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2014《高考调研》新课标总复习 数学(理科版) 衡水中学1-3



高考调研

新课标版 · 数学(理)

第 3 课时 逻 联 词 量 辑结与词

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1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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请注意!

本节也是高考的热点内容, 尤其是逻辑联结词和含有量词命 题的否定是重点,多以选择题形式出现,属基础题.

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1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断

p

q

真 真 假 假

真 假 真 假

p∧ q 真 假 假 假

p∨q 真 真 真 假

綈p
假 假 真 真

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2.全称量词和存在量词 1 全称量词有:一切 ,每一个 , 任给 ,符 ( ) 用号 表示. 存在量词有: 有些 , 有一个 , 对某个 ,符 用号 表示. “ ? ” “? ”

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2 含有全称量词的命题,叫做 全称命题 ( )

;“对 M 中任

意一个 x, p(x)成立”可用符号简记为:?x∈M,p(x) ,作 有 读: “ 对任意x属于M,有p(x)成立 ”. 3 含有存在量词的命题, ( ) 叫做特称命题(存在性命题); “存 在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”可 符 简 为 用号记:

?x0∈M,
”.

p(x0)

,读作:“

存在M中的元素x0,使p(x0)成立

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3.含有一个量词的命题的否定

命题 ?x∈M,p(x)

命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0)

?x0∈M,p(x0)

?x∈M,綈 p(x)

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1.(课本习题改编)已知命题 p,若 ab=0,则 a=0,则綈 p

为:________;命题 p 的否命题为________.
答案 若 ab=0,则 a≠0;若 ab≠0,则 a≠0.

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2.下列全称命题中假命题的个数 ①2x+1 是整数(x∈R); ②对所有的 x∈R,x>3; ③对任意一个 x∈Z,2x2+1 为奇数; ④任何直线都有斜率. A.1 C.3
答案 C 解析 ①②④是假命题.
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(

)

B.2 D.4

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3.(1 22 0· 数”的 定 否是

湖北)命题“存在一个无理数,它的平方是有理 ( )

A. 意 个 理 , 的 方 有 数 任一有数它平是理 B. 意 个 理 , 的 方 是 理 任一无数它平不有数 C. 在 个 理 , 的 方 有 数 存一有数它平是理 D. 在 个 理 , 的 方 是 理 存一无数它平不有数

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答案 B

解析 根 特 命 的 定 全 命 即 解 . 据称题否是称题可答 一 无 数它 平 是 理 个 理 ,的 方 有 数 它的平方不是有理数”.

“存在

”的否定是“任 一 无 数 意个理,

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辽宁)已知命题 p: ?n∈N,2n> 0 1 0 0

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4.· 2 (1 0

, 则綈 p 为(

)

A.?n∈N,2n≤1 0 0 0 C.?n∈N,2n≤1 0 0 0
答案 A

B.?n∈N,2n> 0 1 0 0 D.?n∈N,2n< 0 1 0 0

解析 特称命题的否定是全称命题.即 p:?x∈M,p(x), 则綈 p:?x∈M,綈 p(x).故选 A.

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5.下列命题中的假命题是 A.?x∈(0,+∞),lgx=0 B.?x∈R,t x=1 a n C.?x∈R,x2>0 D.?x∈R,2x>0

(

)

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答案 C

解析 对于 A, 于 g =0,因此 A 正 ; 于 由 1 l 确对 π a 4=1,因此 B 正确;对于 C,由于 02=0, 此 n t 因 对于 D,由于 2x>0 恒成立,因此 D 正 . 上 述 选 确综所,

B,由于 C 不正确; C.

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例 1 写由列组题成 出下各命构的

“p∧q”、“p∨q”、

“綈 p”形式的复合命题,并判断真假.

1 p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的 ; ( ) 根 2 p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线 ( ) 互相垂直; 3 p: 程 ( ) 方 x2+x-1=0 的两实根符号相同;q: 程 方 x2+x

-1=0 的两实根的绝对值相等.
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【解析】 1 p∨q: 是素数或是方程 x2+2x-3=0 的根, ( ) 1 真命题. p∧q:1 既是素数又是方程 x2+2x-3=0 的根,假命题. 綈 p:1 不是素数,真命题.

2 p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直,假命题. ( ) p∧q:平行四边形的对角线相等且互相垂直,假命题. 綈 p:有些平行四边形的对角线不相等,真命题.

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3 p∨q:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同或绝对值相 ( ) 等,假命题. p∧p: 程 方 假命题. 綈 p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号不相同,真命题. x2+x-1=0 的两实根符号相同且绝对值相等,

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探 究 1

判一复命的假往真表一先 断个合题真往用值,般

确复命的成式然根简命的假真表 定合题构形,后据单题真和值 得结. 出论 在断合题真,记: 判复命的假应住 假全 才 ,真 真 p 且 q 形 是 “一 必 式 假 ”,非 p

”,p 或 q 形 是 “一 必 , 假 假 式 真 真全 才 ”.

则 “与 p 的 假 反 是 真相

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思题 考 设题 命

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1

1 1 p:若 a>b,则 < ; 题 命 a b

1 q: <0?ab ab

< 给下四复命: 0 出面个合题 .

①p∨q;②p∧q;③(綈 p)∧(綈 q);

④(綈 p)∨(綈 q). 中 命 的 数 其真题个有

________个 .

【解析】 p 假,q 真,故①④真. 【答案】 2

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例 2 指下命中哪是称题哪是称 出列题,些全命,些特命 题,并判断真假. 1 若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0; ( ) 2 对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 a x1<t x2; ( ) n t a n 3 ?T∈R,使| ( ) n ( i s x+T)|=| n i s x|;

4 ?x∈R,使 x2+1<0. ( )

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【解析】 1 、( 是全称命题,( 、( 是 称 题 ( ) 2 ) 3 ) 4 特命. ) 1 ∵ax>0(a>0,a≠1)恒成立, ( ) ∴命题( 是真命题. 1 ) 2 存在 x1=0,x2=π,x1<x2,但 a ( ) n 0 t ∴命题( 是假命题. 2 ) 3 y=| ( ) n i s x|是周期函数,π 就是它的一个周期, =t a n π ,

∴命题( 是真命题. 3 ) 4 对任意 x∈R,x2+1>0,∴命题( 是 命 . ( ) 4 假题 )

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探究 2 1 含有一个量词的命题的真假判断是高考考查逻 ( ) 辑识一重考,答类题关是确解称 知的个要点解这试的键正理全 命和称题含,据关知作正的理证 题特命的义根相的识出确推论 或者通过列举反例推翻命题.

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2 要判定一个全称命题是真命题, ( ) 必须对限定集合 M 中的 每个元素 x 验证 p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要 能举出集合 M 中的一个 x=x0, 得 使 常所说的“举出一个反例”). 要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中 至 , 少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成 即 ; 则 这 特 命 就 立 可 否 ,一 称 题 是假命题. p(x0)不 立 可 成即 (这就是通

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思考题 2 试判断以下命题的真假. 1 ?x∈R,x2+2>0; ( ) 2 ?x∈N,x4≥1; ( ) 3 ?x∈Z,x3<1; ( ) 4 ?x∈Q,x2= 3; ( ) 5 ?x∈R,x2-3x+2>0; ( ) 6 ?x∈R,x2+1=0. ( )

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【解析】 1 由于?x∈R,都有 x2≥0, 而 ( ) 因有

x2+2≥2

>0,即 x2+2>0 所以命题“?x∈R,x2+2>0”是真命题. . 2 由于 0∈N,当 x=0 时,x4≥1 不成立,所以命题“?x ( ) ∈N,x4≥1”是假命题. 3 由于-1∈Z,当 x=-1 时 能 ( ) ,使 x∈Z,x3<1”是真命题. x3<1, 以 题 所命 “?

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4 由于使 x2 =3 成 的 只 ( ) 立数有 数因 ,有 何 个 理 的 方 等 .此没 任 一 有 数 平 能 于 x∈Q,x2= 3”是假命题.

± 3, 它 都 是 理 而们不有 3,以 题 所命 “?

5 假命题,因为只有 x>2 或 x<1 时满足. ( ) 6 假命题,因为不存在一个实数 x 使 x2+1=0 成立. ( )
【答案】 1 真 2 假 3 真 4 假 5 假 6 假 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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例 3 写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 1 p:?x∈R,x -x+ ≥0; ( ) 4
2

2 q:所有的正方形都是矩形; ( ) 3 r:?x∈R,x2+2x+2≤0; ( ) 4 s:至少有一个实数 x,使 x3+1=0. ( )

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【析 解】 (1)綈

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1 2 p:?x0∈R,x0-x0+ <0, 假 题 是命. 4

1 12 因 ?x∈R,x -x+ =(x- ) ≥0 恒 立 为 成. 4 2
2

2 綈 q: 少 在 个 方 不 矩 , 假 题 ( ) 至存一正形是形是命.

3 綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0, 真 题 这 由 ( ) 是命,是于

?x

∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 成 . 立
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4 綈 s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题,这是由于 x=-1 ( )

时,x3+1=0.

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探究 3 1 弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题 ( ) 否定的前提. 2 注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加 ( ) 上量词,再进行否定. 3 要判断“綈 p”命题的真假,可以直接判断,也可以判 ( )

断“p”的真假,p 与綈 p 的真假相反.

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(4)常见词语的否定形式有:

原语句 否定形 式



都是 不都 是

>

至少有 一个 一个也 没有

至多 有一 个

对任意 x∈A使 p(x)真

不是



至少 存在x0∈A 有两 使p(x0)假 个

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思考题 3 22 (1 0· 是

湖北)命题“?x0∈?RQ, 0∈Q”的否定 x3 ( )

A.?x0??RQ,x3∈Q 0 B.?x0∈?RQ,x3∈Q 0 C.?x??RQ,x3∈Q D.?x∈?RQ,x3?Q
【解析】 该特称命题的否定为“?x∈?RQ,x3?Q”.

【答案】 D

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例 4 设 p: 于 关

x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x< ;q:函 0 }

数 y= ax2-x+a的定义域为 R.若 p∨q 是真命题且 p∧q 是假 命题,则实数 a 的取值范围是________.

【分析】 先求出命题 p, 为真时对应的参数的取值范围, q 然根这个题真情分讨,用合基运 后据两命的假况类论利集的本 算求解参数 a 的取值范围.

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【析 解】 根指函的调,知题 据数数单性可命 P={a| a< ; 0 < 1 }

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p 为时 真,

实 a的值合 数 取集为 对命 于题 恒成 . 立

q: 的 义 为 函 定域 数

R的要件 充条是

ax2-x+a≥0

当 a=0 时 不 式 - ,等为 当 a≠0

x≥0, 得 解

x≤0, 然 成 ; 显不立

时,不等式恒成立的条件是 1 解 a≥ . 得 2 a的值合 取集为
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?a>0, ? ? 2 ?Δ=?-1? -4a×a≤0, ?

综,题 上命

q为时 真,

1 Q={a|a≥ }. 2
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由“p∨q 是真命题,p∧q 是假命题”, 知 题 可命 真一假, 当 p 真 q 假 时 , a 的取值范围是 1 1 {a| a< ∩{a|a< }={a| a< }; 0 < 1 } 0 < 2 2

p,q 一

P∩( ? RQ) =

当 p 假 q 真时,a 的取值范围是(? RP)∩Q={a|a≤0 或 1 a≥1}∩{a|a≥2}={a|a≥1}. 1 综上,a 的取值范围是(0,2)∪ 1 ,+∞). [ 1 【答案】 (0, )∪ 1 ,+∞) [ 2
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探究 4 1 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一 ( ) 个或两个)命 的 假 求 此 参 成 的 件 再 出 逻 题 真 ,出 时 数 立 条 ,求 含 辑联结词的命题成立的条件. 2 对全称命题可转化为恒成立问题. ( )

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思考题 4 已知命题 p:关于 x 的方程 x2-x+a=0 无实 根;命题 q:关于 x 的函数 y=-x2-ax+1 在[-1,+∞)上是 减数若 函. 綈 q 是真命题,p∨q 是 命 , 实 真题则 数 a 的取值范

围是 A.[2,+∞) 1 C.(4,2) 1 B.[ ,+∞) 4

(

)

1 D.(-∞,4)∪(2,+∞)

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【解析】 若命题 p 为 , 真有 则

Δ=(-1) -4a<0, 解 得

2

1 a>4;

a 若命题 q 为真,则有-2≤-1,解得 a≥2. 因为綈 q 是真命题,p∨q 是真命题,则命题 q 为假命题,

命题 p 为真命题. 1 1 所以实数 a 的取值范围是{a|a> }∩{a|a< ={a| <a< . 2 } 2 } 4 4
【答案】 C
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1.若 p 是真命题,q 是假命题,则 A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题
答案 D

(

)

B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

解析 只有綈 q 是真命题.

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2.(1 22 0·

安徽)命题“存在实数 x,使 x>1”的 定 否是

(

)

A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1
答案 C

解析 利 特 命 的 定 全 命 可 , 命 的 用称题否为称题知原题否 定为:对于任意的实数 x,都有 x≤1, 以 案 所答为 C.

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3.(课本习题改编)已知命题 p:若 a,b 都 偶 , 是 数则 是偶数.

a+b

命题 p 的否命题为_______________________________; 命题 p 的否定形式綈 p 为_____________________ ____ ___
答案 否命题:若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数 否定形式:若 a,b 都是偶数,则 a+b 不是偶数



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4.2 2· (1 0

杭州)若命题“?x∈R,2x2-3ax+9 ”为假命题, < 0

则实数 a 的取值范围是________.
答案 -2 2≤a≤2 2

解析 因为“?x∈R,2x2-3ax+9 ”为假命题,则“?x < 0 ∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题.因此 Δ=9a2-4×2×9≤0.故 -2 2≤a≤2 2.

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新课标全国)已知命题 p1:数 函


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5.1 20 (· 0

y=2x-2-x 在 R 上

为增函数,p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上 减 数 为函. 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:

p1∧(綈 p2)中,真命题是________.
答案 q1,q4

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解 析

p1 是 命 , 真题则

綈 p1 为 命 ; 假题

p2 是 命 , 假题则



p2 为 命 ; 真题 ∴q1:p1∨p2 是 命 , 真题 q2:p1∧p2 是 命 . 假题 q4:p1∧(綈 p2)为 命 . 真题

∴q3:(綈 p1)∨p2 为 命 , 假题

∴真 题 命是

q1,q4.

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