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2013届高考数学三角函数第二轮复习试卷4


高三二轮复习三角函数专题卷 4 一、小题
1.已知 函数 f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ( x ?
2

?
6

) ,其中 x ? R ,则下列结论中正确的 是

( D )[ http://wx.jtyjy.com/][ http://wx.jtyjy.co

m/] A. f (x) 是最小正周期为 ? 的偶函数 B. f (x) 的一条对称轴是 x ? C. f (x) 的最大值为 2 D.将函数 y ? 3 sin 2x 的图象左移

?
3

? 得到函数 f (x) 的图象 6

2.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为
? ? , 直线 x ? 是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的函数 3 2

解析式是( D )
? 6 ? C y=2sin(4x+ )+2 3

A y=4sin(4x+ ) B y=2sin(2x+ )+2 D y=2sin(4x+ )+2
?
6

? 3

? 6

3.要得到函数 y ? 3 cos x 的图象,只需将函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象上 所有 点的( C )
1 2

A.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) ,所得图象再向左平移
? 个单位长度; 12

B.横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) ,所得图象再向右平移
? 个单位长度; 6
2? 个单位长度; 3

1 2

C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象再向左 平移

D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象再向右

平移 个单位长度; 4.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,则“ f (x) 是周期函数”的 一个充要条件[金太阳新课标资源网 HTTP://WX.JTYJY.COM/] 是( D ) A. f ( x) ? cos x C. f (1 ? x) ? f (1 ? x) B. ?a ? R , f (a ? x) ? f (a ? x) D. ?a ? R(a ? 0) , f (a ? x) ? f (a ? x)

? 6

5.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周 期为 , 直线 x ?
? 2

?
3

是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件

的解析式是( A ) [ http://wx.jtyjy.com/] A. y ? 2 sin( 4 x ? ) ? 2 C. y ? 2 sin( 4 x ? ) ? 2
3

?

?

6

B. y ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 D. y ? 4 sin( 4 x ? ) ? 2
6

?

?

3

6.已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ),则x1 ? ? x2 ; ② f (x) 的最小正周期是 2? ; ③ f (x) 在区间 [? , ] 上是增函数;[金太阳新课标资源网]
4 4

? ?

④ f (x) 的图象关于直线 x ?
? ?

3? 对称;[金太阳新课标资源网] 4

⑤当 x ? ?? , ? 时, f (x) 的值域为 ?? , ?. ? 6 3? ? ? ? 4 4 ?
3

?

3?

其中正确的命题为 ( D ) A.①②④ B.③④⑤ C.②③ D.③④

7.同时具有性质: “①最小正周期为 ? ;②图像关于直线 x ? 对称; ③在 ( ? , ) 上是增函数. ”的一个函数是( D
6 3 x ? A. y ? sin( ? ) 2 6

?

? ?

3



B. y ? co s( ? ) D. y ? sin(2 x ? )
6

C. y ? co s(2 x ? )
3

?

x ? 2 6

?

π? ? tanx 8.[2011· 江苏卷] 已知 tan?x+4?=2, 则tan2x的值为________. ? ?
1 2 2× 3 3 3 π? 4 1 tanx 4 【解析】 因为 tan?x+4?=2,所以 tanx= ,tan2x= = = ,即 = . ? 9 3 1 8 4 tan2x 9 1- 9 9 9. [2011· 江苏卷] 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图 1-1 所示,则 f(0)的值是________.

图 1-1 7π π 7π 6 【解析】 由图象可得 A= 2,周期为 4×?12-3?=π,所以 ω=2,将?12,- 2?代入 ? ? ? ? 2 7π 3 π π 6 得 2× +φ=2kπ+ π,即 φ=2kπ+ ,所以 f(0)= 2sinφ= 2sin = . 12 2 3 3 2 π 10.[2011· 安徽卷] 设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 f(x)≤?f?6??对一切 x∈R ? ? ?? 恒成立,则 11π ①f? 12 ?=0; ? ? 7π π ②?f?10??<?f?5??; ? ? ?? ? ? ?? ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; π 2π ④f(x)的单调递增区间是?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ? ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图像不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号). 【答案】 ①③ b a ? ? 【解析】 f(x)=asin2x+bcos2x= a2+b2sin(2x+φ)?sinφ= 2 ?,因为 2,cosφ= 2 a +b a +b2? ? π π 对一切 x∈R 时,f(x)≤?f?6??恒成立,所以 sin?3+φ?=± ? ? ?? ? ? 1. π 5π 故 φ=2kπ+ 或 φ=2kπ- (k∈Z). 6 6 π? 故 f(x)= a2+b2sin?2x+6?, ? π 或 f(x)=- a2+b2sin?2x+6?. ? ? 11π 11π 对于①,f? 12 ?= a2+b2sin2π=0,或 f? 12 ?=- a2+b2sin2π=0,故①正确; ? ? ? ?

7π 7π π 47π 17π 对于②,?f?10??=? a2+b2sin? 5 +6??= a2+b2?sin 30 ?= a2+b2sin , ? ? ?? ? ? ?? ? ? 30 ?f?π??=? a2+b2sin?2π+π??= a2+b2?sin17π? ? ?5?? ? ? 5 6?? ? 30 ? 7π?? ? ?π?? 17π = a2+b2sin .所以?f?10??=?f?5??,故②错误; ?? 30 π π 对于③,由解析式 f(x)= a2+b2sin?2x+6?,或 f(x)=- a2+b2sin?2x+6?知其既不是 ? ? ? ? 奇函数也不是偶函数,故③正确; π π 2π 对于④,当 f(x)= a2+b2sin?2x+6?时,?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z)是 f(x)的单调递减区间, ? ? ? ? 故④错误; 对于⑤,要使经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图像不相交,则此直线须与横轴平行, 2 2 2 2 2 且|b|> a +b ,此时平方得 b >a +b ,这不可能,矛盾,故不存在过点(a,b)的直线与函 数 f(x)的图像不相交.故⑤错.

二、解答题 11. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 设 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,
cos(C ?

?

? 2 ) ? cos(C ? ) ? 4 4 2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2 3 且 sin A ? 2 sin B ,求 ?ABC 的面积. 解(Ⅰ)? cos(C ? ) ? cos(C ? ) ?
4 4

?

?

2 2

2 cosC cos
? cos C ?

?
4

?

2 ??????3 分 2

1 2

??????5 分
?
3

? 在?ABC中,0 ? C ? ? ? C ?

??????6 分

(Ⅱ)? sin A ? 2 sin B ? a ? 2b
? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC
? (2 3 ) 2 ? 4b 2 ? b 2 ? 2 ? 2bb ?
?b ? 2 ?a ? 4

??????8 分
1 ? 3b 2 2

??????10 分

? S ?ABC ?

1 ab sin C ? 2 3 2

??????12 分
3 4

12.(12 分)在 ?ABC 中, AB ? 2, BC ? 1, cos C ? . (1)求 sinA 的值; (2)求 的值。

13. (本小题满分 12 分 已知锐角△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边 依次是 a、b、c,若 b=3,c=2 2 ,cosC=sin(B-A),求 A 及 a 的大小。

解:∵ C=π -(A+B) ∴ cosC=-cos(A+B) ??????2 分 ∵ cosC=sin(B-A) ∴ -cos(A+B)=sin(B -A) ∴ -cosAcosB+sinAsinB=sinBcosA-cosBsinA 分 ∴ sinA(sinB +cosB)= cosA(sinB +cosB) ??????4

∵ B 为锐角 ∴ sinB +cosB≠0 分 ∵ A 为锐角 ∴ A=450 ???????8 分 ????10 分 ∴ sinA=cosA ∴ tanA=1 ?????6

在△ABC 中,由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA ∴ a2=9+8-2×3×2 2 × ∴ a= 5
2 =5 2

????????12 分 12 分 )
?

14 . ( 本 小 题
y ? 0与 | AB |? 函f ( x) ? 2 c 数 .
2

A 、 B

是 直 线

o

?x
2

s? c

?
2

o x ? ( ? 1(? ? 0) 图像的两个相邻交点, ? s ) 且 3

(I)求 ? 的值; (II)在锐角 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若
3 f ( A) ? ? , c ? 3, ?ABC 的面积为 3 3 ,求 a 的值. 2

解: (1) f ( x) ? 1 ? cos?x ? cos?x ?

1 2

3 ? sin ?x ? 1 ? ? 3 sin(?x ? ). 2 3

????2 分 由函数的图象及 | AB |? 得到函数的周期 T ?
2?

?
2


?
2

?

? 2?

,解得 ? ? 2.
3 2

????4 分

(2)? f ( A) ? ? 3 sin( 2 A ? ) ? ?
3

?

? sin(2 A ?

?
3

)?

3 . 2

????6 分

又? ?ABC 是锐角三角形,

?

?
3

? 2A ?

?
3

?

? 即A? . 3

2? ? ? ,? 2 A ? ? , 3 3 3

????8 分
1 2 3b 3 ? ? 3 3, 得b ? 4 2 2

由 S ?ABC ? bc sin A ?

????10 分[金

太阳新课标资源网 HTTP://WX.JTYJY.COM/] 由余弦定理,得
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 2 ? 3 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 13, 2

即 a ? 13.
1 π 15. [2011· 广东卷] 已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? 5π (1)求 f? 4 ?的值; ? ?

????12 分

π π 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5 5π? 1 5 π? 【解答】 (1)f? 4 ?=2sin?3×4π-6? ? ? π =2sin = 2. 4 10 π 1 π π (2)∵ =f3α+ =2sin ×3α+ - =2sinα, 13 2 3 2 6 1 π π 6 =f(3β+2π)=2sin?3×?3β+2π?-6?=2sin?β+2?=2cosβ, ? ? ? ? 5 π 5 3 ∴sinα= ,cosβ= ,又∵α,β∈?0,2?, ? ? 13 5 5 ?2 12 ∴cosα= 1-sin2α= 1-?13? = , ? 13 3?2 4 sinβ= 1-cos2β= 1-?5? = , ? 5 3 12 5 4 16 故 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × = . 5 13 13 5 65 16. [2011· 湖北卷] 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2, 1 cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 1 【解答】 (1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4× =4, 4 ∴c=2, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. 1 1 15 (2)∵cosC= ,∴sinC= 1-cos2C= 1-?4?2= , ? ? 4 4

15 4 asinC 15 ∴sinA= = = . c 2 8 ∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角, ∴cosA= 1-sin2A= 1-? 15?2 7 = . ? 8 ? 8

7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= × + × = . 8 4 8 4 16


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