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10抽屉原理


抽屉原理
活动:分一分 1.如果有 3 个苹果,要放到两个抽屉当中,想一想,会有几种不同的放置 方法呢?试着用学具分一分并填写下面的表格。
抽屉 数量 方法一 方法二





2. 如果有 4 个苹果, 要放到三个抽屉当中, 又会有几种不同的放置方法呢? 请分一分并填一填。
抽屉 数量 方法一 方法二 方法三 方法四







3.如果有 5 个苹果,放进 4 个抽屉,有几种放置方法?
抽屉 数量 方法一 方法二 方法三 方法四 方法五 ○ ○ ○ ○

4.如果有 6 个苹果,放进 5 个抽屉,有多少种放置方法?
抽屉 数量 方法一 方法二 方法三 方法四 方法五 方法六 方法七 方法八 方法九 方法十
1











请同学们仔细认真地观察上面的几个问题及解决的方法, 你能发现什么规律 吗?结合第一个问题的结论,说说发现了什么规律。 当把 3 个苹果放到 2 个抽屉里,把 4 个苹果放到 3 个抽屉里,把 5 个苹果放 到 4 个抽屉里,或把 6 个苹果放到 5 个抽屉里时,不管怎样放,其中总会有一个 抽屉里放 2 个或 2 个以上的苹果。在上面的例子中,当有 4 个抽屉,放入 5 个苹 果时肯定至少有一个抽屉放 2 个或 2 个 以上的苹果, 如果苹果的个数不是 5 个, 是 6 个的话这个结论还成立吗?如果放 7 个苹果呢?不难发现, 当把 5 个、 6 个、 7 个或更多个的苹果放入 4 个抽屉中都能保证至少有 1 个抽屉放 2 个或 2 个以上 的苹果。我们可以总结为:当苹果的个数比抽屉的个数多的时候,不管怎样放, 至少有一个抽屉要放 2 个或 2 个以上的苹果。这就是“抽屉原理” 。利用抽屉原 理我们可以做许多有趣的判断和推理。 这个规律其实在 150 多年前就被人发现了, 你们知道他是谁吗?——他就是 德国数学家“狄里克雷”,后人为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律,就 把这个规律用他的名字命名,叫“狄里克雷原理”,由于人们对鸽子飞回鸽巢这 个引起思考的故事记忆犹新,所以人们又把这个原理叫做“鸽巢原理”。鸽巢原 理还有一个名字,就是抽屉原理。 这个规律经常表述为: 把多于 n 个的苹果放进 n 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个 或两个以上的苹果。

例 1:四年级同学参加学校学生自我管理值周活动,甜甜所在的卫生检查小组共 有 7 名同学,他们负责检查三年级的 6 个班。在检查当中至少有 2 名同学会去 相同的班级。这是为什么? 【分析和思考】 我们可以把 6 个班当作是 6 个抽屉, 把值周检查卫生的 7 名同学当作 7 个苹果,这样就有了 6 个抽屉和 7 个苹果。

2

例 2: 三位小朋友去王老师家做客,王老师拿出巧克力招待他们。他们数一 数,共有 20 块巧克力。如果把这些巧克力分给他们 3 人,请说明:一定有人至 少拿到 7 块巧克力。 【分析和思考】 20 块巧克力分给 3 个人, 就相当于 20 个苹果放入 3 个抽屉, 根据抽屉原理我们可以得到结论:一定有一个抽屉里面至少放 了 2 个苹果。

如果平均分,每人分 6 块,还剩 2 块。这 2 块巧克力 无论给谁,都会使得某个人的巧克力至少变为 7 块。这就 说明,一定有人至少拿到 7 块巧克力。

解: 19÷3 = 6 ?? 2 6 + 1 = 7 答:一定有人至少拿到 7 块巧克力。 事实上,由刚才的例题我们进一步推广,可以发现有这样的规律: (1)把 m×n 个苹果随意放入 n 个抽屉里,那么一定有抽屉至少放 入了 m 个苹果。 (2)把多于 m×n 个苹果随意放入 n 个抽屉,那么一定有抽屉至少 放了(m+1)个或(m+1)个以上的苹果。 还可以这样理解: 把 A 个物体放进 B 个抽屉(m>n) ,如果 A÷B=C??D(b≠0) ,那么 一定有一个抽屉至少可以放(C+1)个物体。

例 3:任意 50 人中,至少有几个人属于同一生肖? 【分析和思考】 如果我们把 50 人看成 50 个苹果,把 12 生肖看成 12 个抽屉,这样一来,某人属于某一生肖,就相当于把某个 苹果放入某抽屉。
3

解:我们把生肖相同的人归为一类,看做一个抽屉,50 个人相当于 50 个苹果, 根据最不利原则,为了不至于让某种生肖的人太多,我们应该让每一种生肖的人 数比较接近,这就是尽量让这 50 人平均分配到 12 生肖中去。50÷12=4??2, 剩余 2 人,如果把这 2 个人再分进去,就一定会有某一类至少增加 1 个人,因此 一定会有 4+1=5 人被归为一类。也就是说 5 个人属于同一生肖。 50÷12 = 4 ?? 2 4+1 = 5 答:任意 50 人中,至少有 5 个人属于同一生肖。 例 4: (1)盒子里有同样大小的红球和篮球各 100 个,要想摸出的球一定有 2 个 同色,至少要摸出几个球? 【分析和思考】 颜色相当于抽屉,球相当于苹果。

根据最不利原则,我用画图的方法来表示。

解:假定每种颜色先摸出一个球,最后再任摸出一个球,无论是什么颜色都 能保证两个同色,用图示法表示:
红 蓝

1 1

1 1×2+1=3(个)

答:所以要想摸出的球一定有 2 个同色,至少要摸出 3 个球。 (2)盒子里有同样大小的红球、蓝球、绿球各 100 个,要想使摸出的球一定 有 4 个同色,至少要摸出几个球? 【分析和思考】 本题中有两种颜色, 所以抽屉数是 2。

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图示法:

1 1 1 1

1 1 1 (4-1)×2 +1 = 7(个)

答:要想使摸出的球一定有 4 个同色,至少要摸出 7 个球。

(3)盒子里有同样大小的红球、蓝球、绿球各 100 个,要想使摸出的球一定有 4 个同色,至少要摸出几个球? 【分析和思考】 1 1 1 1 1 1 1 答:要想使摸出的球一定有 4 个同色,至少要摸出 10 个球。 用抽屉原理解决问题时,关键要抓住谁是抽屉,谁是苹果。要保证有 一个抽屉里至少放 2 个苹果,则 苹果总数(最少)=抽屉数+1。 摸球时至少要摸出球的个数与颜色的种数有关,与每种颜色的球的个 数没有关系。 1 1 1

(4-1)×3+1=10(个)

例 5:买一盒蘑古力内赠一枚炫动陀螺。陀螺共有 8 种颜色可供选择。 (1)小明要想得到两个相同颜色的陀螺,至少要购买几盒? (2)5 个单片陀螺可以组成一个立体陀螺。要想得到一种同色单片陀螺组 成的立体陀螺,小明至少需要购买“蘑古力”多少盒? (3)8 个单片陀螺还可以组成一个更大的立体陀螺。要想得到这样一种同 色单片陀螺组成的立体陀螺,小明至少需要购买“蘑古力”多少盒? 【分析和思考】 陀螺有 8 种颜色,我们把这 8 种颜色看作 8 个抽屉。

5

(1)8+1=9(盒) 答:小明要想得到两个相同颜色的陀螺,至少要购买 9 盒。 (2) (5-1)×8+1=33(盒) 答:小明至少需要购买“蘑古力”33 盒。 (3) (8-1)×8+1=57(盒) 答:小明至少需要购买“蘑古力”57 盒。

例 6:箱子里有相同型号的红、白、蓝、黑 4 种颜色的袜子各 10 只。 (1)要想凑成一双袜子,至少要拿出几只? (2)要想凑成两双颜色相同的袜子,至少要拿出几只? (3)要想凑成两双颜色不同的袜子,至少要拿出几只? (4)要想凑成两双袜子,至少要拿出几只?

【分析和思考】 这里我们要先明确几个概念: 一对(双) :指的是两个同色。 两对(双)同色:指的是 4 个同色。 两对(双)不同色:指的是对与对不同色。 两对(双) :只要每对的两个颜色相同就可以,它包括两对同色和两对不同 色。 明确了上述概念,下面我们就对问题进行探究。

解: (1)把红、白、蓝、黑四种颜色看作 4 个抽屉。 4+1=5(只) 答:要想凑成一双袜子,至少要拿出 5 只。

(2)两双同色,即 4 只同色。 (4-1)×4+1=13(只) 答:至少要拿出 13 只。

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(3) 要保证两双不同色, 得先穷尽一种颜色, 才能保证第二种颜色的出现。 解:可以用图示法:
红 1 1 蓝 1 白 1 黑 1

10 只

… …
1

1 10+3+1=14(只)

答:至少要拿出 14 只。 (4)先任取 5 只,必定有一双同色,假定出现了一双红色,根据最不利原则, 再取一只可能还是红色,这时红、蓝、白、黑都各有一只袜子,最后再任取一只, 不论什么颜色,都能保证再凑成一双袜子。可以用图示法:
红 1 1 1 蓝 1 白 1 黑 1

4+1+2=7(只) 1

答:至少要拿出 7 只袜子,才能保证凑成两双。

练一练: (一)填空: 1、把 5 枚棋子放入右图中四个小三角形内,那么至少 一定有一个小三角形内有( )枚棋子。

2、有 13 枚棋子放入 4 个小方格内,那么至少一定有一 个小方格内有( )枚棋子。 (二)解决问题: 1、 小丽从书架上随意拿下了 13 份报纸,你知道至少有几份报纸是同一个月 的吗?

2、某校六年级学生共有 400 人,年龄最大的与年龄最小的相差不到 1 岁,我们不
用去查看同学的出生日期, 就可断定在这 400 个学生中至少有两人是同年同月同日出生 的,你知道这是为什么吗?

3、你能证明在一个 11 位数中,至少有 2 个数位上的数字是相同的吗?

7

4、要拿出 25 个苹果,最多从几个抽屉中拿,才能保证从其中一个抽屉里至少拿了 7 个 苹果。

5、有黑、白、黄三种颜色的球各若干个放在一个口袋中,闭上眼睛从袋中摸球, 最少摸出几个就能保证有一对是相同颜色的球? 解:从最不利的情况考虑,3 种颜色相当于 3 抽屉个,也就是说最少摸出 4 个球 即可。这个问题思考时,我们从最不利的情形开始考虑,可以很容易地解出。

6、贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮五种福娃共有 15 个,一次至少取出几个, 才能保证一定有两个一样的福娃? 解:我们把五种福娃看成 5 个抽屉。 方法一:
贝 贝 1 晶 晶 1 欢 欢 1 1 迎 迎 1 妮 妮 1

1×5+1=6(个)

方法二:直接利用抽屉原理,要保证有 2 个福娃完全相同,用“抽屉数+1=至 少取出福娃的个数” 5+1=6 答:一次至少取出 6 个福娃,才能保证一定有两个一样的福娃。 7、在下面每个格子中任意填上“△”或“○” ,要保证有两列的图案完 全相同,至少要填满几列?
?? ??

解:本题没有直接给出抽屉,我们需要通过分析来构造抽屉,把“△”或“○” 任意填入格中,对于一列可能出现以下四种情况: △ △ ○ ○ △ ○ ○ △

我们把这四种情况看成 4 个抽屉,4+1=5(列) 。所以,要保证有两列的图 案完全相同,至少要填满 5 列。

8

8、一副扑克牌(取出两张王牌) (1)一次至少要拿出多少张,才能保证至少有两张是同花色的? (2)一次至少要拿出多少张,才能保证四种花色都有? 解: (1)扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块共四种花色,我们把这四种花色看作 四个抽屉。 4+1=5(张) 答:一次至少要拿出 5 张,才能保证至少有两张是同花色的。 (2)根据最不利原则,要穷尽三种颜色后,再任取出一张,才能保证四种花 色都有,可以用图示法(如图) : ? 1 1 … … ? 1 1 … … 1 ? 1 1 … … 1 ? 1

13×3+1=40(张)

13 张

1 答:一次至少要拿出 40 张,才能保证四种花色都有。

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