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2014届高三数学(文)一轮总复习对数与对数函数




节 对数与对数函数
基础自主梳理

考向互动探究

最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数 转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数 图象通过的特殊点,会画底数为 2,10, 1 的对数函数的图象. 2 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0,且 a≠1).
x

1.(2012 保定模拟)若 log4[log3(log2x)]=0,则

x

1 ? 2

等于( A ) (B)

(A) 2 4

2 2

(C)8

(D)4

解析:≧log4[log3(log2x)]=0, ?log3(log2x)=1,?log2x=3.
1 ? 2

即 x=2 =8,? x

3

2 ? 4

.故选 A.

2.函数 f(x)=loga(x+2015)-2014(a>0 且 a≠1) 的图象必过定点( B ) (A)(-2015,-2014) (C)(-2016,-2014) (B)(-2014,-2014) (D)(-2013,2014)

解析:令 x+2015=1,得 x=-2014. 此时 f(-2014)=0-2014=-2014, 即函数的图象经过定点(-2014,-2014),故选 B.

3.函数 f(x)=log3(2-x)在定义域上是( B ) (A)增函数 (B)减函数 (C)先增后减 (D)无法确定其单调性 解析:由复合函数的单调性可以判断,内函数和外 函数的单调性相同则为增函数,内函数和外函数 的单调性相反则为减函数,由于原函数的定义域 为(-≦,2),在定义域上 t=2-x 为减函数, t∈(0,+≦),而 y=log3t 为增函数,故选 B.

4.(2012 河北质检)函数 y= log 1 (3x-a)的定
2

?2 ? 义域是 ? ,?? ? ,则 a= ?3 ?

.

a 解析:由 3x-a>0 得 x> , 3

?a ? 因此,函数 y= log 1 (3x-a)的定义域为 ? ,?? ? , ?3 ? 2 a 2 所以 ? ,?a=2. 3 3

答案:2

1.对数 (1)对数的定义 ①请根据如图中的提示填写与对数有关的 概念
x

loga N ? x

②其中 a 的取值范围是 a>0,且 a≠1. (2)对数的性质与运算

见附表:对数的性质与运算

2.对数函数 (1)对数函数的定义 ①表达式:y=logax(a>0,且 a≠1). ②自变量: x . ③定义域: x ? (0,??) .

(2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

定义域:(0,+∞) 性质 在(0,+∞)上为增函数 值域:R 当 x=1 时,y=0,即过定点(1,0) 在(0,+∞)上为减函数

3.反函数 指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们 的图象关于直线 y=x 对称.
x

质疑探究:如图是对数函数①y=logax ② y=logbx ③y=logcx ④y=logdx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是 .

提示:题图中直线 y=1 与图象交点的横坐 标即为它们各自底数的值,即 0<a<b<1<c<d.

对数的基本运算 【例 1】 计算下列各式. (1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2) ;
2

(2) (lg 3) ? lg 9 ? 1 ? (lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 ) .
2

lg 0.3 ? lg 1.2

(3)(log32+log92)·(log43+log83). 解:(1)原式=(lg 2) +(1+lg 5)lg 2+lg 5 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5
2 2

=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.

(2)原式=
3? ?3 (lg 3) ? 2 lg 3 ? 1 ? ? lg 3 ? 3 lg 2 ? ? 2? ?2 (lg 3 ? 1) ? (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1)
2

3 (1 ? lg 3) ? (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) 3 2 = =- . 2 (lg 3 ? 1) ? (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1)

? lg 2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? (3)原式= ? ??? ? ? ? ? lg 3 lg 9 ? ? lg 4 lg 8 ? ? ? ? ?

? lg 2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? ??? ? =? ? ? ? lg 3 2 lg 3 ? ? 2 lg 2 3 lg 2 ? ? ? ? ?

3 lg 2 5 lg 3 5 = = . ? 2 lg 3 6 lg 2 4

对数式的化简与求值的常用思路: (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化 成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正 用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数的对数,逆用对数的运 算性质,转化为对数真数的积、商、幂运算.

变式训练 1 1:(2012 辽宁沈阳模拟)已知 x,y,z 都是大于 1 的正数,m>0,且 m≠1,且 logxm=24, logym=40,logxyzm=12,则 logzm 的值 为( (A) 1 60 ) (B)60 (C) 200 (D) 3 20 3

解析:由已知可得

1 1 log x= ,log y= 24 40
m m

1 ,log (xyz)= , 12
m m

于是

1 1 1 log z=log (xyz)-log x-log y= 12 24 40 1
m m m

=

60

,

故 logzm=60,故选 B.

对数函数的图象及应用 【例 2】 已知函数 f(x)=loga(2 +b-1)(a>0,a≠ 1)的图象如图所示,则 a、 满足的关系是( b (A)0<a <b<1 (C)0<b <a<1
-1 -1 x

)

(B)0<b <a <1 (D)0<a <b <1
-1 -1

-1

思维导引:观察图象,可从图象的增减性、 所经过 的特殊点等方面分析,从而确定参数 a,b 的范围 及关系. 解析:令 g(x)=2 +b-1,这是一个增函数,而由图 象可知函数 f(x)=logag(x)是单调递增的,所以 必有 a>1.又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵 坐标介于-1 和 0 之间,
x

即-1<f(0)<0, 所以-1<logab<0, 故 a <b<1, 因此 0<a <b<1,故选 A.
-1 -1

已知对数型函数的图象研究其解析 式及解析式中所含参数的取值范围问题,通 常是观察图象,获得函数的单调性、对称性、 奇偶性、 经过的特殊点等,由此确定函数解析 式以及其中所含参数的取值范围.

变式训练 2-1:若函数 f(x)=loga(x+b)的图 象如图所示,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)=a +b 的大致图象是(
x

)

解析:由 f(x)=loga(x+b)的图象可知 0<a<1,且 0<b<1,则函数 g(x)=a +b 的大致图象是选项 D.
x

对数函数的性质及应用 【例 3】 已知函数 f(x)=log 1 ax ? 2 (a 为常数).
2

x ?1

(1)若常数 a<2 且 a≠0,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取 值范围.

思维导引:对 a 分 0<a<2 和 a<0,两种情况 讨论求解.

ax ? 2 解:(1)由题意知 >0,当 0<a<2 时,解 x ?1 2 得 x<1 或 x> ; a 2 当 a<0 时,解得 <x<1. a

故当 0<a<2 时,f(x)的定义域为

? ? x x ? 1或x ? ?

2? ?; a?

? 2 ? 当 a<0 时,f(x)的定义域为 ? x ? x ? 1? . ? a ?

ax ? 2 (2)令 u= ,因为 f(x)=loug 1 u 为减函 x ?1 2
数,故要使 f(x)在(2,4)上是减函

ax ? 2 a?2 数,u= =a+ 在(2,4)上单调递增 x ?1 x ?1
且为正.

a ? 2 ? 0, ? ? 2a ? 2 故由 ? 得 umin ? u (2) ? ?0 ? 2 ?1 ?
1≤a<2.故 a∈[1,2).

此类问题主要涉及对数函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性等,应重视利用对 数运算性质和函数的图象解决.但要注意三方 面的问题,一是定义域;二是底数与 1 的大小关 系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本 初等函数复合而成的.

变式训练 3 1:设 a>0,a≠1,函数 y= a
2

lg( x 2 ?2 x?3)



最大值,求函数 f(x)=loga(3-2x-x )的单调区间. 解:设 t=lg(x -2x+3)=lg[(x-1) +2]. 当 x ? R 时,t 有最小值 lg 2. 又因为函数 y= a 所以 0<a<1.
lg( x 2 ?2 x?3)
2 2

有最大值,

易知 f(x)=loga(3-2x-x )的定义域为{x|-3<x<1}, 令μ =3-2x-x ,x ? (-3,1),则 f(x)=logaμ .
2

2

因为 f(x)=logaμ 在定义域内是减函数, 当 x ? (-3,-1]时,μ =-(x+1) +4 是增函数,
2

所以 f(x)在(-3,-1]上是减函数. 同理,f(x)在[-1,1)上是增函数. 故函数 f(x)的单调递减区间为(-3,-1], 单调递增区间为[-1,1).

【例 1】 (2011 年高考天津卷)已知 a= 5 b= 5
log4 3.6

log2 3.4

,

?1? ,c= ? ? ?5?

log3 0.3

,则(

)

(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b 解析:c= ? 1 ? ? ? ?5?
log3 0.3

=5

?log3 0.3

?5

log3

10 3

.

法一 在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,y=log3x,y=log4x 的图象,如图所示. 由图象知:log23.4>log3 10 >log43.6.
3

由于 y=5 为增函数. ?5
log2 3.4

x

?5

10 log3 3

?5

log4 3.6

. ,

即: 5log2 3.4 ? ? 1 ? ? ?

log3 0.3

?5? 故 a>c>b. 故选 C.

?5

log4 3.6

法二 ≧log3 10 >log33=1,且 10 <3.4, 3 3 ?log3 10 <log33.4<log23.4. 3 ≧log43.6<log44=1,log3 10 >1, ? 3

10 log 3.6<log . 3
4 3

10 >log43.6. ?log23.4>log3 3

由于 y=5 为增函数. ?5
log2 3.4

x

?5

10 log3 3

?5

log4 3.6

.

即: 5

log2 3.4

?1? ?? ? ?5?

log3 0.3

?5

log4 3.6 ,

故 a>c>b.故选 C.

【例 2】 已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1), 若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点 对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x ? [0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立, 求 m 的取值范围.

解:(1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点, 则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点, ∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上, ∴-y=loga(-x+1), 即 y=g(x)=-loga(1-x). (2)f(x)+g(x)≥m,

即 loga x ? 1 ≥m. 1? x 设 F(x)=loga x ? 1 ,x ? [0,1), 1? x 由题意知, 只要 F(x)min≥m 即可.

∵F(x)在[0,1)上是增函数, ∴F(x)min=F(0)=0. 故 m≤0 即为所求.

忽略函数的定义域致误 【典例】 (2012 滁州模拟)函数 y=log3(4x-x ) 的单调区间是 (0,4). 令 t=4x-x2, 由于 t=4x-x =-(x-2) +4, 所以函数 t=4x-x2 的递减区间是[2,4),
2 2 2

.

正确解析:由 4x-x2>0 解得函数的定义域是

递增区间是(0,2], 又因为 y=log3t 在(0,+≦)上是增函数, 所以函数的单调递增区间是(0,2], 递减区间是[2,4). 答案:(0,2],[2,4)

解决此类问题,最易忽视函数 的定义域,得出单调递增区间是(-≦,2),递 减区间是[2,+≦)的错误结果.

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