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20130412振幅变换与综合变换


振幅变换与综合变换
2013年4月12日

问题提出

1.函数 y ? sin( x ? ? ) 图象是由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到的?
y ? sin( x ? ? )的图象,可以看作是把正 弦曲线 y ? sin x 上所有的点向左(当

?>0时)或向右(当 ?<0

时)平行 移动|? |个单位长度而得到.

2.函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象是由函数
y ? sin( x ? ? ) 的图象经过怎样的变换而 得到的?

函数 y ? sin( ?x ? ? )的图象,可以看作是 把函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象上所有点的 横坐标缩短(当 ? >1时)或伸长(当0 1 <?<1时)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) 而得到的.

3.函数 y ? A sin( ?x ? ? )的图象,不仅 ? 的影响,而且受A的影响,对此, 受 ?、 我们再作进一步探究.

tan(? ? 2k? ) ? tan ?

p 思考1:函数y = 2 sin(2x + 3 ) 的周期是多少?

探究(一):A(A>0)对 y ? A sin( ?x ? ? )的图象的影响

如何用“五点法”画出该函数在一个周 期内的图象?
y

27 p 5p 12 6

po p p ? 6 12 3 2

π



x

-2-

p y = 2 sin(2x + ) 3

p 思考2:比较函数 y = 2 sin(2x + 3 ) 与函数 ? y ? sin( 2 x ? ) 的图象的形状和位置,你有 3

什么发现? y
? | MP |? y ? sin ?

2-

y ? sin( 2 x ?
7 p 5p 12 6

?
3

)

po p p ? 6 12 3 2

π



x

-2-

p y = 2 sin(2x + ) 3

y

2-

y ? sin( 2 x ?
7 p 5p 12 6

?
3

)

po p p ? 6 12 3 2
? | MP |? y ? sin ?

π



x

-2-

p y = 2 sin(2x + ) 3

函数 y ? 3 sin( 2 x ? 3 ) 的图象,可以看作 ? 是把 y ? sin( 2 x ? 3 )的图象上所有的点 纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不 变)而得到的.

?

思考3:用五点法作出函数 在一个周期内的图象,比较它与函数 ? y ? sin( 2 x ? )的图象的形状和位置,你又 3 有什么发现?
y

1 ? y ? sin( 2 x ? ) 2 3

1-

y ? sin( 2 x ?
7 p 5p 12 6

?
3

)

-

po p p ? 6 12 3 2

π



x

-1-

1 p y = sin(2x + ) 2 3

y

1-

y ? sin( 2 x ?
7 p 5p 12 6

?
3

)

po p p ? 6 12 3 2

π



x

-1-

1 p y = sin(2x + ) 2 3

1 ? 函数 y ? 2 sin( 2 x ? 3 ) 的图象,可以看 ? 作是把 y ? sin( 2 x ? 3 ) 的图象上所有的点 1 纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不变)

而得到的.

思考4:一般地,对任意的A(A>0且 A≠1),函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象 是由函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象经过怎 样的变换而得到的? 函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象,可以看 作是把函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象上所 有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短 (当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标 不变)而得到的.

思考5:上述变换称为振幅变换,据此 3 ? 理论,函数 y ? sin( 3x ? ) 的图象是由
2 4 ? 函数y ? sin( 3x ? ) 的图象经过怎样的变 4

换而得到的? 函数

p 把 y = sin(3x - 4 ) 的图象上所有的点纵坐

3 p y = sin(3x - ) 的图象,可以看作是 2 4

标伸长到原来的1.5倍(横坐标不变) 而得到的.

y ? A sin( ?x ? ? )与 y ? sin x 的图象关系 探究(二):

思考1:将函数 y ? sin x的图象经过几次 ? 变换,可以得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? 3 )的图象?
思考2:你能设计一个变换过程完成上 述变换吗? p 左移 p 3 y ? sin x y = sin(x + ) 3 1 横坐标缩短到原来的 2 y = sin(2x + p )
3

纵坐标伸长到原来的3倍

p y = 3 sin(2x + ) 3

思考3:一般地,函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ?>0)的图象,可以由函数 ( A >0 , y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到? 先把函数 y ? sin x 的图象向左(右)平移 |?|个单位长度,得到函数 y ? sin( x ? ? )的 图象;再把曲线上各点的横坐标变为原 1 来的 ? 倍,得到函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图 象;然后把曲线上各点的纵坐标变为原 来的A倍,就得到函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象.

思考4:将函数 y ? sin x的图象变换到函 ) ?>0)的 数 y ? A sin( ?x ? ?(其中 A >0 , 图象,共有多少种不同的变换次序?

6 种!

思考5:若将函数 y ? sin x 的图象先作振 幅变换,再作周期变换,然后作平移变 ? 换得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? )的图象,具体如 3 何操作? y ? sin x 纵坐标伸长到原来的3倍 y = 3 sin x
1 横坐标缩短到原来的 2

y = 3 sin 2x

p 左移 6

p y = 3 sin(2x + ) 3

sin

思考6:物理中,简谐运动的图象就是函 x ? ?0, ? ?? 的图象,其中A 数 y ? A sin( ?x ? ? ) , ?>0.描述简谐运动的物理量有振 >0 , 幅、周期、频率、相位和初相等,你知 道这些物理量分别是指那些数据以及各 自的含义吗?
p p p < < tan 4 4 4

y ? A sin( ?x ? ? ) x ? ?0, ? ?? A是振幅,它是指物体离开平衡位置的最 大距离;
T? 2?
sin p p p < < tan 4 4 4

是周期,它是指物体往复运动一次 ? 所需要的时间;
是频率,它是指物体在单位时 间内往复运动的次数;
1 ? f ? ? T 2?

?x ? ? 称为相位;

? 称为初相,即x=0时的相位.

理论迁移

例1 的图象是 由函数 y ? sin x的图象经过怎样的变换 而得到的?
p y = sin(x - ) 6 横坐标伸长到原来的3倍 y = sin( 1 x 3

1 ? 说明函数 y ? 2 sin( 3 x ? 6 )

p 右移 6 y ? sin x

p ) 6

纵坐标伸长到原来的2倍

1 p y = 2 sin( x - ) 3 6

例2 如图是某简谐运动的图象,试根 据图象回答下列问题:
y/cm 2
2p

A

E

0.4

O
-2

B

0.8 D

1.2

F

x/s

C

⑴ 这个简谐运动的振幅、周期与频 率各是多少?
y/cm 2
1 x f (= a) = 2

A

E

振幅A=2 周期T=0.8s
1.2 F x/s

2 cos a - 1

0.4
O -2

B

0.8 D

频率f=1.25

C

⑵ 从O点算起,到曲线上的哪一点, 表示完成了一次往返运动?如从A点算 起呢?
y/cm 2
2p

A

E

O ~D
1.2 F x/s

0.4

O
-2

B

0.8 D

A ~E

C

⑶ 写出这个简谐运动的表达式.
y/cm 2
2p

A

E

0.4 O -2 C B

0.8 D

1.2 F
x/s

5? y ? 2 sin x, x ? [0,??) 2

小结作业

图象,可以由函数 y ? sin x 的图象通过 三次变换而得到,共有6种不同的变换 次序.在实际应用中,一般按“左右平 移→横向伸缩→纵向伸缩”的次序进行. y ? A sin( ?x ? ? ) 2.用“变换法”作函数 的图象,其作图过程较复杂,不便于 操作,在一般情况下,常用“五点法” 作图.

) A>0,> ? 0)的 1.函数 y ? A sin( ?x ? ?(

3.通过平移,将函数 y ? A sin ?x 的图象 变换为 y ? A sin( ?x ? ? )的图象,其平移 ? 单位是 ? . 4.若已知函数 y ? A sin( ?x ? ? )的图象及 有关数字特征,则可以求出函数的解 析式.

作业:

P58习题1.5A组:2,6.


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