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2.1.2椭圆的简单几何性质


导入新课
观察与分析

1. 你能说出它们具有哪些特点吗?

y
x2 y2 1 2.观察椭圆 2 + 2 = (a>b>0) a b

的形状,你能看出它的范围吗? 它具有怎样的对称性?椭圆上哪 些点比较特殊呢?

O

x

>这节课就让我们一起学习和研究椭圆 的简单的几何性质……

教学目标
知识与能力:
了解用方程的方法研究图形的对称性; 理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对 称中心、离心率、顶点的概念; 掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定 义解决实际问题.

过程与方法:
注重数形结合,掌握解析法研究几何问 题的一般方法,注重培养学生的能力; 注重探索能力的培养.

情感态度与价值观:
在合作、互动的教学氛围中,培养学生科 学探索精神,激励学生创新. 让学生参与利用信息技术探究点的轨迹 问题,培养学生学习数学的兴趣.

教学重难点
重点:
认识生活中的椭圆,及其特点.

难点:
掌握椭圆的简单几何性质.

一.范围:
x2 y2 + 2 =1 由 2 a b

y

?

x y 1? 2 ? 2 a b

2

2

o 图2.2-5

x

所以椭圆上点的坐标都 2 适合不等式: 同理可得:|y|≤b

x 2 ≤1 即: |x|≤a a

说明:椭圆位于直线x=±a和 y=±b所围成的矩形之中,如图2.2-5.

二. 对称性:
经过观察图2.2-6,我 们可以发现椭圆既是轴对称
F1

y

?

O

? F2

x

图2.2-6 图形,又是中心对称图形. x2 y2 (a>b>0)把y换成-y方 在椭圆 2 + 2 = 1 a b 程不改变,所以曲线关于x轴对称. 若把x换成-x方程也不改变,所以曲线关于y轴 对称. 若把x换成-x同时把y换成-y方程不变,所 以曲线关于原点对称.

结论
由上述可知,椭圆关于x轴、

y轴对称,坐标轴就是椭圆的对称
轴,原点是椭圆的对称中心.对称

中心叫做椭圆的中心.

三. 顶点:
x2 y2 (a>b>0)中,令x=0, 在椭圆 2 + 2 = 1 a b

那么y=±b , 说明椭圆与 y轴的交点是(0, ±b )

令 y=0,得 x= ±a , 说明椭圆与 x轴的交点是 (±a ,0 ).
椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点. y B1(0,b) 如右图,椭圆与对称 轴有四个交点:A1、A2、 A2 o B1、B2 x A1

B2(0,-b)

且A1、A2、B1、B2这四

个交点叫做椭圆的顶点.
A1 线段A1A2叫做椭圆的长轴,

B1(0,b) b a A2 o x B2(0,-b)

y

它的长等于2a, a叫做椭圆的
长半轴长.

线段B1B2叫做椭圆的短轴,它的长等于2b, b叫做椭圆的短半轴长.

四. 离心率:

观察图2.2-6,我们发现

椭圆的扁平程度不一,那么
用什么量可以刻画椭圆的扁

平程度呢?

图2.2-6

我们接下来讲的离心率就可以刻画.

x2 y2 (a>b>0) 如图2.2-7,椭圆 2 + 2 = 1 a b

y x

的长半轴为a,半焦距为c.保持长

半轴a不变,改变椭圆的半焦距c,
可以发现,c越接近a,椭圆越扁 平.所以用a、c这两个量可以刻画 椭圆的扁平程度.

O
图2.2-7

离心率:椭圆的焦距与长轴长的 c 比 叫做离心率. a c 用e表示,记做e= .
a

1. 离心率的取值范围:
因为a>c> 0,所以1>e>0. 2. 离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1, c 就越接近 a, 从而 b就越小, 椭 圆就越扁. 2)e 越接近 0, c 就越接近 0, 从而 b就越大, 椭 圆就越圆. 3)当且仅当a=b时,c=0,这时这两个焦点重 合,图形变成圆,它的方程为x2+y2=a2.

例1:
求椭圆
x2 y 2 + =1 16 9

的离心率、顶点坐标.

解:由方程可知,a=4,b=3,则c= 16 ? 9 ? 7 c 7 . 所以这个椭圆的离心率e= = a 4 顶点坐标为A1(4,0),A2(-4,0), B1(0,3),B2(0,-3).

例2:
求满足长轴与短轴之和为20,焦距为 4 5 的椭圆方程. 解:当焦点在x轴上时,
设所求椭圆的方程为 2a + 2b = 20 即 由题意,得 2c = 4 5
x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b

a +b = 10
a2 - b2 = 20

解得a=6,b=4

继续解答
x2 y2 所以焦点在x轴上的椭圆的方程为 32 ? 16 ? 1 x2 y2 ? ?1 同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为 16 2 36 2 2 2 x y x y 因此,所求的椭圆的方程为 ?1 ? ?1 和 ? 16 36 32 16

例3:
点M(x,y)与定点F(4,0)
的距离和它到直线l: 4
25 的距离 x= 4

y
M O

l d ∟H
F

.

x

的比是常数

,求点M的轨迹. 5
4

图2.2-8 25 x 解:设d是点M到直线l: = 的距离, 根据题意,点M的轨迹就是集合

| MF | 4 ? ? P = ?M | = ?, d 5? ?

继续解答
由此得
(x - 4) + y 4 = . 25 5 | -x| 4
2 2

y
M O

l d ∟H
F

.

x

图2.2-8

将上式两边平方,并化简,得9x2+25y2=225,

x2 y2 即 ? ? 1. 25 9
所以,点M的轨迹是长轴、短轴分别
为10、6的椭圆.(图2.2-8)

课堂小结
1. 范围:
x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)位于直线 a b x=±a和y=±b所围成的矩形框内.

2. 对称性:
椭圆关于x轴、y轴都是对称的,坐标轴

是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,
椭圆的对称中心是椭圆的中心.

3. 顶点:
椭圆与它的对称轴x轴,y轴的四个交点 y B1(0,b) 叫做椭圆的顶点.

x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1 顶点坐 A 1 a b 标分别为A1(-a,0),A2
(a,0),B1(0,-b),B2

A
o
2

x

B2(0,-b)

(0,b)如图所示.

4. 离心率

圆的离心率,用e表示,即e= 为0<e<1 .

c 把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭 c a a

,取值范围

离心率对椭圆形状的影响:
1)e 越接近 1, c 就越接近 a, 从而 b就越小, 椭 圆就越扁. 2)e 越接近 0, c 就越接近 0, 从而 b就越大, 椭 圆就越圆. 3)当且仅当a=b时,c=0,这时这两个焦点重 合,图形变成圆,它的方程为x2+y2=a2.

高考链接
x2 y2 1. (2008四川理) 设椭圆 a 2 + b 2 = 1

(a>b>0)的左右焦点分别为
????? ???? ? 为l,M,N是l上的两个动点, 1M ? F2 N ? 0 F ????? ????? (Ⅰ)若 F1M ? F2 N ? 2 5,求a,b的值; ????? ????? (Ⅱ)证明:当|MN|取最小值时,M ? F2 N 与 F1 ????? F1 F2共线.

F1,F2,离心率

2 e= 2

,右准线

解:由a2-b2=c2与

? 2 ? ? 2 ? F1 ? 0? 0? ? 2 a,?,F2 ? 2 a,? ? ? ? ? ?

a 2 ,得 a2=2b2 e= = c 2



,l的方程为 x ? 2a

设M ?

2a,y1 ,N

?

?

2a,y2

?
2

由 F1M ? F2 N ? 0 得 y1 y2 ? ? a 2<0 (Ⅰ)由
???? ? ???? ? F1M = F2 N = 2 5
2

???? ? ?3 2 ? ? ???? ? 2 ? 则 F1M = ? ? 2 a,y 1 ?,2 N = ? 2 a,y 2 ? ? F ? ? ? ? ? ? ? ????? ???? 3



,得 ② ③

?3 2 ? a ? + y 12 = 2 5 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? a ? + y 22 = 2 ? ? 2 ? ? ?
2

5

由①、②、③三式,消去y1,y2,并求得
a2=4
2

故 a = 2, b =
2 2 2

2

(Ⅱ) MN = ? y1 - y 2 ? = y1 + y 2 - 2y1y 23 - 2y 1y 2 - 2y 1y 2 = -4y 1y 2 = 6a 2
6 6 a 或 y 2 = -y1 = a 时, 当且仅当 y1 = -y 2 = 2 6 2

2

= 2

|MN|取最小值

????? ???? ? 3 2 ? ????? ? ? 2 ? 此时,M + F2N = ? a,y1 ? + ? a,y 2 ? = 2 2a,y1 + y 2 = 2 2a,0 = 2F1F2 F1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ????? ???? ? ???? ?

2

a

?

? ?

?

故 F1M ? F2 N 与 F1 F2 共线.

2. (2008北京文)已知△ABC的顶点A,B
在椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? 4 上,C在直线l:y=x+2上,

且AB∥l.
(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时,求AB的 长及△ABC的面积; (Ⅱ)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大 时,求AB所在直线的方程.

解:(Ⅰ)因为AB∥l,且AB边通过点(0,

0),所以AB所在直线的方程为y=x.
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由
? x 2 + 3y 2 = 4, ? y=x ?

得 x = ?1,

所以 AB = 2 x1 - x 2 = 2 2. 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离, 1 所以 h= 2 ,S△ABC= |AB|· h=2
2

(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m. ? x 2 + 3y 2 = 4, 2 2 由? 得 4x + 6mx + 3m - 4 = 0.
? y = x+m

因为A,B在椭圆上,所以 ? ? ?12m ? 64>0.
2

设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 则
3m 3m 2 - 4 x1 + x 2 = , x1x 2 = , 2 4
32 - 6m 2 AB = 2 x1 - x 2 = . 2

所以

又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距 离,即
BC = 2-m
2

所以

2 2 2 AC = AB + BC = -m 2 - 2m + 10 = -(m + 1)2 + 11.

.

所以当m=-1时,AC边最长.(这时△=-12+64>0)
此时AB所在直线的方程为y=x-1.

3. (2008安徽理)设椭圆
(Ⅰ)求椭圆C的方程;

x2 y2 + 2 = (a>b>0) 1 2 a b

过点 M ( 2,1),且着焦点为 F1 (? 2, 0)

(Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线l与椭圆C相交
与两不同点A,B时,在线段A,B上取点Q,

满足|AP|· |QB|=|AQ|· |PB|,证明:点Q总在
某定直线上.

AP AQ ??? ??? ???? ???? ? ? 由题设知 AP , PB , AQ , QB均不为零,记 λ = ??? = ???? ?

x2 y2 所求椭圆方程为 ? ?1 4 2 x1 ,? (2)设点Q、A、B的坐标分别为 ( x, y), (???y1 ), ( x????2 ) 2,y

?c 2 = 2 ? 解:(1)由题意:? 22 + 12 = 1 ? ?a b ?c 2 = a 2 - b 2 ?

,解得 a 2 ? 4, b2 ? 2 ,

PB QB ? ? 0 且? ?1 则 ??? ? ??? ???? ? ??? ? 又A,P,B,Q四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ? QB y1 ? ? y2 x1 ? ? x2 于是 4 ? 1?

1? ? x ? ? x2 x? 1 1? ?

1? ? y1 ? ? y2 y? 1? ?

从而

又点A、B在椭圆C上,即 x12 ? 2 y12 ? 4,?? (3)

2 y12 ? ? 2 y2 ? y ……(2) 2 1? ?

2 x12 ? ? 2 x2 ? 4x 2 1? ?

……(1)

2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,?? (4)

(1)+(2)×2并结合(3),(4)得 4s ? 2 y ? 4 即 Q( x, y ) 点总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上.

随堂练习
1.填空题
(1)已知椭圆中心在原点,一个焦点是F (-2 3 ,0),且长轴长是短轴长的2倍, x2 y2 + =1 则该椭圆的标准方程是_____________. 16 4 (2)分别是椭圆的左右焦点,AB为其过 点且斜率为1的弦,则的值为 _________.

46 5

2.选择题
(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值 范围是( D ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) (2)若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍, 则这个椭圆的离心率为 ( D) 1 1 B. 2 C. 2 D. A. 2 2 4 4

3.解答题
(1)椭圆 坐标原点.
1 Ⅰ.求a
2

x+y=1交于P、Q两点,且 OP ? OQ,其中O为
+ 1 的值; b2

x2 y2 + 2 =1 (a 2 a b

>b>0)与直线

Ⅱ.若椭圆的离心率e满足 长轴的取值范围.

3 3

≤e≤

2 ,求椭圆 2

解:设P(x1,y1),由OP ⊥ OQ

?


x1x2+y1y2=0
Q y1 = 1- x1 , y 2 = 1- x 2 , 代入上式得:

2x1x2 - (x1 + x2 ) +1 = 0
x2 y2 又将y=1-x代入, 2 + 2 = 1 a b
2 2 2 2 2 2

2a ? Δ > 0,? x1 + x 2 = 2 , 2 a +b 2 2 a (1 - b ) 1 1 x1 x 2 = 2 + 2 =2 2 2 代入①化简得 a b a +b

? (a + b )x - 2a 2x + a (1- b ) = 0

c2 b2 1 b2 1 1 b 2 2 Ⅱ. ? e 2 = 2 = 1 - 2 ? ? 1- 2 ? ? ? 2 ? , a a 3 a 2 2 a 3

又由Ⅰ.知

a2 b = 2 2a - 1
2



1 1 2 5 2 3 5 6 ? ? 2 ? ? ?a ? ? ?a? 2 2a - 1 3 4 2 2 2

∴长轴 2a ∈ [

5 , 6 ].

(2)中心在原点,一焦点为F1(0,5 2)的 椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点横坐标
1 是 ,求此椭圆的方程. 2 x2 y2 解:设椭圆: 2 + 2 =(a>b>0), 1 a b

则a2+b2=50…①

又设A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB中点(x0,y0) 1 3 1 ∵x0= ,∴y0= -2=- . 2 2 2



2 2 ? y 1 x1 2 2 ? 2 + 2 = 1 y2 - y2 x1 - x 2 ?a b ? 1 2 2 =- 2 ? 2 2 a b ? y 2 + x2 = 1 ? a2 b2 ? y1 - y 2 a2 x0 ? k AB = = - 2 ? = 3 ? a 2 = 3b 2 x1 - x 2 b y0



解①,②得:a2=75,b2=25,椭圆为:
y2 x2 + = 1. 75 25

x2 y2 (3)椭圆C: 2 + 2 = 1 (a>b>0)的两个焦点 a b

为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,
4 14 |PF1|= ,|PF2|= . 3 3

Ⅰ. 求椭圆C的方程; Ⅱ. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,

交椭圆C于A,B两点,且A,B关于点M对称, 求直线l的方程.

解: Ⅰ.用椭圆定义及基本量法可以求得椭 x2 y2 圆方程为 + = 1; 9 4 Ⅱ.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l过点M(-2, 1),设直线方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆方

程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-
27=0,由已知得A,B关于M(-2,1)对称,故 8 x1 + x2 18k 2 + 9k == -2 ,解得k= ,所求直线 2 9 2 4 + 9k 方程为8x-9y+25=0,经检验所求直线方程符合 题意.

习题解答
1.以点B2(或B1)为圆心,以线段OA2(或 OA1) 为半径画圆,圆与x轴的两个交点分 别为F1,F2.点F1,F2就是椭圆的两个焦点. 这是因为,在Rt △B2OF2中,|OB2|=b, |B2F2|=|OA2|=a,所以,|OF2|=c.同样有 |OF1|=c. 2.(1)焦点坐标为(-8,0),(8,0); (2)焦点坐标为(0,2),(0,-2).

y2 x2 x y + = 1. + = 1; (2) 3.(1) 25 16 36 32
2 2

x2 y2 + = 1; 4.(1) 9 4
x2 y2 y2 x2 (2) + = 1,或 + = 1. 100 64 100 64

5.(1)椭圆9x2+y2=36的离心率是

2 2,椭圆 3 2 2 1 2 x y 1 + = 1的离心率是 , 因为 2 > 2 , 16 12 2 3 2 2
x y 所以椭圆 16 + 12 = 1 更圆,椭圆

9x2+y2=36更扁.

2+9y2=36的离心率是 2 (2)椭圆x

x y + = 1更圆,椭圆x2+9y2=36 所以,椭圆 6 10

2 ,椭圆 3 1 x2 y2 1 2 + = 1的离心率是 10, 因为 2 > 10 , 5 6 10 5 3 2 2

更扁.

8 6.(1) (3, ); 5 8 2 7. . 7

48 70 (,). (2)(0,2), 37 37


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