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浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件:第12课时 空间几何体


专题四 立体几何与空间量

1.三视图是从上下、左右、前后三对角度刻画 几何体的形状,在具体问题中,几何体放置不同, 则三视图不同,注意想象.画三视图时,被遮挡的 线应画虚线. 2.对旋转体要熟悉其定义,并能通过轴截面图、 展开图等化归为平面几何问题. 3.几何体的切接问题:

?1? 球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是

把握球的直径即棱柱的体对角线长.

? 2 ? 柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面
几何问题. 4.熟记柱、锥、台、球的体积、面积公式. S圆柱侧 ? 2? rl,S圆锥侧 ? ? rl;S圆台侧 ? ? (r ? ? r ) ? l; 4 S球 ? 4? R ,V球 ? ? R 3 . 3 1 V柱 ? Sh;V圆锥 ? Sh; 3 h V台 ? ( S1 ? S 2 ? S1S 2 ). 3
2

1.三视图

【例1】(2011·浙江卷)若某 几何体的三视图如右图所示, 则这个几何体的直观图可以 是( )

破解时要结合三视图的性质一一进行分析处

理.
从俯视图看,符合答案的为B或D,从正视图 看符合答案的为D,且从侧视图看D也是符合的.答 案为D

此题可考虑运用排除法进行巧解,结合图形 一一分析,逐步筛选.

【变式训练】 (2010·浙江卷)若某几何体的三视图(单 位:cm)如图所示,则此几何体的体积是_________cm3.

由三视图知该几何体为四棱台和长方体的 组合体,故V ? V四棱台 ? V长方体 1 ? (16 ? 64 ? 16 ? 64) ? 3 ? 4 ? 4 ? 2 3 ? 144cm3 . 所以该几何体的体积是144cm3 .

2.线面位置关系 【例2 】 ( 2 0 0 9 · 淮南 一 模 ) 如 图 ,在 正 方体 A B C DA1B1C1D1中,E、F分别是AA1、C1D1的中点,G是正方 形BCC 1 B 1 的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个 面上的投影可能是下图中的________.

本题主要考查平行投影和空间想象能力.要 画出四边形AGFE在该正方体各个面上的投影,只需 画出四个顶点A、G、E、F在每个面上的投影,再顺 次连结即得到四边形AGFE在该面上的投影,并且在 两个平行平面上的投影是相同的. 在面ABCD和面A 1 B 1 C 1 D 1 上的投影是(1); 在面ADD 1 A 1 和面BB 1 C 1 C上的投影是(2);在面 DCC 1 D 1 和面ABB 1 A 1 上的投影是(3),所以答案为 (1)(2)(3).

要画出一个图形在一个平面上的投影的关键是 确定该图形的关键点,如顶点等.画出这些关键点 的投影,再依次连结即可得此图形在该平面上的投 影.此类题目要依据平行投影的含义,借助空间想 象来完成.

【变式训练】(2011·3月台州中学模拟)BC是Rt△ABC 的斜边,AP⊥平面ABC,PD⊥BC于D点,则图中直角 三角形的个数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5

因为AP⊥平面ABC,PD⊥BC于D点,则有 Rt△PAC , Rt△PAB , Rt△PAD , Rt△PDB , Rt△PDC,Rt△ABC,又BC⊥PD,BC⊥PA,因 此 BC⊥ 平 面 PAD , 即 有 BC⊥AD , 因 此 又 有 Rt△ACD,Rt△ABD,因此图中共有8个直角三角 形.答案为A

【例3】(2010·浙江嘉兴一中一模)在棱柱ABCA1B1C1中AB1∩A1B=E,F为B1C1的中点,其直观图和 三视图如下:

(1)求证:EF⊥平面A1BC; (2)求A1C与平面A1B1BA所成角的余弦值.

本题主要是通过三视图得到直观图中有关线 段的长度和位置关系,从而求出线面角. (1)由三视图知,侧棱CC1⊥平面ABC, AC=CC1=BC=a,AC⊥BC,所以CC1⊥BC, 所以BC⊥平面ACC1A1,所以BC⊥AC1. 又EF//AC1,所以EF⊥BC. 因为四边形ACC1A1为正方形,所以A1C⊥AC1. 又EF//AC1,所以EF⊥A1C. 而BC∩A1C=C,所以EF⊥平面A1BC.

? 2 ? 取AB的中点M ,连结CM ,A1M .

由题意知CA ? CB,所以CM ? AB. 由三视图知, 侧棱AA1 ? 平面ABC, 所以平面ABC ? 平面AA1 B1 B, 所以CM ? 平面AA1 B1 B, 所以?CA1M 就是A1C与平面A1 B1 BA所成角的平面角. 2 因为AC ? BC ? a,AC ? BC,故CM ? a. 2 又在正方形AA1C1C中,A1C ? 2a.

2 a 2 ? 1, 在Rt ?A1 MC中, ?CA1 M ? sin 2a 2 3 所以?CA1 M ? 30?,所以 cos ?CA1 M ? . 2 3 综上所述,A1C与平面A1 B1 BA所成角的余弦值为 . 2

求线面角的常用方法:1.垂线法:过线上一点直 接作面的垂线,则射影与斜线所成的角就是线面角(关 键是找到垂足);2.等体积法:当垂足不好确定时,可 以不确定,用等体积法求距离,从而求得线面角.

【变式训练】(2011·4月杭十四中模拟)如图,已知 ? 梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=2AD=4, 2 E、F分别是AB、CD上的中点,G是BC的中点,DG 与 EF 相 交 于 H. 沿 EF 将 梯 形 ABCD 翻 折 , 使 平 面 AEFD⊥平面EBCF.

(1)求证:EG⊥平面BDH; (2)求二面角B-DC-F的余弦值. 方法1:(1)如图所示,因为EH=BG=2=EB,所以四边 形BEHG为正方形,所以BH⊥EG.又DH⊥EF,且平 面AEFD⊥平面EBCF,则有DH⊥平面EBCF,所以 DH⊥EG,又DH∩BH=H,因此EG⊥平面BDH.

(2)取DC的中点为K,AB的中点为M,连接KM, FK,EM,则四边形FKME为矩形. 因为EM⊥AB,所以EM⊥平面ABCD, 而FK∥EM,所以FK⊥平面ABCD, 因此可得平面FDC⊥平面ABCD, 则二面角B-DC-F的余弦值为0. 方法2:(1)连接HG,由已知条件知四边形HGBE为正 方形,则可得EG⊥HB,① 又由平面AEFD⊥平面EBCF,AE⊥FE,且DH∥AE, 则DH⊥平面EBCF,所以DH⊥EG,② 由①②知EG⊥平面BDH.

? 2 ? 建立空间直角坐标系如图,则可知A ? 2, 0, 0 ?,B ? 0, 2, 0 ?, D ? 2, 0, 2 ?,C ? 0, 2, 4 ?,F ? 0, 0,3?.不妨设平面BDC的法向量
为n1 ? ( x1,y1,z1 ),平面DCF的法向量为n2 ? ( x2,y2,z2 ). ??? ? ???? ? x1 ? y1 ? z1 ? 0 因为BD ? (2, 2, 2), ? ? ?2, 2, 2 ?,则有 ? ? DC , ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0 所以n1 ? ?1,1, 0 ?.又因为FD ? (2, 0, 1),DC ? ? ?2, 2, 2 ?, ? ?2 x2 ? z2 ? 0 则有 ? ,所以n2 ? (1, 1, 2). ? ?? x2 ? y2 ? z2 ? 0 因为n1 ?n2 ? 1 ? 1 ? 0 ? 0, 因此二面角B ? DC ? F的平面角为直角, 则二面角B ? DC ? F的余弦值为0.

1.解与三视图有关的问题的关键是明确各自的 投影方向,抓住“长对正,宽相等,高平齐”,将 三视图还原为几何体的直观图,再利用相关数量关 系解决问题. 2.解投影问题的关键是确定该图形的关键点, 如顶点等,画出这些关键点的投影,再依次连结即 可得此图形在该平面上的投影.此类题目要依据平 行投影的含义,借助于空间想象来完成.

3.解直观图问题的关键是熟悉斜二测画法的 特点:①已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观 图中仍然平行于x′ 轴或y′ 轴;②已知图形中平行与x 轴的线段长度保持不变,平行与y轴的线段长度变为 原来的一半.先根据这些关系还原出原图,再进行 相关计算.


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