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偏微分方程数值解试题参考答案


偏微分方程数值解
1 ( Ax , x) ? (b, x) ( x ? R n ) ,证明下 2

一(10 分) 、设矩阵 A 对称正定,定义 J ( x) ?
x?R

J ( x) ;(2)求下列方程组的解:Ax ? b 列两个问题等价: (1)求 x0 ? Rn 使 J ( x 0 ) ? min n

解: 设 x0 ? R n 是 J ( x) 的最小值点,对于任意的 x ? R n ,令

? (? ) ? J ( x0 ? ?x) ? J ( x0 ) ? ? ( Ax0 ? b, x) ?

?2
2

( Ax, x) ,

(3 分)

因此 ? ? 0 是 ? (? ) 的极小值点, ? ' (0) ? 0 ,即对于任意的 x ? R n , ( Ax0 ? b, x) ? 0 ,特 别取 x ? Ax0 ? b ,则有 ( Ax0 ? b, Ax0 ? b) ?|| Ax0 ? b || 2 ? 0 ,得到 Ax0 ? b . 反 之 , 若
x0 ? R n

(3 分)

满 足

Ax0 ? b

, 则 对 于 任 意 的

x

,

J ( x0 ? x) ? ? (1) ? ? (0) ?

1 ( Ax , x) ? J ( x0 ) ,因此 x0 是 J ( x) 的最小值点. 2

(4 分)

评分标准: ? (? ) 的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分

d du ? ? Lu ? ? ( p ) ? qu ? f x ? (a, b) 二(10 分) 、对于两点边值问题: ? dx dx ? u ( a ) ? 0 , u (b) ? 0 ?

其中 p ? C 1 ([a, b]), p( x) ? min p( x) ? p min ? 0, q ? C ([a, b]),q ? 0, f ? H 0 ([a, b])
x?[ a ,b ]

建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式: 求泛函极小的 Ritz 形式和
Galerkin 形式的变分方程。
1 解 : 设 H0 ? {u | u ? H 1 (a, b), u(a) ? u(b) ? 0} 为求解函数空间 , 检验函数空间 . 取 1 v ? H0 (a, b) ,乘方程两端,积分应用分部积分得到

(3 分)

a(u, v) ? ? ( p
a

b

b du dv 1 . ? quv )dx ? ? fvdx ? f (v) , ? v ? H 0 (a, b) a dx dx

即变分问题的 Galerkin 形式.

(3 分)

令 J (u ) ?

1 1 b du a(u, u ) ? ( f , u ) ? ? [ p( ) 2 ? qu 2 ? fu ]dx , 则变分问题的 Ritz 形式为 2 2 a dx
u?H 0

1 求 u* ? H 0 J (u ) (a, b) ,使 J (u * ) ? min 1

(4 分)

评分标准:空间描述与积分步骤 3 分,变分方程 3 分,极小函数及其变分问题 4 分,

三(20 分) 、对于边值问题
? ? 2u ? 2u ? 2 ? 2 ? ?1 , ( x, y) ? G ? (0,1) ? (0,1) ? ?x ?y ? u | ? ? ?G 0

(1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式) ,推导截 断误差的阶。 (2) 取 h ? 1/ 3 , 求边值问题的数值解 (写出对应的方程组的矩阵形式, 并求解) (3)就取 h ? 1 / N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表示) 。 解: (1) 区域离散 x j ? jh, yk ? kh ,差分格式为
u j ?1,k ? 2u jk ? u j ?1,k h
2

?

u j ,k ?1 ? 2u jk ? u j ,k ?1 h2

? ?1 (5 分)

应用 Tayloy展开得到,截断误差为

h 2 ? 4u ? 4u [ 4 ? 4 ] jk ? O(h 4 ) ,其阶为 O(h 2 ) (3 分) 12 ?x ?y

(2) 未知量为 U ? (u11 , u12 , u21 , u22 )T ,矩阵形式为 AU ? F ,其中

? 4 ?1 ?1 0 ? ?1? ? ? ? ? 1 ?1? ? ? 1 4 0 ? 1? A?? ,F ? ? ? ? 1 0 4 ? 1? 9 1 ? ? ? ? ? 0 ?1 ?1 4 ? ?1? ? ? ? ?
解为 u ?
1 (1,1,1,1) T 18

(4 分)

(3 分)

? B ? ?? I (3) 矩阵为 ? ? ? ?

?I B ?

?I ? ?I

? ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ??1 4 ?1 ? ?,B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B? ? 1 4 ? ? ?

(5 分)

评分标准:第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形 式 3 分,B 的形式 2 分

? ?u ? 2u ? a , 0 ? x ? 1,0 ? t ? T ? 2 ? t ? x ? 四(20 分) 、对于初边值问题 ? u ( x,0) ? ? ( x), 0 ? x ? 1 ? u (0, t ) ? u (1, t ) ? 0,0 ? t ? T ? ?
(1)建立向前差分格式(最简显格式) ,推导截断误差的主项,指出误差阶; (2)写出差分格式的矩阵形式(即 AU k ?1 ? BU k ? ?F 的形式) ,用矩阵方法分析 格式的稳定性 (3)建立六点加权格式,写出计算形式,应用 Fourier 方法(分离变量法)分析 格式的稳定性。
?1 uk ? uk j j

解:(1) 区域离散,格式为

?

?a

1 2 k ?xuj h2

,

(5 分)

应 用 T a y l o展 r 开得到,误差主项为

1 ? 2u k ah2 ? 4 u k ( 2 ) j? ? ( ) j ? O(? 2 ? h 4 ) , 阶 为 2 ?t 12 ?x 4

O(? ? h 2 )
(2) A ? E, B ? diag{r ,1 ? 2r , r} , 稳定条件为 r ? 1 / 2
?1 uk ? uk j j

(3 分) (4 分) (3 分)

(3) 格式为

?

?

a 2 ?1 ? x (?u k ? (1 ? ? )u k j j ), 2 h

(3 分)

当? ?

1 1 1 格式恒稳定,当 ? ? ,稳定条件为 r ? 2 2 1 ? 2?

(2 分)

?1 ?1 n un ? un un ?u ?u j j j ?1 ? u j ?1 ?a ? 0 的三层差分格式 五(10 分) 、逼近 ?a ?0 ?t ?x 2? 2h

分析格式的稳定性
?1 n n?1 解:计算形式为 u n ? ?ar(u n j j ?1 ? u j ?1 ) ? u j

(2 分)

?1 此为三层格式,化为两层格式.令 v n ? un j j ,则有

n?1 n n n ? ? u j ? ?ar(u j ?1 ? u j ?1 ) ? v j ? n?1 ? un ? j ?v j

(4 分)

n i?jh n i?jh 令 un ,代入格式,消去公因子,得到 , vn j ?w 1e j ? w2 e

? w1n?1 ? ? ? 2iar sin ?h 1 ?? w1n ? ? n?1 ? ? ? ? ?? ?w ? ? ? n? 1 0? ?? w2 ? ? 2 ? ?

(2 分)

? ? 2ar sin ?hi ? 1 ? ? 2ar sin ?hi 1 ? ? 放大矩阵为 G ? ? , 特征方程为 | ? E ? G | ? ? 1 0? ?1 ? ? ?
? 2ar sin ?h ? 4 ? 4a 2 r 2 sin 2 ?h i 2

? ?2 ? 2ar sin ?hi? ? 1 ? 0 , ?1, 2 ?

?1?2 ? 1 , max{|?1 |, | ?2 |} ? 1 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根 , 即
? ? 4 ? 4a 2 r 2 sin 2 ?h ? 0 .考虑到 ? 的变化,稳定条件为 | ar |? 1

(2 分)

2 ? 2u 2 ? u 六(10 分) 、建立波动方程 2 ? a 的初值问题的显格式,推导截断误差. ?t ?x 2

解:差分格式为

?1 n ?1 un ? 2u n j j ?uj

?

2

? a2

1 2 n ?xuj , h2

(5 分)

4 1 ? ? 4u ? 2 2? ? u ? ? ? ? h 2 ? O(? 4 ? h 4 ) ,阶为 O(? 2 ? h 2 ) 截断误差为 ? ? ? a 4 ? 4 ? ? 12 ? ? ?t ? j ? ?x ? j

n

n

(5 分)

?u ? 2u ? 2u 七 (10 分) 、 对于二维抛物型方程 (隐格式) , ? a( 2 ? 2 ) 建立向后差分格式 ?t ?x ?y
指出截断误差阶,分析格式的稳定性。 解: 差分格式为
?1 n un jk ? u jk

?

?

a 2 n?1 2 n ?1 (? x u jk ? ? y u jk ) 2 h

(4 分)

误差阶为 O(? ? h 2 ) (3 分) 放大因子为 G(? , ? ,? ) ?

1 ,恒稳定. 2 ?h 2 ?h 1 ? 4r sin ? 4r sin 2 2

(3 分)

八(10 分) 、分析差分格式
?1 uk ? uk j j

?
的稳定性

?a

k k uk j ?1 ? 2u j ? u j ?1

h

2

?b

k uk j ?1 ? u j ?1

2h

? cu k j (a ? 0)

解:写出计算形式,忽略低阶项 2 分,写出放大因子 3 分

| G |? ?2 sin 2 kh ? 1 ? 4? (1 ? coskh) ? 4? 2 (1 ? coskh)2 ? ?2 (1 ? coskh)(1 ? coskh) ? 1 ? 4? (1 ? coskh) ? 4? 2 (1 ? coskh)2 ? 1 ? (1 ? coskh)[4? ? 4? 2 (1 ? coskh) ? ?2 (1 ? coskh)]
von Neumann 条件 | G |? 1 变为 (2 分)

4? ? 4? 2 (1 ? coskh) ? ?2 (1 ? coskh) ? 0
即 4? ? 2?2 ? (4? 2 ? ?2 )(1 ? coskh) ? 0 只需

4? ? 2?2 ? 0,2(?2 ? 4? 2 ) ? 4? ? 2?2 ? 0

条件 4? ? 2? ? 0 可以写成 定的条件是
a 2? 2?? ? 1, ? 1 (3 分) 2? h2

a 2? 2?? ? 1 。第二个条件可化为 2 ? 1 ,因此差分格式稳 h 2?


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