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高一必修一,必修二期末测试数学试题


高一数学周测试
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.下列函数中,与函数 y ? ?2 x3 相同的是 (A) y ? x ?2x (B) y ? ? 2 x3 (C) y ? x 2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为 (A)
2

?2 (D) y ? ?x ?2x x

3 ? R3 3

(B)

3 ? R3 6

(C)

3 ? R3 24

(D) ? R

1 6

3

3 下列说法正确的是 (A)幂函数的图象恒过 (0, 0) 点 (C)对数函数的图象恒在 y 轴右侧 (B)指数函数的图象恒过 (1, 0) 点 (D)幂函数的图象恒在 x 轴上方

4.已知平面 ? , ? ,直线 l , m ,且有 l ? ? , m ? ? ,则下列四个命题正确的个数为 ①若 ? ∥ ? 则 l ? m ; ③若 ? ? ? 则 l ∥ m ; (A) 1 (B) 2 ②若 l ∥ m 则 l ∥ ? ; ④若 l ? m 则 l ? ? ; (C) 3 (D) 4

5.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递增.若实数 a 满足
f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是(
2


?1 ? D. ? , 2 ? ?2 ?

? 1? A. ? 0, ? ? 2?

B. (0, 2]

C. [1, 2]

6 用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为 1 : 4 ,截 去的棱锥的高是 3cm ,则棱台的高是 (A) 12cm (B) 9cm (C) 6cm (D) 3cm

7.已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 3x ? 4) ,若对于任意 x1 , x2 ? I ,当 x1 ? x2 时,总有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则区间 I 有可能是
(A) (??, ?1) 8.若定义在区间 (B) (6, ??) (C) (??, )

3 2

(D) ( , ??)

3 2

?? 2014,2014?上的函数 f ( x) 满足:对于任意的 x1, x2 ????2013, 2014 ,2013 2014 ??,都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2012 ,且 x ? 0 时,有 f ( x) ? 2012 , f ( x) 的最大值、最小值分别为 M , N ,
1

则 M ? N 的值为( A.2012

) B.2014 C.4024 D.4026

9 在等腰直角三角形 ABC 中, AB =AC ? 4, 点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC, CA 发

射后又回到原点 P (如图 1 ).若光线 QR 经过 ?ABC 的重心,则 AP 等 ( A. 2 B. 1 C. )

8 3

D.

4 3
a ? ?1

10.若函数 f ( x ) ? ?a ? 2 x 与 f ( x) ? 4 x ? a ? 1 的图象有交点,则 a 的取值范围是( ) A. C.

a ?2?2 2 或 a ?2?2 2 ?1 ? a ? 2 ? 2 2

B. D.

a ?2?2 2
共 80 分)

第Ⅱ卷(非选择题
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 20 分.

11 函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 6 的一个零点是 ?6 ,则另一个零点是_________ 12.若 2
|log 2 a|

?

1 ,则 a 的取值范围为___________. a

y

13 现要用一段长为 l 的篱笆围成一边靠墙的矩形菜园(如图所示) ,则 围成的菜园最大面积是____________. 14.经过点 P(3,?1) ,且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的 方程是_________________. 15、下列命题中:
2 ①若集合 A ? {x | kx ? 4 x ? 4 ? 0} 中只有一个元素,则 k ? 1 ;

x
第 15 题图

直线 l 的

②已知函数 y ? f (3 ) 的定义域为 ??1,1? ,则函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? ??,0? ;
x

③函数 y ?
x

1 在 ? ??,0? 上是增函数; 1? x

④方程 2 ? log2 ( x ? 2) ? 1的实根的个数是 2.

2

所有正确命题的序号是

(请将所有正确命题的序号都填上)

三.解答题:本大题共6小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本小题满分 6 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 6}, B ? {x | 2 ? x ? 9} (1)求 A

B,(CR B)

A;

(2)已知 C ? {x | a ? x ? a ? 1} ,若 C ? B ,求实数 a 的取值的集合。

17、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? 1 ?

2 x

(1)若 g ? x ? ? f ? x ? ? a 为奇函数,求 a 的值; (2)试判断 f ? x ? 在 ? 0, ??? 内的单调性,并用定义证明。

18、 (本小题满分 10 分) 如图,正四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,侧棱长是底面边长为 2 倍, O 为底面对角线的 交点, P 为侧棱 SD 上的点。 (1)求证: AC ? SD ; (2) F 为 SD 的中点,若 SD ? 平面 PAC , 求证: BF // 平面 PAC 。

3

19、 (本小题满分 10 分) 某厂借嫦娥奔月的东风,推出品牌为“玉兔”的新产品,生产“玉兔”的固定成本为 20000 元,每生产意 见 “玉 兔” 需要增 加投入 100 元,根 据初 步测算 ,总 收益 (单位 :元) 满 足 分段 函数 ? ? x ? , 其中

1 2 ? ?400 x ? x ? ? x? ? ? 2 ? 80000 ?

0 ? x ? 400 x ? 400

, x 是“玉兔”的月产量(单位:件) ,总收益=成本+利润

(1)试将利用 y 元表示为月产量 x 的函数; (2)当月产量 x 为多少件时利润最大?最大利润是多少?

20、 (本小题满分 12 分) 已知圆 C 过坐标原点 O ,且与 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,圆心坐标 C (t , ) (t ? R, t ? 0) (1)求证: ?AOB 的面积为定值; (2)直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,设 P, Q 分别是直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和圆 C 上的动点,求 PB ? PQ 的 最小值及此时点 P 的坐标。

2 t

(21) (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的零点,并写出 f ( x) ? 0 时, x 取值的集合; (Ⅲ)设 F ( x) ? 4 f (a x ) ? 3a 2 x ? 1(a ? 0且a ? 1) ,当 x ? [?1,1] 时, F ( x) 有最大值 14, 试求 a 的值.

4

周测试答案 1---5 DCCAD 6---10 DBCDD 11. 1.; 12. 0 ? a ? 1 13.
l2 8

14. x ? 2 y ? 1 ? 0 或 x ? 3 y ? 0 15. ③④

16 解:(Ⅰ)显然 A B ? ? x 3 ? x ? 6?. 又 B ? ? x 2 ? x ? 9? ,
??R B ? ?x x ? 2, 或 x ? 9?,???R B ?

A ? ?x x ? 2, 或 3 ? x ? 6, 或 x ? 9?.
C

3分

(Ⅱ)? C ? B, 如图,应有 ? 解之得 2 ? a ? 8,? a ? ?2,8? .

?a ? 2, ?a ? 1 ? 9,

B
a ?1 9

x

2 a

6分
2 x

(17)解: (Ⅰ)由已知 g ( x) ? f ( x) ? a 得: g ( x) ? 1 ? a ? , ∵ g ( x) 是奇函数,∴ g (? x) ? ? g ( x) ,即
1? a ? 2 2 ? ?(1 ? a ? ) ,解得 a ? 1. (? x) x

2分

5分

(Ⅱ)函数 f ( x) 在 (0, ??) 内是单调增函数,下面证明: 设 0 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ?
2( x1 ? x2 ) 2 2 ? (1 ? ) ? . x1 x2 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,从而 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

2( x1 ? x2 ) ? 0, x1 x2

所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 内是单调增函数.

10 分

(18)证明: (Ⅰ)连接 SO,
?四边形ABCD为正方形,

S F P A O B C D

? AC ? BD且O为AC中点 ,
又? SA ? SC
? SO ? AC

又? SO ? BD ? O ,
? AC ? 平面SBD ,

又? SD ? 平面SBD ,

5

? AC ? SD .

5分

(Ⅱ)连接 OP,

? SD ? 平面ACP, OP ? 平面ACP ,
? OP ? SD ,

又 ?SBD中,BD ? 2a ? SB,且F为SD中点, 因为 OP、BF ? 平面BDF , 所以 OP ∥ BF ,
BF ? 平面 平面ACP 又? OP ? 平面ACP,BD PAC,

? BF ? SD ,

? BF ∥平面 PAC.
19 解: (Ⅰ)依题设,总成本为 20 000? 100x ,
? 1 2 ? ? x ? 300 x ? 20000,0 ? x ? 400, 且x ? N, 则 y= ? 2 ? x ? 400, 且x ? N. ?60000 ? 100 x,

10 分

??4 分

1 (Ⅱ)当 0 ? x ? 400 时, y ? ? ( x ? 300 ) 2 ? 25 000 , 2

则当 x ? 300 时, ymax ? 25 000; 当 x ? 400 时, y ? 60 000? 100x 是减函数, 则 y ? 60 000? 100? 400 ? 25 000, 所以,当 x ? 300 时,有最大利润 25 000元. 2? 4 ? 20(Ⅰ)证明:由题设知,圆 C 的方程为(x-t)2+?y- ?2=t2+ 2, t? t ? 4 化简得 x2-2tx+y2- y=0, t 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); 4? 4 ? 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B?0, ?, t? t ? 1 1 ?4? ∴S△AOB= |OA|·|OB|= |2t|·? ?=4 为定值. 2 2 ?t? 解:(Ⅱ)∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上, 设 MN 的中点为 H,则 CH⊥MN,∴C、H、O 三点共线, 2 t 2 1 则直线 OC 的斜率 k= = 2= ,∴t=2 或 t=-2. t t 2
6

??10 分

??3 分

∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时, 直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r, 此时不满足 直线与圆相交,故舍去, ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (Ⅲ)点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0 的对称点为 B′ (-4,-2), 则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|, 又 B′到圆上点 Q 的最短距离为 |B′C|-r= (?6)2 ? 32 - 5=3 5- 5=2 5. 1 所以|PB|+|PQ|的最小值为 2 5,直线 B′C 的方程为 y= x, 2 2? ? 4 则直线 B′C 与直线 x+y+2=0 的交点 P 的坐标为?- ,- ?. 3? ? 3 (21)解: (Ⅰ)
f ( x) ? ax2 ? bx 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,

??7 分

??12 分

?a( x ?1)2 ? b( x ?1) ? ax2 ? bx ? x ?1, 即ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? ax2 ? (b ? 1) x ?1,
1 2 1 ??(2a ? b) ? b ? 1 1 1 ?? , 解得a ? ? , b ? . ? f ( x) ? ? x ? x. 2 2 2 2 ?a ? b ? ?1

???????4 分

(II)由 f ( x) ? 0 得函数的零点为 0,1. 又函数 f ( x) 的图像是开口向下的抛物线,∴ f ( x) ? 0 时 x ? 1或x ? 0. ∴x 取值的集合为 ? x x ? 1或x ? 0? . ????????????????8 分

(III)由 F ( x) ? 4 f (a x ) ? 3a2 x ?1(a ? 0且a ? 1), 得 F ( x) ? a2 x ? 2a x ?1 .
1 ①当 a ? 1 时,令 u ? a x , x ?[?1,1] ,? u ? [ , a] , a 1 令g (u) ? u 2 ? 2u ?1 ? (u ? 1)2 ? 2 , u ? [ , a ] . a 1 对称轴 u ? ?1 ,? g (u ) 在 [ , a] 上是增函数. a

? gmax (u) ? g (a) ? a2 ? 2a ?1 ? 14 , ? a 2 ? 2a ? 15 ? 0 ,
? a ? 3, a ? ?5 (舍). ??10 分

7

1 ②当 0 ? a ? 1 时,令 u ? a x , x ?[?1,1] ? u ? [a, ] a 1 ? g (u) ? u 2 ? 2u ?1 ? (u ? 1)2 ? 2 , u ? [a, ] , a 1 对称轴 u ? ?1 ,? g (u ) 在 [a, ] 上是增函数. a 1 1 2 1 1 1 ? g max (u ) ? g ( ) ? ( ) 2 ? ? 1 ? 14 , ? ? 3, ? ?5 (舍) ,? a ? . a a a a a 3 1 综上 a ? 或 a ? 3 . ????????12 分 3

8


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