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湖北省宜昌市金东方高级中学2014-2015学年高二数学6月月考试题 文


宜昌金东方高级中学 2015 年春季学期 6 月月考 高二数学试题(文)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

★祝考试顺利★ ★注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动

,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 第Ⅰ卷 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ? A.2 B.1 C.0 D. ?1

2、已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2a, a ? A} ,则集 合 CU ( A ? B) 中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

3、 “ x ? 1 <2 成立”是“ x( x ? 3) <0 成立”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4、已知双曲线 C : B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a 2 b2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 20 5 5 20 20 80 80 20
a?b ; 2

5、下列四个判断: ① 某校高三(1)班的人和高三(2)班的人数分别是 m和n ,某次测试数学平均分分别是

a , b ,则这两个班的数学平均分为

② 对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到一组样本数据: ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),?,( xn , yn ), 由

? ?a ? ? bx ? 必过样本点的中心 ( x, y ) ; 样本数据得到回归方程 y
③ 调查某单位职工健康状况,其青年人数为 300 ,中年人数为 150 ,老年人数为 100 ,现 考虑采用分层抽样,抽取容量为 22 的样本,则青年中应抽取的个体数为 12 ; ④ 频率分布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距。 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 6、函数 y =

1 (log 2 x)2 - 1

的定义域是

1

A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? 2, ???

C. ? 0, ? ? ? 2, ?? ? 2

? ?

1? ?

D. ? 0,

? ?

1? ? ? (2, ??) 2?

7、如图的程序是用来计算 A. 3 ? 10 的值 C. 3 的值 A. a ? b ? c B. b ? a ? c
9

B. 1? 2 ? 3 ? ? ?10 的值 D. 3 的值 C. c ? a ? b D. b ? c ? a
10

8、若 a ? 20.5 , b ? log? 3, c ? log2 0.5 ,则

9、设变量 x , y 满足约束条件 ? 值为 A. 0 则

?x ? 0 ,则 z ?x ? y ? 0 ?2x ? y ? 2 ? 0 ?

? 3x ? 2 y 的最大

10、已知 y ? f ( x) 对任意 x 有 f (? x) ? f ( x) , f ( x) ? ? f ( x ? 1) ,且在 ?0,1? 上为减函数,
7 7 7 A. f ( 7 ) ? f ( 7 ) ? f ( 7 ) B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 5 5 2 3 7 7 7 7 7 7 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 5 3 2 3 2 5 x y 11、已知点 P( x, y ) 在经过 A(3,0), B(1,1) 两点的直线上,那么 2 ? 4 的最小值为

B. 2

C. 4

D. 6

C. 4 2 D.不存在 [] p 12、已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过点 A( , 0) 的直线与抛物线 C 交于 M , N 两点, 2 A. 16 且

B. 2 2

???? ???? p MA ? 2 AN ,过点 M , N 向直线 x ? ? 作垂线,垂足分别为 P, Q , ?MAP, ?NAQ 的面 2
积分别 为记为 S1 与 S2 ,那么 A. S1 : S2 ? 2 :1 D. S1 : S2 ? 7 :1 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 13、已知 P 点在曲线 F : y ? x ? x 上,且曲线 F 在点 P 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, 则点 P 的坐标为_____________.
3

B. S1 : S2 ? 5 : 2

C. S1 : S2 ? 4 :1

14、已知 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ? a ?1,2a? .则 a ? 2b ? _______
2

15、在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M ,并以线段 AM 为一边作正方形,则此正方形 的面积介于 36 cm 2 与 81 cm 2 之间的概率为______ 16、现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面
2

积恒为

a2 ,类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中 4

心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为______. 三、解答题(共 70 分) 17、 (本小题满分 12 分)(1) 若 x ? ? , 4 ? ,求 f (x ) ? ? log2 ? ? ? log2 ? 的最大值和 2? ? 4? ?2 ? ? 最小值; (2)若 x ?? ?1, 2? ,求 g ( x ) ? ( )

?1

?

?

x? ?

x?

1 2

x 2 ? 2 x ?1

的值域。

2 18、 (本小题满分 12 分)已知圆 C :? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P (2, 2) ,过点 P 作直线 l 交 2

圆 C 于 A、B 两点. (1) 当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长.

2 19、 (本小题满分 12 分) 已知命题 p : 函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

1 a ) 的定义域为 R ; 命题 q : 16

集合 A ? {x | x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0} ,B ? {x | x ? 0} , 且 A ? B ? ? .若 “ p 或q ” 为真, “p 且 q ”为假,求 a 的取值范围.

20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? b ln x ? c (a, b, c 是常数)在 x ? e 处的切线 方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 , x ? 1 既是函数 y ? f ( x) 的零点,又是它的极值点. (1)求常数 a, b, c 的值; (2)若函数 g ( x) ? x ? mf ( x)(m ? R ) 在区间 (1,3) 内不是单调函数,求实数 m 的取值范 围;
2

2 2 21 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 动 圆 P 与 圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相 切 , 且 与 圆

记圆心 P 的轨迹为曲线 C ; 设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴 F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相内切,
3

上的动点, O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M , N 两个不同的点。 (1)求曲线 C 的方程; (2)试探究 | MN | 和 | OQ |2 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请 说明理由; (3)记 ?QF2 M 的面积为 S1 , ?OF2 N 的面积为 S2 ,令 S ? S1 ? S2 ,求 S 的最大值。

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)已知,如图, AB 是 ? O 的直径, AC 切 ? O 于点 A , AC ? AB , CO 交 ? O 于点 P , CO 的延长线交 ? O 于点 F , BP 的延长线交 AC 于点 E (1) 求证: FA / / BE (2)求证:

AP FA ? PC AB

23、 (本小题满分 10 分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: ⑴?

? x ? 5 cos? ( ? 为参数) ; ? y ? 4 sin ?

⑵?

? x ? 1 ? 3t ( t 为参数) ? y ? 4t

24、 (本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? a (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。

4

宜昌金东方高级中学 2015 年春季学期 6 月月考 高二数学试题(文) 考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:张用玮

审题人: 张爱民

★注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. ★祝考试顺利★ 第Ⅰ卷 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) DBBAC DDACA BC 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 13、_(1,0)或(-1,0) 14、 三、解答题(共 70 分) 17、 (本小题满分 12 分) ? ,4 (1) ? ? 4 ? ?

1 3

15、

1 4

16、

a3 . 8

? 1

?

(2) ? , 4 ? ?4 ?

?1

?

18、 (本小题满分 12 分)
2 解: (1)已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 l 的 2

斜率为 2,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 . (2) 当弦 AB 被点 P 平分时, l⊥PC, 直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 2) , 即 x ? 2 y ? 6 ? 0 . (3)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 0 ,

1 2

圆心 C 到直线 l 的距离为

1 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 34 . 2

2 19、 (本小题满分 12 分)对于命题 p : f ( x) ? lg( ax ? x ?

1 a ) 的定义域为 R 16

5

? ? 1 ? a?0 2 ?a?4 a ? 0 恒成立,则 ? 即 ax ? x ? 16 ?? ? 1 ? a ? 0 ? ? 4
对于命题 q :若 A ? ? ,则 ? ? (a ? 2)2 ? 4 ? 0 ,解得 ?4 ? a ? 0 若 A ? ? ,设方程 x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 的两根为 x2 , x2

4分

?? ? 0 ? 则由 A ? B ? ? ,有 ? x2 ? x2 ? 0 ? a ? 0 即命题 q 为真时有 a ? ?4 ?x ? x ? 0 ? 2 2
由题设有命题 p 和 q 中有且只有一个真命题,所以

8分

?1 ? a ? 4 ?a ? 1或a ? 4 或? ,解得 ?4 ? a ≤ 4 ? ?a ? ?4 ?a ? ?4
故所求 a 的取值范围是 ?4 ? a ≤ 4 20、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ax ? b ln x ? c 知, f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? a ? 又 f ( x) 在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,所以有 12 分

b , x

b e ?1 ?? e e 由 x ? 1 是函数 f ( x) 的零点,得 f (1) ? a ? c ? 0 f ' (e) ? a ?
'

① ② ?????????5 分

由 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,得 f (1) ? a ? b ? 0 , ③ 由①②③,得 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x ? ln x ? 1( x ? 0)
2 ? 则 g ( x) ? x ? mx ? m ln x ? m , 且 g ?( x) ? 2 x? m

m 1 ? ( 22x? m? x x x

m ) ????? 7

分 要使函数 g ( x) 在区间 (1,3) 内不是单调函数,则函数 g ( x) 在区间 (1,3) 内一定有极值

1 (2 x 2 ? mx ? m) 知 g ( x) 最多有两个极值 x 2 令 d ( x) ? 2x ? mx ? m( x ? 0) ①当函数 g ( x) 在区间 (1,3) 内有一个极值时, d ( x) ? 0 在 (1,3) 由唯一实数根
由 g ?( x) ? ∵ d (1) ? 2 ? 0 ,当 d (3) ? 0 ? m ? 9 时, d ( x) ? 0 在 (1,3) 由唯一实数根 x ?

当 d (3) ? 0 ? d (3) ? 0 ,解得 m ? 9 ,∴此时 m ? 9 ; ?????10 分 ②当函数 g ( x) 在区间 (1,3) 内有两个极值时, d ( x) ? 0 在 (1,3) 由两个实数根,其充要条件 是

3 2

6

?? ? m 2 ? 8m ? 0 ? d (1) ? 2 ? m ? m ? 0 ? ? ?d (3) ? 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0 ? 8 ? m ? 9 ? ?1 ? m ? 3 ? ? 4 综上所述, m 得取值范围是 (8, ??) ;


?????12

2 2 21 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 动 圆 P 与 圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相 切 , 且 与 圆

记圆心 P 的轨迹为曲线 C ; 设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴 F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相内切, 上的动点, O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M , N 两个不同的点。 (1)求曲线 C 的方程; (2)试探究 | MN | 和 | OQ |2 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请 说明理由; (3)记 ?QF2 M 的面积为 S1 , ?OF2 N 的面积为 S2 ,令 S ? S1 ? S2 ,求 S 的最大值。 (1)设圆心 P 的坐标为 ( x, y ) ,半径为 R
2 2 2 2 由于动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,且与圆 F 2 : ( x ? 3) ? y ? 1 相内切,

2 2 所以动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 只能内切

?| PF |? 9 ? R ?| PF1 | ? | PF2 |? 8 ?| F1F2 |? 6 ?? 1 ?| PF2 |? R ? 1 ? 圆心 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,其中 2a ? 8, 2c ? 6
?a ? 4, c ? 3, b2 ? a2 ? c2 ? 7
故圆心 P 的轨迹 C :

2分

x2 y 2 ? ?1 4分 16 7 (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x3 , y3 ) ,直线 OQ : x ? my ,则直线 MN : x ? my ? 3

? 2 ? 2 112m 2 112m 2 ? x ? my x ? x ? ? ? 3 ? ? 7 m 2 ? 16 , ? ? 7m 2 ? 16 由 ? x2 y 2 可得: ? ? ?1 ? y 2 ? 112 ? y 2 ? 112 ? ? ?16 7 2 ? ? 3 7m 2 ? 16 7 m ? 16 ? ? 112m2 112 112(m2 ? 1) ? | OQ |2 ? x32 ? y32 ? ? ? 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16 ? x ? my ? 3 ? 2 2 由 ? x2 y 2 可得: (7m ? 16) y ? 42my ? 49 ? 0 ?1 ? ? ?16 7 42m 49 ? y1 ? y2 ? ? , y1 y2 ? ? 2 7m ? 16 7 m 2 ? 16
2 2 2 2 ? | MN |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? [(my2 ? 3) ? (my1 ? 3)] ? ( y2 ? y1 )

5分

? m 2 ? 1 | y2 ? y1 | ? m2 ? 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2
7

42m 2 49 56(m2 ? 1) 6分 ) ? 4( ? ) ? 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16 56(m2 ? 1) | MN | 7m2 ? 16 ? 1 ? ? | OQ |2 112(m2 ? 1) 2 7m2 ? 16 1 8分 ? | MN | 和 | OQ |2 的比值为一个常数,这个常数为 2 (3)? MN / /OQ ,? ?QF2 M 的面积 ? ?OF2 M 的面积,? S ? S1 ? S2 ? S?OMN 3 ? O 到直线 MN : x ? my ? 3 的距离 d ? m2 ? 1 ? m2 ? 1 ( ?

?S ?

1 1 56(m2 ? 1) 3 84 m2 ? 1 | MN | ?d ? ? ? ? 2 2 2 7m2 ? 16 m2 ? 1 7m ? 16
2

10 分

令 m ?1 ? t ,则 m2 ? t 2 ? 1 (t ? 1)

84t 84t 84 ? 2 ? 7(t ? 1) ? 16 7t ? 9 7t ? 9 t 9 9 3 9 14 ? 7t ? ? 2 7t ? ? 6 7 (当且仅当 7t ? ,即 t ? ,亦即 m ? ? 时取等 t 7 t t 7 S?
2

号)

?当 m ? ?

14 时, S 取最大值 2 7 7

12 分

22、 (本小题满分 10 分)证明:(1)在⊙O 中,∵直径 AB 与 FP 交于点 O ∴OA=OF ∴∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE (2)∵AC 为⊙O 的切线,PA 是弦 ∴∠PAC=∠F

∵∠C=∠C ∴△APC∽△FAC



∴ 23、 (本小题满分 10 分)略 24、 (本小题满分 10 分)

∵AB=AC



8


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