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第2章《命题与简易逻辑》易错题


我的高考数学错题本
第 2 章 命题与简易逻辑易错题

易错点 1

四种命题的结构不明致误 )

【例 1】 命题甲: x ? 2 或 y ? 3 ;命题乙: x ? y ? 5 ,则( A.甲是乙的充分非必要条件 C. 甲是乙的充要条件 件 【错解】盲目的无法判断选 D 【错因】不知道四个命题之间的转换关系



B.甲是乙的必要非充分条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条

【正解】为了进行判断,首先需要构造两个命题:甲 ? 乙、乙 ? 甲. 但是,这两个命题都 是否定性的命题,正面入手较为困难.考虑到原命题与逆否命题的等价性,可以转化为判断 其逆否命题是否正确. “甲 ? 乙” ,即“ x ? 2 或 y ? 3 ” ?“ x ? y ? 5 ” ,其逆否命题为: “ x ? y ? 5 ”?“ x ? 2 且 y ? 3” 显然不正确. 同理,可判断命题“乙 ? 甲”为真命题.选 B.
2 【纠错训练】 【2015 高考山东,文 5】设 m ? R ,命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有

实根”的逆否命题是(

)
2 B. 若方程 x ? x ? m ? 0 有实根, 则m ? 0 2 D.若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则

2 A. 若方程 x ? x ? m ? 0 有实根, 则m ? 0 2 C.若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0

m?0
【解析】一个命题的逆否命题,要将原命题的条件、结论加以否定,并且加以互换,故选 D . 易错点 2 充分必要条件颠倒致误 对于两个条件 A, B, 如果 A=>B 成立, 则 A 是 B 的充分条件, B 是 A 的必要条件; 如果 B=>A 成立,则 A 是 B 的必要条件,B 是 A 的充分条件;如果 A<=>B,则 A,B 互为充分必要条件。 解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充要条 件的概念作出准确的判断。

【例 2】命题“对任意实数 x ? [1,2] ,关于的不等式 x 2 ? a ? 0 恒成立”为真命题的一个必要 不充分条件是( A. a ? 4 【错解】A ) B. a ? 4 C. a ? 3 D. a ? 3

【错因】充分条件和必要条件颠倒致错,设“对任意实数 x ? [1,2] ,关于的不等式 x 2 ? a ? 0 恒成立”为真命题对应的的取值为集合 A,选项中的取值范围为集合 B,则 B 是 A 的必要不充 分条件,因此 A ? B ,但 B ? A 【解析】即由“对任意实数 x ? [1,2] ,关于的不等式 x 2 ? a ? 0 恒成立”可推出选项,但由选
2 项推不出“对任意实数 x ? [1,2] ,关于的不等式 x ? a ? 0 恒成立” .因为 x ? [1,2] ,所以

x2 ?[1, 4], x 2 ? a ? 0 恒成立,即 x 2 ? a , 因此 a ? 4 ;反之亦然.故选 C .
【纠错训练】 【2015 高考安徽,理 3】设 p :1 ? x ? 2, q : 2 ? 1 ,则 p 是成立的(
x



A.充分而不必要条件 条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要

【解析】由 q : 2 ? 2 ,解得 x ? 0 ,易知, p 能推出,但不能推出 p ,故 p 是成立的充分不
x 0

必要条件,选 A. 易错点 3 命题的否定和否命题弄混淆 )

【例 3】 【2015 高考湖北,文 3】命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是( A. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 C. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 【错解】B 【错因】误认为命题的否定就是否命题 B. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 D. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

【正解】由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为 ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 , 故应选 C . 【纠错训练】 【2015 高考浙江, 理 4】 命题“ ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n 的否定形式是 ( )
* *

A. ?n ? N , f (n) ? N 且 f (n) ? n
* *

B. ?n ? N , f (n) ? N 或 f (n) ? n
* *

C. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 且 f (n0 ) ? n0

D. ?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 或 f (n0 ) ? n0

【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可知选 D.

易错点 4 逻辑联结词理解不准致误 【例 4】已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R , e x ? 1 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? ? ?q ? 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? ? ?q ? 是假命题 )

【错解】B 【错因】认为 p ? q 中,只要有一个为真,则 p ? q 为真.

1 1 1 ? 2 ? lg 【正解】取 x ? ,则 , e1000 ? 1 ,故命题 p 为真,命题为假,由复 1000 1000 1000
合命题的真值表可知命题 p ? ? ?q ? 是真命题,选 C. 【纠错训练】 【2015 北京西城区二模】设命题 p :函数 f ( x) ? e x?1 在 R 上为增函数;命题: 函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) 为奇函数.则下列命题中真命题是( A. p ? q B. (?p) ? q C. (?p) ? (?q) ) D. p ? (?q)

1

【解析】由题意可知,命题 p 是真命题, f ( x) ? cos( x ? ? ) ? ? cos x 为偶函数,∴是假命题, 从而可 知 p ? (?q ) 是真命题,故选 D. 易错点 5 错把“命题否定”等同于“取补集” 【例 5】写出命题“对任意一个实数 x,都有 【错解】对任意一个实数 x,都有
1 ≤0 2x ? 5
1 1 没有意义,而不是简单地 ≤0或 2x ? 5 2x ? 5

1 ? 0 ”的否定是 2x ? 5



【错因】原命题的反面是:存在一个实数,使得 把“
1 1 ? 0 ”的范围取补集变成“ ≤ 0 ”. 2x ? 5 2x ? 5

【解析】 原命题的否定是: “存在一个实数 x, 使得 使得 2x ? 5 ? 0 ”. 【纠错训练】命题 p : 实数满足不等式 【解析】

1 或“存在一个实数 x, ? 0 或 2x ? 5 ? 0 ”, 2x ? 5

x?2 ? 0 ,且命题 x ?1

p 是假命题,求实数取值范围

x?2 ? 0 等 价 于 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 且 x ? 1 , 即 x ? ?2 或 x ? 1 , 则 p : x ? ?2 或 x ? 1 ; x ?1

?p : ?2 ? x ? 1 .

命题是假命题, ? 命题 p 是真命题, ? 实数取值范围 ?2 ? x ? 1 .

?

【错题巩固训练】 1.条件“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ?

1 1 或 a ? ”的 b b

条件(填“充分不必要”“必要不

充分”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) 【解析】 0 ? ab ? 1 说明 a , b 同号, ( i )当 a ? 0, b ? 0 且 0 ? ab ? 1 时, a ?

1 ; (ii) 当 b

1 1 1 .故条件“ 0 ? ab ? 1 ”可以推出“ a ? 或 a ? ”. b b b 1 1 1 1 当 a ? ?1 , b ? 1 时, 满足 a ? 或 a ? , 但不满足 0 ? ab ? 1 , 故条件 “ a ? 或 a ? ” b b b b 不可以推出“ 0 ? ab ? 1 ”. 1 1 因此条件“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ? 或 a ? ”的充分不必要条件. b b
a ? 0, b ? 0 且 0 ? ab ? 1 时, a ?
2. 条件“ ac ? b2 ”是“ a,b, c 成等比数列”的 条件 (填“充分不必要”“必要不充分”“充 要”“既不充分也不必要”) 【解析】 ac ? b2 成立,有可能是 a ? b ? c ? 0 ,不是等比数列,故答案是必要不充分 3.“ a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? 2 ? 0 平行”的 条件(填“充分不 必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 【解析】直线的法向量满足 (a,2) / /(3, a ? 1) , a(a ? 1) ? 6 ? 0 ,即 a2 ? a ? 6 ? 0 ,解得 a ? 3 或 ?2 , 其中 a ? 3 时,直线重合,故答案:既不充分也不必要条件 4.若 a , b , c ? R ,写出命题“若 ac ? 0 ,则 ax 2 ?bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根”的逆否命题 是 【解析】若 ax2 ? bx ? c ? 0 没有两个不相等的实数根,则 ac ? 0 5 .已知命题 p : ?x ? R , x 2 ? 1 ? m ,命题 q : 指数函数 y ? (3 ? m) x 是增函数.若命题

" p ? q "为真,命题 " p ? q "为假,则实数 m 的取值范围是
【解析】命题 p 为真时,即 ( x2 ? 1)min ? m ,解得 m ? 1 .命题为真时,即 3 ? m ? 1 ,解得

m ? 2.
命题为假时,即 0 ? 3 ? m ? 1 ,解得 2 ? m ? 3 .命题 " p ? q " 为真,命题 " p ? q " 为假, 则 p 真假或 p 假真,即 ?

? m≥1 ? m ?1 或? ,解得 1 ≤ m ? 2 . ?2 ? m ? 3 ?m ? 2
x

6.已知命题 p : 函数 y ? log0.5 ( x2 ? 2 x ? a) 的值域是 R,命题 q :指数函数 y ? (5 ? 2a) 是增 函数.若命题 " p ? q "为真,命题 " p ? q " 为假,则实数的取值范围是
2 【解析】 p 真:函数 y ? log0.5 ( x2 ? 2 x ? a) 的值域是 R ,即 t ? x ? 2 x ? a 中的能取到

(0 , ? ?) 的每一个数,则只要保证 ? ? 4 ? 4a≥0 ,解得 a ≤ 1 .真:5 ? 2a ? 1 ,解得 a ? 2 .

? a ≤1 ?a ? 1 5 ? 假:0 ? 5 ? 2a ? 1 ,解得 2 ? a ? .由题意,“ p 真假”或“ p 假真”,即 ? . 5 或? 2 2?a? ?a ? 2 ? ? 2
解得实数的取值范围是 1 ? a ? 2 .


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