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高中数学新课程创新教学设计案例50篇(33)同角三角函数的基本关系式


33 同角三角函数的基本关系式

教材分析
这节课主要是根据三角函数的定义,导出同角三角函数的两个基本关系式 sin2a+cos2a=1 与 与 ,并初步进行这些公式的两类基本应用.教学重点是公式 sin2a+cos2a=1 的推导及以下两类基本应用:

(1)已知某角的正弦、余弦、正切中的一个,求其余两个三角函数. (2)化简三

角函数式及证明简单的三角恒等式. 其中,已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时,正负号的选择是本节的一 个难点, 正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键; 证明恒等式是这节课的另 一个难点.课堂上教师应放手让学生独立解决问题,优化自己的解题过程.

教学目标
1. 让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、 研究能力. 2. 理解和掌握同角三角函数的基本关系式,并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、 化简、证明等问题,培养学生的运算能力,逻辑推理能力. 3. 通过同角三角函数基本关系的学习,揭示事物之间的普遍联系规律,培养学生的辩证唯 物主义世界观.

任务分析
这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式: sin2a+cos2a=1 及 ,并进行初步的应用.由于该节内容比较容易,所以,课

堂上无论是关系式的探索还是例、 习题的解决都可以放手让学生独立完成, 即由学生自己把 要学的知识探索出来, 并用以解决新的问题. 必要时, 教师可以在以下几点上加以强调: (1) “同角”二字的含义.(2)关系式的适用条件.(3)化简题最后结果的形式.(4)怎样优 化解题过程.

教学设计
一、问题情境

教师出示问题:上一节内容,我们学习了任意角 α 的六个三角函数及正弦线、余弦线和 正切线,你知道它们之间有什么联系吗?你能得出它们之间的直接关系吗? 二、建立模型 1. 引导学生写出任意角 α 的六个三角函数,并探索它们之间的关系 在角 α 的终边上任取一点 P(x,y),它与原点的距离是 r(r>0),则角 α 的六个三角函 数值是

2. 推导同角三角函数关系式 引导学生通过观察、分析和讨论,消元(消去 x,y,r),从而获取下述基本关系. (1)平方关系:sin2a+cos2a=1.

(2)商数关系:t: 说明:①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时,部分学生可能会利用三角函数线, 借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论. 对于这种推导方法, 教师也应给以充分肯定, 并进一步引导学生得出|sinα|+|cosα|≥1. ②除以上两个关系式外,也许部分学生还会得出如下关系式:

. 教师点拨:这些关系式都很对,但最基本的还是(1)和(2),故为了减少大家的记忆负担, 只须记住(1)和(2)即可.以上关系式均为同角三角函数的基本关系式. 教师启发:(1)对“同角”二字,大家是怎样理解的? (2)这两个基本关系式中的角 α 有没有范围限制? (3)自然界的万物都有着千丝万缕的联系,大家只要养成善于观察的习惯,也许每天都会 有新的发现. 刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式, 那么这些关系式能用于解决哪些 问题呢? 三、解释应用

[例 题]

1. 已知 sinα=

,且 α 是第二象限角,求角 α 的余弦值和正切值.

2. 已知 tanα=-

,且 α 是第二象限角,求角 α 的正弦和余弦值.

说明:这两个题是关系式的基本应用,应让学生独立完成.可选两名同学到黑板前板书,以 便规范解题步骤. 变式 1 在例 2 中若去掉“且 α 是第二象限角”,该题的解答过程又将如何? 师生一起完成该题的解答过程. 解:由题意和基本关系式,列方程组,得

由②,得 sinα=-

cosα,

代入①整理,得 6cos2α=1,cos2α=



∵tanα=-

<0,∴角 α 是第二或第四象限角.

当 α 是第二象限角时,cosα=-



代入②式,得



当 α 是第四象限角时,cosα=



代入②式,得

.

小结:由平方关系求值时,要涉及开方运算,自然存在符号的选取问题.由于本题没有具体 指明 α 是第几象限角,因此,应针对 α 可能所处的象限,分类讨论.

变式 2 把例 2 变为:

已知 tanα=-

,求

的值.

解法 1:由 tanα=-

及基本关系式可解得

针对两种情况下的结果居然一致的情况,教师及时点拨: 观察所求式子的特点,看能不能不通过求 sinα,cosα 的值而直接得出该分式的值. 学生得到如下解法:

由此,引出变式 3.

已知:tanα=-

,求(sinα-cosα)2 的值.

有了上一题的经验,学生会得到如下解法:

教师归纳、启发:这个方法成功地避免了开方运算,因而也就避开了不必要的讨论.遗憾的 是, 因为它不是分式形式, 所以解题过程不像“变式 2”那样简捷. 那么, 能解决这一矛盾吗? 学生得到如下解法:

教师引导学生反思、总结:(1)由于开方运算一般存在符号选取问题,因此,在求值过程 中,若能避免开方的应尽量避免. (2)当式子为分式且分子、分母都为三角函数的 n(n∈N 且 n≥1)次幂的齐次式时,采用 上述方法可优化解题过程. [练 习]

当学生完成了以上题目后,教师引导学生讨论如下问题: (1)化简题的结果一定是“最简”形式,对三角函数的“最简”形式,你是怎样理解的? (2)关于三角函数恒等式的证明,一般都有哪些方法?你是否发现了一些技巧? 四、拓展延伸 教师出示问题,启发学生一题多解,并激发学生的探索热情.

已知 sinα-cosα=-

,180° <α<270° ,求 tanα 的值.

解法 1:由 sinα-cosα=-

,得

反思:(1)解法 1 的结果比解法 2 的结果多了一个,看来产生了“增根”,那么,是什么原 因产生了增根呢?

(2)当学生发现了由 sinα-cosα=- 范围变大了时,教师再点拨: 怎样才能使平方变形是等价的呢? 由学生得出如下正确答案:

得到 sin2α-2sinαcosα+cos2α=

的过程中,α 的

∵180° <α<270° ,且 sinα-cosα=- 因此|tanα|>1,只能取 tanα=2.

<0,∴sinα<0,cosα<0,且|sinα|>|cosα|,

强调:非等价变形是解法 1 出错的关键!

点 评

这篇案例力求体现新课程理念下的以人为本的思想, 充分发挥了学生的主体作用. 教师充当 着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色.教师和学生是本课的共同参与者,共同努力 完成了这一节课的教学活动.在这节课上,学生的积极性被充分调动起来,从而使学生在积 极思维的活动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦. 案例中的教学活动体现了研究性学习和 探索性学习的方法. 总之,充分调动学生数学学习的主动性,强调质疑和化疑,是这篇案例的成功之处.


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