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四川省资阳市2016届高三下学期高考模拟考试数学(文史类).


资阳市高中 2013 级高考模拟考试


注意事项:

学(文史类)

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。满分150分。 考试时间120分钟。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
0, 3} ,则 A ? B ? 1.设集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0},B ? {?1,

(A) {?1, 0} (C) {?1,3} 2.已知 i 是虚数单位,复数 z ? 1 ? 2i ,则 i z ? (A) 2 ? i (C) ?2 ? i 3.下列命题,真命题的是 (A) ? x ? R , x2 ≤ x ? 2 (B) ? x ? R , 2 x ? 2 ? x 2 (C) 函数 f ( x) ?
1 为定义域上的减函数 x

(B) {0,3} (D)

??1,0,3?

(B) 2 ? i (D) ?2 ? i

(D) “被 2 整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被 2 整除的整数不是偶数” 4.已知 e1 , e 2 是互相垂直的单位向量,则 | e1 ? 2e2 | ? (A) 2 (C) 3 (B) 5 (D) 5

1 1 1 1 5.右图是计算 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,其中 2 4 8 512
判断框内可以填的是 (A) n ≥ 12 ? (B) n ≥ 11?
·1·

(C) n ≥ 10? (D) n ≥ 9 ? 6.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2cos2

x ? 1 , g ( x) ? 2 2 sin x cos x ,下列结论正确的是 2

(A) 函数 f ( x) 与 g ( x) 的最大值不同 (B) 函数 f ( x) 与 g ( x) 在 (

3? 5? , ) 上都为增函数 4 4
1 ,纵坐标不变,再通过平移能得到 g ( x) 2

(C) 函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的对称轴相同 (D) 将函数 f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 的图象 7. 直角三角形 ABC 中,A=90° ,B=60° ,B,C 为双曲线 E 的两个焦点,点 A 在双曲线 E 上,则 该双曲线的离心率为 (A) (C) 8.下列关于空间的直线和平面的叙述,正确的是 (A) 平行于同一平面的两直线平行 (B) 垂直于同一平面的两平面平行 (C) 如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面,那么这两个平面平行 (D) 如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直 9. 如图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面 2 m,水面 宽 4 m,如果水位下降 (A) m (C) 2 5 m 10.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ?
2 3 4 2016

3 ?1

(B) (D)

2 ?1 3

5 m 后(水深大于 5 m) ,水面宽度为 2 (B) 6 m
(D) 4 m

x x x x (其中 x>0), g ( x) ? ln x ? x ? 3 ,设函数 ? ? ??? 2 3 4 2016

F ( x) ? f ( x ? 1) g ( x ? 1) ,且函数 F ( x) 的零点都在区间 [a,b](a ? b,a ? Z,b ? Z) 内,则 b ? a 的

最小值为 (A) 2 (C) 4 (B) 3 (D) 5

·2·

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项:
必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出, 确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.计算 sin150? cos 30? 的值为 . . 正方 则该

?3 x ? y ? 2 ≤ 0, ? 12.设实数 x,y 满足条件 ? 2 x ? y ≥ 0, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ≥ 0, ?

13.某几何体的三视图如右图所示,其中正视图和俯视图均为全等的 形(边长为 2) ,侧视图为等腰直角三角形(直角边的长为 2) , 几何体的表面积是 .

14.过点(-1, 0)的直线 l 与圆 C: x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 交于 A,B 两点,若△ 为等边三角形,则直线 l 的斜率为 15.已知函数 f ( x) ? .

ABC

cos(πx ? π) ( x ? R) ,给出下面四个命题: 2x ? 22? x ① 函数 f ( x) 的图象一定关于某条直线对称;
② 函数 f ( x) 在 R 上是周期函数; 1 ③ 函数 f ( x) 的最大值为 ; 4

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 3 ? ④ 对任意两个不相等实数 x1,x2 ? (0, ) ,都有 成立. x1 ? x2 10 2

其中所有真命题的序号是



三、解答题:本大题共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m ? (2b ? c,a) 和向量 n ? (cos C,cos A) 为共线向量. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,求△ABC 面积的最大值.

17. (本小题满分 12 分) 人的体重是人的身体素质的重要指标之一.某校抽取了高二的部分学生,测出他们的体重(公
·3·

斤) ,体重在 40 公斤至 65 公斤之间,按体重进行如下分组:第 1 组[40,45),第 2 组[45,50),第 3 组 [50,55),第 4 组[55,60),第 5 组[60,65],并制成如图所示的频率分布直方图,已知第 1 组与第 3 组的 频率之比为 1:3,第 3 组的频数为 90. (Ⅰ)求该校抽取的学生总数以及第 2 组的频率; (Ⅱ) 学校为进一步了解学生的身体素质, 在第 1 组、 组、第 3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人进行测试.若从 中随机选取 2 人去共同完成某项任务, 求这 2 人来自于同 概率. 第2 这6人 一组的

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是首项和公差相等的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,且 S10 ? 55 . (Ⅰ)求 a n 和 Sn ; 1 (Ⅱ)设 bn ? ,数列 ?bn ? 的前项和 Tn ,求 Tn 的取值范围. Sn

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-AMC 中,AC=AM=PM=2,PM⊥面 AMC,AM⊥AC,B,D 分别为 CM, AC 的中点. (Ⅰ)在 PC 上确定一点 E,使得直线 PM∥平面 ABE,并说 由; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,连接 AE,与 PD 相交于点 N,求 B-ADN 的体积. 三棱锥 明理

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E: 内角为 60° . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 直线 l 与椭圆 E 相交于 A, B 两个不同的点, 线段 AB 的中点为 C, O 为坐标原点, 若△ OAB 面积为
3 ,求 | OC | 的最小值. 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点构成一个面积为 2 3 的四边形,该四边形的一个 a 2 b2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x(ln a ? ln x)(a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? e 2 时,求函数 f ( x) 在 x=1 处的切线方程;
·4·

(Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象恒在直线 x ? y ? 1 ? 0 的下方,求实数 a 的取值范围; e (Ⅲ) 当 a ? e 时,若 x1,x2 ? (1, ) ,且 x1 ? x2 ,判断 ( x1 ? x2 )4 与 e2 x1 x2 的大小关系,并说明理由. 2 注:题目中 e=2.71828…是自然对数的底数.

资阳市高中 2013 级高考模拟考试 数学参考答案及评分意见(文史类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.A 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.
2 3 ;12. 8;13. 12 ? 4 2 ;14. ? ;15. ①③. 4 2

三、解答题:本大题共 75 分。 16. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)因为向量 m ? (2b ? c,a) 和向量 n ? (cos C,cos A) 为共线向量, 所以 (2b ? c)cos A ? a cos C , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 由正弦定理得 (2sin B ? sin C ) cos A ? sin A cos C , 即 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? sin( A ? C ) ? sin B .

? 1 由于 B 是三角形的内角, sin B ? 0 ,则 cos A ? ,所以 A ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 2
(Ⅱ)因为 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , 所以 36 ? b2 ? c2 ? 2bc cos

? ? b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc , 3

且仅当 b=c 时取得等号,所以 bc ? 36 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
1 1 3 ?9 3, 故 S ?ABC ? bc sin A ? ? 36 ? 2 2 2

所以当 b=c 时,△ABC 面积的最大值为 9 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)设该校抽查的学生总人数为 n,第 2 组、第 3 组的频率分别为 p2 , p3 ,
·5·

则 p3 ? 0.025 ? 3 ? 5 ? 0.375 ,所以 n ?

90 ? 240 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 p3

由 p2 ? 0.375 ? (0.025 ? 0.013 ? 0.037) ? 5 ? 1 ,解得 p2 ? 0.25 , 所以该校抽查的学生总人数为 240 人,从左到右第 2 组的频率为 0.25. · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)前 3 组的频率之比是 1 : 2 : 3,则按照分层抽样,这 6 人的构成是第 1 组 1 人(不妨设为 A) ,第 2 组 2 人(不妨设为 B1 , B2 ) ,第 3 组 3 人(不妨设为 C1 , C2 , C3 ) ,从这 6 人中任选两人有
AB1 , AB2 , AC1 , AC2 , AC3 , B1B2 , B1C1 , B1C2 , B1C3 , B2C1 , B2C2 , B2C3 , C1C2 , C1C3 , C2C3 ,共 15 个结果,而这 2 人来自

同一组的情况有 B1 B2 , C1C2 , C1C3 , C2C3 ,共 4 个结果, 所以这 2 人来自同一组的概率 p ? 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,则 a1 ? d , an ? a1 ? (n ? 1)d ? nd , 由 S10 ? a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 55d ? 55 ,解得 d=1,
1? n 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? n ? n(n ? 1) . · 2 2 2 1 1 ? 2( ? ) ,· (Ⅱ)可得 bn ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 n(n ? 1) n n ?1

4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 15

所以 an ? n ,则 Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? 1 2n ?1 )? 所以 Tn ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2 ? ? ,· · · · 8分 ? ? 2(1 ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n ?1 ? n n ?1?

由于 2(1 ?

1 ) 为随 n 的增大而增大,可得 1 ? Tn ? 2 . n ?1

即 Tn 的取值范围是 [1, 2) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)E 为 PC 的中点.理由如下: 连接 BE,由于 B,E 分别为 CM,PC 的中点, 所以 BE∥PM, 又 BE ? 平面 ABE,PM ? 平面 ABE, 所以 PM∥面 ABE. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由于 AE,PD 分别是△PAC 的边 PC,AC 上的中线,所以 AE 和 PD 的交点 N 为△PAC 的 重心,故 N 为 PD 靠近 D 的三等分点,
2 则 VB? ADN ? VN ? ADB ? VE ? ADB , 3
1 而因为 D 为 AC 的中点,所以 VE ? ADB = VE ? ABC , 2

又由于 E 为 PC 的中点,
·6·

1 1 1 1 1 1 所以 VE ? ABC = VP ? ABC ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 2 3 2 2 3 1 所以三棱锥 B-AND 的体积为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 9

20. (本小题满分 13 分)
? a ? 3b, ? (Ⅰ)由题 ? 解得 a ? 3,b ? 1 , 1 ? 2 ? ( ? 2a ? b) ? 2 3, ? 2

所以椭圆 E 的方程为

x2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? y2 ? 1 .· 3
x12 3 6 2 ? y12 ? 1 ,而 S ?| x1 y1 |? ,解得 | x1 |? , | y1 |? , 3 2 2 2

(Ⅱ)(1)当 l 的斜率不存在时,A,B 两点关于 x 轴对称,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,则 可知 C (?

6 6 , 0) ,所以 | OC |? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 2

(2)当 l 的斜率存在时,设直线 l: y ? kx ? m ,
? x2 2 ? ? y ? 1, 联立方程组 ? 3 消去 y 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 , ? y ? kx ? m, ?

由 ? ? 12(3k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,得 m 2 ? 3k 2 ? 1 , 则 x1 ? x2 ?

3m2 ? 3 ?6km , , (*) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2 3 3k 2 ? m2 ? 1 , 3k 2 ? 1

|AB| ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

原点 O 到直线 l 的距离 d ?

|m| 1? k2



1 1 2 3 3k 2 ? m2 ? 1 | m | 3 △ OAB 的面积 S ? |AB| ? d ? ,· · · · · · · · · · 8分 1? k2 ? ? ? 2 2 2 2 3k ? 1 2 1? k

整理得 4m2 (3k 2 ? 1 ? m2 ) ? (3k 2 ? 1)2 ,即 (3k 2 ? 1)2 ? 4m2 (3k 2 ? 1) ? 4m4 ? 0 , 所以 (3k 2 ? 1 ? 2m2 )2 ? 0 ,即 2m2 ? 3k 2 ? 1 ,满足 ? ? 12(3k 2 ? m2 ? 1) ? 0 , 可知 2m 2 ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 结合(*)得 x1 ? x2 ? 则 C (?

?3k ?3k 2 ?(2m2 ? 1) 1 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ? 2m ? ? 2m ? , m m m m

3k 1 9k 2 ? 1 3(2m2 ? 1) ? 1 3 1 , ) ,所以 | OC |2 ? ? ? ? 2 , 2 2 2m 2m 4m 4m 2 2m

2 1 由于 2m 2 ? 1 ,则 | OC |2 ? ,当且仅当 2m 2 ? 1 ,即 k=0 时,等号成立,故 | OC |? , 2 2
·7·

综上所述, | OC | 的最小值为 21. (本小题满分 14 分)

2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2

(Ⅰ)当 a ? e 2 时, f ( x) ? x(2 ? ln x) , f ?( x) ? 2 ? ln x ? 1 , 切线 l 的斜率 k= f ?(1) ? 2 ? ln1 ? 1 ? 1 ,又 f (1) ? 2 ? ln1? 2 , 所以切线 l 的方程为 y ? x ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (Ⅱ)由题知 f ( x) ? x ? 1 ? 0 对于 x>0 恒成立,即 x(ln a ? ln x) ? 0 对于 x>0 恒成立, 令 g ( x) ? x(ln a ? ln x) ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? ln a ? ln x ? 2 ,由 g ?( x) ? 0 得 x ? x
g ?( x)

a , e2

(0,

a ) e2

+ ↗

a e2 0
极大值

(

a ,+∞) e2
- ↘

g(x) 则当 x>0 时, g ( x)max ? g (

a a a a a ) ? 2 ln ? ?1 ? 2 ?1 , a e2 e2 e e e2



a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 1 ? 0 ,得 0 ? a ? e2 ,所以实数 a 的取值范围是 (0, e 2 ) . · e2
4

(Ⅲ) ? x1 ? x2 ? > e2 x1 x2 .理由如下: 由题 f ? x ? ? x(1 ? ln x) , f ? ? x ? ? ? ln x ,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 , 当 1<x<e 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? ? x(1 ? ln x) 单调递减, 因为 x1 ? x1 ? x2 ? e ,所以 f ? x1 ? ? f ? x1 ? x2 ? ,即 x1 (1 ? ln x1 ) ? ( x1 ? x2 )[1 ? ln( x1 ? x2 )] , 所以 1 ? ln x1 ? 同理 1 ? ln x2 ?
( x1 ? x2 ) [1 ? ln( x1 ? x2 )] , x1 ( x1 ? x2 ) [1 ? ln( x1 ? x2 )] , x2

① ②

①+②得 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ( 因为

x1 ? x2 x1 ? x2 ? )[1 ? ln( x1 ? x2 )] , x1 x2

x1 ? x2 x1 ? x2 x x ? ?2? 2 ? 1 ?4, x1 x2 x1 x2

且由 x1 ? x2 ? e 得 ln( x1 ? x2 ) ? 1 ,即 1 ? ln( x1 ? x2 ) ? 0 , 所以 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4[1 ? ln( x1 ? x2 )] ,即 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4ln( x1 ? x2 ) , 所以 ln(e2 x1 x2 ) ? ln( x1 ? x2 )4 , 所以 ? x1 ? x2 ? > e2 x1 x2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分
4

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·8·


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