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2.1正弦定理(二)学案


数学必修 5

第二章

解三角形(学案)

虢镇中学

高二年级 数学备课组

正弦定理(学案 2.1 正弦定理 学案 2)
课时目标 1.熟记正弦定理的有关变形公式; 2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明. a

知识梳理
1.正弦定理: a

sin A (1)sin A∶sin B∶sin C=
(2) =



的常见变形:

= sin A (3)a=2RsinA,b= (4)sin A=

a+b+c =2R(R 是该三角形外接圆半径); sin A+sin B+sin C ,c= ; ,sin C= .

a ,sin B= 2R

2.三角形面积公式:S=

1 ab sin C = 2



.

3.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题: 一类是:已知两角和任一边,求其它两边和一角.另一类是:已知两边和其中一边的 对角,求另一边和两角. 已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角,这时三角形解的情况比较 复杂,可能无解,可能一解或两解.例如:已知 a、b 和 A,用正弦定理求 B 时的各种 情况. 例如:已知三角形△ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c. ① A=120°,b=2,a= 2 3 解该三角形。 由正弦定理可得:

2 3 2 2 sin 120 o 1 = ? sin B = = 2 sin 120 o sin B 2 3
,则 C= c=

因为 A>90°,所以 B=

如果是 A=120°,b=2,a= 3 ,或者是 A=120°,b=2,a=2,求三角形其他元素。 当 A=120°,b=2,a= 3 时,

3 2 2 sin 120 o = ? sin B = =1 sin 120 o sin B 3

则 B=90° A+B=210°不可能,所以无解 同样当 A=120°,b=2,a=2 时,为等腰三角形,A 也是 120°不可能,所以无解。 另一方面,如果已知角为钝角,则其他的角必然为锐角,大角所对的边也大, A=120°,b=2,则已知的边 a 只能是大于 b,才有解。 C ② A=90°,b=2,a= 2 3 解该三角形。如图:

c = a 2 ? b 2 = 12 ? 4 = 2 2 sin B =
sin C = c 2 2 6 = = a 2 3 3

b 2 3 = = a 2 3 3

b A

a c B

如果是 A=90°,b=2,a= 3 ,或者是 A=90°,b=2,a=2,求三角形其他元素。
1

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第二章

解三角形(学案)

虢镇中学

高二年级 数学备课组

另一方面,如果已知角为钝角,则其他的角必然为锐角,大角所对的边也大, A=120°,b=2,则已知的边 a 只能是大于 b,才有解。 结论:已知两边和其中一边的对角,当这个已知角为钝角(或者直角)时,a>b 时,有解,其他都无解。 ③ A=60°,b=2,a=1 解该三角形。

a b 1 2 2 sin 60 o = ? = ? sin B = = 2 > 1 无解。 sin A sin B 1 sin 60 o sin B

C b a
b

C a

C b a a

A

D CD=bsinA> CD=bsinA>a

A

D CD=bsinA= CD=bsinA=a , 角 角

A

B D B CD=bsinA< CD=bsinA<a<b 两

如果 A=60°,b=2,a= 3 ,解该 三角形

C b a B

a b 3 2 = ? = o sin A sin B sin B sin 60 o 2 sin 60 ? sin B = =1 3
则 B=90° C=30°c=1 如果 A=60°,b=2,a= 3 2 ? 6 ,解该三角形

A

D a≥ a≥ b

a b 3 2? 6 2 = ? = o sin A sin B sin B sin 60 ? sin B = = 2 sin 60 o 3 2? 6 = 3 (3 2 + 6 ) 18 ? 6

3 6+3 2 = 12

6+ 2 4
6+ 2 4

因为 sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°= 所以 B=75°,C=45°,或 B=180°-75=105°, C=15° 如果 A=60°,b=2, a = 2 3 解该三角形

a b 2 3 2 2 sin 60 o 1 = ? = ? sin B = = sin A sin B 2 sin 60 o sin B 2 3
所以 B=30°或 B=150°,如果 B=150°,而 A=60° B+A>180°不可能,所以该三角形
2

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解三角形(学案)

虢镇中学

高二年级 数学备课组

有唯一解,B=30°,C=90°. 总结:三角形△ a,b,c.已知 A,a,b;解该三角形, 总结:三角形△ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 A,a,b;解该三角形, 分下列几种情况: 分下列几种情况: 已知角 A 的范围 a,b 关系 图形 解的情况

C
a>b

C b B A
C a b a
无解

b a A c

a c B

有唯一解

90°≤A<180°

C
a≤b

b A

A

C
a<bsinA

b A D
C

a

无解

CD=bsinA CD=

a=bsinA

b A

a BD

有唯一组解 Rt△ABC

CD= CD=bsinA

0°<A<90°

C
bsinA<a 且 a<b

b A

a

B1 D B2
CD= CD=bsinA

有两组解 △AB1C 或△AB2C

C
a≥b

b A D

a B

有唯一组解 △ABC

4.在△ABC 中,有以下结论:
3

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(1)A+B+C=π;(2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C; A+B C π A+B C A+B C A+B 1 (3) + = ;(4)sin =cos ,cos =sin ,tan = . 2 2 2 2 2 2 2 2 C tan 2

练习作业
一、选择题 1.在△ABC 中,sin A=sin B,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 2.在△ABC 中,若 a = b = c ,则△ABC 是(

D.等腰三角形
)

A.直角三角形

cos A cos B cos C B.等边三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

3 3.在△ABC 中,sin A= ,a=10,则边长 c 的取值范围是( ) 4 ?15 ? ? 40? A.? ,+∞? B.(10,+∞) C.(0,10) D.?0, ? 2 3? ? ? ?

4.在△ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 5.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则 sin A∶sin B∶sin C 等于( ) A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6

1 6.已知三角形面积为 ,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为( 4 1 A.1 B.2 C. D.4 2

)

二、填空题 1 7.在△ABC 中,已知 a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3

8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A=60°,a= 3,b=1, 则 c=________.

4

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9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC 三边长分别为a,b,c,则

b 2c + + =__. sin A 2sin B sin C

a

10.在△ABC 中, A=60°, a=6 3, b=12, △ABC=18 3,则 S

a+b+c = sin A+sin B+sin C

,c=

.

三、解答题 a-ccos B sin B 11.在△ABC 中,求证: = . b-ccos A sin A

12.在△ABC 中,已知 a tan B=b tan A,试判断△ABC 的形状.

2

2

5

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解三角形(学案)

虢镇中学

高二年级 数学备课组

13.在△ABC 中,B=60°,最大边与最小边之比为( 3+1)∶2,则最大角为( A.45° B.60° C.75° D.90°

)

π B 2 5 , 14.在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a=2,C= ,cos = 4 2 5 求△ABC 的面积 S.

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高二年级 数学备课组

15、 (11 年安徽文 16 题)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 , b= 2 , 1 + 2 cos( B + C ) = 0 ,求边 BC 上的高.

16、11 年湖南理 17 题) ( 在△ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a ,b,c, 角 且满足 csinA= a cosC. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sinA-cos (B+

π
4

)的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。

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正弦定理( 2.1 正弦定理(二)
课时目标 1.熟记正弦定理的有关变形公式; 2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明. a b c

知识梳理
sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C=a:b:c;
(2) a 1.正弦定理: = = =2R 的常见变形:

b c a+b+c = = = =2R(R 是该三角形外接圆半径); sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C (3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

a b c ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R 1 1 1 2.三角形面积公式:S= ab sin C = ac sin B = bc sin A . 2 2 2
(4)sin A= 3.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题: 一类是:已知两角和任一边,求其它两边和一角.另一类是:已知两边和其中一边的 对角,求另一边和两角. 已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角,这时三角形解的情况比较 复杂,可能无解,可能一解或两解.例如:已知 a、b 和 A,用正弦定理求 B 时的各种 情况. 例如:已知三角形△ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c. ① A=120°,b=2,a= 2 3 解该三角形。 由正弦定理可得:

2 3 2 2 sin 120 o 1 = ? sin B = = 2 sin 120 o sin B 2 3

因为 A>90°,所以 B=30°,则 C=30°c=2 如果是 A=120°,b=2,a= 3 ,或者是 A=120°,b=2,a=2,求三角形其他元素。

3 2 2 sin 120 o 当 A=120°,b=2,a= 3 时, = ? sin B = =1 sin 120 o sin B 3
则 B=90° A+B=210°不可能,所以无解 同样当 A=120°,b=2,a=2 时,为等腰三角形,A 也是 120°不可能,所以无解。 另一方面,如果已知角为钝角,则其他的角必然为锐角,大角所对的边也大, A=120°,b=2,则已知的边 a 只能是大于 b,才有解。 ② A=90°,b=2,a= 2 3 解该三角形。如图:

C

c = a 2 ? b 2 = 12 ? 4 = 2 2 sin B =
sin C = c 2 2 6 = = a 2 3 3

b 2 3 = = a 2 3 3

b A

a c B

如果是 A=90°,b=2,a= 3 ,或者是 A=90°,b=2,a=2,求三角形其 他元素。
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高二年级 数学备课组

另一方面,如果已知角为钝角,则其他的角必然为锐角,大角所对的边也大, A=120°,b=2,则已知的边 a 只能是大于 b,才有解。 结论:已知两边和其中一边的对角,当这个已知角为钝角(或者直角)时,a>b 时,有解,其他都无解。 ③ A=60°,b=2,a=1 解该三角形。

a b 1 2 2 sin 60 o = ? = ? sin B = = 2 > 1 无解。 sin A sin B 1 sin 60 o sin B

C b a
b

C a

C b a a

A

D CD=bsinA> CD=bsinA>a

A

D CD=bsinA= CD=bsinA=a , 角 角

A

B D B CD=bsinA< CD=bsinA<a<b 两

如果 A=60°,b=2,a= 3 ,解该 三角形

C b a B

a b 3 2 = ? = o sin A sin B sin B sin 60 o 2 sin 60 ? sin B = =1 3
则 B=90° C=30°c=1 如果 A=60°,b=2,a= 3 2 ? 6 ,解该三角形

A

D a≥ a ≥b

a b 3 2? 6 2 = ? = o sin A sin B sin B sin 60 ? sin B = = 2 sin 60 o 3 2? 6 = 3 (3 2 + 6 ) 18 ? 6

3 6+3 2 = 12

6+ 2 4
6+ 2 4

因为 sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°= 所以 B=75°,C=45°,或 B=180°-75=105°, C=15° 如果 A=60°,b=2, a = 2 3 解该三角形

a b 2 3 2 2 sin 60 o 1 = ? = ? sin B = = sin A sin B 2 sin 60 o sin B 2 3
所以 B=30°或 B=150°,如果 B=150°,而 A=60° B+A>180°不可能,所以该三角形
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有唯一解,B=30°,C=90°. 总结:三角形△ a,b,c.已知 A,a,b;解该三角形, 总结:三角形△ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 A,a,b;解该三角形, 分下列几种情况: 分下列几种情况: 已知角 A 的范围 a,b 关系 图形 解的情况

C
a>b

C b B A
C a b a
无解

b a A c

a c B

有唯一解

90°≤A<180°

C
a≤b

b A

A

C
a<bsinA

b A D
C

a

无解

CD=bsinA CD=

a=bsinA

b A

a BD

有唯一组解 Rt△ABC

CD= CD=bsinA

0°<A<90°

C
bsinA<a 且 a<b

b A

a

B1 D B2
CD= CD=bsinA

有两组解 △AB1C 或△AB2C

C
a≥b

b A D

a B

有唯一组解 △ABC

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解三角形(学案)

虢镇中学

高二年级 数学备课组

4.在△ABC 中,有以下结论: (1)A+B+C=π;(2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C; A+B C π A+B C A+B C A+B 1 (3) + = ;(4)sin =cos ,cos =sin ,tan = . 2 2 2 2 2 2 2 2 C tan 2

练习作业
一、选择题 1.在△ABC 中,sin A=sin B,则△ABC 是( D ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 a b c 2.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是( B ) cos A cos B cos C A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 sin A sin B sin C [由正弦定理知: = = ,∴tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.] cos A cos B cos C 3 3.在△ABC 中,sin A= ,a=10,则边长 c 的取值范围是( D ) 4 ?15 ? ? 40? A.? ,+∞? B.(10,+∞) C.(0,10) D.?0, ? 3? ?2 ? ? c a 40 40 40 [∵ = = ,∴c= sin C.∴0<c≤ .] sin C sin A 3 3 3 4.在△ABC 中,a=2bcos C,则这个三角形一定是( A ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 [由 a=2bcos C 得,sin A=2sin Bcos C,∴sin(B+C)=2sin Bcos C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,∴sin(B-C)=0,∴B=C.] 5.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则 sin A∶sin B∶sin C 等于( B )A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6 b+c c+a a+b [∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,∴ = = . 4 5 6

?b+c=4k ? b+c c+a a+b = = =k (k>0),则?c+a=5k 令 4 5 6 ?a+b=6k ?

? ? 5 ,解得?b= k 2 ?c=3k ? 2

7 a= k 2

.

∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3.] 1 6.已知三角形面积为 ,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为( A ) 4 1 A.1 B.2 C. D.4 2 2 [设三角形外接圆半径为 R,则由πR =π, 1 abc abc 1 得 R=1,由 S△= absin C= = = ,∴abc=1.] 2 4R 4 4
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二、填空题 1 7.在△ABC 中,已知 a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=________.2 3 3 1 2 2 1 解析 ∵cos C= ,∴sin C= ,∴ absin C=4 3,∴b=2 3. 3 3 2 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A=60°,a= 3,b=1, a 3 b 1 则 c=________.解析 由正弦定理 = ,得 = , sin A sin B sin 60° sin B 1 ∴sin B= ,故 B=30°或 150°.由 a>b,得 A>B,∴B=30°,故 C=90°, 2 由勾股定理得 c=2. a b 2c 9.在单位圆上有三点 A,B,C,设△ABC 三边长分别为 a,b,c,则 + + sin A 2sin B sin C =________.解析 ∵△ABC 的外接圆直径为 2R=2, a b c a b 2c ∴ = = =2R=2,∴ + + =2+1+4=7. sin A sin B sin C sin A 2sin B sin C a+b+c 10.在△ABC 中,A=60°,a=6 3,b=12,S△ABC=18 3,则 =12, sin A+sin B+sin C c=6. a+b+c a 6 3 解析 = = =12. sin A+sin B+sin C sin A 3 2 1 1 1 c a ∵S△ABC= absin C= ×6 3×12sin C=18 3,∴sin C= ,∴ = 2 2 2 sin C sin ∴c=6. 三、解答题 a-ccos B sin B 11.在△ABC 中,求证: = . b-ccos A sin A a b c 证明 因为在△ABC 中, = = =2R, sin A sin B sin C 2Rsin A-2Rsin Ccos B sin?B+C?-sin Ccos B sin Bcos 所以左边= = = 2Rsin B-2Rsin Ccos A sin?A+C?-sin Ccos A sin Acos sin B a-ccos B sin B =右边.所以等式成立,即 = . sin A b-ccos A sin A
2 2

=12, A

C = C

12.在△ABC 中,已知 a tan B=b tan A,试判断△ABC 的形状. 解 设三角形外接圆半径为 R, 2 2 2 2 2 2 a sin B b sin A 4R sin Asin B 4R sin Bsin A 2 2 则 a tan B=b tan A? = ? = ?sin Acos cos B cos A cos B cos A A=sin Bcos B?sin 2A=sin 2B?2A=2B 或 2A+2B=π?A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 13.在△ABC 中,B=60°,最大边与最小边之比为( 3+1)∶2,则最大角为( )
12

π

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A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

设 C 为最大角,则 A 为最小角,则 A+C=120°, sin C sin(120°-A) sin 120° cos A-cos 120°sin A = = ∴ sin A sin A sin A = 1 3+1 3 1 + = = + ,∴tan A=1,A=45°,C=75°. 2tan A 2 2 2 2 3

π B 2 5 14.在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,若 a=2,C= ,cos = , 4 5 2 求△ABC 的面积 S. 3 4 2 B 解 cos B=2cos -1= ,故 B 为锐角,sin B= . 2 5 5 ?3π-B?=7 2. 所以 sin A=sin(π-B-C)=sin? ? 10 ? 4 ? 1 1 10 4 8 asin C 10 = ,以 S△ABC= acsin B= ×2× × = . 由正弦定理得 c= 2 2 7 5 7 sin A 7
15、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b=

2,

1 + 2 cos( B + C ) = 0 ,求边 BC 上的高.
解:∵A+B+C=180°,所以 B+C=180°-A, 又 1 + 2 cos( B + C ) = 0 ,∴ 1 + 2 cos(180o ? A) = 0 , 即 1 ? 2 cos A = 0 , cos A =

1 ,又 0°<A<180°,所以 A=60°. 2

2 sin 60o 2 b sin A a b sin B = = = 在△ABC 中,由正弦定理 = 得 , 2 a 3 sin A sin B
又∵ b < a ,所以 B<A,B=45°,C=75°, ∴BC 边上的高 AD=AC·sinC= 2 sin 75o =

2 sin(45o + 30o )

= 2(sin 45o cos 30o + cos 45o sin 30o ) = 2(

2 3 2 1 3 +1 × + × )= 2 2 2 2 2

16、11 年湖南理 17 题) ( 在△ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a ,b,c, 角 且满足 csinA= a cosC. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sinA-cos (B+

π
4

)的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。

解(Ⅰ)正弦定理可知 sinCsinA=sinAcosC,因为 0°<A<180°,所以 sinA>0,从而 sinC=cosC, 又 cosC≠0,所以 tanC=1,则 C=45°.
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解三角形(学案)

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(Ⅱ)由 1 得,B=135°-A,于是 3 sinA-cos (B+

π
4

)= 3 sinA-cos (180°-A)

= 3 sinA+cosA=2sin(A+30°) 因为 0°<A<135°所以 30°<A+30°<165°从而当 A+30°=90°,即 A=60°时, 2sin(A+30°)取最大值 2. 综上所述, 3 sinA-cos (B+

π
4

)的最大值为 2,此时 A=60°,B=75°.

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