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1970年第十二届IMO试题(不含答案)


第十二届(1970 年) 匈牙利 凯斯特海伊(Keszthely,Hungary)
1. M 是三角形 ABC 的边 AB 上的任何一点,r、r1、r2 分别是三角形 ABC、AMC、 BMC 的内切圆的半径,q 是 AB 外旁切圆的半径(即与 AB 边相切,与 CA、CB 的延长线上相切的圆) ,类似的, q1、q2 分别是 AC、BC 外旁切圆的圆心。求证:

/>r1 r2 r ? ? 。 (波兰) q1 q2 q

2. 已知 a、b、n 是大于 1 的整数,且 a、b 是两个计数系统的底。An-1 和 An 是 a 进制数,Bn-1 和 Bn 是 b 进制数;它们的联系如下:

An ? xn xn?1...x0 , An?1 ? xn?1 xn?2 ...x0 , Bn ? xn xn?1...x0 , Bn?1 ? xn?1 xn?2 ...x0 , xn ? 0, xn?1 ? 0
证明:当且仅当 a>b 时有
An ?1 Bn ?1 ? 。 (罗马尼亚) An Bn

3. 实数 a0,a1,…,an,…满足条件:1=a0≤a1≤a2≤…≤an≤…。并数字 b1,b2,…, bn,…被定义为
bn ? ? (1 ?
k ?1 n

ak ?1 1 。 ) ak ak

a) 求证对于所有 n 都有 0≤bn<2。 b) 设 c 满足 0≤c<2,证明对于足够大的 n 存在满足上面要求的 a0,a1,…能使 bn>c。 (瑞典) 4. 试找出所有的正整数 n 使得集合{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5}可被分拆成两个 子集合,每个子集合的元素的乘积相等。 (捷克斯洛伐克) 5. 在四面体 ABCD 中,∠BDC 是直角。假设点 D 到平面 ABC 的垂线的垂足 H 是△ABC 的垂心。求证:(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2),并指出在什么情况下 等号成立。 (保加利亚) 6. 一个平面上有 100 个点,任意三点都不共线。求证由这些点为顶点的三角形 中至多有 70%是锐角三角形。 (苏联)


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