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竞赛中的组合计数问题


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数学通讯 —— 2 O O 9年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

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竞赛 中 的组 合 计数 问题 
李义国   田   华  

( 湖北省荆州中学, 4 3 4 0 2 0 )  ( 湖北省武汉市卓刀泉中学。 4 3 0 0 7 9 )  

组 合 计 数 问 题 是 数 学 竞 赛 中 常见 的 一 类 问 题 ,  

分 析  设 三 位 数 为  , 对4 . 6 , c 的 可 能取 值 进  行分析 , 再分类进行计数.  
讲 解  设 三 位 数 为  。 则  +   一1 0 0 ( a+ 

解 决 这 类 问题 的 基 本方 法 有 :   ( 1 )运 用 枚举 法 . 把 要 计 数 的 集 合 M 中 的元 素  逐一列举 出来 。 不 重复 不遗漏 , 从 而 计 算 出 集 合 M 
中 元 素 的个 数 .  

c ) +1 0 ( 6 +6 ) +( 口+ c ) , 若 口+ c 不进 位 , 则 和 数 的  十位数必为偶数 , 不符合题意 , 所以n +C 只能是 1 i 。  
l 3, 1 5. i7 .  

( 2 ) 利 用 基 本 计数 原 理 ( 加 法原理 和乘 法原理)   和基本公式 , 适 当地 分 类 和分 步 枚 举 再 计 算 总数 .  
( 3 ) 利用配对原 理 : 对 于 两 个 不 具 有 同 类 元 素 

因为 1 l= 9 + 2— 8 + 3— 7 + 4= 6 +5 , 所 以 

a , f 取值有 4 A i种可 能 ;  

.  

的 有 限 集 合 A 与 B, 如 果 存 在 集 合 A 到 集 合 B 上 的 
双射( 即一 一 映 射 ) ,, 则 集 合 A 与 B 的 元 素 个 数 相 

因为 1 3= 9 + 4— 8 +5 —7 +6 , 所以口 , c 取值   有3 A ;种 可 能 ;  

等. 即f   A   f —f   B   f . 当直接计算集合 A中的元 素个数 
I   A   I 较 困难 时 . 可设 法建 立 一 个 从 集合 A 到集 合 B   的双射 , , 并 且 如 果 集 合 B中 的 元 素 个 数 I   B   l 容 易  算出, 那 么 所 求 A 中 的元 素 个数 为 J   A{ 一{ B }, 这  种 计 数 方 法 称 为 映射 方 法 ( 一一对应的方法) .  
( 4 )在 解 决 某 些 组 合 计 数 问 题 时 。 需 要 对 同 一  个 量 用 两 种 不 同 的方 法 去 计 数 , 根 据 所 得 的 结 果 相  等得到方程式 . 再来 求解 . 这 种 通 过 建 立 方 程 式 来 解  题 的方 法 称 为 算 两 次 方 法 .   ( 5 )在解 决 某 些 组 合 计 数 问 题 时 , 需 要 根据 已   知条件建立相应的递推 关 系式进行 求解 , 这种方法  称为递推方法.   ( 6 ‘ ) 利用容斥原 理 : 设 A1 , A   一, A  是 有 限 集  合 S 的 子集 . 则 

因为 1 5 —9 +6 =8 +7 , 所以 a . c 取值有 2 A ; 种 
可能 ;   因为 1 7= 9 +8 , 所以a , c 取 值 有 A1 种可能 ;   由于 b +b 不 能进 位 . 所以b 只能取 0 。 l , 2 。 3 , 4 .   因此 。 满 足 条 件 的数 共 有 5 ( 4 A ; +3 A; +2 Al +  A 1 )一 1 0 0个 , 故选 ( A) .   评 注  本 题 以 4 +c 的可能取值为突破 口, 分 类 

进行 考虑 . 再 利 用 计 数 原 理 求 出结 果 .  
例 2 ( 1 9 9 6年 全 国联 赛 试 题 )从 给定 的 六 种 

不 同颜 色 中选 用若 干 种 颜 色 。 将 一 个 正 方 体 的 六 个  面染 色 , 每 面 恰染 一 种 颜 色 , 每两 个 具 有 公 共 棱 的 面 
染 成 不 同 的颜 色. 则不同的染色方法共有
— —

种.  

( i t: 如果我们对两个 相 同的正方 体染 色后 , 可 以 通  过 适 当的 翻 转 , 使 得两 个 正 方体 的 上 、 下、 左、 右、 前、  

I   A   u   A 。 u…u   A   f 一∑ I   A   I 一∑ f   A  
;1   1 ≤l <  ≤m 

后 六 个 对 应 面 的染 色 都 相 同 , 那么 , 我 们 就 说 这 两 个  正 方 体 的 染 色 方 案 相 同. )  
分 析  本 题 是 几 何 计 数 问 题 . 可 按 照 一 定 的标 

n  
?

J + 

I   A  n   A  n   A  j +…+ ( 一1 )  

1 ≤f <, <‘ ≤ 肌 

I   At   n   A 2   n… n   A  I . ’  

准分类来进行计数 , 关 键是做到不重复、 不遗漏.   讲 解  因为 有 公 共 顶 点 的三 个 面互 不 同 色 , 故  至 少 要 用 3种 颜 色 , 下 面分 四种 情形 来 考 虑 .   ( 1 ) 6种 颜 色 都 用 时 , 现 将 染 某 种 固定 颜 色 的 面  朝上 , 从 剩 下 5种 颜 色 中取 一 种 颜 色 染 下 底 面 有  种 方法 , 余 下 4种 颜 色 染 四个 侧 面 ( 应 是 4种 颜 色 的  圆 排列 ) 有3   1 种 方法. 所 以不同 的染色方 案有 c l?  
3   1— 3 0种 .  

解决组合 计数 问题不 仅 要具 有 扎实 的基 础知  识, 还要注意分析题设条件 , 灵活地选取 计数 方法.  
例 1 ( 2 0 0 7年 广 西预 赛 试 题 )将 一 个 三 位 数  的三 个 数 字 顺 序 颠 倒 , 将所得 到的数与原数相加 , 若  和 中没 有 一 个 数 字 是 偶 数 , 则 称 这 个数 是 “ 奇和数” ,  
那么 , 所 有 的 三位 数 中 . 奇 和 数 有 
( A) i 0 0 个.   ( C) 1 6 0个 .   ( B ) 1 2 0个 .   ( D ) 2 0 O个 .  

(  

)  

( 2 )只用 5种 颜 色 时 , 从 6 种 颜 色 中取 5种颜 色 

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数学通讯 ——2 O 0 9年 第 5 、 6期 ( 上 半 月)  

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有C ; 种方法 . 这 时 必 有 一 组 对 面 同色 . 从5 种颜色 中   取一种颜 色 染一组 对 面 , 并将 它们朝 上 和朝下 。 有  C 5 种方法 , 其 余 4种颜 色染 四个 侧 面 ( 应是 4 种 不 同 
1  

评 注  本题 实质 是 计 数 . 逐 步 推算 时要 注 意计 
数 的 准确 性.   例4 ( 2 0 0 5 年 全 国联 赛 试 题 ) 记 集 合 T一 { 0 ,  

颜色的链排列 ) 有  1× 3   1 种方法. 所 以 不 同 的染 色 
‘  1  

1 ? 2 , 3 , 4 ? 5 . 6 ) ? M = { 等 + 务+  + 笋I   m ∈ T ?  
i —1 . 2 , 3 。 4 } , 将 M 中 的 元 素 按 从 大 到 小 的 顺 序 排 
列, 则第 2 0 0 5个 数是 
( A)_ 5
, ,。

方案有 c 2 ? C 3 ? ÷ ? 3   1 =9 0 种.  
‘ 

(  
+3
,   .  

)  

( 3 )只 用 4种 颜 色 时 , 从 6种颜 色 中取 4种颜 色  有C : 种方法 , 这时必有两组 对面 同色, 另 一 组 对 面  不 同色 , 将 不 同 色 的 一组 对 面 朝 上 和 朝 下 。 并 从 4种  颜色中取两种颜色染上、 下底面 . 有C : 种方法. 其 余  两 种 颜 色 染 四个 侧 面 且使 两 组 对 面 同 色 ( 应 是 两 种 
不同颜色的链排列) , 只 有 1种 方 法 . 所 以 不 同 的 染 


,  

色方案有 C : ? C l ?1— 9 0种.  
( 4 )只用 3种 颜 色 时 . 从6 种颜色中取 3 种 颜 色  有C : 种方法 , 这 时三 组 对 面 都 同 色 , 用 三 种颜 色 去  染它们只有 1 种方法. 所 以不 同的 染 色 方案 有 c {? l  


( B ) 辜 + 嘉 +  + 吾 .   c c   专 +  +  +  .   c D   专 + 軎 +  + 暑 .  
分 析  本题 直接 推算 比较 复杂 . 可 考 虑 应 用 配  对 原 理 来 进 行转 化 , 关 键 是 构造 出恰 当 的配 对 关 系 .  

讲 解  用 [ 口   口 2 . . ?  ] , 表示 意 位 p进 制数 , 将 集  合 M 中 的 每 个 数乘 以 7 ‘ , 得 
M 一 { 口 1   7 。 +n 2 7 。- 4 - m7+ m  l   ∈ T.  = 1 ,  

2 0种 .  

综上可知 。 不 同的 染 色方 案共 有 3 O +9 0 +9 O + 
2 0— 2 3 0种 .  

2 , 3 , 4 }一 { [ n 1 a l a 3 口 。 ] 7   l   n  ∈ T, i 一1 , 2 , 3 , 4 ) .   则  中 最 大 的数 是[ 6 6 6 6 ] , 一E 2 4 0 0 ] . 。 . 显然 ,  
M 与 M 之 间 可 按 上 面 的 变 化 方 式 建 立 一 一 对 应 
关 系.   .  

评 注  几 何 计 数 问 题 一 定 要 抓 住 图 形 特 征 来  进 行考 虑 .   例3 ( 2 0 0 7年 江 西省 预 赛试 题 ) 将 各 位 数 码 

不大于 3 的 全 体 正 整数 m 按 自小 到 大 的顺 序 排 成 一 
个 数列{ 口   ) . 则n 2 0 o  =   .  

在 十进 制 数 中 , 从 2 4 0 0 起 从 大 到小 顺 序 排 到 第  2 0 0 5个 数 是 2 4 0 0— 2 0 0 4— 3 9 6 .而 [ 3 9 6 3 1 o=  

分 析  本 题 需 要 根 据 符 合 要 求 的数 的位 数 多 
少, 逐 步 缩 小 范 围进 行求 解 .   讲 解  简 称 各 位数 码 不 大 于 3的 数 为 “ 好数” .   则  位 好 数 有 3 个, 两位 好 数 有 3×4— 1 2 个, 三 位  好数有 3 ×4 。 =4 8个 . . . ? 。   位好 数 有 3×4   个, k  


E l l O 4 3   . 将此 数除以7 ‘ , 便得M中的 数为专+音+  

+ 鲁, 故 选 ( c ) .  
评 注  配对 原 理 充 分 体 现 了 问 题 转 化 的解 题 
策 略。 为 了更 好 地 实 现 这 种 转 化 , 必 须 多 掌 握 一 些 典  型 的便 于 计 算 的 集 合 的 事 例 . 或 者 说 是 典 型 的 计 数 

1。 2. … .  
^ 

记s   一3 ?> : 4  , 因S 5 <2 0 0 7 <S 6 , 2 0 0 7 一  
h 。  
= 一

l  

模 型。 同 时 还要 掌 握 集 合 问建 立 双 射 的技 巧 .  
例5 ( 2 0 0 0年 全 国联 赛 题 ) 有  个 人 , 已知 他 

S s 一9 8 4 。 即第 2 0 0 7 个 好数 为第 9 8 4 个 六位 好 数 ; 而  六 位好 数 中 , 首 位 为 I的 共 有 4  = 1 0 2 4个 . 前 两 位 
为1 O , l 1 。 l 2 , l 3的各 有 4 ‘一 2 5 6 个。 因 此第 2 0 0 7个 

们 中 的任 意 两 人 至 多 通 电 话 一 次 。 他们中的任意 n 一  2个 人 之 间 通 电话 的 总 次 数 相 等 , 都是 3  次 。 其中 是   是 自然 数 , 求  的所 有 可能 值 .   分 析  要 求 出  的所 有 可 能 值 , 需 要 先 建 立 关  于 ”的关 系式 , 再来分析求解.  
讲 解  数为 m .   显 然  ≥ 5 . 设  个 人 之 间通 话 的总 次 

好 数 的 前 两位 数 为 1 3 , 且 是前 两 位 数 为 1 3的第 9 8 4  


3 ×2 5 6— 2 1 6 个数 ; 而前 三 位 为 1 3 0 , 1 3 1 , 1 3 2 , 1 3 3   的 各有 6 4 个, 则n 。 。 。   的前 三位 为 1 3 3 . 且 是 前 三 位 数 

为1 3 3的第 2 1 6 — 3× 6 4= 2 4 个数.   而前 四 位 为 1 3 3 0 , 1 3 3 1 , 1 3 3 2 , 1 3 3 3的 各 有 1 ' 6   个, 则口 。 O 0  的前 四位 为 1 3 3 1 , 且 是 前 四位 数 为 1 3 3 1  
的第 2 4 —1 6— 8 个数 ; n   的前 五 位 为 1 3 3 1 1 , 且 是  前 五位 数 为 1 3 3 1 1的 第 8— 4 = 4个 数 , 则 口 2 。 o 7  


因 为  个 人 可 构 成 C  。 个不 同的, l 一2 人组 , 而 
任 意  一 2 个 人 之 间 通 电话 的总 次数 都 为 3   , 故 所 有 


2人 组 中 通话 次数 的总 和 为 C : 『 。 ? 3   . 另一方面 ,  

1 33l 1 3 .  

上 述计 数 中 , 每 一对 通话 的人 属 于 C : 二 { 个 一2 人组,  

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数 学 通 讯 —— 2 O O 9年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

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故 每两 人 之 闯 的一 次 通 话 重 复计 算 了 C : 二 {次 。 所 以 
C70?3 ‘  
m = —  : 

满足不定方程 ②。 所以A  n   A  n  
根据容斥原理 , 可 得 

:j 2 『 .  

n (  — 1 )?3  
=  ’  

( 1 ) 若3 不整除 " 。 即( 3 ,   )= l , 则( , z .  一 3 )一  

. 

I —I   A   l -I U   A 。 l  


6  

(  , 3 )= 1 , (  一 3 , 3   )一 l , 所以   一3   j  一 1 , 即 
  .



I   A   I 一∑ I   A 。 I +∑ I   A , n   A 。 1  
^ 喜1   』 <^  





0 

l + —  为正 整数 . 所 以  一3≤ 2 。  ≤ 5 .  
一 0 



C i . 一6  。 +c : c 2  
2 00 2一 l 51 2+ 9 0= 5 80 .  

又 n≥ 5 。 故  一 5 .  



( 2 ) 若 3整 除 . 则3 整除 , z 一3 , 3 不 能整 除 " 一 
2 . 即( 3 .  一 2 )一 1 . 又(  一 2 ,  一 1 )= 1 . 所 以  一 

因 为 5种 新 式 武 器 各 不 相 同 . 互 换 位 置 得 到 不  同 的排 列数 , 所 以配 备 新 式 武 器 的方 案数 等 于 5 8 0 ×  
5   1= 6 9 6 0 0 .  

2    ? I 即  

一l +  

为正整数? 所以  一2 ≤2 ?  

评 注  引 入 变 量 后 . 原 问 题 转 化 为 有 限 制 条 

≤4 , 这 与  ≥ 5矛盾 .  
由( 1 ) , ( 2 ) 知  只可 能 为 5 .  

件 的不定方程 的正整数解 的问题 . 有很 多竞赛 问题 
都 可以类似地进行 转化并求解 .  
练 习墨 

另一方面 , 若  一 5 . 其 中 每 两 人 之 间 通 电 话 一 
次, 则 任 意 一2 —3 人 之 间 通 电 话 的 总 次 数 为  一   3  次 . 满 足题 目要 求 .  

1 .( 2 0 0 8年 黑龙 江省 预 赛 试 题 ) 将 正 方 形 的 每 
条 边 8等 分 , 再取 分点 为顶 点( 不 包 括 正 方 形 的 顶 

综 上 所述 .   一 5为  的所 有 可 能值 .   评 注  本题 利用 算 两 次方 法得 到 一 个 等 式 , 进  而 得 出 通 话 总 次数 , , l 与  . k之 间 的 关 系 式 , 再 根 据  整 除 的性 质进 行 讨 论 , 大 大 简 化 了原 问题 .  
例6 ( 2 O O 5年 浙 江 省 预 赛 试 题 )在 一 次 实 战 

点) , 可 以 得 到 不 同 的 三 角 形个 数 为 
( A) 1 3 7 2 个.   ( C ) 3 1 3 6 个.   ( B ) 2 0 2 4 个.   ( D) 4 4 9 5个 .  

(  
?  

)  

2 .( 2 0 0 7 年 汪 西省 预 赛 试 题 ) 正 整数 集合  的 

军事演 习 中, 红方 的一 条直线 防线 上设 有 2 O个 岗  位. 为 了试 验 5种 不 同 新 式 武 器 , 打算安排 5 个 岗 位 
配备这些新式武器 , 要 求 第 一 个 和 最 后 一 个 岗 位 不 

最小元 素为 1 。 最大 元素为 2 0 0 7 , 并 且各 元素可 以从 
小 到 大 排 成 一 个 公 差 为 k的 等差 数 列 , 则 并 集 A  , U  
A。 ,中 的元 素个 数 为 
( A) 1 1 9 .   ( C) 1 5 1 .   ( B) 1 2 0 .   ( D) 1 5 4 .  

(  

)  

配备新式武器 , 且 每 相 邻 5个 岗 位 至 少 有 一 个 岗 位  配备新式武器 , 相邻两个岗位不同时配备新式 武器 .  
问 共 有 多 少 种 配备 新 式 武 器 的方 案 ?   分 析  这 是 一个 实 际 应 用 问题 , 先 要 根 据 题 意  把 它数 学 化 。 转 化 为 不 定方 程 的 整数 解 问 题 , 再 用 容  斥 原 理来 进 行 计 算 . .   讲 解  设2 O个 岗 位 按 先 后 排 序 为 1 , 2   . - .  
为 

3 .( 2 0 0 6 年 全 国联 赛 试题 ) 数 码  。 砚, m. . . ? m撕  

中有奇数个 9 的2 0 0 7 位十进制数 
1  

的个数 
(   )  

( A ) ÷( 1 0  ‘ +8  ) .  
厶 
1  

2 O 。 且 设 第 志种新 式 武 器 设 置 的序 号 为 4 t ( 七一 l 。 2 .   3 , 4 . 5 ) . 令 l 盎G 1 ,   2 =口 2 一口 l ,  3 一口 a 一口 2 , X 4 =  口 4 一口 3 , 站 =n 5 一   . 魂 一2 0 一口 5 。 则 有  + 2 + 3 + ‘ +z 5 - 4 - 如 一2 0   其 中 2≤ 魏 ≤ 5 ( k— l , 2 。 3 . 4 。 5 ) ,  
1≤ X 6≤ 4 .  

( B ) ÷ ( 1 0   一8  ‘ ) .   ‘ 
( C) 1 0 。   + 8   .  
( D) 1 0   一8   .  

① 

4 .( 2 0 0 4年 全 国联 赛 试 题 ) 设三位数 , l : 

.  

若以口 , 6 . c 为三条边 的长 可 以构成一 个等腰 ( 含 等  边 )三 角 形 。 则 这 样 的 三位 数  有  ( A) 4 5个 .   ( C ) l 6 5 个.   ( B ) 8 1 个.   ( D ) 2 1 6个 .   (   )  

作 代 换  一  . 一1 ( 志= l , 2 , 3 , 4 , 5 ) ,   =  6 ,  
从 而 有  1 +  +  + y 4   4 -  5 +y 6; 1 5   ② 

s .将 正 方 体 的 任 意 两 个 顶 点 连 一 条 直 线 , 在 这 

其中 1 ≤弘≤4 ( k   1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) .   设 A 为 不 定 方 程 ② 的正 整 数 解 的 全 体 ,   ( 奄 =  I 。 2 。 3 , 4 . 5 , 6 ) 为 A 中满 足 j , 。 > 4的解 的 全体 . 因 为  没 有 同 时 满 足  > 4 ,   >4 ,   > 4的 的 正 整 数 组 

些直线中互相垂直的异面直线有 

对.  

6 .( 2 0 0 8 年 湖 南 省 预 赛 试题 ) 将一个 4 ×4 棋 盘 

中的 8个小方格染成黑色 。 使得每行 、 每列 都恰 有两 
个黑色方格 , 则有
— —

不 同 的染 法. ( 用数 字作 答 )  

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数 学通 讯 —— 2 O 0 9年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

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7 .( 美 国第 l 4届 数 学 邀请 赛试 题 ) 一个 7 ×7 的 

棋 盘的 2 个方格 着黄色 . 其 余 的 方 格着 绿 色 . 如 果 一 
种 着 色 法 可 以从 另 一 种 着 色法 经 过 在 棋 盘 的 平 面 中   的旋 转 而 得 到 。 那 么 这 两 种 着 色 法 看成 同一 种 , 那 么  可 能 有  不 同 的着 色 法 .  

( 9 一1 )   一∑ c  ? ( ~1 )   ? 9  ~ , 从 而 得  
k = 0  

A  
1  
=  

o 0 6? 9 。   。 - t - C ; o o 6? 9   +…+C 2 o 0 0 o 6 9 5?  
( 1 o 。   一 8 。   ) .  

4 .( C) .  

8 .( 1 9 8 9年 全 国联 赛 试 题 )如 果 从 数 1 . 2 。 …。  

1 4 中, 按 由小 到 大 的顺 序 取 出 n - , a z . a 。 , 使 同 时 满 足 
口 2 一a 1 ≥3 , 口 3 ~口 2 ≥3 , 则 满 足上 述 条 件 的 不 同 取  法 共 有  种.  

a , 6 , C 要 能 构 成 三 角形 的边 长 , 显然均不为0 . 即 
a, b, c∈ { 1 . 2. …。 9 ) .  

( 1 ) 若构成等边 三角形 . 设 这 样 的 三 位 数 的 个  数 为  , 由 于 三 位 数 中三 个 数 码 都 相 同 , 所 以  一 
c 5— 9 .  

参 考 答 案 和 提 示 
1 .( C) .  

( 2 )若 构 成 等腰 ( 非 等 边 )三 角 形 , 设 这 样 的 三 
位 数 的个 数 为 n z . 由于 三 位 数 中 只有 2个 不 同数 码 .   设为 n 、 b , 注意到三角形腰与底 可以置换 , 所 以 可 取  的数 码 组 ( n 。 6 ) 共有 2 C ; 组. 但 当大 数 为 底 时 , 设 口  

解法 1   首 先 注 意 到 三 角形 的 三个 顶 点 不 在 正 
方 形 的 同一 边 上 .  

任 选 正 方 形 的三 边 . 使三个顶点分别在其上 . 有  4 种 方法 ; 再 在 选 出 的 三 条 边 上 各选 一点 。 有7 。 种 方  法. 这 类 三 角形 共 有 4   X   7 。   1 3 7 2 个.  

>b , 必须 满 足 b <a <2 b . 此时 , 不 能 构 成 三 角 形 的 
数 码 是 
9   8   7   6   5   4   3  2  1  

另外 , 若 三 角形 有 两 个 顶 点 在 正 方 形 的 一 条 边  上, 第 三个 顶 点 在 另 一 条 边 上 , 则 先 取 一 边 使 其 上 有  三 角 形 的两 个 顶 点 , 有 4种 方 法 , 再 在 这 条 边 上 任 取 

4, 3, 2, 1   4, 3. 2, 1  3。 2. 1  3。 2 , l   1 . 2   1。 2   1  1  

共 2 O种情 况 .  

同时 , 每个数码组 ( 口 , 6 )中 的 二 个 数 码 填 上 三 

两点有 2 1 种方 法 , 然 后 在 其余 的 2 1 个 分点 中 任取 一  点作为第三个顶点. 这 类 三 角 形 共 有 4× 2 1× 2 1;  
l 7 6 4个 .  

个数位 , 有C ; 种情况.   故 2一 C j ( 2 C ; 一2 O )一 6 ( C 3 —1 0 )= 1 5 6 .  
综上 , n—  l +耽 = 1 6 5 , 故选( C ) .  
5 .7 8.  

综上可 知. 可得 不 同 三角 形 的个 数 为 1 3 7 2+ 
1 76 4 — 31 36 .  

与 一 条 棱垂 直且 异 面 的直 线 有 6条 ( 4条棱 和 2   条侧面对角线) , 1 2条棱 一 共 可 生 成 l 2× 6— 7 2对  异面直线 ;   其次 , 与 一 条 侧 面 对 角 线 垂 直 且 异 面 的 直 线 有 
0 2 0
. . .

解法 2   a  一4 C = 3 1 3 6 .  
2 .( C) .  

用l   A   I 表示集合A 。 的元素个数, 设I   I —  
+1 , 由2 0 0 7: 1 +n k , 得 n一

j6 于是 




5 条( 2 条棱 , 1 条侧面对角线和 2 条体对角线) , 1 2 条 
侧 面 对 角 线 一共 可生 成 1 2×5— 6 0对 异 面直 线 ;  

I   A 。   I 一   I   A   。 I 一  

+1 —1 1 9 ,   +1 =3 5 ,  


其次 。 与一 条体对角 线垂 直且异面 的直线 有 6  
条( 6 条 侧 面对 角 线 ) , 4 条 体对 角线 一共 可生 成 4 ×6  
2 4对 异 面 直 线 .  

I   A  n   A s   l — I   A   l  
一  

上 述 计 数 中 每 对 异 面 直 线 都 计 算 了 2次 , 故 互 
相垂直的异面直线共有( 7 2 +6 0 +2 4 ) ÷ 2= 7 8对 .  
6 .9 0.  

+ l一 3 。  

从 而 

第一行染 2 个黑格有 C : 种染法. 第 一 行 染 好后 ,  
有如下三种情况 :  

I   A  U   A  l —I   A t   I +I   A   。 I —I   A  I  


11 9+ 35— 3 = 1 51 .  

( 1 ) 第二行染 的黑格 均 与第 一行 的黑 格 同列 ,   这 时 其 余 行 都 只 有 一 种染 法 ;   ( 2 ) 第 二 行 染 的 黑 格 与 第 一 行 的 黑 格 均 不 同  列, 这时 第 三行 有 C i种 染 法 。 第 四 行 的 染 法 随 之 
确定 ;   ( 下转第 8 9页)  

3 .( B) .  

出 现 奇 数 个 9的 十进 制 数 个 数 有 
A— c l o 0 6? 9 。   +C ; 0 0 6? 9   + … +  8 8 2 ? 9 .  
2 0 0 6  

又 由于( 9 +1 )   0  一 ∑c l  ? 9  一   以 及  

?

课 外 园地 ?  
5 .  2 7
.  

数 学 通 讯 —— 2 d O 9年 第 5 、 6期 ( 上半月 . )  
64+  6 4≥


8 9  
3   =4 8
. 

+ 
8. 40 0 2。 。  .  





, (  )一 ( c o s x一 1 ) ( 4 c o s   +C O S X一 5 )  


( 4 c o s x+ 5 ) ( c o s x一 1 ) 。  

令 

一  

则 n  一 2?  

(  一  

- - .  



2 ( 2 c  + 导 ) ( 1 - C O S X ) ( 1 - C O S X )  

2 0 0 2 ) , 且 z l+  2+ … + z 2 o o 2— 1 .  
.  

[ L  


3  
一  .  

] J  

口  口 。…

..nz o 。  一

2 z o o 。.— — —— — — —  —— 一
Xl   2   ‘’ Z2 o 0 2  

.  

( x z+  3+ … +  2 o o 2 )?   (  1+ X 3+ … + z z 0 o 2 ).- . ?  
?

z?c  

( z 1 +X 2 +…+z z 0 0 1 ) ≥2 2 o o 2 ? — X - = — — 圭 — 一 o2 ?   l   2   ‘。勋 o  
.2 0 01。   一 2 z @2× 2 001 2 o o z  

当 且 仅 当 2 c 。 s   + 号 = l — c 。 s   即 c 。 s   一 一 ÷  
时, 上式取等号.  
6 ?3 x+ 4 y一 1 0一 O ?  
.  

2 0 01。   2 001  



?



4 002 0  0 .  

L B O A 一   , £ 一 t a n 詈 , 记 △ 脚的 周 长 为  
S , 则 
s一 ( 2+ c 。 t   + ( 1+ 2 t a n   + (   +  )  

9 .因为口 =   +勋+勋 ≥3  
所 以 a≥ 3  

:3 拓,  

又3 ( x l z 2 斗  z 3 +勋z 1 ) ≤( z 1 + 2 +  3 ) 。 , 有  3 a b≤ a 。 , 即3 6 ≤n , 则 
户 = 
1 + 1




6+ 

+ 

≥ 1 0 .  

≤ 

当 且 仅 当 1 — -   t =   4 t 即 t a n 导 一 了 1 时 , 上 式  
等号成立.  

口 口 

≤ l+  3 4 3一 

① 

当 1= X 2 一z 3 。 a= 3 、 /   . 3 b— a , 即z 1一  2  


则 直线 z 的 斜 率 志一一  3 故直线 z 的方 程 为 3  
一   。 一

√   , a一 3 √   , b一 √  时. ① 式等号成立.  
.  

+4 . ) , 一 l O一 0 .  

故 P 的最 大值 为 

“ 
( 上接 第 8 4页 )  

≥ ¨ - 4 两专  
4  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —0 2 —1 9 )  

不关于 棋盘 中心对 称, 那 么旋 转 9 0   , 1 8 0 。 . 2 7 0 。 后,   分 别 与 另 外 3对 方 格 重 合 .   因此 , 不 同 的着 色 法 为 2 4 ÷2 +( C  一2 4 ) ÷4 —  
3 0 0 ( 种) .  
8 .C  .  

( 3 ) 第 二 行 染 的 黑 格 恰 有 一 个 与 第 一 行 的 黑 格 
同列 . 这 样 的 染 法 有 4种 . 而在第 一 、 第 二 这 两 行 染 

好后 , 第 三 行 染 的 黑 格 必 然 有 1个 与 上 面 的 黑 格 均 
不 同列 。 这 时 第 三 行 的 染 法 有 2种 , 第 四行 的染 法 随 
之确定.  

作对应 : ( n 1 以2 , a 3 ) 一( m。 a z 一2 , a 3 ~4 ) , 则a l   <a 2 — 2< a 3 —4 , 所以口 1 . a 2 —2 . a  一 4是 从 { l 。   2 , …, l O ) 中选 出 的 3 个数 , 共有 C } 。种选 法 . 又 上 述 

因此 , 共有染 法 6 ×( 1 +6 +4 ×2 )一 9 0种 .  
7. 3 00 .  

选一对 方格 着黄 色 。 其 余着 绿 色, 有 C i 。种 选  法. 如果这 一对方 格关 于棋 盘 中心对 称 . 那 么 旋 转 
9 0 。 . 2 7 0 。 后与另一对方格 重合 . 旋转 1 8 0 。 后 与 自己  重合 . 这种方格共有 4 8 ÷2 —2 4 对. 如 果 这 一 对 方 格 

对 应显 然是 一一 对应 . 因此 。 不 同取 法 共 有 C } 0 种.  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —0 2 —2 0 )  


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