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《正弦定理和余弦定理》学案


正弦定理和余弦定理
【学习目标】 1. 理解正弦定理和余弦定理的适用范围; 2. 会正确选择正玄定理或余弦定理,求有关三角形的边和角的问题; 3. 能够使用定理的变形,解决一些与三角形的计算有关的度量问题。 【学习重点】 1. 会根据不同已知条件选择恰当的定理解决问题; 2. 能够综合应用正弦定理、余弦定理解决有关几何的计算问题 3. 熟练运用正弦定理、余弦定理的变化形式。 【学习过程】 一、正弦定理 1、正弦定理:

a sinA

?

b

?

sin C

? 2 R   为?ABC 外接圆的半径) (R

2、正弦定理变形: (1) a ? 2R sin A, b ? ________, c ? ________ (2) a : b : c ? sin A : _________ : _________ 例 1. (1)在△ ABC 中,已知 a ? 2,A ? 30?,B ? 45?,求边长c .

(2)在△ ABC 中,已知 a ? 3,b ?

2,A ? 60? ,求边长 c.

(3)在△ ABC 中,已知 a ? 3,b ?

2,B ? 45? ,求边长 c.

小结①:利用正弦定理可以解决哪些有关三角形的问题? (1)已知三角形的两个角和______边,求其它的边和角; (2)已知三角形的两边以及其中一边的_______,求其它的边和角。

1

二、余弦定理 1、余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? _____________________ c 2 ? _____________________

2、余弦定理的变形: cos A ? b2 ? c2 ? a 2 2bc

cos B ? _____________________ cos C ? _____________________
例 2. (1)在?ABC中,b ? 2,c ? 2

2,A ? 45?,求边长a和?C.

(2)在?ABC中,a=2 3,b=2 2,c=2, 则 B ? _______ ,?ABC的面积:_________
(备注: S? ABC ?

1 1 1 bc sin A ? ac sin B ? ab sin C ) 2 2 2

小结②:利用余弦定理可以解决哪些有关三角形的问题? (1)已知三角形的两边以及这两边的______,求其它的边和角; (2)已知三角形的_______,求它的三个角。

2

三、课堂练习

1、 )?ABC中,已知a ? 2,b ? 3,C ? 45?,则S?ABC ? _______ (1 (2)?ABC中,已知a ? 2,A ? 30?,B ? 75?,则S?ABC ? _______

B C b c 已知 c ? 3, C ? 2、△ ABC 的三个内角 A 、 、 所对边的长分别为 a 、 、 ,
则 b 的值为 .(2011 广东*理 第 12 题)

?
3

, a ? 2b ,

3、已知 a,b, c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1, b= 3 ,A+C=2B,则 sinC= . (2010 广东*理 第 11 题)

4、△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c 若a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B 等于( )

1   3 2 2 A.      B.     C.       D.   4 4 4 3
四、课堂小结:本节课你收获了什么? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 五、课后作业 1、 在?ABC 中,

a

cos a

=

b
cos b

=

c
cos c

,则 ?ABC 是





(A)直角三角形 (B)等边三角形

(C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形

2、在?ABC中,已知a 2 =b2 +bc ? c 2 ,则角A=______

B 3、在△ ABC 中,若 sin A ?2sin cos

C ,sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,试判断△ ABC 形状。

4.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C) + cosB = 1,a = 2c,求 C .

3


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