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数学3.1.2用二分法求方程的近似解1


3.1.2 用二分法 求方程的近似解
1

复习思考:
1.函数的零点
? 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

2.零点存在的判定

方程f ( x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x )有零点

如果函数y=f ( x)在区间[ a, b]上的图象是

连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,

那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 3.零点个数的求法 即存在c ?(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.

思考问题:
请同学们观察下面的两个方程,说一说你会 用什么方法来求解方程.

(1) x ? 2 x ? 6 ? 0
2

(2)ln x ? 2 x ? 6 ? 0
对于方程(1),可以利用一元二次方程的求 根公式求解, 但对于(2)的方程,我们却没有公式 可用来求解.

问题情境
?

CCTV2“幸运52”片段 : 主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机 的价格. 观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!· · · · · · · ·

问题2:你知道这件商品的价格在什么范围内吗? 答案:1500至2000之间 问题3:若接下来让你猜的话,你会猜多少价格比 较合理呢?

利用我们猜价格的方法,你能否求解 方程lnx+2x-6=0 ? 如果能求解的话,怎么去解?你能用函 数的零点的性质吗?

看生活中的问题

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哦,找到 了啊!

通过这个小实验,你能想到什么 样的方法缩小零点所在的范围呢?

思考3:怎样计算函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) 中点值m f(m)的近 精确度|a-b| 似值

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)

2.5 2.75 2.625

-0.084 0.512 0.215

1 0.5 0.25

(2.5,2.625)
(2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875)

2.562 5
2.531 25 2.546 875 2.539 062 5

0.066
-0.009 0.029 0.01

0.125
0.0625 0.03125 0.015625

(2.531 25,2.539 062 5)

2.535 156 25

0.001

0.007813

y

二分法概念
0

a b x

对于在区间? a , b ? 上连续不断且 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 的函
数y ?

f ? x ?,通过不断地把函数 f ? x ?的零点所在的区

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

1、 确定区间[a,b],验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ; 2、求区间(a,b)的中点x1, 3、计算f(x1)
(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;

(2)若f(a).f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a, x1) ); (3)若f(x1).f(b)<0,则令a= x1(此时零点x0∈( x1,,b));

4、判断是否达到精确度ε ,即若|a-b|< 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4

ε

口 诀

定区间,找中点,
同号去,异号算, 周而复始怎么办?

中值计算两边看.
零点落在异号间. 精确度上来判断.

例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解(精确度0.1) 解:原方程即2x+3x=7,令f(x)= 2x+3x-7, 用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表 和图象如下:
x f(x) 0 1 2 3 4 5 -6 -2 3 10 2 40 1 6 75 7 142 8 273

因为f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在 (1,2)内有零点x0,取(1,2)的中点 x1=1.5, f(1.5)= 0.33,因为f(1)· f(1.5)<0 所以x0 ∈(1,1.5) 取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87, 因为f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5)

同理可得, x0∈(1.375,1.5),x0∈ (1.375,1.4375),由于 |1.375-1.4375|=0.0625〈 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375

2.(1)下列函数的零点不能用二分法求解的是
?x ? 1,x ? 0, ①y=x2-1;②y=-x2;③ y ? ? ④y=lnx-2. ?0,x ? 0, ?x ? 1,x ? 0; ? (2)用二分法求函数f(x)=x3-3的零点时,若初始区间为

.

(n,n+1),n∈Z,则n=

.

(3)用二分法求函数y=f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值,

验证f(2)·f(3)<0,取区间[2,3]的中点x1= 2 ? 3 =2.5,计算 2 得f(2.5)·f(3)>0,此时零点x0所在的区间是 .

练习:

小结
方程
用二分法求 方程的近似解
数学 源于生活

函数

1.寻找解所在的区间 2.不断二分解所在的区间 3.根据精确度得出近似解 算法思想 二分法 数形结合

数学 用于生活

逼近思想

转化思想

1.二分法的定义;
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。

3.作业:p91 第2题

已知

其中

(Ⅰ

(Ⅱ

(Ⅲ


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