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高中数学竞赛 第31讲 数列的递推教案


第 31 讲

数列的递推

a1,a2 求出.
类型Ⅲ. 如果递归数列{an}满足 an+1 ?
aan ? b ,其中 c≠0,ad-bc≠0,以及初始值 a0≠f(a1),则称 ca n ? d

本节主要内容两个基本递推:an+1=an+d,an=qan;线性递推,二阶或高阶递推的特征方 程与

特征根;其他递推. 1.基本概念: ①递归式:一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 a n ?1 , a n ? 2 ,?, a n ? k ( k ? n )的关系 式称为递归式. ②递归数列:由递归式和初始值确定的数列成为递归数列. 2.常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法等. 3.思想策略:构造新数列的思想. 4.常见类型: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

此数列为分式线性递归数列.我们称方程 x ? 异的不动点 p、q,则 {

ax ? b 的根为该数列的不动点.若该数列有两个相 cx ? d

an ? p 1 } 为等比数列;若该数列仅有惟一的不动点 p,则 { } 是等差 an ? q an ? p

数列· 5.求递归数列通项的常用方法有:换元法、特征根法、数学归纳法等. A 类例题 例 1 一 给 定 函 数 y ? f (x) 的 图 象 在 下 列 图 中 , 并 且 对 任 意 a1 ? ( 0 , 1 ) , 由 关 系 式

其特例为: (1) a n ?1 ? pan ? q ( p ? 0) (2) a n ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 0) (3) a n ?1 ? p(n)a n ? q ( p ? 0) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列. ①形如 a n ?1 ? a n ? q(n) 的递归式,其通项公式求法为: an ? a1 ? ? (ak ?1 ? ak ) ? a1 ? ? q(k )
k ?1 k ?1 n ?1 n ?1

an?1 ? f (an )
得到的数列 { a n } 满足 an?1 ? an (n ? N* ) ,则该函数的图象是( 卷) )(2005 年辽宁

②形如 a n ?1 ? p(n)a n 的递归式,其通项公式求法为: an ? a1 ? 2 ? 3 ??? ③形如 an ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 1) 的递推式,两边同除以 p n ?1 得 句可转化为①来处理. 类型Ⅱ: ?
?a n ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p ? 0 , q ? 0) (二阶递归) ?a1 ? a , a 2 ? b(a , b为常数)

a a a1 a2

an ? a1 ?p (1) p (2)? p (n ? 1) ?? an ?1

y
1

y
1

y
1

y
1

a a n ?1 a n q(n) ? n ? n ?1 ,令 nn ? bn 则 n ?1 p p p p
O 1

x
O 1

x
O (C) 1

x
O (D) 1

x

解题方法: 利用特征方程 x 2 ? px ? q , 求其根 ? 、? , 构造 a n ? A? n ? B? n , 代入初始值求得 A , B . ①若 p+q=1 时, a n ?1 ? a n ? ?q (a n ? a n ?1 ) 可知 {a n ?1 ? a n } 是等比数列, 有 先求得 a n ?1 ? a n , 再求出 a n . ②若 p+q≠l,则存在α ,β 满足 a n ?1 ? ?a n ? ?(a n ? a n ?1 ) 整理得 a n ?1 ? (? ? ?)a n ? ??a n ?1 从而α +β =p, α β =q,可解出α 、β ,这样可先求出 {a n ?1 ? ?a n } 的通项表达式,再求出 a n . 注意α 、β 实质是二次方程 x 2 ? px ? q 的两个根,将方程 x 2 ? px ? q 叫做递归式 an ? 2 ? pan ?1 ? qan 的特征方程. 在数列{ a n }中,给出 a1, a2,且 an ? 2 ? pan ?1 ? qan ,它的特征方程 x ? px ? q 的两根为α 与β .如
2

分析 解

(A) (B) 利用递推式意义及数形结合

由 an?1 ? f (an ) , an?1 ? an ,得 f (an ) ? an ,即 f ( x) ? x ,故选 A .

说明 分析清楚函数值与自变量的关系,即可判断. 链接

例 2 已知数列 {an } a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1) , 中
K

a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,??.
(2004 年全国高

果α ≠β ,则 a n ? A? n ? B? n ;如果α =β 则 a n ? ( An ? B)? n ,其中 A 与 B 是常数,可由初始值
用心 爱心 专心

(I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 考题)

1

分析 解(I)a2=a1+(-1) =0, a3=a2+3 =3.a4=a3+(-1) =4, a5=a4+3 =13, 所以,a3=3,a5=13. k k k (II) a2k+1=a2k+3 = a2k-1+(-1) +3 ,[] k k 所以 a2k+1-a2k-1=3 +(-1) , k-1 k-1 同理 a2k-1-a2k-3=3 +(-1) , ?? a3-a1=3+(-1). 所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+?+(a3-a1) k k-1 k k-1 =(3 +3 +?+3)+[(-1) +(-1) +?+(-1)], 由此得 a2k+1-a1=
1 1 2 2

例 3 (1)一次竞赛在 n(n>1)轮中共发了 m 枚奖章.第一轮发了 1 枚及余下的 m -1 枚的 2 轮发了 2 枚及余下的

1 ,第 7

1 ,?,直至第 n 轮正好发了 n 枚而没有余下奖章.这个竞赛共包括几 7

轮?一共发了多少枚奖章? (第 9 届国际数学奥林匹克) (2)把一个圆分成 n 个不同的扇形(n≥2),依次记为 S1,S2,?, Sn,每个扇形都可以用红、蓝、 白三种颜色中任一种涂色,要求相邻的扇形颜色互不相同,问有多少种涂法? 分析 第(1)题,每一轮发的奖章数具有一定规律,因而可以建立每一轮发的奖章数的关系或每 一轮余下的奖章数的关系.第(2)题,设法建立涂法总数的递推关系和求得初始值,进而求得涂 法总数. 解 (1)设竞赛进行了 k 轮后,余下 ak 枚奖章.因为第 k

3 k 1 k (3 -1)+ [(-1) -1], 2 2

于是 a2k+1=

3k ?1 1 ? (?1) k ? 1. 2 2 3k 1 3k 1 ? (-1)k-1-1+(-1)k= ? (-1)k=1. 2 2 2 2
n ?1 2

a2k= a2k-1+(-1)k=

{an}的通项公式为: 当 n 为奇数时,a = 3
n

2
n

? (?1)

n ?1 2

1 ? ? 1; 2

2 当 n 为偶数时, a n ? 3 ? (?1) 2 ? 1 ? 1. 2 2

n

说明 链接

情景再现
1.已知数列{an}满足 a1=1,an=2an-1+n-2(n≥2),求通项 an. 学联赛) 2.设 f ( x) ? (2004 年四川省高中数

x 1 x ( b, c 为常数) ,若 f (2) ? ,且 f ( x) ? ? 0 只有唯一实数根 bx ? c 2 2 (1)求 f (x) 的解析式
(2)令 a1 ? 1, an ? f (an?1 ) 求数列 ?a n ?的通项公式. B 类例题

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2

bn2?1 ? 1 1 b2 ?1 + bn ) ? (1 ? 4 ? n 24 16 24

即(2bn+1) =(bn+3) ,由于 bn、bn+1 非负,所以 2bn+1=bn+3. 故 bn+1-3=
1 (bn-3). 2 1 n-2 ) 2

2

2

所以 bn+1-3= (bn-3)(
1 即 bn ? 3 ? ( ) n ? 2 2

所以 an ?

1 1 bn2 ? 1 1 ? = ? 3 3 ? 2 2 n ?1 2 n 24

说明 这是 1981 年 IMO 的预选题,解题的关键是换元、转化. 例 5 设{xn}、{yn}为如下定义的两个数列:x0=1,x1=1,xn+1=xn+2 xn-1,y0=1,y1=7,yn+1=2yn+3yn-1, (n=1,2,3?),于是这两个数列的前 n 项为 xn:1,1,3,5,11,21?, yn:1,7,17,55,161,487,?. 证明:除了“1”这项外,不存在那样的项,它同时出现在两个数列之中. (第二届美国中学生数学竞赛试题) 分析 本题题均属于线性递归数列问题,可用特征根的方法来解决. 解

说明 这类试题经常在全国高中数学联赛及国际数学奥林匹克中出现. 这两个问题都是用递推 方法解决计数问题,希望读者对这类问题能够进行较为深入的钻研. 链接 说明 在求得特征方程的根以后,要依据根的重数正确写出数列通项的一般表达式,再根据初 始值求得待定系数的值.

例 4 数列{an}定义如下:a1=1,an+1

1 = (1+4 an + 1? 24an ),求它的通项公式. 16

链接

分析 带根号的部分不好处理,容易想到作代换:令 bn ? 1? 24an 解 设 bn ? 1? 24an ,则 an ?
bn2 ? 1 , b1 ? 5. 于是原递推式可化为 24

例6

数列{an}满足 a0=1, an?1 ?

7a n ? 45an2 ? 36 2

, n ? N ,证明:(1)对于任意 n ? N ,a 为整

数;(2)对于任意 n ? N , an an ?1 ? 1为完全平方数。(2005 年高中数学联赛) 证明:(1)由题设得 a1=5,且数列{an}严格单调递增,将条件变形得

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3

2 2an?1 ? 7an ? 45an ? 36 ,

冬令营) ① ② 分析 因为结论中涉及到根号及 a 2 项, 因而令 bn ? n

两边平方法整理得 an2?1 ? 7an an?1 ? an2 ? 9 ? 0 ∴ a ? 7an?1an ? a ? 9 ? 0 ①-②得 (an?1 ? an )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0
2 n 2 n ?1

2 2a n ? 1
2

, 并对已给递推关系两边平方就容

∵ a n ? a n ?1 , ∴ a n ?1 ? a n ?1 ? 7a n ? 0 , a n ?1 ? 7a n ? a n ?1 ③ 由③及 a0=1, a1=5 可得 an 为正整数. (2)将①两边配方得 (a n ? a n ?1 ) 2 ? 9(a n an ?1 ? 1) ∴ an an ?1 ? 1= ( 记

易找到解题思路. 解

f (n) ? a n a n ?1

f (n) ? f (n ? 1) ? (a n a n ?1
=

∴④式成立∴ an an ?1 ? 1为完全平方数. 说明

an ?1 ? an ?1 a ? a1 2 (a n ?1 ? a n ?1 ? 7a n ) ? 0 从而 f (n) ? f (n ? 1) ? ? ? f (0) ? a0 a1 ? ( 0 ) ?1 9 3

a n ?1 ? a n 2 ) 3 a ? an 2 a ? an 2 ? a n ?1 a n ) ? [( n ?1 ) ? ( n ?1 ) ] 3 3 ?(

a n ?1 ? a n 2 ) ④ 3
由 于

情景再现
3.小伟和小明来到咖啡店,他们买了一杯咖啡和一杯牛奶各 150ml,每个杯子的容积为 200ml, 甲杯盛牛奶,乙杯盛咖啡,想将二者混合,兑换成近乎相同的奶咖啡,没有其它的容器,只得利用 二个杯子中的剩余空间倒来倒去,使其混合.规定将乙杯里的部分倒入甲杯中,使甲杯盛满饮料, 充分搅匀,再将甲杯里的饮料倒入乙杯中,使甲、乙杯中的饮料相等.这叫做一次操作.请你回答 下列四个问题: Ⅰ、一次操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比为多少? Ⅱ、求第 n 次操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比的数学表达式. Ⅲ 至少几次操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比不超过 51%? Ⅳ、你能否设计新操作,得到更优的方案以减少操作次数? (2003年北京应用 知识竞赛题) 4. 已知 a1=1,a2=3,an+2=(n+3)an+1-(n+2)an,若当 m≥n,am 的值都能被 9 整除,求 n 的最 小值. (湖南省 2002 年高中 数学竞赛) C 类例题 例 7 数· (1991 年全苏数学 数列{an}按如下法则定义:a1=1 a n ?1 ?

说明

这道试题,通过换元,将关于如的问题转化为关于 bn 的问题,可使问题得到顺利解决.

例 8. 设 a1=1,a2=3,对一切自然数 n 有 an+2=(n+3)an+1-(n+2)an,求所有被 11 整除的如的值. 分析 先根据给定的递推关系,通过换元,把问题转化,最后求得 an 的通项公式,进而完成本 题. 解

1 1 2 an ? , 证明:对 n>1, 均为自然 2 2 4a n 2a n ? 1

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4

(3) 对任何整数 n≥2,有 bn<b1.

习题 12 1. (2001 上海春季高考)某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖 金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 b 位职工得奖金 元, 然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工, 按此方法将奖金逐一发给每位职工, n
并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和 b 表示 ak(不必证明); (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,?,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义; (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b).
n ??

2.已知点的序列 An(xn,0),n∈N*,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 An-2An-1 的中点,?. (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明; (3) 3. 说明 这是 1990 年巴尔干地区的数学奥林匹克试题,本题中换元起了重要的作用. 求 lim xn.
n??

情景再现
5.3 个数列{an}、{ bn}、{ cn}存在下列关系:a1=1, b1= (n=1,2,3?)这里的 p 为正常数.[ (1)求 an; (2)证明:若 cn ≥0,则 cn+1>0; (3)若数列{bn}的最小项为 b4,求 p 取值范围. 6.数列{an}、{ bn}满足 0<a1<b1, 证明下列命题: (1) a2<b2<b1; (2) 对任何正整数 n 有 bn> an+1;
用心 爱心 专心 5

1 ,bn=an+1-an, cn=bn+1-bn= 3 n ?1 ? np 2

1 1 1 1 2bn ?1 ? an ? bn (n=1,2,3?) ? ? 2 an?1 an 2bn

4.

(首届中国东南地区数学奥林匹克试题) 5.设数列 {an } 满足条件: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?2 ? an?1 ? an (n ? 1, 2, 3, ? )求证:对于任何 正整数 n,都有
n

an ?
an ?

an?1 p ? (1 ? an?1 ) ? 1 p? p 3
1 1 ? n?1 2 2
2 2 2

1 p 3 = 1a ?1 , ∴ 法 n ?1 2 4

① an ? an?1 ?

1 (an?1 ? an?2 ) 2



an?1 ? 1 ?

1
n

(湖南省

an

2004 年高中数学竞赛) 6.求所有 a∈R,使得由 an+1=2n-3an(n∈N)所确定的数列 a0, a1, a2,?是递增数列.(1980 年英 国中学生数学竞赛试题) 本节“情景再现”解答: 1.解:由已知可得:an+n=2(an-1+n-1)(n≥2) 令 bn=an+n,则 b1=a1+1=2,且 bn=2bn-1(n≥2) n-1 n n n 于是 bn=2·2 =2 ,即 an+n=2 故 an=2 -n(n≥2), 因为 a1=1 也适合上述式子, n 所以 an=2 -n(n≥1) 2. 1) f (2) ? ( ?
x x(2 ? c ? bx) x 2 1 又 令 f ( x) ? ? 0 得 x(2 ? c ? bx) ? 0 ? ? c ? 4 ? 2b , f ( x) ? ? 2b ? c 2 2 2bx ? 2c 2 2?c b

∴ 法② an ? 1 ? 1 (an?1 ? 1 ) Ⅲ. ∴ 1 ?
2 1 51 ? 2 n?1 100

∴ an ? 1 ? 1?1 n
2 2

∴n≥6.

Ⅳ. 规定将乙杯里的部分倒入甲杯中,使甲杯盛满饮料,充分搅匀,再将甲杯里的饮料倒入乙杯 中,使乙杯盛满饮料,充分搅匀.这叫做一次操作. 设 n 次操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比分别为 an ,乙杯里的饮料中牛奶的体积百分比 为 bn .

当 b ? 0 时得方程的实数根 x ? 0 和 x ? 实数根 x ? 0
? f ( x) ?

于是 c ? 2, b ? 1 , 当 b ? 0 时 c ? 4 方程有唯一

p 3 a1 ? ? , 1 p? p 4 3

3 2 ? p 3 b1 ? 4 3 ? . 2 2 p? p 8 3 3

3 2 3 2 ? p? ? p 4 3 8 3 ? 9 a2 ? 2 2 16 p? p 3 3

x an ?1 1 x x 或 f ( x) ? (2)当 f ( x) ? 时, an ? ,令 bn ? , 则 bn ? 2bn?1 ? 1 , an ?1 ? 2 an 2? x 4 2? x
n

9 2 3 2 ? p? ? p 8 3 ? 15 b2 ? 16 3 2 2 32 p? p 3 3

?bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1) ? bn ? 2 ? 1
n ?1 数列, a n ? ( ) ?

? an ?
n

1 x 1 当 f ( x) ? 时, a n ? a n ?1 ??an ?为等比 4 4 2 ?1
n

1 4

3. Ⅰ.设

p=150 ,

1 或 an ? 41?n 2 ?1 p 3 a1 ? ? ? 75% Ⅱ. 设 n 次操作前、后甲杯里的饮料中牛奶 1 4 p? p 3 an ?

2 2 p ? bn?1 ? p 2 4 3 3 ∴ an ? 第 n 次操作后甲杯里的饮料 p ,乙杯里的饮料 p . 4 3 3 p 3 2 n ?1 2 4 1 3 p ? an ? p ? bn ? p ∴ 3an ? 4bn ? 3 . an = an?1 ? , ∴ ∴ an ? 2 2 n? 1 3 3 4 8 2 an?1 ?
2 2 n?1 ? 1 51 , ? 22n 100



∴n≥4. 至少 4 操作后甲杯里的饮料中牛奶的体积百分比不超过 51%.

的体积百分比分别为 an?1、 an ,则 n 次操作前、后乙杯里的饮料中牛奶的体积百分比分别为

1 ? an?1、1 ? an ,

4.

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6

除,故所求的 n 的最小值为 5 5.

本节“习题 4”解答:

b 1 1 1 , 2 位职工的奖金 a2= (1- )b, 3 位职工的奖金 a3= (1 第 第 n n n n 1 2 1 1 k-1 - ) b,?,第 k 位职工的奖金 ak= (1- ) b; n n n 1 1 k-1 (2)ak-ak+1= 2 (1- ) b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原 n n
1. (1)第 1 位职工的奖金 a1= 6. 则. (3) 设 fk(b) 表 示 奖 金 发 给 第 k 位 职 工 后 所 剩 余 数 , 则 f1(b)=(1 -

1 )b,f2(b)=(1 - n

1 2 1 k 1 n b ) b,?,fk(b)=(1- ) b.得 Pn(b)=fn(b)=(1- ) b,故 lim Pn (b) ? . n?? n n n e 2 . (1) 当 n≥3 时 , x ? xn?2 x ?x 1 1 xn= n?1 ; (2)a1 ? x 2 ? x1 ? a, a 2 ? x3 ? x 2 ? 2 1 ? x 2 ? ? ( x 2 ? x1 ) ? ? a, a 2 ? 2 2 2 2 1 n-1 x ? x2 1 1 1 1 ? x 4 ? x3 ? 3 ? x3 ? ? ( x3 ? x 2 ) ? ? (? a) ? a , 由此推测 an=(- ) a(n∈N. 证:因为 2 2 2 2 4 2
用心 爱心 专心 7

a1=a>0,且

xn ? xn?1 x ? xn 1 1 1 n-1 ? xn ? n?1 ? ( xn ? xn?1 ) ? ? an?1 (n≥2)所以 an=(- ) a.(3) 2 2 2 2 2 当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+?+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+?+a1,由(2)知{an}是公比为 an ? xn?1 ? xn ?


1 a1 2 的等比数列,所以 lim xn ? ? a. 1 n?? 2 1 ? (? ) 3 2
(1)

3.

(4)

(2)

(3)

4.

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8

1?
n

1 an?1

?
n

1 an an?1

,即

n

an?1 ? 1 ?

1
n

an

6.

5.证明:令 a0 ? 1 ,则有 ak ?1 ? ak ? ak ?1 ,且
n ak a ? ? k ?1 ? a k ?1 a k ?1 k ?1 k ?1 n

1?

ak a ? k ?1 (k ? 1, 2, ?) ak ?1 ak ?1

于是 n ?

由算术-几何平均值不等式,可得

1? n

a a1 a 2 a a a ? ? ? ? n + n 0 ? 1 ? ? ? n?1 a 2 a3 a n ?1 a 2 a3 an?1

注意到

a0 ? a1 ? 1,可知

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9


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