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全国高中数学联赛初赛试卷(校拟)(含参考答案)


全国高中数学联赛初赛试卷(校拟) 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知数列 ? an ? 的通项公式 an ? 2 ,则 ? an ? 的最大项是 n ? 4n ? 5 2 ( ) ? A? a1 2.函数 y ? 3 log3 x ? B ? a2 的图象是 ? C ? a3 ? D ? a4 ( ) ? A? 2 ? B? ?C ? ? D? 3.已知抛物线 y ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点,使得△ POF 是直角三 角形,则这样的点 P 共有 ( ) ? A? 0 个 ? B? 2 个 ?C ? 4 个 ? D? 6 个 ) 4.设 f ? x ? 是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 ,则( ? A? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 ? C ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 ? B ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 ? D ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有 ( ) ? A? 0 条 6.在△ ABC 中, tan A ? ? B? 1 条 ?C ? 4 条 ? D ? 无数多条 ) 3 10 1 , cos B ? .若△ ABC 的最长边为 1 ,则最短边的长为( 10 2 ? A? 4 5 5 ? B? 3 5 5 ?C ? 2 5 5 ? D? 5 5 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.集合 A ? x x ? 3n , n ? N , 0 ? n ? 10 , B ? y y ? 5m, m ? N , 0 ? m ? 6 ,则集合 A ? B 的 所有元素之和为 . ? ? ? ? 8.设 cos 2? ? 2 9. x ? 3 x 2 4 4 ,则 cos ? ? sin ? 的值是 3 5 . ? ? 3 的展开式中, x 的系数为 . ?y ? 0 ? 2 2 10.已知 ?3 x ? y ? 0 ,则 x ? y 的最大值是 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 11.等比数列 ? an ? 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? . 1 .设 f ? n ? 表示这个数列的前 n 项的积,则当 2 n? 时, f ? n ? 有最大值. 12 . 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 已 知 AB1 ? 4 , AD1 ? 3 , 则 对 角 线 AC1 的 取 值 范 围 是 . 三.解答题(本题满分 60 分,第 13 题、第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分) 13.设集合 A ? ? x log 1 ? 3 ? x ? ? ?2 ? , B ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2a ? ? 1? .若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. ? x?a ? 14. 椭圆 x2 y2 其中 P ? ? 1 的右焦点为 F ,P , P2 ,?, P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上

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