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三角函数图像与性质试题及配套答案


三角函数测试题
一、选择题 1、函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象





A.关于原点对称 B.关于点(- 2、函数 y ? sin( x ? A. [ ?

?
2

? ? ,0)对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 x= 对称 6 6
( B. [0, ? ] 上是减函数 D. [ ?? , ? ] 上是减函数 ( ) )

), x ? R 是

? ?

, ] 上是增函数 2 2

C. [ ?? ,0] 上是减函数 3、如图,曲线对应的函数是 A.y=|sinx| C.y=-sin|x| B.y=sin|x|

D.y=-|sinx|

? 对称的 ( ) . 3 x ? ? ? A. y ? sin(2 x ? 6) B. y ? sin( ? ) C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 6 6 3 5.函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? , ? 可以取的一组值是( ). y ? ? ? ? A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ? 2 4 3 6 ? 5? ? ? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? O 1 2 3 4 4 4 4 ? 6.要得到 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象,只需将 y ? 3 sin 2 x 的图象( ). 4 ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 4 4 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 8 8
4.下列函数中, 最小正周期为 ? , 且图象关于直线 x ? 7.设 tan( ? ? ? ) ? 2 ,则

x

sin(? ? ?) ? cos( ? ? ? ) ?( sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )
C. 1 D. ? 1

).

A. 3

B.

1 3

8. A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sin A ? cos A ? A. 锐角三角形 B. 钝角三角形

12 ,则这个三角形的形状为( 25
D. 等腰三角形

).

C. 等腰直角三角形

9. 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当

-1-

? 5? x ? [0, ] 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ) 的值为( 2 3
A. ?

).

1 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2

10.函数 y ? A. 2k? ?

2cos x ? 1 的定义域是(
?
3 , 2 k? ?

). B. 2k? ?

? ? ?

?? (k ? Z ) 3? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

? ? ?

?
6

, 2 k? ?

?? (k ? Z ) 6? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

C. 2k? ?

? ? ?

?
3

, 2 k? ?

D. 2k? ?

? ? ?

2? 3

, 2k? ?

11.函数 y ? 2sin( A. [0, ]

? 3

? ? 2 x) ( x ? [0, ?] )的单调递增区间是( 6 ? 7? ? 5? 5? ] , ?] B. [ , C. [ , ] D. [ 12 12 3 6 6

).

12. 设 a 为常数,且 a ? 1 , 0 ? x ? 2 ? ,则函数 f ( x) ? cos2 x ? 2a sin x ? 1 的最大值为 ( ). A. 2a ? 1 B. 2a ? 1 C. ? 2a ? 1 D. a
2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13. 函数 y ?

1 ? cos x 的周期是 sin x

.

14. f ( x) 为奇函数, x ? 0时, f ( x) ? sin 2x ? cos x, 则x ? 0时f ( x) ? 15. 方程 sin ? x ?

1 x 的解的个数是__________. 4

16、给出下列命题:(1)存在实数 x,使 sin x ? cos x = 内角,则 sin ? > cos ? ; 象向右平移 是 (3)函数 y=sin(

? ? 个 单 位 , 得 到 y = sin(2 x + )的图象.其中正确的命题的序号 4 4
.

2 7? )是偶函数; (4)函数 y=sin2 x 的图 x3 2

? ; (2)若 ?,? 是锐角△ ABC 的 3

三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分, 解答应写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤.) 17. (12 分)已知函数 y ? sin

1 1 x ? 3 cos x ,求: 2 2

(1)函数 y 的最大值,最小值及最小正周期; (2)函数 y 的单调递增区间

-2-

π? 18.已知函数 f(x)= 2sin? ?2x+4?. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; π 4π? (2)在所给坐标系中画出函数 f(x)在区间? ?3, 3 ?上的图象(只作图不写过程).

2 19.(1)当 tan ? ? 3 ,求 cos ? ? 3 sin ? cos? 的值;

? 2cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 ? 2 (2)设 f (? ) ? ,求 f ( ) 的值. 2 3 2 ? 2cos ( ? ? ? ) ? cos( ?? )

20.已知函数 f ( x ) ?

? 2 cos(2 x ? ) , x ? R . 4
? ? 8 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上的最小值和最大值,并求出取得最值时 x 的值.

-3-

π 21.函数 f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象过点(0,1),如图 4 所示. 2

图4 π (2)将函数 y=f1(x)的图象向右平移 个单位, 得函数 y=f2(x)的图象, 求 y=f2(x)的最大值, 4 并求出此时自变量 x 的集合. (1)求函数 f1(x)的表达式;

22.已知函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 的一系列对应值如下表:

x
y

?

? 6 ?1

? 3 1

5? 6 3

4? 3 1

11? 6 ?1

7? 3 1

17 ? 6 3

(1)根据表格提供的数据求函数 f ? x ? 的一个解析式; (2)根据(1)的结果,若函数 y ? f ? kx?? k ? 0? 周期为

2? ? ,当 x ? [0, ] 时,方程 3 3

f ? kx? ? m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围.

-4-

三角函数测试题参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是最符合题目要求的.) 1. B 2. D 3. C 4.C ∵最小正周期为 ? ,∴ ? ? 2 ,又∵图象关于直线 x ?

? ? 对称,∴ f ( ) ? ?1 ,故只 3 3

有 C 符合.

T ? ? ? ? ? 3 ? 1 ? 2 ,∴ T ? 8 , ? ? ,又由 ? 1 ? ? ? 得 ? ? . 4 4 2 4 4 ? ? 6.C ∵ y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) ,故选 C. 8 4
5.D ∵ 7.A 由 tan( ? ? ? ) ? 2 ,得 tan ? ? 2 ,



sin(? ? ?) ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? ? ? 3. sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? ( ? cos ? ) sin ? ? cos ? tan ? ? 1
2 4 2 2 两边平方,得 sin A ? 2 sin A cos A ? cos A ? , 5 25 4 21 ?1 ? ? ? 0 , 又∵ 0 ? A ? ? , ∴ A 为钝角. ∴ 2 sin A cos A ? 25 25

8.B 将 sin A ? cos A ?

9.B

f(

5? ? ? ? ? 3 ) ? f (2? ? ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? sin ? . 3 3 3 3 3 2

1 2? 2? ? x ? 2k ? ? ,∴ 2k ? ? ,k ?Z . 3 3 2 ? ? 3? 2? ? ? 2k ? 得 ? ? k? ? x ? ? ? k? ( k ? Z ) 11.C 由 ? 2k ? ? ? 2 x ? , 2 6 2 3 6 ? 5? 又∵ x ? [0, ?] , ∴单调递增区间为 [ , ] . 3 6
10.D 由 2 cos x ? 1 ? 0 得 cos x ? ? 12.B

f ( x) ? cos2 x ? 2a sin x ? 1 ? 1 ? sin 2 x ? 2a sin x ? 1 ? ?(sin x ? a) 2 ? a 2 ,
∵ 0 ? x ? 2? , ∴ ? 1 ? sin x ? 1 , 又∵ a ? 1 , ∴ f ( x) max ? ?(1 ? a) ? a ? 2a ? 1.
2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13. 2? , 14. 3

y( 2? c oxs ?) ? 2

2y ? 2 2 y? 2 x c o s x, ? cos ?? ? 1 ? y ?1 y? 1

1 ? y? 1, . 3

3

-5-

15. 3

画出函数 y ? sin x 和 y ? lg x 的图象,结合图象易知这两个函数的图象有 3 交点.

16、解:(1) sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 2,2 ? 成立; ? ? ? 4? 3 ? ?

(2)锐角△

ABC 中 ? ? ? ?


?
2
(3)

?? ?

?
2

?? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? cos ? 2 ? ?



7? ?2 y ? sin ? x ? 2 ?3

?? ? ?2 ? ? sin ? x ? 4? ? ? ? 2? ? ?3

cos

2 是偶函数成立;(4) y ? sin 2 x 的图象右移 ? 个单位为 ?? ?? ? ? x y ? sin 2 ? x ? ? ? sin ? 2 x ? ? , 3 4 4? 2? ? ?

与 y=sin(2x+

? )的图象不同;故其中正确的命题的序号是: ( 1) 、 (2) 、 (3) 4

三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分, 解答应写出必要的文字说明、 证明过程及演算步骤.)
17.解:(1)∵ y=2(

1 1 3 1 sin x ? cos x ) 2 2 2 2
=2( cos =2sin(

-----------------------1 分

?
3

sin

1 ? x? 2 3

1 ? 1 ? sin cos x ) 2 3 2
)

----------------------2 分 ----------------------4 分 ---------------------5 分 --------------------6 分

∴ 函数 y 的最大值为 2, 最小值为-2 最小正周期 T (2)由 2k?

?

2?

?

?
2

?

1 ? x ? ? 2k? ? , k ? Z ,得 2 3 2

? ?

? 4?

--------------------7 分 ---------------------9 分

函数 y 的单调递增区间为:

5? ?? ? 4 k ? ? , 4 k ? ? ,k ? Z ? 3 3? ? ?

----------------------12 分

2π 18. 11.解:(1)T= =π. 2 π π 3 令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ π,k∈Z, 2 4 2 π 5 则 2kπ+ ≤2x≤2kπ+ π,k∈Z, 4 4 π 5 得 kπ+ ≤x≤kπ+ π,k∈Z, 8 8 π 5 ? ∴函数 f(x)的单调递减区间为? ?kπ+8,kπ+8π?,k∈Z. (2)列表: π 2x+ 4 π 3 π 2 2π 5 π 2

-6-

x π? f(x)= 2sin? ?2x+4? 描点连线得图象如图:

3π 8 0

5π 8 - 2

7π 8 0

9π 8 2

19.解: (1)因为 cos ? ? 3 sin ? cos? ?
2

cos2 ? ? 3 sin ? cos? 1 ? 3 tan? ? , sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

且 tan ? ? 3 , 所以,原式 ?

1? 3? 3 4 ?? . 2 5 3 ?1

2 cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 2 cos3 ? ? sin 2 ? ? cos? ? 3 2 f ( ? ) ? ? (2) 2 ? 2 cos2 (? ? ? ) ? cos(?? ) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

?

?

2 cos3 ? ? cos2 ? ? cos? ? 2 2(cos? ? 1)(cos2 ? ? cos? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) ? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

(cos? ? 1)(2 cos2 ? ? cos? ? 2) ? ? cos? ? 1 , 2 cos2 ? ? cos? ? 2
∴ f ( ) ? cos

? 3

? 1 ?1 ? ? . 3 2

? 2? 2 cos(2 x ? ) ,所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ??, 4 2 ? 3? ? ? k? ? x ? ? k? , 由 ?? ? 2k ? ? 2 x ? ? 2k ? , 得? 故函数 f ( x) 的递调递增区 4 8 8 3? ? ? k ?, ? k ?] ( k ? Z ) 间为 [ ? ; 8 8
20.解: (1)因为 f ( x ) ?

-7-

? ? ? ? ? )在区间 [ ? , ] 上为增函数,在区间 [ , ] 上为减函 4 8 8 8 2 ? ? π ? ? 数,又 f ( ? ) ? 0 , f ( ) ? 2 , f ( ) ? 2 cos( ? ? ) ? ? 2 cos ? ?1 , 8 2 4 4 8 ? ? ? ? 故函数 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上的最大值为 2 ,此时 x ? ;最小值为 ?1 ,此时 x ? . 8 2 8 2
(2) 因为 f ( x ) ?

2 cos(2x ?

2π π 21 解:(1)由图知,T=π,于是 ω= =2.将 y=Asin2x 的图象向左平移 , T 12 π π π 得 y=Asin(2x+φ)的图象,于是 φ=2· = .将(0,1)代入 y=Asin(2x+ ),得 A=2. 12 6 6 π 故 f1(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π (2)依题意,f2(x)=2sin[2(x- )+ ]=-2cos(2x+ ), 4 6 6 π 5π 当 2x+ =2kπ+π,即 x=kπ+ (k∈Z)时,ymax=2. 6 12 5π x 的取值集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}. 12 22. 解: (1)设 f ? x ? 的最小正周期为 T ,得 T ? 由T ?

11? ? ? ( ? ) ? 2? , 6 6

2?

?



得? ? 1,

B? A?3 A?2 又? ,解得 ? ? ? ?B ?1 ? B ? A ? ?1

令? ?

5? ? 5? ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,解得 ? ? ? , 6 2 6 2 3
? ?? ? ?1. 3?

∴ f ? x ? ? 2sin ? ?x?

(2)∵ 函数 y ? f ? kx ? ? 2sin ? kx ? 又k ? 0, 令 t ? 3x ? ∴k ? 3 ,

? ?

2? ?? ? ? 1的周期为 3 , 3?

? ? ,∵x ? ?0, ? , ? 3 ? 3? ?

∴t ? [ ?

? 2? , ], 3 3

如图, sin t ? s 在 [ ?

? 2? 3 , ] 上有两个不同的解,则 s ? [ ,1) , 3 3 2 ? 3
?

∴ 方程 f ? kx ? ? m 在 x ? [0, ] 时恰好有两个不同的解,则 m ? ? 3 ? 1,3 , 即实数 m 的取值范围是 ? 3 ? 1,3

?

?

?

-8-


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