +x+1≤0 2 2 C. 存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1>0 D.存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1≤0 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的否定;全称命题. 简易逻辑. 根据全称命题的否定是特此命题即可得到结论. 解:∵命题为全称命题,
2

∴命题的否定是存在 x0∈R,使得 x0 +x0+1≤0, 故选:D. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 2. (5 分)已知命题:p:对任意 x∈R,总有|x|≥0,q:x=1 是方程 x+2=0 的根;则下列命题为 真命题的是() A.p∧¬q B.¬p∧q C.¬p∧¬q D.p∧q 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 判定命题 p,q 的真假,利用复合命题的真假关系即可得到结论. 解答: 解:根据绝对值的性质可知,对任意 x∈R,总有|x|≥0 成立,即 p 为真命题, 当 x=1 时,x+2=3≠0,即 x=1 不是方程 x+2=0 的根,即 q 为假命题, 则 p∧¬q,为真命题, 故选:A. 点评: 本题主要考查复合命题的真假关系的应用,先判定 p,q 的真假是解决本题的关键, 比较基础. 3. (5 分)设条件 p:a≥0;条件 q:a +a≥0,那么 p 是 q 的() A.必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 结合不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 2 解答: 解:条件 q:a +a≥0,解得 a≥0,或 a≤﹣1, 由于条件 p:a≥0, 所以 p 是 q 的充分不必要条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用定义是解决本题的关键,比较基础.
2

-4-

4. (5 分)抛物线 y= x 的准线方程是() A. B. C.y=﹣1 D.y=﹣2

2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将抛物线方程化为标准方程,由抛物线 x =2py 的准线方程为 y=﹣ ,计算即可得到 所求准线方程. 解答: 解:抛物线 y= x 即为 x =4y, 由抛物线 x =2py 的准线方程为 y=﹣ , 可得 x =4y 的准线方程为 y=﹣1. 故选:C. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的准线方程,属于基础题.
2 2 2 2 2

5. (5 分)双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为



则 C 的焦距等于() A.2 B. 2

C. 4

D.4

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论. 解答: 解:∵: ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 2,

∴e=

,双曲线的渐近线方程为 y= ,

,不妨取 y=

,即 bx﹣ay=0,

则 c=2a,b=

∵焦点 F(c,0)到渐近线 bx﹣ay=0 的距离为 ∴d= ,



即 解得 c=2, 则焦距为 2c=4, 故选:C



-5-

点评: 本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公 式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础.

6. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,则 C 的方程为() + =1 D. + =1

,过 F2

的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△ AF1B 的周长为 4 A. + =1 B. +y =1
2

C.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用△ AF1B 的周长为 4 可得出椭圆的方程. 解答: 解:∵△AF1B 的周长为 4 , ∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a, ∴4a=4 , ∴a= , ∵离心率为 ∴ ∴b= , ,求出 a= ,根据离心率为 ,可得 c=1,求出 b,即

,c=1, = ,

∴椭圆 C 的方程为

+

=1.

故选:A. 点评: 本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基 础题.

7. (5 分)过双曲线 C:



=1 的右顶点做 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A,

若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点) ,则双曲线 C 的方程 为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

-6-

分析: 由题意,c=4,双曲线的一条渐近线方程为 y= 0) ,|FA|=4,可求 a,b,即可得出双曲线的方程.

,求出 A 的坐标,利用右焦点 F(4,

解答: 解:由题意,c=4,双曲线的一条渐近线方程为 y= 令 x=a,则 y=b,即 A(a,b) , ∵右焦点 F(4,0) ,|FA|=4, ∴(a﹣4) +b =16, 2 2 ∵a +b =16, ∴a=2,b=2 , ∴双曲线 C 的方程为 ﹣ =1.
2 2



故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
3 2

8. (5 分)已知 y= x +bx +(b+2)x+3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值是() A.b<﹣1 或 b>2 B.b≤﹣2 或 b≥2 C.﹣1<b<2 D.﹣1≤b≤2

考点: 函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质. 分析: 三次函数 y= x +bx +(b+2)x+3 的单调性,通过其导数进行研究,故先求出导数, 利用其导数恒大于 0 即可解决问题. 解答: 解:∵已知 y= x +bx +(b+2)x+3 ∴y′=x +2bx+b+2, ∵y= x +bx +(b+2)x+3 是 R 上的单调增函数, ∴x +2bx+b+2≥0 恒成立, 2 ∴△≤0,即 b ﹣b﹣2≤0, 则 b 的取值是﹣1≤b≤2. 故选 D. 点评: 本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题,属于基 础题. 9. (5 分)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点 M(0,2)的距离与点 P 到 该抛物线准线的距离之和的最小值为() A.3 B. C. D.
2 2 3 2 2 3 2 3 2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

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分析: 先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义可得 d=|PF|+|PM|≥|MF|,再求出|MF|的 值即可. 解答: 解:依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′,抛物线的焦点为 F, 则 F( ,0) , 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|, 则点 P 到点 M(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和, d=|PF|+|PM|≥|MF|= = . .

即有当 M,P,F 三点共线时,取得最小值,为

故选:B. 点评: 本题主要考查抛物线的定义解题,考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归, 数形结合等数学思想. 10. (5 分)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图 所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值()

A.2 个

B. 1 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 如图所示,由导函数 f′(x)在(a,b)内的图象和极值的定义可知:函数 f(x)只 有在点 B 处取得极小值. 解答: 解:如图所示, 由导函数 f′(x)在(a,b)内的图象可知: 函数 f(x)只有在点 B 处取得极小值, ∵在点 B 的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,且 f′(xB)=0. ∴函数 f(x)在点 B 处取得极小值. 故选:B.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了数形结合的思想方法,考查了 推理能力,属于基础题. 11. (5 分)定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f(x)>f′(x)且 f(0) =1,则不等式 <1 的解为()

-8-

A.(﹣∞,0)

B.(0,+∞)

C.(﹣∞,2)

D.(2,+∞)

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据条件构造函数 F(x)= 论. 解答: 解:设 F(x)= , ,求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结

则 F′(x)= ∵f(x)>f′(x) , ∴F′(x)<0,即函数 F(x)在定义域上单调递减. ∵f(0)=1, ∴不等式 <1 等价为 F(x)<F(0) ,



解得 x>0, 故不等式的解集为(0,+∞) 故选:B. 点评: 本题主要考查函数单调性的判断和应用,根据条件构造函数是解决本题的关键.
2

12. (5 分) (平)若二次函数 y=ax +bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为

,与

x 轴的交点 P、Q 位于 y 轴的两侧,以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴交于 M(0,4)和 N(0,﹣ 4) .则点(b,c)所在曲线为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 考点: 轨迹方程;二次函数的性质. 专题: 综合题. 2 分析: 确定以线段 PQ 为直径的圆的圆心坐标,利用|CM|=|CQ|,及二次函数 y=ax +bx+c (ac≠0)图象的顶点坐标,化简,即可求得点(b,c)所在曲线. 解答: 解:由题意,以线段 PQ 为直径的圆的圆心坐标为 C ,则

由|CM|=|CQ|,可得
2

∵二次函数 y=ax +bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为





-9-

∴b ﹣4ac=1 ∴b +64a =1,a=
2 2

2

∴ ∴c +4b =4 ∴b +
2 2 2

=1

∴点(b,c)所在曲线为椭圆 故选 B. 点评: 本题考查轨迹方程,考查学生的运算能力,解题的关键是建立等式|CM|=|CQ|,正确 化简. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)命题“若 x≥0,则 x ≥0”的否命题是若 x<0,则 x <0. 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用“否命题”的定义即可得出. 2 2 解答: 解:命题“若 x≥0,则 x ≥0”的否命题是:“若 x<0,则 x <0”. 2 故答案为:若 x<0,则 x <0. 点评: 本题考查了“否命题”的定义,属于基础题. 14. (5 分)函数 y=lnx﹣x 的递增区间是(0,1]. 考点: 专题: 分析: 解答: 利用导数研究函数的单调性. 导数的概念及应用. 利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可. 解:函数的定义域为(0,+∞) , ,由 ≥0 得 0<x≤1,
2 2

y′= ﹣1=

故函数的单调递增区间是(0,1]. 填(0,1)也给满分 故答案为: (0,1] 点评: 本题考查利用导数求函数的单调区间知识,属基础题.

15. (5 分)已知椭圆

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆于

A、B 两点.若线段 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则椭圆的方程为



- 10 -

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆的方程,两式相减,根据线段 AB 的中点坐 标为(1,﹣1) ,求出斜率,进而可得 a,b 的关系,根据右焦点为 F(3,0) ,求出 a,b 的值, 即可得出椭圆的方程. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 , ,

两式相减可得, ∵线段 AB 的中点坐标为(1,﹣1) , ∴ = ,



∵直线的斜率为

= ,



= ,

∵右焦点为 F(3,0) , 2 2 ∴a ﹣b =9, 2 2 ∴a =18,b =9, ∴椭圆方程为: .

故答案为:



点评: 本题考查椭圆的方程,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
2

16. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣ lnx+1 在其定义域内的一个子区间(a﹣1,a+1)内存在极值, 则实数 a 的取值范围 .

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 求 f(x)的定义域为(0,+∞) ,求导 f′(x)=2x﹣ ? = ﹣1,a+1) ;从而求得. ;从而可得 ∈(a

- 11 -

解答: 解:f(x)=x ﹣ lnx+1 的定义域为(0,+∞) ,

2

f′(x)=2x﹣ ? =
2



∵函数 f(x)=x ﹣ lnx+1 在其定义域内的一个子区间(a﹣1,a+1)内存在极值,

∴f′(x)=2x﹣ ? =

在区间(a﹣1,a+1)上有零点,

而 f′(x)=2x﹣ ? = 故 ∈(a﹣1,a+1) ; 故 a﹣1< <a+1; 解得, <a< ; 又∵a﹣1≥0, ∴a≥1; 故答案为: .

的零点为 ;

点评: 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤. 2 17. (10 分)直线 y=x﹣4 与抛物线 y =4x 交于 A、B 两点,F 为抛物线的焦点,求△ ABF 的 面积. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线交 x 轴于 C(4,0) ,知 F(1,0) ,|FC|=3,则 S△ ABF= 答案. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 直线交 x 轴于 C(4,0) ,知 F(1,0) ,|FC|=3, 由 得 y ﹣4y﹣16=0,解得 y=
2

,联立方程组可解得 y1,y2,从而得|y2﹣y1|,代入公式即可求得

,|y2﹣y1|=4 .



S△ ABF=

=

点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式,考查数形结合思想,考查学 生分析解决问题的能力.

- 12 -

18. (12 分)已知命题 p:|4﹣x|≤6,q:x ﹣2x+1﹣a ≥0(a>0) ,若非 p 是 q 的充分不必要条 件,求 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法;绝对值不等式的 解法. 专题: 计算题. 分析: 先解不等式分别求出?p 和 q,再由非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围. 解答: 解:?p:|4﹣x|>6,x>10,或 x<﹣2, A={x|x>10,或 x<﹣2} 2 2 q:x ﹣2x+1﹣a ≥0,x≥1+a,或 x≤1﹣a, 记 B={x|x≥1+a,或 x≤1﹣a} 而?p?q,∴A?B,即

2

2

,∴0<a≤3.

点评: 本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断和应用,解题的关键是正确求解不 等式. 19. (12 分)已知函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由题意可得 ,解得即可.
3 2

(2)利用导数求出此区间上的极大值和极小值,再求出区间端点出的函数值,进而求出该区 间的最大值和最小值,则对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max﹣f(x) min|≤c,求出即可. 3 2 ′ 2 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R) ,∴f (x)=3ax +2bx﹣3. 3 2 ∵函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0,∴切点为(1, ﹣2) . ∴
3

,即

,解得



∴f(x)=x ﹣3x. ′ (2)令 f (x)=0,解得 x=±1,列表如下: 由表格可知:当 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极大值,且 f(﹣1)=2;当 x=1 时,函数 f(x) 取得极小值,且 f(1)=﹣2. 又 f(﹣2)═﹣2,f(2)=2.

- 13 -

∴f(x)=x ﹣3x 在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值分别为 2,﹣2. ∴对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max﹣f(x)min|=|2﹣(﹣2)|=4≤c. 即 c 得最小值为 4.

3

点评: 熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键. 20. (12 分)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,△ APB 面积的最大值为 2 . (I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 AP 的倾斜角为 ,且与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,试判断以 BD 为直径

的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为 (a>b>0) ,F(c,0) .由题意知

,解得即可得出. (II)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.由题意可知,c=1,F(1,0) ,直线 AP 的方程为 y= ﹣x﹣2.则点 D 坐标为(2,﹣4) ,BD 中点 E 的坐标为(2,﹣2) ,圆的半径 r=2.直线 AP 的方程与椭圆的方程联立可得 7x +16x+4=0.可得点 P 的坐标.可得直线 PF 的方程为:4x﹣ 3y﹣4=0.利用点到直线的距离公式可得点 E 到直线 PF 的距离 d.只要证明 d=r. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为 (a>b>0) ,F(c,0) .
2

由题意知

,解得



故椭圆 C 的方程为



(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可知,c=1,F(1,0) ,直线 AP 的方程为 y=﹣x﹣2. 则点 D 坐标为(2,﹣4) ,BD 中点 E 的坐标为(2,﹣2) ,圆的半径 r=2.

- 14 -



得 7x +16x+4=0.

2

设点 P 的坐标为(x0,y0) ,则



∵点 F 坐标为(1,0) ,直线 PF 的斜率为 ,直线 PF 的方程为:4x﹣3y﹣4=0. 点 E 到直线 PF 的距离 d= =2.

∴d=r. 故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交 点坐标、直线与圆相切的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21. (12 分)已知椭圆 C:

,若椭圆 C 上的一动点到右焦点的最短距

离为

,且右焦点到直线

的距离等于短半轴的长,已知 P(4,0) ,过 P 的直线与

椭圆交于 M、N 两点 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)求 的取值范围.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.
2 2 2

分析: (Ⅰ)由题意知

,又 a =b +c .联立解出即可.

(II)由题意知直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 的方程为 y=k(x﹣4) .与椭圆方程联立可 得(2k +1)x ﹣16k x+32k ﹣4=0.由于△ >0,可得 利用根与系数的关系及其数量积运算可得
2 2 2 2

.设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , ,即可得出.

=x1x2+y1y2=22﹣

解答: 解: (Ⅰ)由题意知

,又 a =b +c .

2

2

2

解得



- 15 -

故椭圆 C 的方程



(Ⅱ)由题意知直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 的方程为 y=k(x﹣4) .
2 2 2 2



得(2k +1)x ﹣16k x+32k ﹣4=0.

, ∴ .

设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , x1+x2= ,x1x2= ,

y1y2=k (x1﹣4) (x2﹣4)=k [x1x2﹣4(x1+x2)+16]=

2

2





=x1x2+y1y2= , .

=22﹣



∵ ∴

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△ >0 及其根与系数的关系、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 22. (12 分)已知函数 f (x)=ax﹣e (a∈R) ,g(x)=
x



(I)求函数 f (x)的单调区间; x (Ⅱ)?x0∈(0,+∞) ,使不等式 f (x)≤g(x)﹣e 成立,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. x 分析: (Ⅰ)f′(x)=a﹣e ,x∈R.对 a 分类讨论,利用导数研究函数的单调性即可得出; (Ⅱ)由?x0∈(0,+∞) ,使不等式 f(x)≤g(x)﹣e ,即 a≤ 转化为 a
x

.设 h(x)=

,则问题

,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
x

解答: 解: (Ⅰ)∵f′(x)=a﹣e ,x∈R. 当 a≤0 时,f′(x)<0,f(x)在 R 上单调递减; 当 a>0 时,令 f′(x)=0 得 x=lna.

- 16 -

由 f′(x)>0 得 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,lna) ; 由 f′(x)<0 得 f(x)的单调递减区间为(lna,+∞) . (Ⅱ)∵?x0∈(0,+∞) ,使不等式 f(x)≤g(x)﹣e ,则 设 h(x)= ,则问题转化为 a ,
x

,即 a≤



由 h′(x)=

,令 h′(x)=0,则 x=



当 x 在区间(0,+∞) 内变化时,h′(x) 、h(x)变化情况如下表: x h′(x) h(x)

+ 单调递增

0 极大值

﹣ 单调递减 .

由上表可知,当 x= ∴ .

时,函数 h(x)有极大值,即最大值为

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了 推理能力与计算能力,属于难题.

- 17 -


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