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高三数学基础题复习检测


专题五: 数列专题 一、填空题(14*5=70 分)

测试卷

1. 【 浙 江 宁 波 效 实 中 学 2016 届 上 学 期 高 三 期 中 考 试 12 】 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为

Sn ? n2 ? 6n ,则数列 ? an ? 的前 10 项和 a1 ? a2 ? ?? a10 ?

r />【答案】 58 . 【解析】 试题分析:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?5 ,当 n ? 2 时,

.

an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 6n ? (n ?1)2 ? 6(n ?1) ? 2n ? 7 ,


a2 ? 2 ? 2 ? 7 ? ?3
? 5 a2 ? 3 1? ? a1 2





a1 ?

1 1 .

0

?

1

3

?

2. 【浙江省嘉兴市一中 2016 届上学期高三期中 9】已知等差数列 {an } , Sn 是数列 {an } 的 前 n 项和,且满足 a4 ? 10, S6 ? S3 ? 39 ,则数列 {an } 通项 an ? ______. 【答案】 3n ? 2 【解析】

3. 【河北衡水中学 2016 届上学期高三三调 14】 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 且 a1a5 ? 4 , 则 log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? log 2 a4 ? log 2 a5 = 【答案】5 【解析】
2 试题分析:由题意知 a1a5 ? a3 ? 4 ,且数列 ?an ? 的各项均为正数,所以 a3 ? 2 ,
2 ? a1a2 a3a4 a5 ? ? a1a5 ? ? ? a2 a4 ? ? a3 ? ? a3 ? ? a3 ? a53 ? 25 , 2

.

?log2 a1 ? log2 a2 ? log2 a3 ? log2 a4 ? log2 a5 ? log2 ? a1a2a3a4a5 ? ? log2 25 ? 5 .
4. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数学】设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n

项和, an ? 0 ,若 S6 ? 2S3 ? 5 ,则 S9 ? S6 的最小值为 【答案】20 【解析】 试题分析:

S9 ? S 6 S 6 ? S 3 2 ? , (S6 ? S3 ) ? S3 (S9 ? S6 ) , S 6 ? S3 S3
2 (S ? S ) (5 ? S3 )2 25 S9 ? S6 ? 6 3 ? ? S3 ? ? 10 ? 10 ? 10 ? 20 ,当且仅当 S3 ? 5 时取“=” , S3 S3 S3

则 S9 ? S6 最小值为 20. 5. 【华中师大一附中 2016 届上学期高三期中检测 10】数列{ a n }的通项公式为 an ? 2n?1 , 则使不等式 a12 ? a22 ? ?? an2 ? 5 ? 2n?1 成立的 n 的最大值为______. 【答案】 4 【解析】

6. 【辽宁省抚顺市第一中学 2016 届高三 10 月月考 8】已知数列 {an } 中, a3 ? 2 , a7 ? 1, 若{

1 } 为等差数列,则 a19 ? ______. an ? 1

【答案】0 【解析】 试题分析:可知数列 {

1 1 1 1 1 的等差数列,所以 } 是公差为 = +(n ? 3) ? ,即 24 an ? 1 3 24 an ? 1

an ?

24 - 1 ,所以 a19 ? 0 n?5
3

7. 【河北衡水中学 2016 届上学期高三三调 9】设函数 f ? x ? = ? x ? 3? ? x ? 1, ?an ? 是公差 不为 0 的等差数列, f ? a1 ? ? f ? a2 ? ??? f ? a7 ? ? 14 ,则 a1 ? a2 ??? a7 = ______.

【答案】21 【解析】

8. 【苏州市 2016 届高三年级第一次模拟考试】已知 {an } 是等差数列,a5=15,a10=- 10,记数列 {an } 的第 n 项到第 n+5 项的和为 Tn,则 Tn 取得最小值时的 n 的值为 【答案】5 或 6 【解析】 .

试题分析: 由题意得

d?

a10 ? a5 ? ?5 10 ? 5 , 因此 an ? a5 ? (n ? 5)d ? ?5n ? 40, a8 ? 0 , 而数列 {an }
Tn

的第 n 项到第 n+5 项的和为连续 6 项的和,因此 或前 2 项,即 n 的值为 5 或 6

取得最小值时的 n 的值为第 8 项前 3 项

9.【浙江宁波效实中学 2016 届上学期高三期中考试 14】已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,

? an ? , an是偶数, 其前 n 项和为 Sn ,若 an ?1 ? ? 2 且 S3 ? 29 ,则 S2015 ? ? ?3an ? 1, an是奇数,
【答案】 4725 . 【解析】

.

试题分析:∵ S3 ? 29 为奇数,且当 an 是奇数时, an?1 ? 3an ? 1是偶数,∴ a1 , a 2 , a3 中

a1 ? 3a1 ? 1 ? a2 , a3 是偶数: 必有两个偶数, 一个奇数, 若 a1 为奇数,

3a1 ? 1 ? 29 ? a1 ? 5 , 2

a2 ? 16 , a3 ? 8 , a4 ? 4 , a5 ? 2 , a6 ? 1 , a7 ? 4 ,∴从第四项起,数列 {an } 是以 3 为

周期的数列,而 2012 ? 3 ? 670 ? 2 , ∴ S2015 ? 5 ? 16 ? 8 ? 7 ? 670 ? 4 ? 2 ? 4725 . 10. 【重庆市巴蜀中学高 2016 级高三学期期中考试 14】数列 {a n } 满足 an +1 =3a n ? 1 ,且

a1 ? 1 ,则数列 {a n } 的通项公式 an =
【答案】 an ? 【解析】



1 n (3 ? 1) . 2

1 1 1 1 3 an +1 + =3(a n ? ) {a n ? } a1 ? ? 试题分析:由题意 an +1 =3a n ? 1 可得: 2 2 ,所以 2 是以 2 2为 1 3 n ?1 1 n 首 项 , 公 比 为 3 的 等 比 数 列 . 所 以 a n ? ? ? 3 , 即 an ? ( 3 ? 1 ) .故应填 2 2 2 1 an ? (3n ? 1) . 2
11. 【温州二外 2016 届上学期高三 10 月阶段性测试 15】已知等比数列 ?an ? 的首项为 公比为 , 其前 项和记为 S , 又设 ,则 的最小正整数 为 ,



的所有非空子集中的最小元素的和为 【答案】45 【解析】

?T ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ?

2n ? 1 2n ? 3 7 5 3 n2 ? 1 ? ??? ? ? ? , 2 2 2 4 4 2

1 ? S ? 2T ? 2014, ?1 ? (? ) n ? n 2 ? 1 ? 2014 ,解得 n ? 45 . 3
12. 【扬州市 2015—2016 学年度第一学期期末检测试题】已知等比数列 ?an ? 满足

a2 ? 2a1 ? 4 , a3 ? a5 ,则该数列的前 5 项的和为
【答案】31 【解析】

2

.

2 2 4 4 试题分析:设 an ? a1qn?1 , a3 ? a5 可化为 a1 q ? a1q ,得 a1 ? 1 , a2 ? 4 ? 2a1 ? 2 ,

q?

a2 ? 2, a1

q(1 ? q5 ) S5 ? ? 31 1? q
13. 【西藏日喀则地区一高 2016 届上学期 10 月检测 16】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且

a1 ? a2 ? 1 , ?nSn ? ? n ? 2? an ? 为等差数列,则 ?an ? 的通项公式 an ?
【答案】 【解析】



n 2 n ?1

.

1 ?a ? ? ? n ? 是以 为公比,1 为首项的等比数列, 2 ?n?

a ?1? ? n ?? ? n ?2?

n ?1

? an ?
n 2 n ?1

n 2n?1


,所以答案应填:

14. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三第二次调研】若公比不为 1 的等比 数列 {an } 满足 log2 (a1a2 ?a13 ) ? 13, 等差数列 {bn } 满足 b7 ? a7 , 则 b1 ? b2 ? ? ? b13 的 值为 【答案】26 .

二、解答题(6*15=90 分) 15. 【南京市、 盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试数学】 设数列 ?an ? 共有 m(m ? 3) 项, 记该数列前 i 项 a1 , a2 ,?, ai 中的最大项为 Ai , 该数列后 m ? i 项 ai ?1 , ai ?2 ,?, am 中的最 小项为 Bi , ri ? Ai ? Bi (i ? 1, 2,3,?, m ?1) . (1)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 ,求数列 ?ri ? 的通项公式;
n

(2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , ri ? ?2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 试构造一个数列 ?an ? , 满足 an ? bn ? cn , 其中 ?bn ? 是公差不为零的等差数列,?cn ? 是 等比数列,使得对于任意给定的正整数 m ,数列 ?ri ? 都是单调递增的,并说明理由. 【答案】 (1)ri ? 2 ? 2
i i ?1

? ?2i 1 ? i ? m ? 1(2)an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 1 ? i ? m ? 1(3)

1 an ? n ? ( ) n 2
【解析】 试题分析: (1)由题意得:因为 an ? 2 单调递增,所以 Ai ? 2 , Bi ? 2
n i i ?1

,所以

ri ? 2i ? 2i ?1 ? ?2i ,1 ? i ? m ? 1 .本小题目的引导阅读题意,关键在于确定数列单调性(2)
本题是逆问题,关键仍是确定数列单调性:因为 ri ? Ai ? Bi ? ?2 ? 0 ,所以 Ai ? Bi ,可得

ai ? Ai ? Bi ? ai ?1 即 ai ? ai ?1 ,又因为 i ? 1, 2,3,?, m ? 1 ,所以 {an } 单调递增,则 Ai ? ai ,

Bi ? ai ?1 ,所以 ri ? ai ? ai ?1 ? ?2 ,可得 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1(3) 由上面两小题可知, 构造数列为单调递增数列: 等差数列 ?bn ?
的公差 d 为正数,等比数列 ?cn ? 的首项 c1 为负,公比 q ? (0,1) ,若等比数列 ?cn ? 的首项 c1 为正,公比 q ? 1 ,由(1)知不满足数列 ?ri ? 是单调递增的 试题解析: (1)因为 an ? 2 单调递增,所以 Ai ? 2 , Bi ? 2
n i i ?1



所以 ri ? 2 ? 2
i

i ?1

? ?2i , 1 ? i ? m ? 1 .

?????4 分

16. 【浙江宁波效实中学 2016 届上学期高三期中考试 16】设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项 和,已知 a4 ? 9, a3 ? a7 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求证:

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? . S1 S2 S3 Sn 4

【答案】 (1) an ? 2n ? 1; (2)详见解析. 【解析】

17. 【湖北宜昌一中、龙泉中学 2016 届高三十月联考 19】 (本小题满分 12 分) 已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? a5 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn?1 ? bn ? an?1 ,求数列 ? 【答案】 (1) an ? 2n ? 1; (2) Tn ? 【解析】 试题分析: (1) 求等差数列的通项公式一般用基本量法, 即把已知条件用首项 a1 和公差 d 表 示出来,求出 a1 , d ,然后写出通项公式; (2)本题要先求出 bn ,由于已知数列 {bn } 的后项 与前项的差 bn?1 ? bn ,因此我们用累加法可求得 bn ? n(n ? 2) ,这样

2 2 a3 , S7 ? 63 . 7

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

3 1 1 1 ? ( ? ). 4 2 n ?1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,故数列 { } 的前 n 项和应用裂项相消法求得. bn bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

18. 【苏州市 2016 届高三年级第一次模拟考试】 (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ?

1 , an?1 ? an ? p ? 3n?1 ? nq , n ? N * , p, q ? R . 2

(1)若 q ? 0 ,且数列 ?an ? 为等比数列,求 p 的值; (2)若 p ? 1 ,且 a 4 为数列 ?an ? 的最小项,求 q 的取值范围. 【答案】 (1) p ? 0 或 p ? 1 .(2) 3 ≤ q ≤ 【解析】

27 4

试题解析: (1) q ? 0 , an?1 ? an ? p ? 3n?1 ,∴ a2 ? a1 ? p ?
2

1 1 ? p , a3 ? a2 ? 3 p ? ? 4 p , 2 2

1?1 ?1 ? ? 由数列 ?an ? 为等比数列, 得 ? ? p? ? ? ? 4p? , 解得 p ? 0 或 p ? 1 . ??????3 2? 2 ?2 ? ?

分 当 p ? 0 时, an?1 ? an ,∴ an ? 分 当 p ? 1 时, an?1 ? an ? 3n?1 , ∴
an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? =

1 符合题意; 2

?????????4

1 1 1 ? 3n?1 1 n?1 ? ?1 ? 3 ? ? ? 3n?2 ? ? ? ? ?3 , 2 2 1? 3 2
?????????

∴ 6分

a n ?1 ? 3 符合题意. an

(2)法一:若 p ? 1 , an?1 ? an ? 3n?1 ? nq , ∴ an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? =

1 n?1 1 3 ? n ? n ? 1? q ? ? ?1 ? 3 ? ? ? 3n?2 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1?? q= ? ? ? ? . ??????8 分 2? 2

1 n?1 1 3 ? n ? n ? 1? q ? ∵数列 ?an ? 的最小项为 a 4 , ∴对 ?n ? N* , 有 ? ? ≥ a4 ? 2 ? 27 ? 12q ? 恒成 2?
立, 即3
n?1

? 27 ≥ ? n2 ? n ? 12? q 对 ?n ? N* 恒成立.

?????????10 分

当 n ? 1 时,有 ?26 ≥ ?12q ,∴ q ≥

13 ; 6 12 ; 5

当 n ? 2 时,有 ?24 ≥ ?10q ,∴ q ≥ 当 n ? 3 时,有 ?18 ≥ ?6q ,∴ q ≥ 3 ; 当 n ? 4 时,有 0 ≥ 0 ,∴ q ? R ;

?????????12 分

当 n ≥ 5 时, n2 ? n ? 12 ? 0 ,所以有 q ≤ 令 cn ?

3n?1 ? 27 恒成立, n2 ? n ? 12

2 ? n2 ? 2n ? 12? 3n?1 ? 54n 3n?1 ? 27 c ? c ? ?0, n ≥ 5, n ? N * ,则 ? ? n ?1 n n2 ? n ? 12 ? n2 ? 16?? n2 ? 9?
27 . 4
?????????15 分 ?????????16 分

即数列 ?cn ? 为递增数列,∴ q ≤ c5 ? 综上所述, 3 ≤ q ≤

27 . 4

19. 【辽宁省葫芦岛市一高 2016 届上学期期中考试 21】 (本小题满分 12 分) 已 知 等 比 数 列 ?a n ? 是 递 增 数 列 , a 2 a 5 ? 32, a 3 ? a 4 ? 12 , 又 数 列 ?bn ? 满 足

bn ? 2 log 2 a n ?1 , S n 是数列 ?bn ? 的前 n 项和.
(1) 求 S n ; (2)若对任意 n ? N ? ,都有

Sn Sk 成立,求正整数 k 的值 ? an ak

【答案】 (1) S n ? 2 ? 4 ? ? +2n ? 的正整数 n ,都有 【解析】

n(2 ? 2n) ? n2 ? n ; (2)存在 k ? 2 或 3 ,使得对任意 2

Sk Sn ? . ak an

20. 【温州二外 2016 届上学期高三 10 月阶段性测试 20】 (本小题满分 14 分)设 A(x1,

y1) ,B(x2,y2)是函数 f(x)=
已知点 M 的横坐标为

1 x 1 ? log 2 的图象上任意两点,且 OM ? (OA ? OB ) , 2 1? x 2

1 . 2
1 n 2 n n ?1 ), n ∈N*,且 n≥2,求 S n . n

(Ⅰ)求证:M 点的纵坐标为定值; (Ⅱ)若 S n = f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

?2 , n ? 1, ? ?3 * (III)已知 an = ? 其中 n∈N .Tn 为数列{an}的前 n 项和, 1 ? , n ≥ 2. ? ? ( Sn ? 1)( Sn ?1 ? 1)
若 Tn ? ? (Sn ?1 ? 1) 对一切 n∈N 都成立,试求 ? 的取值范围.
*

【答案】 (Ⅰ)

1 n ?1 1 * (Ⅱ)Sn= (n≥2,n∈N ) . (III) ( , +∞) 2, 2 2

【解析】

(2)由(1) ,知 x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1, Sn=f( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 两式相加,得 2Sn= [f ( )? f(

1 n

n 2

n ?1 n ?1 n?2 1 ), Sn=f( )? f( ) ??? f ( ) , n n n n

1 n

n ?1 2 n?2 n ?1 1 )) )) )? f( )) + [f ( )? f( +?+ [f ( n n n n n
n ?1 * (n≥2,n∈N ) . ????10 分 2

=1 ?? 1? ? ? 1 ,∴Sn= ? ? ? ?
n ?1

(3)当 n≥2 时,an=

1 4 1 1 ? ? 4( ? ). ( Sn ? 1)( Sn ?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2
2 1 1 1 1 ? 4[ ? )] ( ? ) ??? ( 3 3 4 n ?1 n ?1

Tn=a1+a2+a3+?+an=



2 1 1 2n ? 4( ? )? . 3 3 n?2 n?2
Tn < λ ( Sn
+ 1



+ 1 ), 得

2n n?2 . ∴ λ > < λ · n?2 2

4n 4n 4 ? 2 ? . 2 (n ? 2) n ? 4n ? 4 n ? 4 ? 4 n

∵n+

4 ≥4,当且仅当 n=2 时等号成立,∴ n

4 4 1 ? ? . 4 n? ?4 4?4 2 n

因此λ >

1 1 ,即λ 的取值范围是( , +∞) .????15 分 2 2

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