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椭圆及其标准方程


《椭圆及其标准方程》教案
赣县中学 谢桂平 【学习目标】 1. 掌握椭圆的定义, 并能根据椭圆定义恰当地选择坐标系, 建立及推导椭圆的标准方程; 2.掌握用待定系数法求椭圆标准方程 , 能根据条件确定椭圆的标准方程. 【重点难点】 重点:椭圆的定义及其标准方程.难点:椭圆标准方程的推导 【学法指导】 1.用 5 分钟左右的时间,阅读课本内容,自主高效预习 2.限时完成学案的预习检测部分,找出自己的疑惑和需要解决的问题 3.通过自主探索,动手实验的过程培养学生发现及解决问题的能力 一、实验操作,探求新知 问题 1:回顾圆的定义,并将一个定点改为两个,即将绳子的两端分别固定在两个定点上, 用笔尖勾直绳子,笔尖移动,笔尖形成的轨迹是什么图形? 手工操作演示椭圆的形成:取一条定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1 , F2 两点, 当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉近,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一 个椭圆 问题 2:在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么?绳子长度与两定点距离大 小有怎样的关系? 二、抽象概括,形成概念 1.定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于 2a(2a>︱F1F2︱)的点的集合叫作椭圆.
王新敞
奎屯 新疆

2.什么是焦点、焦距? 两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 3.概念深化 问题 3: 定义中为什么这个常数要大于|F1F2|?如果不大于|F1F2 | ,轨迹是什么? ①若 2a=2c,则轨迹是什么? 是线段 ②若 2a<2c,则轨迹是什么? 轨迹不存在 三、合理建系,推导方程 问题 4.:思考如何建立适当的坐标系求椭圆标准方程?

取过焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴 设 P( x, y) 为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是 2c ( c ? 0 ).

王新敞
奎屯

新疆

则 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又设 M 与 F1 , F2 距离之和等于 2a ( 2a ? 2c )(常数)

? P ? ?P PF 1 ? PF 2 ? 2a?
又 ? PF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ,
F1

y
P O F2

x

? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ,

化简,得

( a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) ,

由定义 2a ? 2c ,? a 2 ? c 2 ? 0 令? a 2 ? c 2 ? b 2 代入,得 两边同除 a b 得
2 2

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,

x2 y2 ? ?1 a2 b2

x2 y2 焦点在 x 轴上的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b y2 x2 同理:焦点在 y 轴上的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b
四、应用巩固,变式提高 1. 口答: (1)已知椭圆的方程为

y2 x2 ? ? 1 ,则 a=_______,b=_______,c=_______,焦点坐标为 16 9

____________ ,焦距等于______;若 F1 、 F2 分别为该椭圆的两焦点,M 为椭圆上的一点, 且|MF2|=6,则|MF1|= ________ 2.求适合下列条件的椭圆方程 (1) a ? 6.b ? 1 ,焦点在 x 轴 (2)焦点为(0,-3) , (0,3) ,a=5 (3)焦点为(-2,0).(2,0) ,且过 P(2,3) (4)过(-2,0) , (0,-3)

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 求 m 的取值范围 3:已知方程 2 ? m m ?1
变式 1:若该方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 m 的取值范围

变式 2:若该方程表示椭圆, 求 m 的取值范围 变式 3 若该方程表示圆, 求 m 的取值范围 . 五、归纳小结

标准方程

x2 y2 + =1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 + =1 (a ? b ? 0) a2 b2
y

F2
M O x

F1

y M

图形

F1

O

F2

x

a,b,c 关系 焦点坐标 焦点位置
作业 【教后反思】

b2 ? a2 ? c2
(?c,0)

b2 ? a2 ? c2
(0,?c)

在 x 轴上

在 y 轴上


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