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《第4章+圆与方程》2


《第 4 章 圆与方程》2 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分.以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1. (5 分)直线 x﹣y﹣2=0 的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60°

D.90° 2. (5 分)直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( ) A. B. C.y=3x﹣3 D. 3.

(5 分)直线 A. 或 与圆 x +y ﹣2x﹣2=0 相切,则实数 m 等于( ) B. C. D. 或 或 2 2 4. (5 分)过点(0,1)的直线与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为( )
2 2



A.2 B. C.3 D. 5. (5 分)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x﹣3y=0 和 x 轴相切,则该圆的标准方程是( A. B.(x﹣2)2+(y﹣1) C.(x﹣1)2+(y﹣3) D.
2 2



=1 =1 2 2 6. (5 分)已知圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+2) +(y﹣2) =1 B.(x﹣2) +(y+2) =1 C.(x+2) +(y+2) =1 D.(x﹣2) +(y﹣2) =1 7. (5 分)已知圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+1) +(y﹣1) =2 B.(x﹣1) +(y+1) =2 C.(x﹣1) +(y﹣1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2 8.设 A 在 x 轴上,它到点 的距离等于到点 Q(0,1,﹣1)的距离的两倍,那么 A 点的坐标是 A.(1,0,0)和(﹣1,0, B.(2,0,0)和(﹣2,0, C. D. ( ,0,0)和( ,0, ( ,0,0)和( 0) 0) 0) 0,0) 9. (5 分)直线 2x﹣y﹣1=0 被圆(x﹣1) +y =2 所截得的弦长为( A. B. C. 10. (5 分) (2010?湖北)若直线 y=x+b 与曲线
2 2



) D. ) ,3]

有公共点,则 b 的取值范围是( D.[

A.[ B.[ C.[﹣1, ] , ] ,3] 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分.将你认为正确的答案填写在空格上)
2 2 2 2

11. (5 分)若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为 ,则 a= _________ . 12. (5 分)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x﹣1 被该圆所截得的弦长为 ,则圆 C 的标准方程为 _________ . 13. (5 分)已知圆 C 的圆心与点 P(﹣2,1)关于直线 y=x+1 对称.直线 3x+4y﹣11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点, 且|AB|=6,则圆 C 的方程为 _________ . 14. (5 分)已知直线 2x+3y﹣1=0 与直线 4x+ay=0 平行,则 a= _________ . 15. (5 分)若直线 m 被两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 所截得的线段的长为 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15°② 30°③ 45°④ 60°⑤ 75°其中正确答案的序号是 _________ (写出所有正确答案的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 16. (12 分) (1)已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,求圆 C 的方程. 2 2 (2)求与圆 x +y ﹣2x+4y+1=0 同心,且与直线 2x﹣y+1=0 相切的圆的方程. 17. (12 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4, (Ⅰ )若直线 l1 过定点 A(1,0) ,且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ )若圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2:x+y﹣2=0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程.
2 2

18. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2: (x﹣4) +(y﹣5) =9. (1)判断两圆的位置关系; (2)求直线 m 的方程,使直线 m 被圆 C1 截得的弦长为 4,与圆 C2 截得的弦长是 6. 2 2 19. (12 分)已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣2) =25 及直线 l: (2m+1)x+(m+1)y=7m+4. (m∈R) (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程. 20. (12 分) (2014?吉林二模)已知:以点 为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交

2

2

2

2

于点 O、B,其中 O 为原点, (1)求证:△ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 21. (15 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y ﹣12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ )求 k 的取值范围; (Ⅱ )是否存在常数 k,使得向量 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
2 2

《第 4 章 圆与方程》2013 年单元测试卷(4)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分.以下给出的四个备选答案中,只有一个正确) 1. (5 分)直线 x﹣y﹣2=0 的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° 考点: 专题: 分析: 解答:

D.90°

直线的倾斜角. 计算题. 根据题意,求出直线的斜率,再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小. 解:直线 x﹣y﹣2=0 的斜率为 1,即直线倾斜角的正切值等于 1,又倾斜角大于或等于 0 小于 π,
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故倾斜角为



故选 B. 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角的大小,注意倾斜角的取 值范围. 2. (5 分) (2008?四川)直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( A. B. C.y=3x﹣3 D. )

考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 分析: 先利用两直线垂直写出第一次方程,再由平移写出第二次方程. 解答: 解:∵ 直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ∴ 两直线互相垂直
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则该直线为 那么将

, 向右平移 1 个单位得 ,即

故选 A. 点评: 本题主要考查互相垂直的直线关系,同时考查直线平移问题. 3. (5 分) (2008?陕西)直线 A. 或 B. 与圆 x +y ﹣2x﹣2=0 相切,则实数 m 等于( ) C . D . 或 或
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 分析: 圆心到直线的距离等于半径,求解即可. 解答: 2 2 解:圆的方程(x﹣1) +y =3,圆心(1,0)到直线的距离等于半径
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或者 故选 C. 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,是基础题. 4. (5 分) (2008?四川)过点(0,1)的直线与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为(
2 2



A.2

B.

C.3

D.

考点: 直线与圆的位置关系. 分析: 计算弦心距,再求半弦长,得出结论. 解答: 解:如图|AB|最小时,弦心距最大为 1,
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故选 B. 点评: 数形结合解答本题,它是选择题可以口算、心算、甚至不算,得出结果最好. 5. (5 分) (2008?山东)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x﹣3y=0 和 x 轴相切,则该圆的标准方程是 ( ) A. B.(x﹣2)2+(y﹣1) C.(x﹣1)2+(y﹣3) D.
2

=1

2

=1

考点: 专题: 分析: 解答:

圆的标准方程. 压轴题. 设圆心,然后圆心到直线的距离等于半径可解本题. 解:
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设圆心为(a,1) ,由已知得

,∴



故选 B. 点评: 本小题主要考查圆与直线相切问题.还可以数形结合,观察判定即可. 6. (5 分) (2009?宁夏)已知圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的方程 为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+2) +(y﹣2) =1 B.(x﹣2) +(y+2) =1 C.(x+2) +(y+2) =1 D.(x﹣2) +(y﹣2) =1 考点: 关于点、直线对称的圆的方程. 专题: 计算题. 2 2 分析: 求出圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1 的圆心坐标,关于直线 x﹣y﹣1=0 对称的圆心坐标求出,即可得到圆 C2 的 方程. 2 2 解答: 解:圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1 的圆心坐标(﹣1,1) ,关于直线 x﹣y﹣1=0 对称的圆心坐标为(2,﹣2)
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2

2

所求的圆 C2 的方程为: (x﹣2) +(y+2) =1 故选 B 点评: 本题是基础题,考查点关于直线对称的圆的方程的求法,考查计算能力,注意对称点的坐标的求法是本题的关 键. 7. (5 分) (2009?辽宁)已知圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A.(x+1)2+(y﹣1)2=2 B.(x﹣1)2+(y+1)2=2 C.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 )

2

2

考点: 圆的标准方程. 分析: 圆心在直线 x+y=0 上,排除 C、D,再验证圆 C 与直线 x﹣y=0 及 x﹣y﹣4=0 都相切,就是圆心到直线等距离, 即可. 解答: 解:圆心在 x+y=0 上,圆心的纵横坐标值相反,显然能排除 C、D;
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验证:A 中圆心(﹣1,1)到两直线 x﹣y=0 的距离是 圆心(﹣1,1)到直线 x﹣y﹣4=0 的距离是

; .故 A 错误.

故选 B. 点评: 一般情况下:求圆 C 的方程,就是求圆心、求半径.本题是选择题,所以方法灵活多变,值得探究. 8. (5 分)设 A 在 x 轴上,它到点 的距离等于到点 Q(0,1,﹣1)的距离的两倍,那么 A 点的坐标 是( ) A.(1,0,0)和(﹣1,0, B.(2,0,0)和(﹣2,0, C. D. ( ,0,0)和( ,0, ( ,0,0)和( , 0) 0) 0) 0,0) 考点: 空间两点间的距离公式;空间中的点的坐标. 专题: 计算题. 分析: 根据 A 在 x 轴上,设 A 点的坐标是(x,0,0) ,根据 A 到点 的距离的两倍,写出关于 x 的关系式,求出点的坐标. 解答: 解:∵ A 在 x 轴上, ∴ 设 A 点的坐标是(x,0,0)
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的距离等于到点 Q(0,1,﹣1)

∵ A 到点 ∴ |AP|=2|AQ| ∴

的距离等于到点 Q(0,1,﹣1)的距离的两倍,

∴ x=±1, 故选 A. 点评: 本题考查空间中点的坐标和两点之间的距离,本题解题的关键是根据点的位置,设出点的坐标,设出简单的坐 标形式是解题的捷径. 9. (5 分)直线 2x﹣y﹣1=0 被圆(x﹣1) +y =2 所截得的弦长为( A. B. C.
2 2

) D.

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 本题拟采用几何法求解,求出圆的半径,圆心到直线的距离,再利用弦心距、半径、弦的一半三者构成的直角 三角形,用勾股定理求出弦长的一半,即得弦长 解答: 解:由题意,圆的半径是 ,圆心坐标是(1,0) ,圆心到直线 2x﹣y﹣1=0 的距离是 =
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故弦长为 2

=

故选 D 点评: 本题考查直线与圆相交的性质求解本题的关键是利用点到直线的距离公式求出圆到直线的距离以及利用弦心 距、弦的一半、半径三者构成的直角三角形求出弦长.

10. (5 分) (2010?湖北)若直线 y=x+b 与曲线 A.[ , ] B.[ ,3]

有公共点,则 b 的取值范围是( C.[﹣1, ] D.[

) ,3]

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 本题要借助图形来求参数 b 的取值范围,曲线方程可化简为(x﹣2)2+(y﹣3)2=4(1≤y≤3) ,即表示圆心为 (2,3)半径为 2 的半圆,画出图形即可得出参数 b 的范围. 解答: 解:曲线方程可化简为(x﹣2)2+(y﹣3)2=4(1≤y≤3) , 即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,如图
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依据数形结合,当直线 y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线 y=x+b 距离等于 2,即 解得 或 , 因为是下半圆故可知 (舍) ,故 当直线过(0,3)时,解得 b=3, 故 故选 D. ,

点评: 考查方程转化为标准形式的能力,及借助图形解决问题的能力.本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见 题型. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分.将你认为正确的答案填写在空格上) 2 2 2 2 11. (5 分) (2009?天津)若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为 考点: 圆与圆的位置关系及其判定;圆方程的综合应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 画出草图,不难得到半径、半弦长的关系,求解即可. 解答: 2 2 解:由已知 x +y +2ay﹣6=0 的半径为 ,圆心(0,﹣a) ,
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,则 a= 1 .

公共弦所在的直线方程为,ay=1.大圆的弦心距为:|a+ | 由图可知 故答案为:1. ,解之得 a=1.

点评: 本小题考查圆与圆的位置关系,基础题. 12. (5 分) (2010?山东) 已知圆 C 过点 (1, 0) , 且圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 l: y=x﹣1 被该圆所截得的弦长为 2 2 则圆 C 的标准方程为 (x﹣3) +y =4 . ,

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 压轴题. 分析: 利用圆心,半径(圆心和点(1,0)的距离) 、半弦长、弦心距的关系,求出圆心坐标,然后求出圆 C 的标准 方程. 解答: 解:由题意,设圆心坐标为(a,0) ,则由直线 l:y=x﹣1 被该圆所截得
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的弦长为

得,

,解得 a=3 或﹣1,

又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3,故圆心坐标为(3,0) , 2 2 又已知圆 C 过点(1,0) ,所以所求圆的半径为 2,故圆 C 的标准方程为(x﹣3) +y =4. 2 2 故答案为: (x﹣3) +y =4. 点评: 本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解决直线与圆问题的能力. 13. (5 分) (2008?天津)已知圆 C 的圆心与点 P(﹣2,1)关于直线 y=x+1 对称.直线 3x+4y﹣11=0 与圆 C 相交于 A, 2 2 B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为 x +(y+1) =18 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 要求圆 C 的方程,先求圆心,设圆心坐标为(a,b) ,根据圆心与 P 关于直线 y=x+1 对称得到直线 PC 垂直与
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y=x+1 且 PC 的中点在直线 y=x+1 上分别列出方程① ② , 联立求出 a 和 b 即可; 再求半径, 根据垂径定理得到 |AB|、 圆心到直线 AB 的距离及圆的半径成直角三角形,根据勾股定理求出半径.写出圆的方程即可. 解答: 解:设圆心坐标 C(a,b) ,根据圆心与 P 关于直线 y=x+1 对称得到直线 CP 与 y=x+1 垂直, 而 y=x+1 的斜率为 1,所以直线 CP 的斜率为﹣1 即 再根据 CP 的中点在直线 y=x+1 上得到 = =﹣1 化简得 a+b+1=0① ,

+1 化简得 a﹣b﹣1=0② =3, |AB|=3

联立① ② 得到 a=0,b=﹣1,所以圆心的坐标为(0,﹣1) ;圆心 C 到直线 AB 的距离 d=

所以根据勾股定理得到半径



所以圆的方程为 x +(y+1) =18. 2 2 故答案为:x +(y+1) =18 点评: 此题是一道综合题,要求学生会求一个点关于直线的对称点,灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数 学问题.会根据圆心和半径写出圆的方程. 14. (5 分)已知直线 2x+3y﹣1=0 与直线 4x+ay=0 平行,则 a= 6 . 考点: 专题: 分析: 解答: 两条直线平行的判定. 计算题. 利用斜率都存在的两直线垂直,斜率之积等于﹣1,求出 a 的值. 解:∵ 直线 2x+3y﹣1=0 与直线 4x+ay=0 平行,
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2

2

∴ ﹣ =

,∴ a=6,

故答案为 6. 点评: 本题考查两直线垂直的性质,利用斜率都存在的两直线垂直,斜率之积等于﹣1,求出 a 值. 15. (5 分)若直线 m 被两平行线 l1:x﹣y+1=0 与 l2:x﹣y+3=0 所截得的线段的长为 ① 15°② 30°③ 45°④ 60°⑤ 75°其中正确答案的序号是 ① 或⑤ (写出所有正确答案的序号) 考点: 平行截割定理;直线的倾斜角. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: 先求两平行线间的距离,结合题意直线 m 被两平行线 l1 与 l2 所截得的线段的长为 角为 30°,推出结果. 解答: 解:两平行线间的距离为 ,
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,则 m 的倾斜角可以是

,求出直线 m 与 l1 的夹

由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30°,l1 的倾斜角为 45°, 所以直线 m 的倾斜角等于 30°+45°=75°或 45°﹣30°=15°. 故填写① 或⑤ 故答案为:① 或⑤ 点评: 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角,两条平行线间的距离,考查数形结合的思想. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 16. (12 分) (1)已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,求圆 C 的方程. 2 2 (2)求与圆 x +y ﹣2x+4y+1=0 同心,且与直线 2x﹣y+1=0 相切的圆的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 专题: 计算题;转化思想;直线与圆. 分析: (1)根据垂径定理可得弦 AB 的垂直平分线必然过圆心,故利用线段中点坐标公式求出 AB 的中点坐标,由 A 和 B 的坐标求出直线 AB 的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 求出线段 AB 垂直平分线的斜率,由求 出的斜率与 AB 的中点坐标得出线段 AB 的垂直平分线方程,又圆心在 x 轴上,令求出的直线方程中 y=0,求 出 x 的值,可确定出圆心 C 的坐标,再由 A 和 C 的坐标,利用两点间的距离公式求出|AC|的长,即为圆 C 的 半径,由圆心和半径写出圆 C 的标准方程即可. (2)求出圆的圆心坐标,利用圆与直线相切,求出圆的半径,即可得到圆的方程. 解答: 解: (1)∵ A(5,1) ,B(1,3) ,
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∴ 线段 AB 的中点坐标为( 直线 AB 的斜率 kAB=

, =﹣ ,

) ,即(3,2) ,

∴ 线段 AB 垂直平分线的方程为 y﹣2=2(x﹣3) ,即 y=2x﹣4,

又圆心在 x 轴上,∴ 令 y=0,得到 2x﹣4=0,即 x=2, ∴ 圆心 C 坐标为(2,0) , ∴ 圆的半径 r=|AC|= 则圆 C 的方程为(x﹣2) +y =10. (2)解:所求圆的圆心坐标为 (1,﹣2) , 因为直线与圆相切,所以圆的半径为:
2 2 2 2

=



=

所以所求圆的方程为: (x﹣1) +(y+2) =5. 点评: 此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:线段的中点坐标公式,两直线垂直时斜率满足的关系,直线的点斜 式方程,一次函数与坐标轴的交点,两点间的距离公式,以及垂径定理的运用,根据题意确定出圆心 C 的坐标 是解本题的关键,考查直线与圆相切的关系的应用,圆的方程的求法,考查计算能力. 17. (12 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4, (Ⅰ )若直线 l1 过定点 A(1,0) ,且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ )若圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2:x+y﹣2=0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程.
2 2

考点: 圆的标准方程;圆的切线方程. 专题: 计算题. 分析: (I)由直线 l1 过定点 A(1,0) ,故可以设出直线的点斜式方程,然后根据直线与圆相切,圆心到直线的距离 等于半径,求出 k 值即可,但要注意先讨论斜率不存在的情况,以免漏解. (II)圆 D 的半径为 3,圆心在直线 l2:x+y﹣2=0 上,且与圆 C 外切,则设圆心 D(a,2﹣a) ,进而根据两圆 外切,则圆心距等于半径和,构造出关于 a 的方程,解方程即可得到答案. 解答: 解: (Ⅰ )① 若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x=1,符合题意. (1 分)
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② 若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即 (4 分)

解之得



所求直线方程是 x=1,3x﹣4y﹣3=0. (5 分) (Ⅱ )依题意设 D(a,2﹣a) ,又已知圆的圆心 C(3,4) ,r=2, 由两圆外切,可知 CD=5 ∴ 可知 =5, (7 分)

解得 a=3,或 a=﹣2, ∴ D(3,﹣1)或 D(﹣2,4) , 2 2 2 2 ∴ 所求圆的方程为(x﹣3) +(y+1) =9 或(x+2) +(y﹣4) =9. (9 分)

点评: 本题考查的知识点是圆的方程,直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系,其中(1)的关键是根据直线与圆 相切,则圆心到直线的距离等于半径,构造出关于 k 的方程, (2)的关键是根据两圆外切,则圆心距等于半径 和,构造出关于 a 的方程. 18. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2: (x﹣4) +(y﹣5) =9. (1)判断两圆的位置关系; (2)求直线 m 的方程,使直线 m 被圆 C1 截得的弦长为 4,与圆 C2 截得的弦长是 6. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: (1)先根据两圆的方程求出这两个圆的圆心和半径,再根据两个圆的圆心距大于半径之和,可得两个圆相离. (2)由题意得,所求的直线过两圆的圆心,即为连心线所在直线,用两点式求得得连心线所在直线方程. 解答: 解: (1)由于圆 C1 的圆心 C1(﹣3,1) ,半径 r1=2;圆 C2 的圆心 C2(4,5) ,半径 r2=2.可得两圆的圆心距 C1C2= = >r1+r2, ∴ 两圆相离. (2)由题意得,所求的直线过两圆的圆心,即为连心线所在直线,
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2

2

2

2

用两点式求得得连心线所在直线方程为:

,即 4x﹣7y+19=0.

点评: 本题主要考查两个圆的位置关系的判定方法,用两点式求直线的方程,属于中档题. 19. (12 分)已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣2) =25 及直线 l: (2m+1)x+(m+1)y=7m+4. (m∈R) (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;直线和圆的方程的应用. 专题: 证明题;综合题. 分析: (1)要证直线 l 无论 m 取何实数与圆 C 恒相交,即要证直线 l 横过过圆 C 内一点,方法是把直线 l 的方程改 写成 m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0 可知,直线 l 一定经过直线 2x+y﹣7=0 和 x+y﹣4=0 的交点,联立两条直线的方 程即可求出交点 A 的坐标,然后利用两点间的距离公式求出 AC 之间的距离 d,判断 d 小于半径 5,得证; (2)根据圆的对称性可得过点 A 最长的弦是直径,最短的弦是过 A 垂直于直径的弦,所以连接 AC,过 A 作 AC 的垂线,此时的直线与圆 C 相交于 B、D,弦 BD 为最短的弦,接下来求 BD 的长,根据垂径定理可得 A
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是 BD 的中点, 利用 (1) 圆心 C 到 BD 的距离其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长, 根据勾股定理可求出 |BD| 的长,求得|BD|的长即为最短弦的长;根据点 A 和点 C 的坐标求出直线 AC 的斜率,然后根据两直线垂直时斜 率乘积为﹣1 求出直线 BD 的斜率,又直线 BD 过 A(3,1) ,根据斜率与 A 点坐标即可写出直线 l 的方程. 解答: 解: (1)直线方程 l: (2m+1)x+(m+1)y=7m+4,可以改写为 m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0,所以直线必经过直 线 2x+y﹣7=0 和 x+y﹣4=0 的交点.由方程组 解得 即两直线的交点为 A(3,1) ,

又因为点 A(3,1)与圆心 C(1,2)的距离 , 所以该点在 C 内,故不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交. (2)连接 AC,当直线 l 是 AC 的垂线时,此时的直线 l 与圆 C 相交于 B、D.BD 为直线 l 被圆所截得的最短 弦长.此时, 又直线 AC 的斜率 ,所以 ,所以直线 BD 的斜率为 2. .即最短弦长为 .

此时直线方程为:y﹣1=2(x﹣3) ,即 2x﹣y﹣5=0. 点评: 本题考查学生会求两直线的交点坐标,会利用点到圆心的距离与半径的大小比较来判断点与圆的位置关系,灵 活运用圆的垂径定理解决实际问题,掌握两直线垂直时斜率的关系,会根据斜率与一点坐标写出直线的方程,

是一道综合题.

20. (12 分) (2014?吉林二模)已知:以点

为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交

于点 O、B,其中 O 为原点, (1)求证:△ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系;直线的截距式方程;圆的标准方程. 分析: (1)求出半径,写出圆的方程,再解出 A、B 的坐标,表示出面积即可. (2)通过题意解出 OC 的方程,解出 t 的值,直线 y=﹣2x+4 与圆 C 交于点 M,N,判断 t 是否符合要求,可 得圆的方程. 解答: 解: (1)∵ 圆 C 过原点 O,
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, , ,

设圆 C 的方程是 令 x=0,得 令 y=0,得 x1=0,x2=2t ∴ 即:△ OAB 的面积为定值; (2)∵ OM=ON,CM=CN, ∴ OC 垂直平分线段 MN, ∵ kMN=﹣2,∴ ∴ 直线 OC 的方程是 ∴ , , ,

,解得:t=2 或 t=﹣2, , ,

当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) , 此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离

圆 C 与直线 y=﹣2x+4 相交于两点, 当 t=﹣2 时,圆心 C 的坐标为(﹣2,﹣1) , 此时 C 到直线 y=﹣2x+4 的距离 ,



圆 C 与直线 y=﹣2x+4 不相交, ∴ t=﹣2 不符合题意舍去, 2 2 ∴ 圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =5. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆的标准方程等有关知识,是中档题. 21. (15 分) (2007?海南)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y ﹣12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ )求 k 的取值范围; (Ⅱ )是否存在常数 k,使得向量 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用;向量的共线定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ )先把圆的方程整理成标准方程,进而求得圆心,设出直线方程代入圆方程整理后,根据判别式大于 0 求 得 k 的范围,
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(Ⅱ )A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根据(1)中的方程和韦达定理可求得 x1+x2 的表达式,根据直线方程可求得 y1+y2 的表达式,进而根据以 围可知,k 不符合题意.
2 2 解答: 解: (Ⅰ )圆的方程可写成(x﹣6) +y =4,所以圆心为 Q(6,0) ,过 P(0,2) 且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2.



共线可推知(x1+x2)=﹣3(y1+y2) ,进而求得 k,根据(1)k 的范

代入圆方程得 x +(kx+2) ﹣12x+32=0, 2 2 整理得(1+k )x +4(k﹣3)x+36=0. ① 2 2 2 2 直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于△ =[4(k﹣3) ]﹣4×36(1+k )=4 (﹣8k ﹣6k)>0, 解得 ,即 k 的取值范围为 . ,

2

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(Ⅱ )设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

由方程① , 又 y1+y2=k(x1+x2)+4. ③ 而 所以 与



. 共线等价于(x1+x2)=﹣3(y1+y2) , . ,故没有符合题意的常数 k.

将② ③ 代入上式,解得 由(Ⅰ )知

点评: 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用.常需要把直线方程与圆的方程联立,利用韦达定理和判别式求得 问题的解.

参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;qiss;wzj123;sllwyn;xintrl;zhwsd;翔宇老师;涨停(排名不分先后)
菁优网 2014 年 9 月 20 日


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