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1969年第十一届IMO试题(不含答案)


第十一届(1969 年) 罗马尼亚 布加勒斯特(Bucharest,Romania)
1. 证明对任意正整数 a 和任一正整数 n 都满足:数字 z=n4+a 不是质数。 (民主 德国) 2. 令 a1,a2,…,an 为实数常数,x 为实数变量,且
y ( x) ? cos( a1 ? x) ? cos( an ? x) cos( a2 ? x) cos( a3 ? x) ? ? ... ? 。若 f(x1)=f(x2)=0,证 2 2 2 2 n ?1

明对于一些整数 m 有 x2-x1=mπ。 (匈牙利) 3. 对每一个 k = 1, 2, 3, 4, 5,试找出 a>0 应满足的充要条件,使得存在一个四面 体,其中 k 个边长均为 a,其余 6-k 个边的长度均为 1。 (波兰) 4. 以 AB 为直径作半圆 γ。C 是 γ 上不同于 A 和 B 的一个点,D 是 C 到 AB 的垂 线的垂足。我们作三个圆 γ1、γ2、γ3 都与直线 AB 相切。在这里,γ1 是△ABC 的 内切圆,而 γ2 和 γ3 都与直线 CD 和圆 γ 相切,且位于直线 CD 的两边。证明 γ1、 γ2、γ3 还有一条公切线。 (荷兰)

? n ?3? 5. 给出平面上 n 个点(n>4) ,其中任意三点都不共线。证明至少有 ? ? 个凸 ? 2 ?
四边形其顶点都是给出的点其中的四个。 (蒙古) 6. 求证:对于所有实数 x1、x2、y1、y2、z1、z2,其中 x1>0,x2>0, x1 y1 ? z12 ? 0 ,
2 x2 y2 ? z2 ? 0 ,满足不等式

8 1 1 ,并 ? ? 2 2 2 ( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) x1 y1 ? z1 x2 y2 ? z2

给出等号成立的条件。 (苏联)


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