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最新人教版高中数学选修4-1《圆的切线的性质及判定定理》互动课堂


互动课堂 重难突破 一、圆的切线的性质定理及推论? 1.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点,否 则结论不成立.由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以经过圆心垂直于切线的 直线一定过切点;反过来,过切点垂直于切线的直线一定经过圆心,因此可以得到两个推论: 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.? 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得出如下结论:如果一条直线具备 下列三个条件中的任意两个 ,就可推出第三个.(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心.于是在利 用切线性质时,过切点的半径是常作的辅助线. 3.另外,圆的切线还有两条性质应当注意,一是切线和圆只有一个公共点;二是切线和圆心 的距离等于圆的半径.在许多实际问题中,我们也利用它们来解决.?? 二、切线的判定定理? 1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .在定理中要 分清定理的题设和结论,强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则 就不是圆的切线,如图 2-3-1 的例子就不同时满足两个条件,所以都不是圆的切线.? 图 2-3-1?? 2.用判定定理证明一直线与圆相切时,必须满足两个条件:①过半径的外端;②垂直于这 条半径.因此在解决相关问题时,若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证 这直线与这半径垂直;否则需先向这直线作垂线,再证这垂线段是圆的半径.?? 三、刨根问底? 问题 1 判断一条直线是否是圆的切线,通常有哪些方法?一般如何选取合适的方法?? 探究:判定切线通常有三种方法:? (1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线;? (2)和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;? (3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.? “过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线 ”只是把“到圆心距离等于半径的直线 是圆的切线”的定理具体化,在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法,如果涉及到数 值计算或距离问题,通常利用(2),如果涉及到线段的位置关系等,通常选取(3).? 问题 2 已知下列 5 个命题:? (1)过半径外端的直线是圆的切线;? (2)垂直于半径的直线是圆的切线;? (3)经过半径外端和这条直线垂直的直线是圆的切线;? (4)过直径端点且和这条直径垂直的直线是圆的切线;? ? (5)和圆有一个交点的直线是圆的切线.? 其中正确的命题序号是 .? 探究:首先判断这些命题的条件与切线判定定理或定义是否一致.(3)(4)正确. 活学巧用 【例 1】 如图 2-3-2 所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠C=90° ,且 AD+BC=AB,AB 为⊙O 的直径, 求证:⊙O 与 CD 相切.? 图 2-3-2 思路解析:欲证⊙O 与 CD 相切只需证明圆心 O 到直线 CD 的距离等于⊙O 的半径即可.? 证明:过 O 点作 OE⊥CD,垂足为 E,? ∴AD∥OE∥BC.? ∵O 为 AB 的中点,∴E 为 CD 的中点.? 1 (AD +BC).又∵AD +BC =AB,? 2 1 ∴OE = AB =⊙O 的半径.∴⊙O 与 CD 相切. 2 ∴OE = 【例 2】如图 2-3-3 所示,已知 AB 为半圆 O 的直径,直线 MN 切半圆于点 C,AD⊥MN 于点 D,BE⊥MN 于点 E,BE 交半圆于点 F,AD =3 cm,BE =7 cm.?? 图 2-3-3 (1)

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