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常见递推数列通项的求法 (很齐全)


常见递推数列通项的求法
类型一: a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 思路 1(递推法) :
a n ? a n ?1 ? f ( n ? 1) ? a n ? 2 ? f ( n ? 2) ? f ( n ? 1) ? a n ? 3 ? f ( n ? 3) ? f ( n ? 2) ? f ( n ? 1) ?

… ? a1 ? ? f ( n ) 。
i ?1

n ?1

思路 2(叠加法) a n ? a n ?1 ? f ( n ? 1) ,依次类推有: a n ?1 ? a n ? 2 ? f ( n ? 2 ) 、 :
a n ? 2 ? a n ? 3 ? f ( n ? 3) 、…、 a 2 ? a1 ? f (1) ,将各式叠加并整理得 a n ? a 1 ?

?

n ?1

f (n)



i ?1

即 a n ? a1 ? ? f ( n ) 。
i ?1

n ?1

例1

已知 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? n ,求 a n 。

解: 方法 1 递推法) a n ? a n ?1 ? n ? a n ? 2 ? ( n ? 1) ? n ? a n ? 3 ? ( n ? 2) ? ( n ? 1) ? n ? ( : …… ? a1 ? [2 ? 3 ? … ? ( n ? 2 ) ? ( n ? 1) ? n ] ?

?n?
i ?1

n

n ( n ? 1) 2



方法 2(叠/累加法) a n ? a n ?1 ? n ,依次类推有: a n ?1 ? a n ? 2 ? n ? 1 、 :
a n ? 2 ? a n ? 3 ? n ? 2 、…、 a 2 ? a1 ? 2

,将各式叠加并整理得 a n ? a1 ?

?n,
i?2

n

a n ? a1 ?

?

n

n ?

i?2

?n?
i ?1

n

n ( n ? 1) 2


1 n ( n ? 1)

例 2、在数列{ a n }中, a 1 ? 3 , a n ? 1 ? a n ? 解:原递推式可化为: a n ? 1 ? a n ? 则 a 2 ? a1 ? ?
1 a4 ? a3 ? 1 3 ? 1 4 1 1 2 , 1 n

,求通项公式 a n .

,……, a n

n ?1 1 1 a3 ? a2 ? ? 2 3 1 1 ? a n ?1 ? ? n ?1 n

?

1

逐项相加得: a n ? a 1 ? 1 ? 解:依题意得, a 1 ? 0 ,

1 n

.故 a n ? 4 ?

1 n

.

例 3.在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 0 且 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 ,求通项 a n .
a 2 ? a 1 ? 1, a 3 ? a 2 ? 3 , ? , a n ? a n ?1 ? 2 ? n ? 1 ? ? 1 ? 2 n ? 3 ,把以上各式相加,得

an ? 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 3 ?

? n ? 1 ??1 ? 2 n ? 3 ?
2

? ?n ? 1?

2

【评注】 由递推关系得,若 g ? n ? 是一常数,即第一种类型,直接可得是一等 差数列;若 a n ?1 ? a n 非常数,而是关于 n 的一个解析式,可以肯定数列 a n 不是 等差数列,将递推式中的 n 分别用 n ? 1, n ? 2 , ? , 4 ,3 , 2 代入得 n ? 1 个等式相加, 目的是为了能使左边相互抵消得 a n ,而右边往往可以转化为一个或几个特殊数 列的和。 例 4、已知数列 { a n } 满足 a n ?1 解:由 a n ? 1 得 a n ?1 则a n
? an ? 2 ?3
n

? an ? 2 ?3

n

? 1, a 1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。

?1

? an ? 2?3

n

?1

? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1

? (2 ? 3 ? 2 (3

n ?1

? 1) ? ( 2 ? 3
n?2

n?2 2

? 1) ? ? ? ( 2 ? 3
1

2

? 1) ? ( 2 ? 3 ? 1) ? 3
1

n ?1

?3

?? ?3
n

? 3 ) ? ( n ? 1) ? 3

所以 a n

?2?

3?3

1? 3

? n ? 2?3

n

? n ?1

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1
a n ?1 ? a n ? 2 ? 3
n

? an ? 2 ?3

n

? 1 转化为

? 1 ,进而求出

( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1 ,即得数列 { a n } 的通项公

式。 练习: 1、 已知 { a n } 满足 a 1 ? 1 ,
a n ?1 ? a n ? 1 n ( n ? 1)

求 { a n } 的通项公式。
N
*

2、 已知 { a n } 的首项 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? a n ? 2 n ( n ? 3、 已知 { a n } 中, a 1 ? 3 , a n ? 1 . 4.若数列的递推公式为 ?
? a1 ? 3 ? ? a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 ?
n ?1

)求通项公式。

? an ? 2

n

,求 a n 。
(n ? ? )

,则求这个数列的通项公式

类型二: a n ? 1 ? f ( n ) ? a n 思路 1(递推法) :
a n ? f ( n ? 1) ? a n ?1 ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 2) ? a n ? 2 ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 2) ? f ( n ? 3) ? a n ? 3 ?
? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1) ? a1 。



思路 2(叠/累乘法) :

an a n ?1

? f ( n ? 1)

,依次类推有:

a n ?1 an?2

? f (n ? 2) 、

an?2 an?3

? f ( n ? 3) 、…、

a2 a1

? f (1) ,将各式叠乘并整理得

an a1

? f (1) ? f ( 2 ) ? f (3) ? …

? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1) ,即 a n ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1) ? a1 。

例3

a n ? 1 ,求 a n 。 n ?1 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ? 3 a n ?1 ? ? an?2 ? ? ? an?3 ? 解: 方法 (递推法) a n ? 1 : n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1
? 2 n ( n ? 1)

已知 a1 ? 1 , a n ?

n ?1




an a n ?1 n ?1 n ?1

方法 2(叠乘法) :

?

,依次类推有:

a n ?1 an?2

?

n?2 n



an?2 an?3

?

n?3 n ?1

、…、

a3 a2

?

2 4



a2 a1

?

1 3

,将各式叠乘并整理得

an a1

?

2 1 n ?1 n ? 2 n ? 3 ? ? ? …? ? n ?1 n n ?1 4 3

,即

an ?

n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?…? ? ? n ?1 n n ?1 4 3 n ( n ? 1)



例 5.在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , 解:由条件等式
an ? 1 n

a n ?1 an

?

n n ?1 ? a n ?1 a n?2

,求通项 a n .
?? ? a2 a1 ? n ?1 n ? 2 1 1 ? ? ? n n ?1 2 n

a n ?1 an

?

n n ?1

得,

an a n ?1

,得

.

【评注】 此题亦可构造特殊的数列,由

a n ?1 an

?

n n ?1

得,

? n ? 1 ?a n ? 1
na n
n ?1

? 1 ,则数列

?na n ? 是以 a 1 为首项,以 1 为公比的等比数列,?

na n ? a 1 .q

? 1 ?1 ? 1得 a n ?

1 n

.

例 6、 设数列{ a n }是首项为 1 的正项数列, 且则它的通项公式是 a n =▁▁▁ (2000 年高考 15 题). 解:原递推式可化为:
[( n ? 1) a n ? 1 ? na n ]( a n ? 1 ? a n ) =0

∵ a n ?1 ? a n >0,
a2 a1

a n ?1 an

?

n n ?1



?

an 1 a3 2 a4 3 n ?1 , ? , ? , ……, ? 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n an a1
1 3

逐项相乘得:

?

1 n

,即 a n =

1 n

.

练习:1、已知:

a1 ?



an ?

2n ? 1 2n ? 1 n n?2

a n ?1

( n ? 2 )求数列 { a n } 的通项。

2、已知 { a n } 中, 类型三: a n ? 1 ? ca n ? d

a n ?1 ?

an

且 a 1 ? 2 求数列通项公式。

( c ? 0 , c ? 1)

解题思路:利用待定系数法,将 a n ?1 ? ca n ? d 化为 a n ?1 ? x ? c ? a n ? x ? 的形式,从 而构造新数列 ?a n ? x ? 是以 a 1 ? x 为首项,以 c 为公比的等比数列. 例 7.数列 ?a n ? 满足 a n ? 1 ? 2 a n ? 1, a1 ? 2 ,求 a n . 解:设 a n ? 1 ? x ? 2 ( a n ? x ) ,即 a n ? 1 ? 2 a n ? x , 对照原递推式,便有 x ? ? 1. 故由 a n ?1 ? 2 a n ? 1, 得 a n ? 1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) ,即
a 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 为首项,以
a n ?1 ? 1 an ? 1 ? 2

,得新数列 ?a n ? 1? 是以

2 为公比的等比数列。

(n=1,2,3…),? a n ? 1 ? 2 n ?1 ,即通项 a n ? 2 n ?1 ? 1

【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“ ? 1 ”作适当的分离,配凑 成等比数列的结构,从而构造出一个新的等比数列。 练习:1、已知 { a n } 满足 a 1 ? 3 , a n ?1 ? 2 a n ? 1 求通项公式。 2、已知 { a n } 中, a 1 ? 1 , a n ? 3 a n ?1 ? 2 ( n ? 2 )求 a n 。

[同类变式]



思路(转化法) a n ? pa n ?1 ? f ( n ? 1) ,递推式两边同时除以 p n 得 :
an p
n

?

a n ?1 p
n ?1

?

f ( n ? 1) p
n

, 我们令

an p
n

? bn

, 那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

例 8 已知 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 4 a n ? 2 n ? 1 ,求 a n 。 解: a n ? 4 a n ?1 ? 2 ,式子两边同时除以 4 得
n

n

an 4
n

?

a n ?1 4
n ?1

?1? ?? ? ?2?

n

,令
n?2

an 4
n

? bn

,则

b n ? b n ?1

?1? ?? ? ?2?
2

n

,依此类推有 b n ? 1 ? b n ? 2
n

?1? ?? ? ?2? ?1? ? ? ?2?
n n

n ?1

、 bn ? 2 ? bn ? 3

?1? ?? ? ?2?

、…、

?1? b 2 ? b1 ? ? ? ?2?

,各式叠加得 b n ? b1 ?
n n

?

,即
n

i?2

b n ? b1 ?

?

n

i?2

1 ?1? ? ? ? ? 2 ?2?

?

i?2

?1? ? ? ? ?2?

n

?

n

i ?1

?1? ?1? ? ? ? 1? ? ? ?2? ?2?

n ? ?1? ? n n n n ? a n ? 4 ? b n ? 4 ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 2 ?2? ? ? ? ?



例 9. 设数列 解:设 ,则 ,

,求通项公式 ,



所以

,即





这时,所以



由于{bn}是以 3 为首项,以 为公比的等比数列,所以有



由此得:



说明:通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转 化成基本数列(等差或等比数列)。 练习 1、已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 2 a n ? ( 2 n ? 1) ,且 a 1 ? 2 ,求通项 a n

分析:(待定系数),构造数列 { a n ? kn ? b } 使其为等比数列, 即 a n ? 1 ? k ( n ? 1) ? b ? 2 ( a n ? kn ? b ) ,解得 k ? 2 , b ? 1 求得 a n ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1 2、已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 解: a n ? 1 则
a n ?1 3
n ?1

? 3a n ? 2 ? 3

n

? 1, a 1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。

? 3a n ? 2 ? 3

n

? 1 两边除以 3

n ?1

,得

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?

2 3

? 3

1
n ?1



?

an 3
n

?

2 3

? 3

1
n ?1


a n ?1 a n ?1 a n?2 3
n?2



an 3
n

?(

an 3
n

?

a n ?1 a n ?1

)? (

?

)? (

a n?2 3
n?2

?

a n ?3 3
n ?3

)?? ? (

a2 3
2

?

a1 3
1

)?

a1 3

?(

2 3

?

1 3
n

)? (

2 3

? 3

1
n ?1

)? (

2 3

? 3

1
n?2

)?? ? (

2 3

?

1 3
2

)?

3 3

?

2 ( n ? 1) 3

? (

1 3
n

?

1 3
n

? 3

1
n ?1

? 3

1
n?2

?? ?

1 3
2

)?1

1

因此 则a n

an 3
n

?

2 ( n ? 1) 3

?

3

n

? (1 ? 3 1?3

n ?1

) ?1?

2n 3

?

1 2

?

1 2 ?3
n



?

2 3

?n ?3

n

?

1 2

?3

n

?

1 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1
a n ?1 3
n ?1

? 3a n ? 2 ? 3

n

? 1 转化为

?

an 3
n

?

2 3

? 3 a1 3

1
n ?1

,进而求出 (
an 3
n

an 3
n

?

a n ?1 3
n ?1

)? (

a n ?1 3
n ?1

?

a n?2 3
n?2

)? (

a n?2 3
n?2

?

a n ?3 3
n ?3

) +…

+(

a2 3
2

?

a1 3
1

)?

,即得数列 {

} 的通项公式,最后再求数列 { a n } 的通项公式。

引申题目: 1、已知 { a n } 中, a 1 ? 1 , a n
? 2 a n ?1 ? 2
n

( n ? 2 )求 a n

2、在数列{ a n }中, a 1 ? ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 4 ? 3 n ?1 , 求通项公式 a n 。 解:原递推式可化为:
a n ?1 ? ? ? 3
n

? 2(a n ? ? ? 3

n ?1

)



比较系数得 ? =-4,①式即是: a n ? 1 ? 4 ? 3 n ? 2 ( a n ? 4 ? 3 n ?1 ) . 则数列 { a n ? 4 ? 3 n ?1 } 是一个等比数列,其首项 a 1 ? 4 ? 3 1?1 ? ? 5 ,公比是 2. ∴ a n ? 4 ? 3 n ?1 ? ? 5 ? 2 n ?1 即 a n ? 4 ? 3 n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 . 3、已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 解: a n ? 1
? 2a n ? 3 ? 2
n

? 2a n ? 3 ? 2

n

,a1

?2

,求数列 { a n } 的通项公式。
? an 2
n

两边除以 2 n ? 1 ,得

a n ?1 2
n ?1

?

3 2

,则

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 2



故数列 { 公式,得

an 2n

}

是以

a1 2
1

?

2 2

? 1 为首,以

3 2

为公差的等差数列,由等差数列的通项
?( 3 2 n ? 1 2
n

an 2
n

? 1 ? ( n ? 1)

3 2

,所以数列 { a n } 的通项公式为 a n

)2



评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 明数列 {
an 2
n

? 2a n ? 3 ? 2

n

转化为

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 2

,说

an 2
n

}

是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出
3 2

? 1 ? ( n ? 1)

,进而求出数列 { a n } 的通项公式
? a1 ? 1 ? ? a n ?1 ? 3 a n ? 2 ? 3 ?
n
n ?1

4、若数列的递推公式为 ?

(n ? ? )

,则求这个数列的通项公式

6、已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 解:设 a n ? 1 将 a n ?1
? x ?5
n ?1

? 2a n ? 3 ? 5 , a 1 ? 6

,求数列 { a n } 的通项公式。

? 2(a n ? x ? 5 )
n


? 3?5
n

? 2a n ? 3 ? 5

n

代入④式,得 2 a n
n ?1

? x ?5

n ?1

? 2a n ? 2 x ? 5
x ? 5 ? 2x

n

,等式两边

消去 2 a n ,得 3 ? 5 n 入④式, 得 a n ?1 由a1
1

? x ?5

? 2x ? 5

n

,两边除以 5 n ,得 3 ?

,则 x=-1,代

?5

n ?1

? 2(a n ? 5 )
n


n

? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ≠0 及⑤式,得 a n ? 5

?0

,则

a n ?1 ? 5 an ? 5

n ?1 n

? 2

,则数列 { a n
n ?1

?5 }
n

是以 a 1
an ? 2

? 5 ? 1 为首项,以
1

2 为公比的等比数列,则 a n

?5

n

?1?2

,故

n ?1

? 5

n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1
a n ?1 ? 5
n n ?1

? 2a n ? 3 ? 5

n

转化为

? 2 ( a n ? 5 ) ,从而可知数列 { a n ? 5 }
n n

是等比数列,进而求出数列

{ a n ? 5 } 的通项公式,最后再求出数列 { a n } 的通项公式。

类型四: a n ? 1 ?

c ? an pan ? d

( c ? 0 )取倒数
pan ? d c ? an

思路(转化法) :对递推式两边取倒数得

1 a n ?1

?

,那么

1 a n ?1

?

d c

?

1 an

?

p c



令 bn ?

1 an

,这样,问题就可以转化为类型一进行求解了。
2 ? an 2an ? 1

例 10 已知 a 1 ? 4 , a n ? 1 ?

,求 a n 。
1 a n ?1 2an ? 1 2an 1 a n ?1 1 1

解:对递推式左右两边取倒数得
bn ?1 ? 1 2 bn ? 1 。 bn ?1 ? ? ? 设
1

?



?

?

? 1 ,令

1 an

2 an

? bn 则

1 2

? bn

? ? ? , ? ? ? 2 , 数列 ? b n ? 2 ? 是以 即 ?
7 2
n ?1

1 4

?2? ?
2 2

7 4

为 。

首项、 为公比的等比数列,则 b n ? 2 ? ?
2

,即 b n ?

2

n?2

?7

2

n ?1

,? a n ?

n ?1

n?2

?7

练习 1、 a n ? 1 ?
1 a n ?1 1 an

an 2 an ? 1
n

,

a 1 ? 1 ,求 a n

解:

?

? 2

n

即 b n ?1 ? b n ? 2 n
n ?1

则 b n ? b1 ?

21? 2

?

1? 2

??1? 2 ? 2
2 2
n ?1

n

? 2

n

?1

? an ?

1 2
n

?1

2、数列 { a n } 中,
1 ? 2

a n ?1 ?

? an ? an

n ?1

, a 1 ? 2 ,求 { a n } 的通项。
1 ? 1 an ? 2 1
n ?1

n ?1

? an an

解: a n ? 1
bn ? 1 an

2

n ?1



a n ?1
1 2
n ?1




1 2 1 2
n ?1 n

b n ?1 ? b n ?



b n ? b n ?1 ?

1 2
n



b n ? b n ?1 ?

b n ?1 ? b n ? 2 ? bn?2 ? bn?3 ? 1 2
3

1 2
n?2

……

b3 ? b2 ?

? b 2 ? b1 ?

1 2
2

1 n ?1 [1 ? ( ) ] 1 1 2 2 ? ? ? n 1 1 1 1 2 2 b n ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 1? 2 2 2 2
2

1



bn ?

1 2

?

1 2
n

?

1 2

?

2 ?1
n

2

n



an ?

2
n

n

2 ?1

4、 在数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a n ? 1 ?
a n ?1 3 ? a n ?1 ? 1

an an ? 3

, 求an



5、 a n ?

, a1 ? 1 求 a n



类型五: a n ? 1 ?

a ? an ? b c ? an ? d

( c ? 0 、 ad ? bc ? 0 )
ax ? b cx ? d

思路(特征根法) :递推式对应的特征方程为 x ?

即 cx 2 ? ( d ? a ) x ? b ? 0 。
? ? 1 即? a?d ? an ? 2c ? ? ? ? ? ?

? 1 ? 当特征方程有两个相等实根 x1 ? x 2 ? ? 时, 数列 ? ? ? an ? ? ?

为等差数

列,我们可设

1 a n ?1 ? a?d 2c

? an ?

1 a?d 2c

??

( ? 为待定系数,可利用 a 1 、 a 2 求得) ;

当特征方程有两个不等实根 x1 、 x 2 时,数列 ?
? a ? x1 ? n ?1 ?? 1 ??? (? an ? x2 ? a1 ? x 2 ? a n ? x1

? a n ? x1 ? ? ? an ? x2 ?

是以

a 1 ? x1 a1 ? x 2

为首项的等比

数列,我们可设

为待定系数,可利用已知其值的项间

接求得) ;当特征方程的根为虚根时数列 ? a n ? 通项的讨论方法与上同理,此处暂 不作讨论。 例 11 已知 a 1 ?
1 2

, an ?

4 a n ?1 ? 3 a n ?1 ? 2

(n ? 2 ) ,求 a n 。

解:当 n ? 2 时,递推式对应的特征方程为 x ?
? a ?1? x1 ? ? 1 、 x 2 ? 3 。数列 ? n ? ? an ? 3 ?
an ? 1 an ? 3 ? ? ? 1? ? ?
n ?1

4x ? 3 x?2

即 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得

是以

a 1 ? x1 a1 ? x 2

?

2 ?2

? ? 1 为首项的等比数列,设

,由 a 1 ?

1 2

得 a 2 ? 2 则 ? 3 ? ? ? ,? ? ? 3 ,即

an ? 1 an ? 3

? ? ? 1? ? 3

n ?1



?1 ,n ?1 ?2 3 ?1 ? 从而 a n ? n ? 1 ,? a n ? ? n 3 ?1 ? 3 ?1 ,n ? 2 ? 3 n ?1 ? 1 ?
n



练习 1 数列 { a n }满足 a 1 ? 1且 8 a n ? 1 a n ? 16 a n ? 1 ? 2 a n ? 5 ? 0 ( n ? 1). 求 { a n } 的通项公式. 2 已知数列 { a n } 满足性质: 对于 n ? N , a n ?1 ?
an ? 4 2an ? 3 , 且 a 1 ? 3 , 求 { a n } 的通项公式.

3 已知数列 { a n } 满足:对于 n ?

N , 都有 a n ? 1 ?

13 a n ? 25 an ? 3

. 求 an



4 已知 { a n } 中, a 1 ? 4 ,

an ? 4 ?

4 a n ?1

( n ? 2 )求 a n 。

类型六: a n ? 1 ? p a n r ( a n ? 0 )取对数法 思路(转化法) :对递推式两边取对数得 log m a n ?1 ? r log m a n ? log m p ,我们令
b n ? log m a n

,这样一来,问题就可以转化成类型一进行求解了。

例 12 已知 a1 ? 1 0 , a n ? 1 ? a n 2 ,求 a n 。 解:对递推式 a n ? 1 ? a n 2 左右两边分别取对数得 lg a n ? 1 ? 2 lg a n ,令 lg a n ? b n ,则
bn ?1 ? 2 bn
2 , 即数列 ? b n ? 是以 b1 ? lg 1 0 ? 1 为首项, 为公比的等比数列, b n ? 2 n ?1 , 即
n ?1 n

因而得 a n ? 10 b ? 10 2 。 设正项数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 , a n 解:两边取对数得: log
an 2

? 2 a n ?1 (n≥2).求数列 ?a n ? 的通项公式.
2

? 1 ? 2 log

a n ?1 2

, log

an 2

? 1 ? 2 (log

a n ?1 2

? 1) ,设 b n ? log

an 2

?1,

则 b n ? 2 b n ?1

?b n ? 是以 2 为公比的等比数列, b1
bn ? 1 ? 2
n ?1
n ?1

? log 2 ? 1 ? 1 .
1 an 2

? 2
?1

n ?1

, log

an 2

?1? 2

n ?1

, log

?2

n ?1

?1,

∴ an ? 22

类型七: a n ? 1 ? p a n ? q a n ?1 思路(特征根法) :为了方便,我们先假定 a1 ? m 、 a 2 ? n 。递推式对应的特 征方程为 x ? p x ? q ,当特征方程有两个相等实根时,
2

? p? a n ? ? cn ? d ? ? ? ? ? 2 ?

n ?1

(c 、

d

为待定系数,可利用 a1 ? m 、 a 2 ? n 求得);当特征方程有两个不等实根时 x1 、
n ?1

x 2 时, a n ? ex1

? fx 2

n ?1

( e 、 f 为待定系数,可利用 a1 ? m 、 a 2 ? n 求得);当特

征方程的根为虚根时数列 ? a n ? 的通项与上同理,此处暂不作讨论。 例 13 已知 a 1 ? 2 、 a 2 ? 3 , a n ? 1 ? 6 a n ?1 ? a n ,求 a n 。

解:递推式对应的特征方程为 x 2 ? ? x ? 6 即 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,解得 x1 ? 2 、
x2 ? ? 3

。设 a n ? ex1 n ?1 ? fx 2 n ?1 ,而 a 1 ? 2 、 a 2 ? 3 ,即

9 ? ?e ? 5 ?e ? f ? 2 ? ,解得 ? ? ?2e ? 3 f ? 3 ?f ? 1 ? 5 ?

,即 a n ?

9 5

?2

n ?1

?

1 5

? ( ? 3)

n ?1



1:已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? a , a 2 ? b ,3 a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 2 a n ? 0 ( n ? 0 , n ? N ) ,求数列

?a n ? 的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法) 由 3 a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 2 a n ? 0 ,得
a n ? 2 ? a n ?1 ? 2 3 ( a n ?1 ? a n ) ,

且 a 2 ? a1 ? b ? a 。

则数列 ?a n ?1 ? a n ? 是以 b ? a 为首项,
a n ? 1 ? a n ? ( b ? a )( 2 3 )
n ?1

2 3

为公比的等比数列,于是 代入,得

。把 n

? 1, 2 ,3 ,? ? ?, n

a 2 ? a1 ? b ? a ,
2 a 3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 2 2 a 4 ? a 3 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 ??? a n ? a n ? 1 ? ( b ? a )( 2 3 )
n?2



把以上各式相加,得
2 n ?1 1? ( ) 2 2 2 n?2 3 a n ? a 1 ? ( b ? a )[ 1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) ]? (b ? a ) 。 2 3 3 3 1? 3 2 n ?1 2 n ?1 ? a n ? [ 3 ? 3 ( ) ]( b ? a ) ? a ? 3 ( a ? b )( ) ? 3b ? 2 a 。 3 3

3 解法二 (特征根法)数列 ?a n ? : a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 2 a n ? 0 ( n ? 0 , n ? N ) , a 1 ? a , a 2 ? b :

的特征方程是: 3 x 2
? x 1 ? 1, x 2 ?
? a n ? Ax 1
n ?1

? 5x ? 2 ? 0 。

2 3

,
n ?1 2

? Bx

2 n ?1 ? A ? B ?( ) 。 3

又由 a 1 ? a , a 2 ? b ,于是
?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2 a ? 2 ? ? ? ? B ? 3( a ? b ) ?b ? A ? B 3 ?

故an

? 3 b ? 2 a ? 3 ( a ? b )(

2 3

)

n ?1

2 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2

?

2 3

a n ?1 ?

1 3

an 求an



3 数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2 , a 2 ? 5 , a n ? 2 ? 3 a n ?1 ? 2 a n =0,求数列{a n }的通项公式。 类型八: a n ? 1 ? p a n ? rq n ( p ? q ? 0 )

思路 1(构造法) a n ? pa n ?1 ? rq n ?1 ,设 :
p ? ?? ? q ? ,从而解得 ? ?? ? r ? p?q ?

?a ? ? ? ? ? ? n ? 1 ? ? ? ,则 n ?1 q ?q ? an
n

?? q ? p ? ? n n ?1 ? ? ? ? ? 1 ? q ? rq ?

。那么 ?

? an ?q
n

?

? ? p?q? r

是以

a1 q

?

r p?q

为首

项,

p q

为公比的等比数列。
a n ?1 q
n ?1

思路 2.先在原递推公式两边同除以 q n ?1 ,得:

?

p q

?

an q
n

?

1 q

引入辅助数列 ?b n ? (其中 b n 决。

?

an q
n

),得: b n ? 1 ?

p q

bn ?

1 q

再应用类型 3 的方法解

例 14 已知 a1 ? 1 , a n ? ? a n ?1 ? 2 n ?1 ,求 a n 。
?2? ? ?1 ? ? ???, ? 则 n n ?1 ? ? ? ? ? ? 1? 2 ? 2 ?

解: 设

?a ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 2 ?2 an
n

1 ? ?? ? ? 2 ? , 解得 ? ?? ? ? 1 ? 3 ?
1
n ?1

? , ?

? an ?2
n

?

1? ? 3?

1 ?1? 是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, n ? ? ? ? ? 即 2 3 6 ?2? 2 3 6 2

1

1

1

1

an

? , an ?

2 ?1
n



3

练习 1 已知数列 ?a n ? 中, a 1 解:在 a n ? 1 令 bn
an ?
n

?

5 6

, a n ?1

?

1

1 n ?1 a n ? ( ) ,求 a n 3 2



?

1

1 n ?1 2 n n ?1 n ?1 a n ? ( ) 两边乘以 2 得: 2 ? a n ?1 ? ( 2 ? a n ) ? 1 3 2 3

? 2 ? an

,则 b n ?1

?

2 n b n ? 1 ,解得: b n ? 3 ? 2 ( ) 3 3

2

所以

bn 2
n

1 n 1 n ? 3( ) ? 2 ( ) 2 3
? 2 a n ?1 ? 2
n

2.已知 { a n } 中, a 1 ? 1 , a n

( n ? 2 )求 a n 。

类型九双数列型

解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求 解。 例 15 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 ;数列 ?b n ? 中, b1 ? 0 。当 n ? 2 时,
an ? 1 3 ( 2 a n ?1 ? b n ?1 ) , b n ? 1 3 1 3 ( a n ?1 ? 2 b n ?1 )
1 3

,求 a n , b n .

解:因 a n ? b n ?

( 2 a n ?1 ? b n ?1 ) ?

( a n ? 1 ? 2 b n ? 1 ) ? a n ?1 ? b n ?1

所以 a n ? b n ? a n ?1 ? b n ?1 ? a n ? 2 ? b n ? 2 ? ? ? ? ? a 2 ? b 2 ? a 1 ? b1 ? 1 即 a n ? b n ? 1 …………………………………………(1) 又因为 a n ? b n ? 所以 a n ? b n ?
1 1 3 ( 2 a n ?1 ? b n ?1 ) ?
1 3 ( a n ?1 ? 2 b n ?1 ) ?

1 3

( a n ?1 ? b n ?1 )

1 2 1 n ?1 ( a n ?1 ? b n ?1 ) ? ( ) a n ? 2 ? b n ? 2 ) ? …… ? ( ) ( a 1 ? b1 ) 3 3 3

1 n ?1 1 n ?1 ? ( ) .即 a n ? b n ? ? ( ) ………………………(2) 3 3

由(1)、(2)得: a n

?

1

1 n ?1 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] , b n ? [1 ? ( ) ] 2 3 2 3


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