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安徽省安庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(实验班)


安徽省安庆一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (实验 班)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (3 分)已知集合 A.? B. ,则 A∩B=() C.{x|x<1} D.

2. (3 分)已知 的点位于为() A.第一象限

=1﹣yi,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则复数 x+yi 的共轭复数对应

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. (3 分)在梯形 ABCD 中,AD∥BC,m 是空间直线,则“m⊥AB,m⊥CD”是“m⊥AD, m⊥BC”的()条件. A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要 4. (3 分)已知函数 f(x)的导数为 f′(x) ,且满足关系式 f(x)=2x +x f'(1)+lnx,则 f′ (2)的值等于() A. B. C.﹣7 D.7
3 2

5. (3 分)双曲线

的离心率为

,一条渐近线的倾斜角为 α,

m=|tanα|,当 A.

取得最小值时,双曲线的焦距为() B. C. D.

6. (3 分)已知实数 x,y 满足

,则 z=﹣x ﹣y 的最小值是()

2

A.﹣8

B.﹣2

C.﹣1

D.0

7. (3 分)将函数

的图象向左平移

个单位后,得到函

数 y=sin(2x+φ)的图象,则函数 y=sin(2x+φ)的一个对称中心为() A. B. C. D.

8. (3 分)如图,是一个几何体的正视图(主视图) 、侧视图(左视图) 、俯视图,正视图(主 视图) 、侧视图(左视图)都是矩形,则该几何体的体积是()

A.24

B.12

C. 8

D.4

9. (3 分)△ ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 是以 A 为圆心,半径为 1 的圆上任意一点, 如图所示,则 的最大值是()

A.

B.

C.

D.

10. (3 分) 马航 MH370 航班失联事件发生后, 多国海军在相关海域展开了搜索救援行动. 某 日中国将 5 艘不同的军舰分配到 A、B、C 三个搜索海域中,每个海域至少安排 1 艘军舰, 其中甲军舰不能分配到 A 海域,则不同的分配方案种数是() A.80 B.100 C.132 D.150

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. (4 分) 数是. 12. (4 分)已知程序框图,则输出的 i=. 的展开式中只有第 3 项的二项式系数最大,则它的 x
﹣3

项的系

13. (4 分)若等差数列{an}满足 a1+2014a2014=2013a2013,O 为坐标原点,点 P(1,a1) ,Q, 则 =.

14. (4 分) 定义在 R 上的奇 函数 f (x) , 当 x≥0 时, (x) f = 则关于 x 的函数 g(x)=f(x)+a(0<a<2)的所有零点之和为. (用含 a 的式子表达)



15. (4 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,MN 是它的内切球的一条弦(把球面上 任意两点之间的连线段称为球的弦) ,P 为正方体表面上的动点.给出下列命题: ①弦 MN 的长的取值范围是 ②内切球的体积为 ; ; ; ;

③直线 PM 与 PN 所成角的范围是

④当 PN 是内切球的一条切线时,PN 的最大值是 ⑤线段 PN 的最大值是 . 其中正确的命题是(把所有正确命题的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡上的指定区域内. 16. (7 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边依次是 a,b,c,且 A=30°,a=1. (Ⅰ)若 B=45°,求 b 的大小; (Ⅱ)若 sinC=sin(B﹣A) ,求△ ABC 的面积. 17. (8 分)2013 年 6 月 13 日,阿里巴巴推出“余额宝”理财产品,2014 年 1 月 22 日,腾讯 推出的理财产品“微信理财通”(简称“理财通”)正式上线.某人准备将 10 万元资金投入理 财产品,现有“余额宝”,“理财通”两个产品可供选择:

(1)投资“余额宝”产品一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表所示: X1 0.6 0.65 0.7 P a 0.6 b 且 X1 的数学期望 E(X1)=0 .65; (2)投资“理财通”产品一年后获得的利润 X2(万元)的概率分布列如下表所示: X2 0.65 0.7 0.7 5 P p 0.6 q (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)假设该人在“理财通”正式推出之前已经选择投资了“余额宝”产品,现在,他决定:只 有当满足 E(X1)≤E(X2)﹣0.05 时,它才会更换选择投资“理财通”产品,否则还是选择“余 额宝”产品,试根据 p 的取值探讨该人应该选择何产品? 18. (8 分)已知数列{an}与{bn}满足 bn=2 (n∈N ) ,数列{bn}是等比数列,且 b1+b5=68, a2+a4=8. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}是递增数列,设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 19. (9 分)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,△ PAD 为正三角形, 且 E,F 分别为 AD,AB 的中点,PE⊥平面 ABCD,BE⊥平面 PAD. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 PEB; (Ⅱ)求 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值.
an *

20. (9 分)已知函数 f(x)=2x﹣lnx﹣m,g(x)=mx﹣1(m∈R) . (Ⅰ)若函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣y=0,求实数 m 的值; (Ⅱ)若直线 y=﹣1 与函数 f(x)=2x﹣lnx﹣m 的图象无公共点,求实数 m 的取值范围.

21. (9 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A1A2,左、右顶点分

别为 B1,B2 为坐标原点,若直线 A1B2 的斜率为﹣ ,△ A1OB2 的斜边上的中线长为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)P 是椭圆 C 上异于 A1,A2,B1,B2 的任一点,直线 PA1,PA2 分别交 x 轴于点 N,M, 若直线 OT 与过点 M,N 的圆 G 相切 ,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定 值.

安徽省安庆一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(实验班)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (3 分)已知集合 A.? B. ,则 A∩B=() C.{x|x<1} D.

考点: 对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件根据对数函数的单调性和特殊点,解对数不等式求得 A、B,可得 A∩B. 解答: 解:由于集合 A={x|lnx<0}={x|0<x<1},B={x|2 < 则 A∩B={x|0<x< }, 故选:D. 点评: 本题主要考查对数不等式的解法, 对数函数的单调性和特殊点, 两个集合的交集的 定义,属于基础题.
x

=

}={x|x< },

2. (3 分)已知 的点位于为() A.第一象限

=1﹣yi,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则复数 x+yi 的共轭复数对应

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 变形由复数相等可得 x 和 y 的值,进而可得其共轭复数,可得对应点所在的象限.

解答: 解:∵

=1﹣yi,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,

∴x=(1+i) (1﹣yi)=1+y+(1﹣y)i, ∴由复数相等可得 ,解得 ,

∴复数 x+yi 的共轭复数为 2﹣i, ∴对应的点为(2,﹣1) ,在第四象限. 故选:D 点评: 本题考查复数的基本概念,涉及复数相等和共轭复数,属基础题. 3. (3 分)在梯形 ABCD 中,AD∥BC,m 是空间直线,则“m⊥AB,m⊥CD”是“m⊥AD, m⊥BC”的()条件. A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据线面垂直的判定,性质,充分必要条件的定义判定. 解答: 解:∵在梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∴AD∩BC, ∵m 是空间直线,m⊥AB,m⊥CD, ∴m⊥平面 ABCD, ∵AD,BC 在平面 ABCD 内, ∴m⊥AD,m⊥BC, 而 m⊥AD,m⊥BC 时, 不一定有 m⊥平面 ABCD 成立. ∴m⊥AB,m⊥CD 不一定成立. 根据充分必要条件的定义可判断: “m⊥AB,m⊥CD”是“m⊥AD,m⊥BC”的充分不必要条件. 故选:A 点评: 本题考查了线面垂直的判定,性质,充分必要条件的定义,属于容易题. 4. (3 分)已知函数 f(x)的导数为 f′(x) ,且满足关系式 f(x)=2x +x f'(1)+lnx,则 f′ (2)的值等于() A. B. C.﹣7 D.7
3 2

考点: 导数的加法与减法法则. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由 f′(x)=6x +2xf′(1)+ 可得 f′(1)=6+2f′(1)+1,从而求出 f′(1) ,代入求 f′(2) . 解答: 解:由题意,
2

f′(x)=6x +2xf′(1)+ , 则 f′(1)=6+2f′(1)+1, 则 f′(1)=﹣7; 故 f′(2)=24+2×2×(﹣7)+ =﹣ , 故选 A. 点评: 本题考查了导数的运算,属于基础题.

2

5. (3 分)双曲线

的离心率为

,一条渐近线的倾斜角为 α,

m=|tanα|,当 A.

取得最小值时,双曲线的焦距为() B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线 的离心率为 ,可得 =2,进而

=4a+ ≥2

=4

,即可得出结论.

解答: 解:∵双曲线

的离心率为



∴1+ ∴ =2,

=5,

∵一条渐近线的倾斜角为 α,m=|tanα|, ∴m=2, ∴ =4a+ ≥2 =4 ,

当且仅当 4a= ,即 a= ∴c= ∴2c= , .

时,

取得最小值,

故选:C. 点评: 本题考查双曲线的简单性质,考查基本不等式的运用,属于中档题.

6. (3 分)已知实数 x,y 满足

,则 z=﹣x ﹣y 的最小值是()

2

A.﹣8

B.﹣2

C.﹣1

D.0

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先画出满足条件的平面区域,结合图象,从而求出 z 的最小值. 解答: 解:画出满足条件的平面区域, 如图示:

, 联立
2

,解得:
2



由 z=﹣x ﹣y 得:y=﹣x ﹣z, 2 ∴当 y=﹣x ﹣z 过点(﹣2,4)时,﹣z 取到最大值,z 取到最小值, 将(﹣2,4)代入得:z=﹣8, 故选:A. 点评: 本题考查了线性规划问题,考查了数形结合思想,是一道中档题.

7. (3 分)将函数

的图象向左平移

个单位后,得到函

数 y=sin(2x+φ)的图象,则函数 y=sin(2x+φ)的一个对称中心为() A. B. C. D.

考点: 余弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由题意得 y=sin( 析式为 y=sin(2x﹣

)=sin(2x+φ) ,可解得函数 y=sin(2x+φ)的解

) ,从而可求其对称中心. 的图象向左平移 )=sin(2x+φ) , , ) , + ,0) ,k∈Z, 个单位后,

解答: 解:由题意得 得到函数 y=cos=sin( 故可解得:ω=2,φ=﹣

故函数 y=sin(2x+φ)的解析式为 y=sin(2x﹣ 由 2x﹣ =kπ,即 x= +

,即函数的对称中心为( ,0) ,

当 k=0 时有函数的对称中心为(

故选:B. 点评: 本题主要考查了余弦函数的对称性,属于基础题. 8. (3 分)如图,是一个几何体的正视图(主视图) 、侧视图(左视图) 、俯视图,正视图(主 视图) 、侧视图(左视图)都是矩形,则该几何体的体积是()

A.24

B.12

C. 8

D.4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知该几何体是由两个并排全等的直三棱柱组成如图所示的几何体, 再根 据数据即可计算出答案. 解答: 解:由三视图可知该几何体是由两个并排全等的直三棱柱组成如图所示的几何体; ∴V= 故选 B. .

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键. 9. (3 分)△ ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 是以 A 为圆心,半径为 1 的圆上任意一点, 如图所示,则 的最大值是()

A.

B.

C.

D.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由题意,建立平面直角坐标系,设出点的坐标,从而求最大值. 解答: 解:如图建立平面直角坐标系, A(0,0) ,D(cosa,sina) ,B(﹣1,﹣ ) ,C(1,﹣ ) ; 则
2

=(cosa+1,sina+
2

)?(cosa﹣1,sina+



=cos a﹣1+(sina+ ) =2 sina+3, 故当 sina=1 时有最大值, 即 故选 D. 的最大值是 2 +3.

点评: 本题考查了平面向量的应用及学生的作图能力,属于中档题. 10. (3 分) 马航 MH370 航班失联事件发生后, 多国海军在相关海域展开了搜索救援行动. 某 日中国将 5 艘不同的军舰分配到 A、B、C 三个搜索海域中,每个海域至少安排 1 艘军舰, 其中甲军舰不能分配到 A 海域,则不同的分配方案种数是() A.80 B.100 C.132 D.150 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 先不考虑甲军舰的问题,按要求进行排列组合,再根据甲进 A、B、C 三个海域的 概率一样,继而求出甲军舰不能分配到 A 海域,则不同的分配方案种数 解答: 解:A 海域 1 艘;B 中 1、2、3 艘;则 C 中分别为 3、2、1 艘. 因而不看甲军舰不能分配到 A 海域时, 共有 C5(C4 +C4 +C4 ) +C5(C3 +C3 ) +C5 ?C2 =150 种 甲进 A、B、C 三个海域的概率一样,甲军舰不能分配到 A 海域,因而不同的分配方案有 ×150=100 种. 故选:B 点评: 本题主要考查了排列组合的问题,关键是分类的思想,属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. (4 分) 数是 24. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 由二项式系数的性质, 可得 n 为偶数, 即有 +1=3, 解得 n=4, 求出 的展开式的通项公式,化简整理,再令 x 的指数为﹣3,即可得到所求的系数. 解答: 解:由二项式系数的性质,可得 n 为偶数, 的展开式中只有第 3 项的二项式系数最大,则它的 x
﹣3

1

1

2

3

2

1

2

3

1

项的系

且有中间项的二项式系数最大,即有 +1=3, 解得,n=4, 则 的展开式的通项公式 Tr+1=

= 令 则它的 x

, =﹣3,解得,r=2.
﹣3

项的系数是

=24,

故答案为:24 点评: 本题考查二项式系数的性质和二项式展开式的通项及运用, 考查运算能力, 属于中 档题. 12. (4 分)已知程序框图,则输出的 i=9.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 S,i 的值,当满足 S≥100 时,退出执行循环 体,输出 i 的值为 9. 解答: 解:S=1,i=3 不满足 S≥100,执行循环体,S=3,i=5 不满足 S≥100,执行循环体,S=15,i=7 不满足 S≥100,执行循环体,S=105,i=9 满足 S≥100,退出执行循环体,输出 i 的值为 9. 故答案为:9. 点评: 本题考察程序框图和算法,属于基础题. 13. (4 分)若等差数列{an}满足 a1+2014a2014=2013a2013,O 为坐标原点,点 P(1,a1) ,Q, 则 =2014.

考点: 数列与向量的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;平面向量及应用. 分析: 由题意,设等差数列{an}的公差为 d,则由 a1+2014a2014=2013a2013 可推出 a1+2013d=0,求出 =(1,a1) , =, =2014+a1?a2014.

解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 a1+2014a2014=2013a2013 可化为 a1+2014(a1+2013d)=2013(a1+2012d) , 即 a1+2013 d=0, 则 =(1,a1) , =,

=2014+a1?a2014 =2014+a1?(a1+2013d)=2014, 故答案为:2014. 点评: 本题考查了等差数列的定义及平面向量的坐标运算,属于中档题.

14. (4 分) 定义在 R 上的奇函数 f (x) , 当 x≥0 时, f (x) =
a



则关于 x 的函数 g(x)=f(x)+a(0<a<2)的所有零点之和为 1﹣2 . (用含 a 的式子表 达) 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 x≥0 时,f(x)= ,f(x)

=

(x<0) ,画出图象求解.

解答: 解: ∵在 R 上的奇函数 f (x) , 当 x≥0 时, f (x) =



∴f(x)= 画图象如下:

(x<0) ,

∵关于 x 的函数 g(x)=f(x)+a(0<a<2)的所有零点之和为 x1,x2,x3,x4,x5, ∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣10+(﹣log2(1﹣x3) )+10=﹣a, a 即 1﹣x=2 , a 故 x=1﹣2 , a 故答案为:1﹣2 , 点评: 本题考查了函数的图象的运用,属于难题,根据对称性求解. 15. (4 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,MN 是它的内切球的一条弦(把球面上 任意两点之间的连线段称为球的弦) ,P 为正方体表面上的动点.给出下列命题: ①弦 MN 的长的取值范围是 ②内切球的体积为 ; ; ; ;

③直线 PM 与 PN 所成角的范围是

④当 PN 是内切球的一条切线时,PN 的最大值是

⑤线段 PN 的最大值是 . 其中正确的命题是②⑤(把所有正确命题的序号都填上) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据 MN 的最大值为球直径,即|MN|≤2 可判断①;

由内切球的直径为 2,求出球的体积,可判断②; 根据直线 PM 与 PN 所成角最小为 0,可判断③; 根据 PN 是内切球的一条切线时,PN 的最大值是 ,可判断④; 根据线段 PN 的最大值是 可判断⑤ 解答: 解:∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2,MN 是它的内切球的一条弦, 故 MN 的最大值为球直径,即|MN|≤2, 即弦 MN 的长的取值范围是(0,2],故①错误; 内切球的直径为 2,半径为 2,体积为 ,故②正确;

直线 PM 与 PN 所成角的范围是,故③错误; 当 PN 是内切球的一条切线时,PN 的最大值是 ,此时 P 为正方体的一个顶点,N 为内切 球与正方体的切点;故④错误; 线段 PN 的最大值是 .此时 P 为正方体的一个顶点,N 为体对角线与球的交点,故⑤ 正确; 故答案为:②⑤ 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了正方体的内切球及其相关的距离,夹角,体 积等问题,难度中档. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡上的指定区域内. 16. (7 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边依次是 a,b,c,且 A=30°,a=1. (Ⅰ)若 B=45°,求 b 的大小; (Ⅱ)若 sinC=sin(B﹣A) ,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由正弦定理列出关系式,把 sinA,sinB 以及 a 的值代入求出 b 的值即可; (Ⅱ)已知等式左边利用诱导公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后求 出 cosB=0,确定出 B 为直角,利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半求出 b 的值,再利用 勾股定理求出 c 的值,即可确定出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理得 解得:b= = ; = ,即 = ,

(Ⅱ)∵sinC=sin(B﹣A) , ∴sin(A+B)=sin(B﹣A) , ∴sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA﹣cosBsinA. 整理得:sinAcosB=0, ∵sinA≠0,∴cosB=0, ∴B=90°, ∵A=30°,a=1, ∴b=2a=2,c= = ,

则△ ABC 的面积 S= ac=



点评: 此题考查了正弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 17. (8 分)2013 年 6 月 13 日,阿里巴巴推出“余额宝”理财产品,2014 年 1 月 22 日,腾讯 推出的理财产品“微信理财通”(简称“理财通”)正式上线.某人准备将 10 万元资金投入理 财产品,现有“余额宝”,“理财通”两个产品可供选择: (1)投资“余额宝”产品一年后获得的利润 X1(万元)的概率分布列如下表所示: X1 0.6 0.65 0.7 P a 0.6 b 且 X1 的数学期望 E(X1)=0.65; (2)投资“理财通”产品一年后获得的利润 X2(万元)的概率分布列如下表所示: X2 0.65 0.7 0.75 P p 0.6 q (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)假设该人在“理财通”正式推出之前已经选择投资了“余额宝”产品,现在,他决定:只 有当满足 E(X1)≤E(X2)﹣0.05 时,它才会更换选择投资“理财通”产品,否则还是选择“余 额宝”产品,试根据 p 的取值探讨该人应该选择何产品? 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由概率和为 1 及数学期望公式可得 ,解出即可; (II)E(X2)=0.65p+0.7×0.6+0.75q,p+q+0.6=1,可得 E(X2)=0.72﹣0.1p,令 E(X1)≤E (X2)﹣0.05,解得 p≤0.2 .可得当 0≤p≤0.2 时,该人 应该选择“理财通”产品;当 0.2<p≤0.4 时,该人应该选择“余额宝”产品. 解答: 解: (Ⅰ)由概率和为 1 及数学期望公式可得 ,

解得



(Ⅱ)E(X2)=0.65p+0.7×0.6+0.75q =0.65p+0.42+0.75(1﹣p﹣0.6) =0.72﹣0.1p, 令 E(X1)≤E(X2)﹣0.05,得 0.65≤0.72﹣0.1p﹣0.05. 解得 p≤0.2. 故当 0≤p≤0.2 时,满足 E(X1)≤E(X2)﹣0.05,该人应该选择“理财通”产品; 当 0.2<p≤0.4 时,不满足 E(X1)≤E(X2)﹣0.05,该人应该选择“余额宝”产品. 点评: 本题考查了概率的性质、数学期望的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题.

18. (8 分)已知数列{an}与{bn}满足 bn=2 (n∈N ) ,数列{bn}是等比数列,且 b1+b5=68, a2+a4=8. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}是递增数列,设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由等差数列和等比数列的性质结合已知得到 b1,b5 的值,进一步得到 a1, a5 的值,然后求出等差数列的公差,则数列{an}的通项公式可求; (Ⅱ)由数列{bn}是递增数列得到其通项公式,然后分别利用等差数列和等比数列的前 n 项 和求得数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)∵a2+a4=8, ∴ .

an

*

又数列{bn}是等比数列, ∴b1b5=b2b4=256. 又已知 b1+b5=68, 2 故 b1,b5 是一元二次方程 x ﹣68x+256=0 的两根. 则 或

易知数列{an}是等差数列, 当 时, ,

则数列{an}的公差



故 an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)×1=n+1; 当 时, ,

则数列{an}的公差



故 an=a1+(n﹣1)d=6+(n﹣1)×(﹣1)=7﹣n. 综上,数列{an}的通项公式为 an=n+1 或 an=7﹣n; (Ⅱ)若数列{bn}是递增数列,由(Ⅰ)得 an=n+1, ∴ . .

∴Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn) 2 3 n+1 =+(2 +2 +…+2 )

=

=



点评: 本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列和等比数列的前 n 项和, 是中档题. 19. (9 分)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,△ PAD 为正三角形, 且 E,F 分别为 AD,AB 的中点,PE⊥平面 ABCD,BE⊥平面 PAD. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 PEB; (Ⅱ)求 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明:AD⊥平面 PEB,利用四边形 ABCD 为菱形,可得 AD∥BC,即可证 明 BC⊥平面 PEB; (Ⅱ)以 E 为原点,建立坐标系,求出平面 PDC 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值. 解答: (Ⅰ)证明:∵PE⊥平面 ABCD,BE⊥平面 PAD, ∴PE⊥AD,BE⊥AD, ∵PE∩BE=E, ∴AD⊥平面 PEB, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AD∥BC, ∴BC⊥平面 PEB; (Ⅱ)解:以 E 为原点,建立如图所示的坐标系,则

不妨设菱形 ABCD 的边长为 2,则 则点



. 设平面 PDC 的法向量为 =(x,y,z) . 则由 解得



不妨令 z =1,得 =(﹣ 又 ,

,﹣1,1) ,

所以 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值为|

|=

.…

(9 分) 点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定, 以及线面角及其度量, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力,属于中档题. 20. (9 分)已知函数 f(x)=2x﹣lnx﹣m,g(x)=mx﹣1(m∈R) . (Ⅰ)若函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣y=0,求实数 m 的值; (Ⅱ)若直线 y=﹣1 与函数 f(x)=2x﹣lnx﹣m 的图象无公共点,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出原函数的导函数,得到 f'(1) ,再求出 f(1) ,代入直线方程的点斜式 得答案;

(Ⅱ)求出原函数的定义域,利用导数求其最小值,由其最小值大于﹣1 求得 m 的取值范 围. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=2x﹣lnx﹣m, ∴ ,∴f'(1)=1.

∵f(1)=2﹣m, 故函数 f(x)在点(1,f(1) )的切线方程为 y﹣(2﹣m)=x﹣1,即 x﹣y+1﹣m=0. 又已知切线方程为 x﹣y=0, ∴1﹣m=0,解得 m=1; (Ⅱ)函数 f(x)的定义域是(0,+∞) . 令 f'(x)>0,得 令 f'(x)<0,得 故函数 f(x)在 ,故函数 f(x)在 ;故函数 f(x)在 处取得最小值.即 上单调递增; 上单调递减, .

故函数 f(x)的取值范围是[1+ln2﹣m,+∞) . 若直线 y=﹣1 与函数 f(x)=2x﹣lnx﹣m 的图象无公共点, 则 1+ln2﹣m>﹣1,解得 m<2+ln2. 故实数 m 的取值范围是(﹣∞,2+ln2) . 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 过曲线上某点处的切线的斜 率, 就是函数在该点处的导数值, 考查了利用导数求函数的最值, 体现了数学转化思想方法, 是中档题.

21. (9 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A1A2,左、右顶点分

别为 B1,B2 为坐标原点,若直线 A1B2 的斜率为﹣ ,△ A1OB2 的斜边上的中线长为 (1)求椭圆 C 的方程;



(2)P 是椭圆 C 上异于 A1,A2,B1,B2 的任一点,直线 PA1,PA2 分别交 x 轴于点 N,M, 若直线 OT 与过点 M,N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定 值.

考点: 圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)利用直线 A1B2 的斜率为 线长为

,得到已改方程,利用△ A1OB2 的斜边上的中

,得到另一个方程,求出 a,b.即可求椭圆 C 的方程.

(2)由(1)可知,A1,A2.设点 P(x0,y0) ,表示出 N,M 的坐标,设圆 G 的圆心为 ,设圆 G 的半径为 r,通过点在圆上,推出

.然后求出|OT|的表达式,利用点 P(x0,y0)在椭 圆上,化简即可求出|OT|的值. 解答: 解: (1)因为直线 A1B2 的斜率为 所以 .① ,且△ A1OB2 是直角三角形, ,

因为△ A1OB2 的斜边上的中线长为

又直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半, 所以 .②

由①②,解得 a=2,b=1. 故所求椭圆 C 的方程为 .…(3 分)

(2)由(1)可知,A1(0,1) ,A2(0,﹣1) . 设点 P(x0,y0) ,则 直线 ,令 y=0,得 ;

直线

,令 y=0,得



设圆 G 的圆心为 设圆 G 的半径为 r,则



.

.

. 又点 P(x0,y0)在椭圆 上,则 .

所以
2

.则



即|OT| =4.所以|OT|=2. 即线段 OT 的长度为定值 2. …(9 分) 点评: 本题考查椭圆方程的求法,圆与椭圆的综合应用,直线与圆、椭圆的位置关系,运 算量大,容易出错.


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