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四川省成都外国语学校2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


成都外国语学校高 2017 届高二下期期中考试 数学试题(理科)
注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。 2.答题前,考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。 3.考试结束后,将所有 答题卷和机读卡交回。 第Ⅰ卷 主观题部分 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的 1.焦点在 x 轴上,且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程是( ) A. y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x C. x 2 ? 4 y 或 x 2 ? ?4 y 2.下列说法中正确的是( ) B. x 2 ? 8 y 或 x ? ?8 y D. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?4 x

2 2 A.命题“若 x = 1 ,则 x = 1 ”的否定为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

B. 已知 y = f x 是上的可导函数,则“ f ' ( x0 ) ? 0 ” 是“ x0 是函数 y = f x 的极值点”的充 分必要条件 C.命题“存在 x ? R ,使得 x + x +1 < 0 ”的否定是: “对任意 x ? R ,均有 x + x +1 < 0 ”
2 2

()

()

D.命题“角 a 的终边在第一象限,则 a 是锐角”的逆否命题为真命题 3. 设 k ? R , “ k ? 1 ”是“直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 不相切”的(
2 2



A.充分不必要条件 4.曲线 f ( x ) ? A.

B.必要不充分条件

C.充要条件 )

D.既不充分又不必要条件

? 4

1 在点 (1, f (1)) 处的切线的倾斜角为( x ? 2? 3? B. C. D. 3 3 4

y

5. 函 数 f ( x) 在 其 定 义 域 内 可 导 , 其 图 象 如 右 图 所 示 , 则 导 函 数 ) y ? f ' ( x) 的图象可能为( y y

O

x

y

y

O

x
2

O
2

x
2

O C

x

O

x

A ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的 曲 线 在 同 一 坐 标 系 中 的 示 意 图 可 能 是 6. 方 程 mx
( )

B

D

-1-

7.若直线 y ? kx ? 2 与曲线 x ? A. (? 2 , C. (1,

y 2 ? 4 有两个交点,则 k 范围是(
B. (? 2, ? 1)



2)

2)

D. (??, ? 2 ) ? ( 2, ? ?)

8. 若椭圆 C : mx2 ? ny2 ? 1??? m ? 0,??n ? 0,??m ? n? 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 交于 A , B 两点,过原 点与线段 AB 中点的直线的斜率为 A. 2 B.

m 2 ,则 ? ( n 2



1 2 C. 2 D. 2 2 x 9. 设过曲线 f ( x) = - e - x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线

g ( x) = ax + 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l 2 ,则实数 a 的取值范围为 (
A. - 1, 2



[

]

B. - 1, 2

(

)

C. - 2,1

[

]

D. - 2,1

(

)

10.设点 F1 , F2 为双曲线 C: x 2 ?

y2 ? 1 的左、右焦点,P 为 C 为一点,若△ PF1 F2 的面积为 6,则 3

PF1 ? PF2 的值是(
A. ?3 11. 椭圆

) B.3 C. ?9 D.9

x2 y2 + =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B, F 为其右焦点, 若 AF⊥BF, 设∠ABF= ? , a2 b2 ? ? 且 ? ∈[ , ],则该椭圆离心率的取值范围为 ( ) 12 4 3 2 2 6 6 2 A.[ ,1 ) B.[ , ] C.[ ,1) D.[ , ] 2 2 2 3 3 2
12.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y 2 ? 4x 上相异两点,且满足 x1 ? x2 ? 4 ,若 AB 的垂直平 分线交 x 轴于点 M,则△AMB 的面积的最大值是 (A)

16 6 3

(B)8

(C)

5 15 3

(D)6

第Ⅱ卷 客观题部分 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上的相应位置 13.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是 .

-2-

14.若双曲线 的离心率为

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与抛物线 x2 ? 4 y 的准线所围成的三角形面积为 2 ,则该双曲线 2 a b

2

1? ? 1 ? ? 15.已知 A ? ? , 0 ? , B 是圆 C : ? x ? ? ? y 2 ? 4 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BC 于 M , 2? ? 2 ? ? 则动点 M 的轨迹方程为 .
16.已知圆 M:x +(y-1) =1,圆 N:x +(y+1) =1,直线 l1、l2 分别过圆心 M、N,且 l1 与圆 M 相交于
2 2 2 2

A、B,l2 与圆 N 相交于 C、D,P 是椭圆
为_______.

x2 y2 ? ? 1 上的任意一动点,则 PA ? PB + PC ? PD 的最小值 3 4

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x) 为“局部奇函数” . ; p : f ( x) ? m ? 2x 为定义在 [?1, 2) 上的“局部奇函数” 2 q : 曲线 g ( x) ? x ? (5m ? 1) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点; 若 为假命题, 为真命题,求 m 的取值范围. “p ? q” “p ? q” 18.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? ln x .(I)当 a ? ?2 时,判断函数 f ( x ) 零点的个数; (II)求函数 f ( x ) 的单调 区间.

19.如图,在 Rt ?ABC 中, ?ACB ? 90? , BC ? 4 , AC ? 3 , 一曲线 E 过点 A , 动点 P 在曲线 E 运动, 且保持 PC ? PB 的 值不变. (Ⅰ)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程;

A

C

B

(Ⅱ )若直线 l 交曲线 E 于 M 、 N 两点,曲线 E 与 y 轴正半轴交于 Q 点,且 ?QMN 的重心恰好 为 B 点,求直线 l 的方程.

20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y 2 ?4 b? ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的上顶点为 ? , ? ? , ? 是 C 上的一点,以 ?? 为直径的圆经 2 a b ?3 3?

过椭圆 C 的右焦点 F .

-3-

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的 距离之积等于 1 ?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 设 x=m 和 x=n 是函数 f ( x) ? 2 ln x ? (I)若 a=2 时,求 m,n 的值; (II)求 f (m) ? f (n) 的取值范围;

1 2 x ? (a ? 1) x 的两个极值点,其中 m<n,a>0. 2

22.(本小题满分 12 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 a 2 b2
3 2 a 。 4

A, B 两点, AF 的最大值为 M , BF 的最小值为 m ,满足 M ? m ?
(Ⅰ)若线段 AB 垂直于 x 轴时, ,求椭圆的方程;

(Ⅱ ) 设线段 AB 的中点为 G , AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点,O 是坐标原 点,记 ?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求

2 S1S 2 的取值范围。 S12 ? S 2 2

-4-

成都外国语学校高 2017 届高二下期期中考试答案 数学试题(理科) 注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。 2.答题前,考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。 3.考试结束后,将所有答题卷和机读卡交回。 第Ⅰ卷 主观题部分 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的 1.焦点在 x 轴上,且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程是( A. y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x C. x 2 ? 4 y 或 x 2 ? ?4 y 2.下列说法中正确的是( ) B. x 2 ? 8 y 或 x ? ?8 y D. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?4 x )D

2 2 A.命题“若 x = 1 ,则 x = 1 ”的否定为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

B. 已知 y = f x 是上的可导函数,则“ f ? x0 = 0 ” 是“ x0 是函数 y = f x 的极值点”的充

()

( )

()

分必要条件 C.命题“存在 x ? R ,使得 x + x +1 < 0 ”的否定是: “对任意 x ? R ,均有 x + x +1 < 0 ”
2 2

D.命题“角 a 的终边在第一象限,则 a 是锐角”的逆否命题为真命题 【答案】A 3. 设 k ? R , “ k ? 1 ”是“直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 不相切”的(
2 2



A.充分不必要条件 【答案】B 【解析】

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

试题分析:圆 x ? y ? 1 的圆心是(0,0),半径为 1,直线 l : y ? kx ? 2 ,可化为 kx ? y ? 2 ? 0 ,
2 2

它到原点的距离 d ?

| 2| k ?1
2

2 2 所以 “ k ? 1” 时 “直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 ? 1 时,k ? ?1 ,

有可能相切,所以不充分; “直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 不相切”则“ k ? 1 ”必要,所以
2 2

“ k ? 1 ”是“直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 不相切”的必要不充分条件.
2 2

4.曲线 f ( x ) ?

1 在点 (1, f (1)) 处的切线的倾斜角为( x

)D

-5-

A.

?
4

B.

? 3

C.

2? 3
)C

D.

3? 4

y

5. 函 数 f ( x) 在 其 定 义 域 内 可 导 , 其 图 象 如 右 图 所 示 , 则 导 函 数

y ? f ' ( x) 的图象可能为(

O

x

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

C B A D 2 2 2 6. 方 程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的 曲 线 在 同 一 坐 标 系 中 的 示 意 图 可 能 是
( )

【答案】A 7.若直线 y ? kx ? 2 与曲线 x ? A. (? 2 , C. (1,

y 2 ? 4 有两个交点,则 k 范围是(
B. (? 2, ? 1)

)C

2)

2)
2 2

D. (??, ? 2 ) ? ( 2, ? ?)

8. 若椭圆 C : mx ? ny ? 1??? m ? 0,??n ? 0,??m ? n? 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 交于 A , B 两点,过原 点与线段 AB 中点的直线的斜率为 A. 2 B.

m 2 ,则 ? ( n 2

)D

1 2 C. 2 D. 2 2 x 9. 设过曲线 f ( x) = - e - x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线

g ( x) = ax + 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l 2 ,则实数 a 的取值范围为(
A. - 1, 2



[

]

B. - 1, 2

(

)

C. - 2,1

[

]

D. - 2,1

(

)

【答案】A 【解析】

-6-

试题分析:由 f x = - ex - x 得 f ? ( x) = - ex - 1,

()

? e x +1 > 1,\

1 ? (0,1) , e +1
x

由 g x = ax + 2cos x ,得 g ? ( x) = a - 2sin x ,

()

又 - 2sin x ? [ 2, 2] , ∴ a - 2sin x ? [ 2 + a, 2 + a] ,

x2 ? 10. 设点 F1 , F2 为双曲线 C:
的值是( A. ?3 11. 椭圆 ) D

uuu r uuu r y2 ? 1 的左、 右焦点, P 为 C 为一点, 若△ PF1 F2 的面积为 6, 则 PF1 ? PF2 3
C. ?9 D.9

B.3

x2 y2 + =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B, F 为其右焦点, 若 AF⊥BF, 设∠ABF= ? , a2 b2 ? ? 且 ? ∈[ , ],则该椭圆离心率的取值范围为 ( )B 12 4 3 2 2 6 6 2 A.[ ,1 ) B.[ , ] C.[ ,1) D.[ , ] 2 2 2 3 3 2
12.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y 2 ? 4x 上相异两点,且满足 x1 ? x2 ? 4 ,若 AB 的垂直平 分线交 x 轴于点 M,则△AMB 的面积的最大值是 (A)

16 6 3

(B)8

(C)

5 15 3

(D)6

12.提示:当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意. 设 AB 中点为 P(2,t ) , 于是 k AB ?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 4 2 ? 2 ? ? . 2 x1 ? x2 y1 ? y 2 t y1 y 2 ? 4 4

∴ 可设直线 AB 的方程为 y ? t ?

2 ( x ? 2) , t

-7-

2 ? ? y ? t ? ( x ? 2), t 联立方程: ? 消去 x 得: y 2 ? 2ty ? 2t 2 ? 8 ? 0 , ? y 2 ? 4 x, ?
∴ y1+y2=2t,y1y2=2t -8, ∴ AB ? (1 ?
2

t2 4 ? t2 )( 4t 2 ? 8t 2 ? 32) ? (32 ? 4t 2 ) 4 4

由 k AB ? k MP ? ?1 ? k MP ? ? ,得 MP:y ? t ? ? ( x ? 2) ,

t 2

t 2

0) , 令 y ? 0 时,得 M (4 ,
∴ MP ? (4 ? 2) 2 ? (0 ? t ) 2 ? 4 ? t 2 , 于是 S△MAB ?

1 1 AB ? MP ? (4 ? t 2 ) 8 ? t 2 . 2 2
1 1 (12 ? m 2 ) ? m ? ? m3 ? 6m , 2 2

令 m ? 8 ? t 2 ,则 S ?

3 3 S ? ? ? m 2 ? 6 ? ? (m ? 2)(m ? 2),S ? ? 0 ? 0 ? m ? 2,S ? ? 0 ? m ? 2, 2 2
∴ 当 m ? 2 时, (S△MAB)max=8,此时 t 2 ? 4 . 第Ⅱ卷 客观题部分 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上的相应位置 13.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是 . ? 0, ?

? ?

1? e?

14.若双曲线 的离心率为

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与 抛物线 x2 ? 4 y 的准线所围成的三角形面积为 2 ,则该双曲线 2 a b


1? ? 1 ? ? 15.已知 A ? ? , 0 ? , B 是圆 C : ? x ? ? ? y 2 ? 4 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BC 于 M , 2? ? 2 ? ? 则动点 M 的轨迹方程为 . 2 y 2 ?1 15. x ? 3 4
-8-

2

16.已知圆 M:x +(y-1) =1,圆 N:x +(y+1) =1,直线 l1、l2 分别过圆心 M、N,且 l1 与圆 M 相交于

2

2

2

2

A、B,l2 与圆 N 相交于 C、D,P 是椭圆
小值为_______. 16.6

x2 y2 ? ? 1 上的任意一动点,则 PA ? PB + PC ? PD 的最 3 4

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则 称 f ( x) 为“局部奇函数” . ; p : f ( x) ? m ? 2x 为定义在 [?1, 2) 上的“局部奇函数”

q : 曲线 g ( x) ? x2 ? (5m ? 1) x ? 1 与 x 轴交于不同的两点;
(1)若 q 为真命题,求 m 的取值范围; (2)若 为假命题, 为真命题,求 m 的取值范围. “p ? q” “p ? q” 17.【答案】 m ? ? 【解析】 试题分析:由题根据局部函数的定义求得命题 p 对应的参数 m 的取值范围,根据函数与 x 轴有两个 交点求得命题 q,然后根据 为假命题, 为真命题讨论得到对应的 m 的取值范围. “p ? q” “p ? q” 试题解析:若 p 为真,则由于 f ( x) ? m ? 2 为定义在 [?1, 2) 上的“局部奇函数” ,从而有
x

5 3 1 或 ?1 ? m ? ? 或 m ? 4 5 5

f ( x) ? f (? x) ? 0 即 2x ? 2? x ? 2m ? 0 ,因为 f ( x) 的 定义域为 [?1, 2) ,所以方程 2x ? 2? x ? 2m ? 0 在 [?1,1] 上有解.
令 t ? 2 ? [ , 2] ,则 ?2m ? t ?
x

??????2 分

1 1 2 t 1 1 5 5 1) , 2] 上递增,从而 g (t ) ? [2, ] ,得 ?2m ? [2, ] 又 g (t ) ? t ? 在[ , 上递减,在 [1 2 t 2 2 5 故有 ? ? m ? ?1 ?????4 分 4 3 1 2 若 q 为真,则有 ? ? (5m ? 1) ? 4 ? 0 , 得 m ? ? 或 m ? ????6 分 5 5

“p ? q” “p ? q” 又由 为假命题, 为真命题,则 p 与 q 一真一假

-9-

? 5 ? ? m ? ?1 ? ? 4 若 p 真 q 假,则 ? ,得无交集 ??3 ?m? 1 ? 5 ? 5

??????8 分

5 ? m ? ? 1 或 m ? ? ? 5 3 1 ? 4 若 p 假 q 真,则 ? ,得 m ? ? 或 ?1 ? m ? ? 或 m ? 4 5 5 ? m ? 1 或m ? ? 3 ? 5 5 ?
综上知 m 的取值范围为 m ? ?

5 3 1 或 ?1 ? m ? ? 或 m ? 4 5 5

????10 分

考点:函数奇偶性;复合命题的真假判断 18.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x .
2

(I)当 a ? ?2 时,判断函数 f ( x ) 零点的个数; (II)求函数 f ( x ) 的单调区间. 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? ?2 时, f '( x ) ?

??????1 分 ??????3 分

1 ? 4 x2 , x
1 2
0 极大值

x
f ?( x)

1 (0, ) 2
+
?

1 ( , ??) 2

?
?

f ( x)
因为 f ( ) ? ?

1 2

1 ? ln 2 ? 0 ,所以,此时,在定义域上 f ( x ) ? 0 , 2
???????????????????.6 分 ??????8 分

所以函数 f ( x ) 的零点个数为 0. (Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? ①当 a ? 0 时,

1 (ax ? 1)(2 x ? 1) , ? x x

x
f ?( x)

1 (0, ) 2
+
?

1 2
0 极大值

1 ( , ??) 2

?
?
- 10 -

f ( x)

?

???9 分

②当 0 ? a ? 2 时,

x
f ?( x)

1 (0, ) 2
+
?

1 2
0 极大值

1 1 ( , ) 2 a

1 a
0 极小值

1 ( , ??) a
+
?

??..10 分

?
?

f ( x)

(2x ? 1)2 ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,且仅当 ? 1 时 f '( x) ? 0 x 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) . ?????11 分
③当 a ? 2 时, f ?( x) ? ④当 a ? 2 时

x
f ?( x)

1 (0, ) a
+
?

1 a
0 极大值

1 1 ( , ) a 2

1 2
0 极小值

1 ( , ??) 2
+
?

?
?

?12 分

f ( x)
综上,

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( , ??) ;

1 2

1 2

1 2 当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) ; 1 a

当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 ( , ) ;

1 a

1 1 2 a

当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 ( , ) .

1 2

1 1 a 2

19.如图,在 Rt ?ABC 中, ?ACB ? 90? , BC ? 4 , AC ? 3 , 一曲线 E 过点 A , 动点 P 在曲线 E 运动, 且保持 PC ? PB 的 值不变. (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程;

A

C

B

(2)若直线 l 交曲线 E 于 M 、 N 两点,曲线 E 与 y 轴正半轴交于 Q 点,且 ?QMN 的重心恰好为

B 点,求直线 l 的方程.
19.解: (1)以 CB 所在直线为 x 轴, CB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 P( x, y) . ∴ PC ? PB ? AC ? AB ? 3 ? 5 ? 8 ? 4 ? BC ,

- 11 -

∴动点 P 轨迹为椭圆, c ? 2 , a ? 4 , b ? 2 3 . ∴曲线 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .??5 分 16 12

(2 )设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,又 Q(0, 2 3) , B(2, 0)

0 ? x1 ? x 2 ? 2? ? ? x1 ? x 2 ? 6 3 ? ∴由重心公式得 ? ,则 ? , ? y1 ? y 2 ? ?2 3 ?0 ? 2 3 ? y1 ? y 2 ? 3 ?
∴ MN 中点为 (3, ? 3) .??10 分

? x12 y12 ? ?1 ? 12 3 3 ? 16 12 由? ,相减化简得 k OH ? k l ? ? ,则 k l ? . 2 2 16 4 x y ? 2 ? 2 ?1 ? 16 12 ?
∴直线 l 方程为 y ? 3 ? 20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C :

3 3 ( x ? 3) ,即 3 3x ? 4 y ? 13 3 ? 0 .??12 分 4

x2 y 2 ?4 b? ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的上顶点为 ? , ? ? , ? 是 C 上的一点,以 ?? 为直径的圆经 2 a b ?3 3?

过椭圆 C 的右焦点 F . (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的距 离之积等于 1 ?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.

x2 ? y 2 ? 1; 【答案】 (1) (2)存在两个定点 ?1 ?1,0? , ?2 ? ?1,0? . 2 ??? ? ??? 试题解析: (1) F ? c,0 ? , ? ? 0, b? ,由题设可知 F?? F? ? 0 ,得 4 b2 c2 ? c ? ? 0 3 3
又点 ? 在椭圆 C 上,? ①??????????1 分

16 b2 ? ? 1 , ? a2 ? 2 2 2 9a 9b



b2 ? c 2 ? a 2 ? 2
2

③??????????3 分

①③联立解得, c ? 1 , b ? 1 ??????????4 分

- 12 -

故所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1??????????5 分 2

总上,存在两个定点 ?1 ?1,0? , ?2 ? ?1,0? ,使它们到直线 l 的距离之积等于 1 .??12 分 21. (本小题满分 12 分) 设 x=m 和 x=n 是函数 f ( x) ? 2 ln x ? (I)若 a=2 时,求 m,n 的值; (II)求 f (m) ? f (n) 的取值范围; 21.解:(Ⅰ) ∵ f ?( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x 的两个极值点,其中 m<n,a>0. 2

2 x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? x ? (a ? 1) ? ,?????????3 分 x x x 2 ? 3x ? 2 . x
2

∴ 当 a=2 时, f ?( x) ?

由已知有 m,n 是方程 x -3x+2=0 的两个根, ∴ m=1,n=2.????6 分 (Ⅱ)由已知有 m,n 是方程 x -(a+1)x+2=0 的两个根, ∴ Δ =(a+1) -8>0,m+n=a+1>0,mn=2>0. ??????8 分 ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln m ?
2 2

1 2 1 m ? (a ? 1)m ? 2 ln n ? n2 ? (a ? 1)n 2 2 1 ? 2 ln mn ? (m2 ? n2 ) ? (a ? 1)(m ? n) 2

1 ? 2 ln 2 ? [(m ? n)2 ? 2mn] ? (a ? 1)(m ? n) 2

1 ? 2 ln 2 ? [(a ? 1)2 ? 4] ? (a ? 1)2 2

- 13 -

1 ? ? (a ? 1)2 ? 2 ? 2 ln 2 . 2
∵ (a+1) >8,
2

??????10 分

∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln 2 ? 6 ,即 f (m) ? f (n) 的取值范围为(-∞, 2 ln 2 ? 6 ). ????12 分

22.(本小题满分 12 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 a 2 b2
3 2 a 。 4

A, B 两点, AF 的最大值为 M , BF 的最小值为 m ,满足 M ? m ?
(Ⅰ)若线段 AB 垂直于 x 轴时, ,求椭圆的方程;

(Ⅱ ) 设线段 AB 的中点为 G , AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点,O 是坐 标原点,记 ?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求

2 S1S 2 的取值范围。 S12 ? S 2 2

【答案】 (Ⅰ) x ?
2

4 y2 9 ? 1 (Ⅱ) (0, ) 3 41

试题解析:(Ⅰ) 设 F (?c,0)(c ? 0) ,则根据椭圆性质得

M ? a ? c, m ? a ? c, 而 M ? m ?


3 2 3 a ,所以有 a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? 4c 2 , a ? 2c , 4 4

3 2b 2 3 ? 且 a 2 ? b 2 ? c 2 ,得 a ? 1, b 2 ? , 4 a 2
2

因此椭圆的方程为: x ?

4 y2 ?1 3
2 2

(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 a ? 2c , b ? a ? c ? 3c ,椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1. 4c 2 3c 2

根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零,设直 线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,

- 14 -

? y ? k ( x ? c) ? 并设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则由 ? x 2 消去 y 并整理得 y2 ? ?1 ? 2 2 ? 4c 3c

(4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0
8ck 2 6ck , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 从而有 x1 ? x2 ? ? 2 , 4k ? 3 4k ? 3
所以 G (? (6 分)

4ck 2 3ck , 2 ). 2 4k ? 3 4k ? 3

3ck ck 2 4k 2 ? 3 x ? ? 因为 DG ? AB ,所以 , . ? k ? ? 1 D 4k 2 ? 3 4ck 2 ? 2 ? xD 4k ? 3
由 Rt ?FGD 与 Rt ?EOD 相似,所以

S1 GD ? ? S2 OD 2

2

(?

4ck 2 ck 2 2 3ck ? ) ? ( 2 )2 2 2 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3 ? 9 ? 9 ? 9 . 2 ck k2 (? 2 ) 2 4k ? 3

(10 分)



S1 ? t ,则 t ? 9 ,从而 S2

2S S 2S1S2 2 2 9 9 ? ? ? ,即 2 1 2 2 的取值范围是 (0, ) . 2 2 1 1 41 S1 ? S 2 S1 ? S2 41 t? 9? t 9
考点:椭圆的综合问题.

- 15 -


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