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青海省西宁市第十四中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


2015-2016 学年度西宁十四中高二数学期中考试卷 一、选择题(每题 4 分,共 40 分) 1.若 a , b 是异面直线,直线 c ∥ a ,则 c 与 b 的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交

2.设正方体的棱长为 A. ?

2 3 ,则它的外接球的表面积为 ( ) 3
C.4π D. ? ) .

8 3

B.2π

4 3

3.过点 ?1,0 ? 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 )

4.已知 m, n 为直线, ? 为平面,下列结论正确的是( A. 若m ? n,n ? ?,则m ? ? B. 若m / /? ,m ? n,则n ? ?

则m / / n C. 若m / /? ,n / /? , 则m / / n D. 若m ? ? ,n ? ? ,
5.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AA 1 ? 2, AD ? 1 ,则异面直线 BC1与AC 所成角的余 弦值为( A. ) B.

10 10

1 5

C.

10 5

D.

1 2


6.有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下,则该几何体的表面积为 (

A. 12 ?

B. 24?

C. 36?

D. 48?

7.已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们之间的距离是( )

A.1

B.2

C.

1 2

D.4
?

8.已知直线 l1 经过 A( ?3,4) , B (?8,?1) 两点,直线 l 2 倾斜角为 135 ,那么 l1 与 l 2 ( A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直



9.点 P ( x, y ) 是直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上的动点,点 A(2,1) ,则 AP 的长的最小值是( (A) 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 4 2



B D ? 平面 B C D 10. 在四面体 ABCD 中,AB ? AD ,AB ? AD ? BC ? CD ? 1 , 且 平面A



M 为 AB 中点,则 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值为(
A.



2 2

B.

3 3

C.

3 2

D.

6 3

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 11.直线 l 的斜率 k ? x ? 1( x ? R) ,则直线 l 的倾斜角 ? 的范围为
2



12.已知直线 m , l 和平面 ?,?, 且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ① ? / /? ? l ? m ②? ? ? ? l / /m ③ l / /m ? ? ? ? ④ l ? m ? ? / /? 其中真命题的有________(请填写全部正确命题的序号) 13.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于________. 14.如图所示,在正方体 ABCD ?A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 C1D1,C1C 的中点.给出以下四个结 论:
D1 A1

M
B1

C1

N
C

D

A

B

①直线 AM 与直线 C1C 相交; ②直线 AM 与直线 DD1 异面; ③直线 AM 与直线 BN 平行; ④直线 BN 与直线 MB1 异面. 其中正确结论的序号为 (填入所有正确结论的序号) .

三、解答题 15(10 分).求经过点 A(?2, 2) 并且和 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴所围成的三角形的面积 是 1的直线方程.

16(10 分).解答下列问题: (1)求平行于直线 3x+4y 2=0,且与它的距离是 1 的直线方程; (2)求垂直于直线 x+3y 5=0 且与点 P( 1,0)的距离是

3 10 的直线方程. 5

17(12 分 ) .如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD ,

?ABC ? 60? , E,F 分别是 BC,PC 的中点.
P

F A B E C D

(1)证明: AE ? PD ; (2)若 AB ? 2, PA ? 2 ,求二面角 E ? AF ? C 的余弦值.

18(12 分).在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥ 平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF=1,

(1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求 B 到平面 FDC 的距离.

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:因为 a , b 是异面直线,直线 c ∥ a ,可知 c 与 b 的位置关系是异面或相交,故选 择D 考点:异面直线 2.C 【解析】 试题分析:由题意知正方体的体对角线长度是 3 ?
2 以球的表面积为 4 ? ? ?1 ? 4? ,故选择 C

2 3 ? 2 ,故可得外接球的半径为 1,所 3

考点:正方体的外接球以及球的表面积公式 3.A 【解析】 试题分析:因为所求直线与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,所以设所求直线为 x ? 2 y ? m ? 0 ,又 过点 ?1,0 ? ,代入求出 m ? ?1 ,所以所求直线为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,故选 A。 考点:两直线的平行 4.D 【解析】 试题分析:若 m ? n, n ? ? ,那么 m ? ? 或 m 与 ? 相交, A 错; 若 m ? n, m // ? ,那么 n ? ? 或 n // ? 或 m 与 ? 相交, B 错; 若 m // ? , n // ? ,那么 m 与 n 可以是共面,也可能是异面, C 错; . 考点:空间中直线、平面的位置关系. 5.B 【解析】 试题分析:连接 AD1 ,易证得 AD1 ∥ BC1 ,所以 ?D1 AC 或其补角即为异面直线 BC1与AC 所

成角. 由题意可得在 ?D1 AC 中 AC ? 5, DC ? 2 2, AD1 ? 5 , 1 所以 cos ?D1 AC ?

AC 2 ? AD12 ? D1C 2 5? 5?8 1 ? ? .故 B 正确. 2 AC ? AD1 2? 5 ? 5 5

考点:异面直线所成的角. 6.B 【解析】 试题分析:由三视图可得该几何体为一个圆锥,底面半径为 3,母线长为 5,所以侧面展开图 面积为

1 ? 6? ? 5 ? 15? ,底面积为 32 ? ? 9? ,所以其表面积为 15? ? 9? ? 24? ,故选择 B 2

考点:1.三视图;2.几何体表面积公式 7.B 【解析】 试题分析:将直线方程 3x ? 4 y ? 3 ? 0 化为: 6 x ? 8 y ? 6 ? 0 与 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,所以

m ? 8 ,所以所求两条平行直线间的距离为:

14 ? 6 62 ? 82

?

20 ? 2 ,故答案为 B. 100

考点:1.两条直线平行;2.两条平行直线间的距离. 8.A 【解析】 试题分析:因为直线 l1 经过 A( ?3,4) , B (?8,?1) 两点,所以直线 l1 的斜率 k1 ?
?

4 ? ? ?1? ? 1; ?3 ? ? ?8?

因为直线 l 2 倾斜角为 1 3 5 ,所以直线 l 2 的斜率为 k2 ? tan135? ? ? 1,所以 k1 ? k2 ? ?1 所以

l1 ? l2 ,故选 A.
考点:两直线垂直的证明 9.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 得 , 点 A ? 2,1? 及 直 线 x ? y ? 3 ? 0 的 距 离 是

d?

2 ?1? 3 2

? 3 2 ,则 AP 的最小值是



考点:点到直线的距离 10.D 【解析】 试题分析:如图所示,取 BD 中点 O,连接 CO,MO,由已知条件 BC=CD=1,所以 BD⊥CO,由平 面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD,所以 CO⊥平面 ABD,则 ? CMO 即为直线 CM 与平 面 ABD 所成的角, 由 AB⊥AD, 所以 BD= 2 , 则得到: BC⊥CD, 所以 CO=

1 1 1 2 BD= , MO= AD= , 2 2 2 2

所以在 Rt ? COM 中, tan ?CMO ?

CO 6 ? 2 ,所以 sin ?CMO ? . MO 3

A M B C 考点:1.平面与平面垂直;2.直线与平面所成的角. 11. [ O D

? ?

, ) 4 2

【解析】
2 试题分析:因为 k ? x ? 1( x ? R) ,所以 k ? 1 ,即 tan ? ? 1 ,又 ? ??0, ? ? ,所以直线 l 的倾

斜角 ? 的范围为 [

? ?

, ). 4 2

考点:1.直线的倾斜角与斜率关系;2.正切函数; 12.①③ 【解析】 试题分析:在①中由 l ? ? , ? / / ? 得 l ? ? ,又 m ? ? ,故 l ? m ; 在②中 m 可在平面 ? 内任意转动,故 l 与 m 关系不确定; 在③中,由 l / / m , l ? ? 得 m ? ? ,又因为 m ? ? ,故 ? ? ? ; 在④中,平面 ? 可绕 m 转动,故 ? 与 ? 关系不确定.

考点:空间直线与平面的位置关系. 13.-1 【解析】因为两条直线垂直,所以 a(a+2)=-1, 即 a +2a+1=0,所以 a=-1. 14.②④ 【解析】 试题分析:由异面直线判定定理知:①直线 AM 与直线 C1C 异面;②直线 AM 与直线 DD1 异面; ④直线 BN 与直线 MB1 异面,因为直线 BN 与直线 AE 平行,(E 为 DD1 中点) ,所以③直线 AM 与 直线 BN 异面. 考点:异面直线判定定理 15.直线方程为 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 【解析】 试 题 分 析 : 先 根 据 已 知 设 直 线 方 程 为 l : y ? 2 ? k ( x ? 2) , 又 因 为
2

S ? ? 1 所以 ,

1 2

k ( ?2

k 2? 2 ) 1 ? 2 ) ( ? ,解得: 1 k ? ?2 (舍去) , k ? ? ,所以直线方程为 k 2

l : x ? 2y ? 2 ? 0 .
试题解析:因为直线的斜率存在,所以设直线方程为 l : y ? 2 ? k ( x ? 2) , 即 y ? kx ? 2k ? 2 令 x ? 0, 得y ? 2k ? 2, 令y ? 0, 得x ? ? 2分

2k ? 2 k

6分

由 2k ? 2 ? 0, ?

2k ? 2 ? 0,得: ?1 ? k ? 0 k 1 2

8分

因为 S ? ? 1, 所以 (2k ? 2)( ?

1 2k ? 2) ? 1 ,解得: k ? ?2, k ? ? 2 k
11 分

10 分

因为 ?1 ? k ? 0, 所以,k=-

1 2

所以直线方程为 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 考点:直线方程、三角形面积公式.

12 分

16. (1)3x+4y+3=0 或 3x+4y 7=0 (2) 3x y+9=0 或 3x y 3=0 【解析】 试题分析: (1)将平行线的距离转化为点到线的距离,用点到直线的距离公式求解; ( 2)由 相互垂直设出所求直线方程,然后由点到直线的距离求解. 试题解析:解: (1)设所求直线上任意一点 P(x,y) ,由题意可得点 P 到直线的距离等于 1, 即d ?

| 3x ? 4 y ? 2 | ? 1 ,∴3x+4y 2=±5,即 3x+4y+3=0 或 3x+4y 7=0. 5

( 2 ) 所 求 直 线 方 程 为 3x ? y ? c ? 0 , 由 题 意 可 得 点 P 到 直 线 的 距 离 等 于

3 10 ,即 5

d?

| 3x ? y ? c | 3 10 ,∴ c ? 9 或 c ? ?3 ,即 3x y+9=0 或 3x y 3=0. ? 5 10

考点:1.两条平行直线间的距离公式;2.两直线的平行与垂直关系 17. (1)证明:见解析; (2)二面角的余弦值为 【解析】 试题分析: (1)首先可得 △ ABC 为正三角形. 根据 E 为 BC 的中点,得到 AE ? BC .进一步有 AE ? AD . 由 PA ? 平面 ABCD ,证得 PA ? AE .

15 . 5

AE ? 平面 PAD .即得 AE ? PD .
(2)思路一:利用几何方法.遵循“一作,二证,三计算” ,过 E 作 EO ? AC 于 O ,有 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES , 即得 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角,

3 2 SO 15 ? 4 ? 在 Rt△ESO 中, cos ?ESO ? . SE 5 30 4

AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所 思路二:利用“向量法” :由(1)知 AE,AD ,
示的空间直角坐标系, 确定平面 AEF 的一法向量及 BD 为平面 AFC 的一法向量.

??? ?

??? ? ??? ? m ?BD 2?3 15 计算 cos ? m, . BD ?? ? ??? ? ? 5 5 ? 12 m ?BD
试题解析: (1)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60? ,可得 △ ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD . 因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD , 所以 AE ? PD . (7 分)

(2)解法一:因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD . 过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES , 则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角,

在 Rt△ AOE 中, EO ? AE ? sin 30? ?

3 3 cos 30? ? , , AO ? AE ? 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ ASO 中, SO ? AO? sin 45? ?

3 2 , 4




SE ? EO 2 ? SO 2 ?

3 9 30 ? ? 4 8 4



Rt△ESO





SO cos ?ESO ? ? SE

3 2 4 ? 15 , 5 30 4

即所求二面角的余弦值为

15 . 5

(14 分)

解法二:由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以 z P F A B D E x C y

A(0, 0,, 0) B( 3, ?1 ,, 0) C( 31 , ,, 0) D(0, 2, 0) ,
? 3 1 ? P(0, 0,, 2) E ( 3, 0,, 0) F ? , 1? ? 2 , ?, 2 ? ?
所以 AE ? ( 3, 0,, 0) AF ? ?

??? ?

??? ?

? 3 1 ? , 1? . ? 2 , 2 ? ? ?

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1,y1,z1 ) ,

??? ? ? 3 x1 ? 0, ? ?m ? AE ? 0, ? 则? 因此 ? 3 ??? ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ?m ? AF ? 0, ? ? 2 2
取 z1 ? ?1,则 m ? (0, 2, ? 1) , 因为 BD ? AC , BD ? PA , PA ? AC ? A , 所以 BD ? 平面 AFC , 故 BD 为平面 AFC 的一法向量. 又 BD ? (? 3, 3, 0) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? m ? BD 2?3 15 BD ?? ? 所以 cos ? m, . ??? ? ? 5 5 ? 12 m ? BD
因为二面角 E ? AF ? C 为锐角,

所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

考点:1.垂直关系;2.空间的角;3.空间向量方法. 18. (1)证明详见解析; (2) h ? 【解析】 试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、锥体的体积、三角形的面积公式等基础知识, 考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,在等腰梯形中,通过角的转化, 得到 ?ADB ? 900 ,即 AD ? DB ,再利用线面垂直的判定证明 BD ? 平面 AED;第二问,设 出点 B 到平面 FDC 的距离,利用等体积转化法将 VF ?CDB 转化为 VB? FDC ,利用锥体的体积公式 计算,解方程求出 h. 试题解析: (1)证明:在等腰梯形 ABCD 中, ?DAB ? 600 ,? ?DCB ? 1200

3 . 2

? CB ? CD ? 1? ?CDB ? 300 ? ?ADB ? 900 ,即 BD ? AD

? BD ? AE, AD ? AE ? A? BD ? 平面AED
(2)令点 B 到平面 FDC 的距离为 h 则 VF ?CDB ? VB ? FDC ,? ? S ?CDB ? FC ?

1 3

1 ? S ?FDC ? h 3

? S ?CDB ?

3 3 1 , S ?FDC ? ,解得 h ? 2 4 2

考点:线线垂直、线面垂直、锥体的体积、三角形的面积公式.


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