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2015届高三数学(文)湘教版一轮复习课时跟踪检测51 抛物线]


课时跟踪检测(五十一) 抛物线 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1 1.(2013· 沈阳模拟) 抛物线 x2= y 的焦点 F 到其准线 l 的距离是( 2 A.2 1 C. 2 B.1 1 D. 4 ) )

2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( A.2 1 C. 2 B.1

1 D. 4

3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 C.x=2 B.x=-1 D.x=-2 )

x2 y2 4.(2014· 北京东城区期末)已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重 7 9 合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上,且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积 为( ) A.4 C.16 B.8 D.32

5.(2014· 武汉调研)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点的坐标为(2,2),则直线 l 的方程为________. x2 y2 6.(2013· 江西高考) 抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 3 3 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 7.已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,过点 K(0,-1)的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点, 点 A 关于 y 轴的对称点为 D. (1)证明:点 F 在直线 BD 上; 8 FB =9,求∠DBK 的平分线与 y 轴的交点坐标. (2)设 FA ·

8.已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B,C 两点.当直线 1 l 的斜率是 时, AC =4 AB . 2 (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2014· 淄博模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A, B 两点.

OB 的值; (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA · OB =-4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点. (2)如果 OA ·

1 ? 1 2.(2014· 珠海模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 F? ?2,0?,直线 l:x=-2,点 P 在 直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求动点 Q 的轨迹方程 C; (2)设圆 M 过 A(1,0),且圆心 M 在曲线 C 上,TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动 时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.

1? 3. (2014· 长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中, 点 M? 点 F 为抛物线 C: y=mx2(m ?2,-2?, >0)的焦点,线段 MF 恰被抛物线 C 平分. (1)求 m 的值; (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,设直线 FA,FM,FB 的斜率分别为 k1, k2,k3,问 k1,k2,k3 能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线 l 的方程;若不能,请 说明理由.

答 案

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1 1 1 1.选 D 因为 2p= ,p= ,所以由抛物线的定义可知所求的距离为 . 2 4 4 p 2.选 A 注意到抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=- ,曲线 x2+y2-6x-7=0,即(x 2 p ? p -3)2+y2=16 是圆心为(3,0),半径为 4 的圆.于是依题意有? ?2+3?=4.又 p>0,因此有2+ 3=4,解得 p=2,故选 A. p 3.选 B 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题知抛物线的焦点坐标为 F( ,0),所以过焦点且 2 p p p 斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,即 x=y+ ,将其代入抛物线方程得 y2=2px=2p(y+ )= 2 2 2 y1+y2 2py+p2,所以 y2-2py-p2=0,所以 =p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x,准线方程 2 为 x=-1,故选 B. 4.选 D 由题可知抛物线焦点坐标为 F(4,0).过点 A 作直线 AA′垂直于抛物线的准线, 垂足为 A′,根据抛物线定义知,|AA′|=|AF|,在△ AA′K 中,|AK|= 2|AA′|,故∠ KAA′=45° , 所以直线 AK 的倾斜角为 45° ,直线 AK 的方程为 y=x+4,代入抛物线方程 y2=16x 得 y2= 1 16(y-4), 即 y2-16y+64=0, 解得 y=8.所以△ AFK 为直角三角形, 故△ AFK 的面积为 × 8× 8 2 =32. 5.解析:由于抛物线的焦点坐标为(1,0),所以抛物线的方程为 y2=4x.显然当直线的斜 率不存在或为零时不满足题意,故设直线 l 的方程为 y-2=k(x-2),其中 k≠0,联立方程
? ?y=kx+?2-2k?, 4k2-4k+4 得? 2 消去 y 得 k2x2+[4k(1-k)-4]x+4(1-k)2=0,显然 =2,解 2k2 ?y =4x, ?

得 k=1.故直线 l 的方程为 y=x. 答案:y=x p? 6.解析:由 x2=2py(p>0)得焦点 F? ?0,2?, p x2 y2 准线 l 为 y=- ,所以可求得抛物线的准线与双曲线 - =1 的交点 2 3 3 A?-

? ?

12+p2 p? ? 12+p2 p? ?, ,- ?,B? 2 2? ? 2 ,-2? 12+p2, 12+p2,

所以|AB|=

则|AF|=|AB|=

p π 所以 =sin , |AF| 3 即 p 3 2= 2 ,解得 p=6. 12+p

答案:6 7.解:(1)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2), D(-x1,y1),l 的方程为 y=kx-1,
? ?y=kx-1, 由? 2 得 x2-4kx+4=0, ? ?x =4y,

从而 x1+x2=4k,x1x2=4. y2-y1 直线 BD 的方程为 y-y1= (x+x1), x2+x1 x2 1 x2-x1 即 y- = (x+x1), 4 4 x1x2 令 x=0,得 y= =1,所以点 F 在直线 BD 上. 4 (2)因为 FA― →· FB― →=(x1,y1-1)· (x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)· (y2-1)=8-4k2, 8 4 故 8-4k2= ,解得 k=± , 9 3 所以 l 的方程为 4x-3y-3=0,4x+3y+3=0. 4 7 又由(1)得 x2-x1=± 16k2-16=± , 3 x2-x1 7 故直线 BD 的斜率为 =± , 4 3 因而直线 BD 的方程为 7x-3y+3=0, 7x+3y-3=0. 设∠DBK 的平分线与 y 轴的交点为 M(0,t), 3|t+1| 3|t-1| 则 M(0,t)到 l 及 BD 的距离分别为 , , 5 4 由 3|t+1| 3|t-1| 1 = ,得 t= 或 t=9(舍去), 5 4 9

所以∠DBK 的平分线与 y 轴的交点为 1? M? ?0,9?. 1 1 8.解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率为 时,l 的方程为 y= (x+4),即 x 2 2 =2y-4.

2 ? ?x =2py, 由? 得 2y2-(8+p)y+8=0, ?x=2y-4, ?

y y =4, ? ?12 ∴? 8+p y1+y2= , ? 2 ? 又∵ AC =4 AB ,∴y2=4y1,③

① ②

由①②③及 p>0 得:y1=1,y2=4,p=2, 则抛物线 G 的方程为 x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4), BC 的中点坐标为(x0,y0),
2 ? ?x =4y, ? 由 得 x2-4kx-16k=0,④ ?y=k?x+4?, ?

x1+x2 ∴x0= =2k, 2 y0=k(x0+4)=2k2+4k. ∴线段 BC 的中垂线方程为 1 y-2k2-4k=- (x-2k), k ∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为: b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程④,由 Δ=16k2+64k>0 得 k>0 或 k<-4.∴b∈(2,+∞). 故 b 的取值范围为(2,+∞). 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)由题意:抛物线焦点为(1,0), 设 l:x=ty+1,代入抛物线 y2=4x, 消去 x 得 y2-4ty-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t, y1y2=-4,

OB =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2 ∴ OA ·
=-4t2+4t2+1-4=-3. (2)证明:设 l:x=ty+b 代入抛物线 y2=4x,消去 x 得 y2-4ty-4b=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4b,

OB =x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 ∴ OA ·
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.

令 b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2. ∴直线 l 过定点(2,0). ∴若 OA · OB =-4,则直线 l 必过一定点(2,0). 2.解:(1)依题意知,点 R 是线段 FP 的中点, 且 RQ⊥FP, ∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∵|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离. 点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上, ∴|PQ|=|QF|. 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为 y2=2x(x>0). (2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线 C 上一点 M(x0,y0),M 到 y 轴的距离为 d=|x0| =x0, 圆的半径 r=|MA|= ?x0-1?2+y2 0, 则|TS|=2 r2-d2=2 y2 0-2x0+1, y2 0 因为点 M 在曲线 C 上,所以 x0= , 2
2 所以|TS|=2 y2 0-y0+1=2,是定值.

1? 3.解:(1)由题得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为? ?0,4m?,线段 MF 的中点 1 1? N? ?1,8m-4?在抛物线 C 上, ∴ 1 1 - =m,8m2+2m-1=0, 8m 4

1 1 ∴m= (m=- 舍去). 4 2 (2)由(1)知抛物线 C:x2=4y,F(0,1). 1 设直线 l 的方程为 y+ =k(x-2), 2 1 ? ?y+2=k?x-2?, A(x1,y1),B(x2,y2),由? ? ?x2=4y, 得 x2-4kx+8k+2=0, Δ=16k2-4(8k+2)>0, 2- 6 2+ 6 ∴k< 或 k> . 2 2
?x1+x2=4k, ? 由根与系数的关系得? ? ?x1x2=8k+2,

y1-1 y2-1 假设 k1,k2,k3 能成公差不为零的等差数列,则 k1+k3=2k2.而 k1+k3= + x1 x2 = x2y1+x1y2-x2-x1 x1x2

2 x2x1 x1x2 2 + -x2-x1 4 4 = x1x2



?x1x2-1??x1+x2? ? 4 ?
x1x2



?8k+2-1?· ? 4 ? 4k 4k2-k
8k+2 = 4k+1 1 - -1 2 3 k2= =- , 4 2-0 ∴



4k2-k 3 =- ,8k2+10k+3=0, 2 4k+1

1 3 解得 k=- (符合题意)或 k=- (不合题意,舍去). 2 4 1 1 ∴直线 l 的方程为 y+ =- (x-2), 2 2 即 x+2y-1=0. ∴k1,k2,k3 能成公差不为零的等差数列, 此时直线 l 的方程为 x+2y-1=0.


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