当前位置:首页 >> 其它课程 >>

计算方法复习资料(学生版)


02598

计算方法课程考试说明

一、 本课程使用教材、大纲
计算方法课程使用的教材为 《数值分析简明教程》 (附大纲) , 王能超编著,高等教育出版社,2003 年第二版;参考书:《计 算方法引论》,高等教育出版社,2007 年第三版,徐翠微等编。

二、 本课程的试卷题型结构及试题难易度
1.

试卷题型结构表
课 代 题 每 分 题 合 分 程 02598 号 型 题 1 值 数 计 20 值 20 10 20 20 10 100 20 10 5 4 2 1 42 2 2 5 10 10 单选题 名 称 改错题 简答题 计算题 证明题 合 计 课 程 计算方法

填空题

2. 试卷按识记、领会、简单应用、综合应用四个认知层次命 制试题, 四个认知层次在试卷中的所占的比例大致分别为: 识记占 20%、领会占 30% 、简单应用占 30%、综合应用占 20%。 3. 试卷难易度大致可分为 “容易、 中等偏易、 中等偏难、 难” 。 根据课程的特点,每份试卷中,不同难易度试题所占的分 数比例大致依次为易占 30 分、中等偏易占 30 分、中等偏 难占 20 分、难占 20 分。

三、 各章内容分数的大致分布
章 引 次 论 内 容 分 值 算法和误差 插值方法 数值积分 常微分方程数值解 10 分左右 15 分左右 20 分左右 20 分左右

第一章 第二章 第三章

1

第四章 第五章、第六章 合计

方程求根迭代方法 线性方程组求解

20 分左右 15 分左右 100 分

四、 各章内容的重、难点
章 次 重 点 难 点 有效数字和相对误差的 误差、相对误差、有效数 关系;秦九韶算法,二分 字; 秦九韶算法, 二分法; 法;误差对数值计算的影 数值计算中误差分析 响 泰勒公式;拉格朗日插值 插值余项分析;埃尔米特 方法;插值余项;分段插 插值;曲线拟和;分段三 值方法 次插值 牛顿-柯特斯公式及其代 复化求积公式及其误差; 数精度,余项与误差;复 龙贝格公式;高斯求积公 化 求 积 公 式 ; 龙贝 格 公 式及其精度,两点高斯公 式;高斯求积公式及其精 式 度,两点高斯公式 欧 拉 方 法 ; 改 进欧 拉 方 龙格-库塔方法(二阶、 法;龙格-库塔方法(二 四阶);线性多步法,收 阶、四阶);差分格式的 敛性和稳定性 精度和局部截断误差 二分法,简单迭代法,收 敛性判断;牛顿法,开方 牛顿法,收敛速度;简单 公式,牛顿下山法,收敛 迭代法的收敛性判断 速度 雅可比迭代公式;高斯赛德尔迭代公式;向量和 超松弛迭代格式 矩阵的范数,迭代格式的 收敛性判断;超松弛法 高斯消去法;列主元消去 平方根法,误差分析 法





算法和误差

第一章

插值方法

第二章

数值积分

第三章

常微分方程的 差分方法

第四章

方程求根迭的代 方法

第五章

线性方程组的 迭代法 线性方程组的 直接法

第六章

五、 各题型试题范例及解题要求
1、单项选择题(每小题 1 分,共 20 分) 要求:在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并 将其字母标号填入题干的括号内。 * 范例: 解非线性方程 f ( x) ? 0 的牛顿切线法在单根 x 附近的收敛 速度为( ) A.四阶 B.二阶 C.三阶 D.一阶 解答:( B )
2

2、 填空题 (每小题 2 分,共 20 分) 要求:直接将答案填在横线上,不需要写出过程。 范例:向量范数满足的三个性质为非负性, ,三角不等 式性。 解答: 齐次性 3、 改错题(每小题 2 分,共 10 分) 要求:把改正后的正确叙述写出来。 范例:3.141 是 ? ? 3.14159265... 的四位有效数字。 解答:“四位”改为“三位” 4、简答题(每小题 5 分,共 20 分) 要求:简要答出要点。 范例:何谓龙贝格算法,其优点主要是什么? 解答:将收敛相对缓慢的梯形序列 Tn 通过加工得到迅速收敛的龙 贝格序列即为龙贝格算法。主要优点是精度高,算法简单,计算 量小。 5、 计算题(每小题 10 分,共 20 分)要求:写出主要过程 范例:已给数据表:
x f ( x)
1.0 2.0042 1.2 3.3693 1.4 4.5817

(1)用复化梯形法计算积分的近似值。 (2)用辛甫生法计算积分的近似值。 解答: (1) Tn ? ? f ( x)dx ? [ f (a ) ? 2? f ( xk ) ? f (b)]
a k ?1 b

h 2

n ?1

(2 分)

0 .2 ? ( 2.0042 ? 2 ? 3.3693 ? 4.5817 ) 2 ? 1.33245 b?a a?b [ f (a) ? 4 f ( ) ? f (b)] (2) S ? 6 2 0 .4 ? (2.0042 ? 4 ? 3.3693 ? 4.5817 ) 6 ? 1.33754 ?
6、证明题(每小题

(2 分) (1 分) (2 分) (2 分)

10 分,共 10 分) 要求:写出详细证明过程。 3 2 范例:证明:用迭代法求方程 x ? x ?1 ? 0 中,迭代格式

3

x k ?1 ? 1 ?

1 xk
2

对任给初值 x 0 ? ?1.3,1.6? 均收敛。

1 , (3 分) x2 ?3 当 x ? ?1.3,1.6? 时,有 | ? ?( x) |? 2 ? (1.3) ? 1 , (4 分) 1 1 1 . 3 ? 1 ? ? ? ( x ) ? 1 ? ? 1.6 此外成立 (2 分) 1.6 2 1.3 2 因此,迭代公式对任给初值 x 0 ? ?1.3,1.6? 均收敛。(1 分) 6、 考试注意事项 本课程考试方式为闭卷、笔试,考试时间为 150 分钟。考生参 加考试时只允许携带钢笔、签字笔、圆珠笔、铅笔、橡皮等文具 用品,必须自己准备有计算数学函数(三角函数、对数函数、指 数函数)功能的普通计算器,不允许带有记忆功能的智能计算设 备,有关参考书等。 计算方法试题及解答(一)
解答:其迭代函数为 ? ( x) ? 1 ?
一、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 若误差限为 0.5×10-5,那么近似数 0.003400 有( )位有效数字. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 2. 当线性方程组 AX=b 的系数矩阵 A 是( )时, 用列主元消去法解 AX=b, A 的主对角线 的元素一定是主元. (A) 上三角形矩阵 (B) 主对角线元素不为 0 的矩阵 (C)对称且严格对角占优矩阵 (D)正定对称矩阵 3. 下列条件中,不是分段线性插值函数 P(x)必须满足的条件为( ) (A) P(xk)=yk,(k=0,1,…,n) (B) P(x)在[a,b]上连续 (C) P(x)在各子区间上是线性函数 (D) P(x)在各节点处可导 4. 有 3 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的. (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 3 5. 解微分方程初值问题的方法,( )的局部截断误差为 O(h3). (A) 欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格-库塔法 (D) 四阶龙格-库塔法 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 6.已知 x*1=x1?0.5×10-3,x*2=x2?0.5×10-2,那么近似值 x1,x2 之差的误差限是 7. 用列主元消去法解线性方程组 AX=b 时, 在第 k-1 步消元时, 在增广矩阵的第 k 列取主
( k ?1) ( k ?1) 元 a rk ,使得 a rk ?

.

8. 已知函数 f(0.4)=0.411, f(0.5)=0.578 , f(0.6)=0.697,用此函数表作牛顿插值多项 2 式,那么插值多项式 x 的系数是 .
(n) 9. 牛顿-科茨求积公式中的科茨系数 C k (k ? 0,1,..., n) 满足的两条性质是

. 10.用牛顿法求方程 f(x)=0 在[a,b]内的根,已知 f?(x)在[a,b]内不为 0,f?(x)在[a,b]内 不变号, 那么选择初始值 x0 满足 , 则它的迭代解数列一定收敛到方程 f(x)=0
4

的根. 三、计算题(每小题 15 分,共 60 分) 11.已知一组试验数据

xk yk

2 4

2.5 4.5

3 6

4 8

5 8.5

5.5 9

试用直线拟合这组数据. (计算过程保留 3 位小数) 12. 将区间[1,9]8 等分,试用复化梯形公式求积分

?

9

1

6 x ? 5dx

的近似值,计算过程中保留 3 位小数. 13. 用 弦 截 法 求 方 程 x - sinx - 0.5=0 在 [1.4 , 1.6] 之 间 的 一 个 近 似 根 , 满 足 x k ?1 ? x k ? 0.01 ,计算过程保留 4 位小数. 14.用四阶龙格-库塔法求解初值问题

? y? ? y ? 1 ? ? y (0) ? 0 取 h=0.2, 求 x=0.2, 0.4 时的数值解. 要求写出由 h,xk,yk 直接计算 yk+1 的迭代公式. 计算过程保留 3 位小数. 已知四阶龙格-库塔法斜率值公式为

?1=f(xk,yk)

?2=f(xk+ h,yk+

1 2

h ?1) 2

?3=f(xk+ h,yk+

1 2

h ?2) 2

?4=f(xk+h,yk+h?3)

四、证明题(本题 10 分) 15. 证明解线性方程组 AX=b 的雅可比迭代收敛,其中

? 4 1 0? ? A= ? ?1 2 1 ? ? ?0 1 1 ? ?

答案 一、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. B 2.C 3.D 4. A 5.B 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 6. 0.55×10 和对称性)
-2

( k ?1) 7. max a ik k ?i ? n

8. -2.4

9.

?C
k ?0

n

(n) k

(n) (n) ? 1; C k ? Cn ? k (或归一性

10. f ( x 0 ) f ??( x 0 ) ? 0 (或 f(x0)与 f?(x0)同号)

三、计算题(每小题 15 分,共 60 分) 11. 设直线 y=a0+a1x,那么 a0,a1 满足的法方程组公式为

? yk ?a 0 n ? a1 x k ? ? 2 x k ? a1 x k ? xk y k ? ?a 0 代入数据,经计算得到法方程组为 ?6a 0 ? 22a1 ? 40 ? ?22a 0 ? 90.5a1 ? 161.25 解得 a0=1.229 a1=1.483 所求直线方程为 y=1.229+1.483x

?

?

?

?

?

(3 分)

(9 分) (14 分) (15 分)
5

12. 计算列表

k
0 1 2 3 4 5 6 7 8

xk
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f ( xk ) ? 6x ? 5
1.000 2.646 3.606 4.359 5.000 5.568 6.083 6.557 7.000 (8 分)

h=1, 用梯形公式 7 9 h 6 x ? 5dx ? [ f ( x 0 ) ? f ( x8 ) ? 2 f ( x k )] (12分) 1 2 k ?1 1 ? ? [1 ? 7 ? 2(2.646 ? 3.606 ? 4.359 ? 5.000 ? 5.568 ? 6.083 ? 6.557)] 2

?

?

=37.819 故 f(x)=0 在[1.4, 1.6]内有根. 分) 弦截法的公式为: x n ?1 ? x n ?

(15 分) (3

13. 设 f(x)=x-sinx-0.5,取 x 0 ? 1.4, x1 ? 1.6 ,f(1.4)=-0.085 5<0, f(1.6)=0.100 4>0,

f ( xn ) ( x n ? x n ?1 ) f ( x n ) ? f ( x n ?1 ) (n=1,2,…)
(7 分)

于是,代入函数 f(x),本题有迭代公式

x n ? sin x n ? 0.5 ( x n ? x n ?1 ) x n ? x n ?1 ? sin x n ? sin x n ?1 1.6 ? sin 1.6 ? 0.5 x 2 ? 1.6 ? (1.6 ? 1.4) ? 1.491 9 1.6 ? 1.4 ? sin 1.6 ? sin 1.4 x 2 ? x1 ? 0.1 08 1,不满足精度要求. x n ?1 ? x n ?
当 n=2 时,

(11 分)

1.4919 ? sin 1.4919 ? 0.5 (1.4919 ? 1.6) ? 1.4970 x3 ? x 2 ? 0.0051 , 满 1.4919 ? 1.6 ? sin 1.4919 ? sin 1.6 足精度要求. 所求方程的解为 x*?1.4970 (15 分) 14.?1=f(xk,yk)=1-yk 1 h 0.2 ?2=f(xk+ h,yk+ ?1)=1- y k ? ? 1 =0.9(1-yk) 2 2 2 1 h 0.2 ?3=f(xk+ h,yk+ ?2)= 1 ? y k ? ? 2 =0.91(1-yk) 2 2 2 ?4=f(xk+h,yk+h?3)= 1 ? y k ? 0 . 2? 3 =0.818(1-yk) (5 分) h 代入公式 y k ?1 ? y k ? (? 1 ? 2? 2 ? 2? 3 ? ? 4 ) 6 0.2 = yk ? [(1 ? y k ? 2 ? 0.9(1 ? y k ) ? 2 ? 0.91(1 ? y k ) ? 0.818(1 ? y k )] 6 = y k ? 0.181(1 ? y k ) ? 0.181 ? 0.819 y k (10 分) x3 ? 1.4919 ?

6

于是有

y(0.1)?y1 ? 0.181 ? 0.819 ? 0 ? 0.181 y(0.2)?y ? 0.181 ? 0.819 ? 0.181 =0.329
四、证明题(本题 10 分) 15. 由该线性方程组的系数矩阵 A 得其雅可比迭代矩阵为

(15 分)

? 0.25 0 ? ? 0 ? B0= ?? 0.5 0 ? 0.5? ? ? ? 0 ? 1 0 ? ? 求矩阵 B0 的特征根,解 ? 0.25 0 0.5 ? 0.5 0 1 ? ? ? (? 2 ? 0.5) ? 0.25 ? 0.5? ? ? (? 2 ? 0.625) ? 0 解得特征根: ?1 ? 0, ? 2 ? ?0.79, ? 3 ? 0.79 .
因为所有 ? k ? 1 ,由定理 4 可知,该线性方程组的雅可比迭代收敛.

(4 分)

(8 分) (10 分)

计算方法试题(二)
一、填空 1,设 x ? 3.6716 , x ? 3.671, 则 x 有__________位有效数字
* *
* * er ? x ? 4 . 5621 2, 是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差 __________ f ( a ? h) ? f ( a ? h) f ?(a ) ? ??? ? 2h 3, 设 f ( x ) 存在,且计算 f ( a ) 的数值公式为 ,则误差为

________________

?1 ? 2 4? ? A?? ?1 3 6 ? , A? ? ? ?2 0 1 ? ? ,则 A 1 ? 4,设 ( x , y ) (i ? 1,2, ? , n) 拟建立模型 y ? a ? bx ? cx 2 ,则 a , b , c 满足的正规方程组 5, 对点 i i
为______________________ 6,设 X 为线性方程组 Ax ? b 的解,若对迭代公式 X
* ( k ?1)

则由迭代公式得到的序列 X

?

(k )

?满足

? MX ( k ) ? f 有 M ? q ? 1 ,

X (k ) ? X * ?

______________

p ( xi ) ? f ( xi ) , (i ? 0,1,2) ;又设 二、设 f ( ?2) ? ?1 , f (0) ? 3 , f ( 2) ? 1 ,求 p ( x ) 使

f ???( x) ? M

,则估计余项 r ( x ) ? f ( x ) ? p ( x ) 的大小 。

三、设 f ( ?1) ? 1 , f ( ?0.5) ? 3 , f (0) ? 5 , f (0.5) ? 6 , f (1) ? 2 ,试用复合梯形公式计算

?

1 ?1

f ( x ) dx

,若有常数 M 使

f ?? ? M

,则估计复合梯形公式的整体截断误差。

四、设有线性方程组 Ax ? b ,其中

7

?1 3 5 ? ? 2? ? ? ? ? A ? ?3 10 15 ? , b ? ? 8 ? ?5? ? ?5 15 30? ? ? ?
(1)求 A=LU 分解; (2) 求方程组的解 五、设有线性方程组 Ax ? b ,其中

2? ?1 ? 2 ? A ? ?? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 1 ? ?
试讨论简单(Jacobi)迭代法和 Seidel 迭代法的收敛性。 六、设有方程 x ? 3 x ? 35 ? 0 ,试确定一个含实根的区间,在该区间内取一个初始值 写出牛顿迭代公式,并说明迭代公式的收敛性。
4 3

x0

七、设

I n ? ? x n e x ?1 dx
0

1

,设计一个计算

I 10

的算法,并说明你的算法的合理性。

计算方法试题(三)
一、填空
* x ?x ? 1, 设 x ? 3.6573 是经四舍五入得到的近似值,则 ___________
*

2,设 f ( x ) ? 0 , 则由梯形公式计算的近似值 T 和定积分 为___________

??

I ? ? f ( x ) dx
a

b

的值的大小关系

1, 2, 3] ? ___________ 3, 设 f (0) ? 1 , f (1) ? 2 , f (2) ? 5 , f (3) ? 1 , 则 f [0,
1 y? ( x , y ) ( i ? 1 , 2 , ? , n ) a ? bx ,则 a,b 满足的正规方程组为 4,对点 i i 拟建立模型
______________________ 5, 牛顿—柯特斯求积公式的系数 C 2
( 3)

? ___________

x 6,设 x ? (3 , ? 2 , 6 ) ,则

1

?
2

___________,

x

2

?

___________

7, 设 x 的相对误差为 ? ,则 x 的相对误差为___________ 8,求方程 f ( x ) ? 0 根的牛顿迭代公式为________________________________

p ( xi ) ? f ( xi ) ( i ? 0 , 1 , 2) ; 二、设 f ( ?1) ? 1 , f (0) ? 12 , f (1) ? 6 ,求 p ( x ) 使
又设

f ???( x) ? M

,则估计余项 r ( x ) ? f ( x ) ? p ( x ) 的大小 。

三、 设 f ( ?2) ? 1 , f ( ?1) ? 3 , f (0) ? 6 , f (1) ? 5 , f (2) ? 2 , 则用复合 Simpson 公式计算

?

2 ?2

f ( x ) dx

,若有常数 M 使

f

( 4)

?M

,则估计复合 Simpson 公式的整体截断误差。

四、用列选主元素法求方程组 Ax ? b 的解,其中

8

5? ? ? 1? ? ? ? 3 6 ? , b ? ??1 ? ?16 ? 4 ? 8? ? ? ? Ax ? b 五、设有线性方程组 ,试讨论简单(Jacobi)迭代法和 Seidel 迭代法的收敛性。 1 1 ? ? ?1 2 2 ? ? ? 1 1? ? A? 1 ?2 2? ?1 ? 1 ? 1? ? ? 2 ?2 ? 其中 ?1 A?? ?2 ? ?4 3
六、给定求积公式

?

h

?h

f ( x)dx ? af (?h) ? bf (0) ? cf (h)

试确定 a, b, c 使它的代数精度尽可能高。

lim 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
n ??

七、试用迭代法证明:

计算方法试题(四)
1.已知 x ? 0.8729, x* ? 0.87 ,用二种方法确定 x * 有几位有效数字。 2.求 x ,使 3.141 和 3.142 作为 x 的近似值都具有 4 位有效数字。 (提示: x ?

3.141 ? 3.142 ) 2 x 进行插值)

3.不用开方,求 120 的近似值。 (提示:取 x 0 ? 100, x1 ? 121, x 2 ? 144 ,对 y ? 4.由下表求插值多项式,并求插值余项

x y y?

0 1

1 3 2

(提示:是非标准的 H 插值) 5.求证:一个次数 ? n 的多项式,它的 n 次 L-插值多项式就是它本身。 6.计算

?

3 dx, ? ? 10 ? 2 01? x2
1

(提示:用变步长复化梯形公式或用龙贝格算法)
2

7.确定梯形公式的代数精度(提示:①写公式;②令 x ? 1, x, x , ? 进行判定) 8.证明辛甫生公式可精确计算定积分 (3 x ? 6 x ? 5 x ? 7)dx
3 2 a

?

b

(提示:证辛甫生公式的代数精度至少 3 次) 9.对于定积分

?

b a

f ( x)dx ,取求积节点为 a 和 b ,用二种方法构造求积公式。

9

(提示:方法一代数精度法;方法二插值型求积公式) 10.用改进的尤拉法计算 ?
3

? y ?( x) ? x ? y, 0 ? x ? 1, h ? 0.5 ? y ( 0) ? 1
?2

11.求方程 x ? 5 x ? 1 ? 0 在 3 附近的近似根, ? ? 10
3



(提示:用牛顿法)

12.求解方程 x ? x ? 1 ? 0 在 1.5 附近的近似根,要求精确到小数点后第二位。 (提示: ? ?

1 * 10 ? 2 ) 2

练习 1.已知 y ? 81.208, y* ? 81.21 ,问:(1) y * 精确到小数点后第几位;(2) y * 有几位 有效数字。 (提示:按精度的定义,答案: y * 精确到小数点后第二位,它有 4 位有效数字) 2.由下表用二种方法求插值多项式,并求插值余项。

x y
n

0 2

1 -1

2 1

(提示:方法一待定系数法;方法二待定函数法) 3.求证:

? L ( x) ? 1
i ?0 i 1

(提示:用证多项式恒等的方法)

4.求证:求积公式 (提示:证明 Ai ?

2? 2 2 ? f ( x ) dx ? f ( ? ) ? f ( 0 ) ? f ( )? 是插值型求积公式。 ? ? ?1 3? 2 2 ?

?

1 ?1

Li ( x)dx, i ? 0, 1, 2 )

5.求证:代数精度法构造的求积公式与插值型求积公式是一回事。 (提示:证明二种公式都具有相同的代数精度,因此它们的系数是同一方程组的解) 6.用尤拉法计算 ?

? y?( x) ? ? y ? x ? 1, 0 ? x ? 1, h ? 0.25 (提示:计算 y1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ? y (0) ? 1

计算方法试题(五)
一、填空题(30 分,每空 3 分) 1、为了使 29 的近似数的相对误差不超过 0.1%,则至少要取 2、当 x ?? 1 时,为减少舍入误差的影响,应将表达式 1 ? cos x 改写为
3

位有效数字. .

3、设 f ( x) ? C[0,2] ,已知节点 x0 ? 0, x1 ? 1, x2 ? 2, ,其相应的函数值为 f ( x) ? ?2, ?1,2 ,则

f ( x) 的 二 次 Lagrange 插 值 多 项 式 p2 (x) = . R2 ( x) ?
4 、 若 f ( x) ? 5 x
0 1 32 32

,插值余项

? x19 ? 1 , 则 f ( x) 的 一 阶 差 商 f [0,1] ?

, 32 阶 差 商

. f [3 ,3 , ? ,3 ] ? ?1 2 ? 5、设 A ? ? , Cond ( A)1 ? . ? ,则 A ? ? ?3 7 ? 3 6、用对分区间法求 f ( x) ? 2 x ? 5 x ? 1 =0 在 [1,3] 内的实根时,进行一步后根所在的区间
10

为 ,进行二步后根所在的区间为 二、已知测量数据:

. 4 11 6 28 8 40

xi yi

2 2

试用最小二乘法求经验直线 y ? a0 ? a1 x . 三、确定下列求积公式中的参数,使其代数精度尽量高,并指出其所达 到的代数精度:

?

1

?1

f ( x)dx ? A[ f (?1) ? 2 f ( x1 ) ? 3 f ( x2 )]

四、讨论分别用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法求解下列方程组的收敛性:

? 2 x1 ? x2 ? x3 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? 1 ?x ? x ? 2x ? 3 3 ? 1 2
五、用简单迭代法求方程 ln x ? x ? 2 ? 0 在 3 附近的实根,并分析所用的迭代格式是收敛 的.(结果精确到 5 位小数)

计算方法试题及解答(六)
一、 填空题(每空 2 分,共 20 分) 1、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法具有 _______收敛 2、 迭代过程 (k=1,2,…)收敛的充要条件是 ___

3、 已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽 x 具有的有效数字是___ 4、 高斯--塞尔德迭代法解线性方程组

的迭代格式中求

______________

5、 通过四个互异节点的插值多项式 p(x),只要满足_______, 则 p(x)是不超过二次 的多项式

6、 对于 n+1 个节点的插值求积公式 精度.

至少具有___次代数

11

7、插值型求积公式

的求积系数之和

___

8、 值范围___

,为使 A 可分解为 A=LL , 其中 L 为对角线元素为正的下三角形, a 的取

T

9、若

则矩阵 A 的谱半径

(A)= ___

10、解常微分方程初值问题

的梯形格式 是___阶方法

二、 计算题(每小题 15 分,共 60 分) 1、 用列主元消去法解线性方程组

2、 已知 y=f(x)的数据如下 x f(x) 0 1 2 3 3 2 及 f(2.5) 的公式,并计算 ,要求迭代误差不超过 。

求二次插值多项式 3、用牛顿法导出计算

4、 欧拉预报--校正公式求解初值问题

取步长 k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留 5 位. 三、证明题 (20 分 ,每题 10 分 )

1、 定积分近似计算的抛物线公式

12

具有三次代数精度

2、 若

,证明用梯形公式计算积分

所得结果比准确值大,并说明这

个结论的几何意义。 参考答案: 一、 填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 6、n 4、 7、b-a 8、

5、三阶均差为 0 9、 1 二、计算题 10、 二阶方法

1、

2、 3、 ≈1.25992 (精确到 4、y(0.2)≈0.01903 三、证明题 ,即保留小数点后 5 位)

1、证明:当

=1 时,公式左边: 公式右边: 左边==右边



=x 时

左边: 右边: 左边==右边





左边: 右边: 左边==右边





左边: 右边:
13

左边==右边

当 右边:



左边:



具有三次代数精度

2、证明:略

计算方法试题(七)
一.计算及推导(5*8) 1.已知 x* ? 3.141, x ? ? ,试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 2.有效数 x1 ? ?3.105, x2 ? 0.001, x3 ? 0.100 ,试确定 x1 ? x2 ? x3 的相对误差限。
* * * * * *

3.已知 f ( x) ? 0.5 x ? 0.1x ? 2 ,试计算差商 f ? 0,1, 2,3?
3

4.给出拟合三点 A ? (0,1), B ? (1, 0) 和 C ? (1,1) 的直线方程。 5.推导中矩形求积公式

?

b

a

f ( x)dx ? (b ? a ) f (

a?b 1 '' )? f (? )(b ? a )3 2 24

6.试证明插值型求积公式

?

b

a

f ( x)dx ? ? Ai f ( xi ) 的代数精确度至少是 n 次。
i ?0

n

7.已知非线性方程 x ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有一实根,试写出该实根的牛顿迭代公式。 8.用三角分解法求解线性方程组

? 1 2 1 ? ? x1 ? ? 0 ? ? 2 2 3? ? x ? ? ? 3? ? ?? 2? ? ? ? ? ?1 ?3 0 ? ?? ? x3 ? ? ? ?2? ?
二.给出下列函数值表

xi f ( xi )

0.4 0.38942

0.5 0.47943

0.6 0.56464

0.7 0.64422

0.8 0.71736

要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值,试选择合适的插值节点进行计算,并说明 所选用节点依据。(保留 5 位有效数字)(12 分) 三. 已知方程 x ? ln x ? 0 在 (0,1) 内有一实根 ? (1)给出求该实根的一个迭代公式,试之对任意的初始近似 x0 ? (0,1) 迭代法都收敛,并 证明其收敛性。 (2) x0 ? 0.5 试用构造的迭代公式计算 ? 的近似值 xn ,要求 xn ? xn ?1 ? 10 。
?3

四. 设有方程组

? a 1 3 ? ? x1 ? ? b1 ? ? 1 a 2 ? ? x ? ? ?b ? ? ?? 2? ? 2? ? ? ?3 2 a ? ?? ? x3 ? ? ? ? b3 ? ?
(1) 当参数 a 满足什么条件时,雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 (2) 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。(12 分)
14

五.用欧拉预估校正法求解初值问题
' 2x ? (0 ? x ? 0.2) ?y ? y ? y ? ? y (0) ? 1 ?

取 h=0.1,小数点后保留 5 位。(8 分) 六.试证明复化梯形求积公式

?
一.填空(3*5)

b

a

n ?1 h f ( x)dx ? ( f ( x0 ) ? 2? f ( xi ) ? f ( xn )) 2 i ?1

h?

b?a n

对任意多的积分节点数 n+1,该公式都是数值稳定的。(6 分)

计算方法试题(八)
1.近似数 x ? 0.231 关于真值 x ? 0.229 有________位有效数字。
*

2. x 的相对误差为 x 的相对误差的_________倍。 3.设 f ( x) 可微,求 x ? f ( x) 根的牛顿迭代公式_________________________ 4.插值型求积公式

n

*

*

?

b

a

f ( x)dx ? ? Ai f ( xi ) 的代数精确度至少是____________次。
i ?0

n

5.拟合三点 A ? (1, 0), B ? (1,3) 和 C ? (2, 2) 的常函数是_____________ 二.已知 f ( x) 有如下的数据

xi f ( xi ) f ' ( xi )
的表达形式。 三.(1)用复化辛浦森公式计算 函数在多少个点上的函数值?

1 2

2 4 3

3 12

试写出满足插值条件 P ( xi ) ? f ( xi ) 以及 P '(2) ? f '(2) 的插值多项式 P ( x) ,并写出误差

? e dx 为了使所得的近似值有 6 位有效数字,问需要被积
x 0

1

(2)取 7 个等距节点(包括端点)用复化辛浦森公式计算 保留 4 位。
3

?

7

1

x 2 lg xdx ,小数点后至少

四.曲线 y ? x 与 y ? 1 ? x 在点(0.7,0.3)附近有一个交点 ( x , y ) ,试用牛顿迭代公式 计算 x 的近似值 xn ,要求 xn ? xn ?1 ? 10 五. 用雅可比方法解方程组
?3

?1 2 ?2 ? ? x1 ? ?5? ? 1 1 1 ? ? x ? ? ?1 ? ? ?? 2? ? ? ? ? 2 2 1 ? ?? ? x3 ? ? ? ? 3? ?
是否对任意的初始向量 x 取x
(0) T (0)

都收敛,为什么?
1?i ?3

? (0, 0, 0) ,求出解向量的近似向量,要求满足 max xi( k ?1) ? xi( k ) ? 10?6 。 ? y ' ? y 2 +1 ? ? y (0) ? 0

六.用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题

的解函数在 x ? 0.6 处的近似值,要求写出计算格式。(步长 h ? 0.3 ,小数点后保留 5 位有
15

效数字) 七.设有求解初值问题 ?

? y ' ? f ( x, y ) 的如下格式 ? y ( x0 ) ? y0

yn ?1 ? ayn ?1 ? byn ? chf ( xn , yn ) 如假设 yn ?1 ? y ( xn ?1 ), yn ? y ( xn ) 问常数 a, b, c 为多少时使得该格式为二阶格式?

计算方法试题(九)
一.填空(3*5) 1. 设 近 似 数 x1 ? 1.2250, x2 ? 0.5168 都 是 四 舍 五 入 得 到 的 , 则 相 对 误 差
* * * * er ( x1 x2 ) ? ______________。

2. 近似数 x ? 0.01999 关于真值 x ? 0.02000 有几位有效数字
* *

3. 取 3 ? 1.732 ,迭代过程 yn ?1 ? yn ? 0.1 3 是否稳定? 4. 求积公式

?

3

1

f ( x)dx ? 2 f (2) 有几次的代数精确度? 3.1 的 近 似 值 , 要 求 先 论 证 收 敛 性 。 当

二 . 取 初 值 x0 ? 1.6 , 用 牛 顿 迭 代 法 求

xn ?1 ? xn ? 10?5 时停止迭代。
三.用最小二乘法确定 y ? a

1 ? bx 2 中的常数 a 和 b,使该曲线拟合于下面的四个点(1, x

1.01)(2,7.04)(3,17.67)(4,31.74) (计算结果保留到小数点后 4 位)

? 9 x1 ? 2 x2 ? x3 ? 6 ? 四.考察用高斯赛德尔迭代法解方程组 ? ? x1 ? 8 x2 ? x3 ? 8 ?? x ? x ? 8 x ? ?8 3 ? 1 2
收敛性,并取 x
(0)

? (1, 0, 0)T ,求近似解 x ( k ?1) ,使得 xi( k ?1) ? xi( k ) ? 10?3 (i=1,2,3) xi ?1.12 0.00 1.80 2.20 f ( xi ) ?1.10 ?0.50 0.90 1.70

五.已知单调连续函数 y ? f ( x) 的如下数据

用插值法求方程 f ( x) ? 0 在区间(0.00,1.80)内根的近似值。(小数点后至少保留 4 位) 六.设有积分 I ?

?

1

0

dx 取 5 个等距节点(包括端点),列出被积函数在这些节点上的函 4? x

数值表(小数点后至少保留 4 位) 用复化的 simpson 公式求该积分的近似值,并且由截断误差公式估计误差大小。

? ' x ?y ? ? 0 y 七.给定初值问题 ? ? y (0) ? 0 ?

1 ? x ? 1.4

写出 Euler 预估校正格式 取步长为 0.2,计算在 1.4 处的函数的近似值。

16

计算方法试题及解答(十)
一、 填空 1.近似数 x ? 0.0142 关于真值 x ? 0.0139 有__为有效数字。
* 1

2.适当选择求积节点和系数,则求积公式 达到______次.

?

?1

f ( x)dx ? ? Ak f ( x k ) 的代数精确度最高可以
k ?1 * *

n

3.设近似数 x1 ? 0.0235 , x 2 ? 2.5160 都是四舍五入得到的,则相对误差 er ( x1 x 2 ) 的
* *

相对误差限______ 4. 近似值 y ? x 的相对误差为 er ( x ) 的____ 倍。 5. 拟合三点 A(0,1), B(1,3),C(2,2)的平行于 y 轴的直线方程为_____.。
* 5 * *

二、 用迭代法求方程 x ? 2 xe ? e
2 x 2

2x

? 0 在(-1,0)内的重根的近似值 x n ?1 。要求 1)说
?4

明所用的方法为什么收敛;2)误差小于 10

时迭代结束。

三、用最小二乘法确定 y ? ax ? b ln x 中的 a 和 b ,使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后 4 位) 四、设函数有二阶连续导数,在一些点上的值如下

xi f ( xi )

1.0 0.01

1.1 0.11

1.2 0.24
''

写出中心差分表示的二阶三点微分公式,并由此计算 f (1.1) 。 五、 已知五阶连续可导函数 y ? f ( x) 的如下数据

xi f ( xi ) f ' ( xi ) f ' ' ( xi )

0 0 0 0

1 1 1

试求满足插值条件的四次多项式 p ( x). 六、设有如下的常微分方程初值问题

? dy x ? ? ,1 ? x ? 1.4 ? dx y ? y (1) ? 1 ?
1) 写出每步用欧拉法预估,用梯形法进行一次校正的计算格式。 2) 取步长 0.2 用上述格式求解。 七、 设有积分 I ?
0.6

?

0

e x dx

2

1)取 7 个等距节点(包括端点),列出被积函数在这些点出的值(保留到小数点后 4 位) 2)用复化 simpson 公式求该积分的近似值。 八、 用 LU 分解法求解线性代数方程组

?1 1 ? ?0 2 ?1 ? 1 ? ?2 2 ?

2 1 2 5

3 ?? x1 ? ? 3 ? ?? ? ? ? 2 ?? x 2 ? ? 1 ? ? 2 ?? x3 ? ? 3 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 9? ?? x 4 ? ? 7 ?
2 ?4

九、当常数 c 取合适的值时,两条抛物线 y ? x ? x ? c 与 y ? 2 x 就在某点相切,试取 出试点 x 0 ? 0.3 ,用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于 10
17

时迭代结束。

参考答案; 1: (1)2,
x

(2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3
x 2

(4)1/5 (5) x=1

2 解:将方程变形为 ( x ? e ) ? 0 即求 x ? e ? 0 在(-1,0)内的根的近似值 x n ?1 牛顿迭代格式为

x n ?1 ? x n ?

x n ? e xn 1 ? e xn

收敛性证明; 局部收敛定理 结果 x 4 ? ?0.56714 。 3 用最小二乘法 正则方程组为

? 61.125a ? 9.41165b ? 65.86 解得 a=1.0072; b=0.4563 ? ?9.41165 a ? 1.48446 ? 10.1586
4.解 推导中心差分格式

f '' ( x1 ) ?
得到 f (1.1) ? 3
''

1 ( f ( x0 ? f ( x 2 ) ? 2 f ( x1 )) h2

5 解 截断误差 6

p ( x). ? ?2 x 4 ? 3 x 3 f (5) (? ) 3 x ( x ? 1) 2 5! y (1.2) ? 1.2; y (1.4) ? 1.4 R( x) ?
1 0
? 1 2

7 0.6805 8.(0 9.解 两条曲线求导

1)

y' ? 2 x ? 1 和 y' ? x
切点横坐标一定满足 2 x ? 1 = x 将等式变形为 牛顿迭代法 结果为 0.34781

?

1 2

计算方法试题(十一)
一.填空题 1. x 1 = 1.1,x 2 = 2.2, x 1 的误差限为 0.2, x 2 的误差限为 0.1,则 x 1?x 2 的误差限为 _____. 2. (迭代法收敛的充分条件)设线性方程组 AX=b,若____________________ _____,则雅可比迭代法和高斯?赛德尔迭代法收敛。 3. 二阶均差 f (x0, x 1, x2) = _________________________________. 4. 已知 n=3 时,科茨系数 C ?
( ?)

5. 四阶龙格?库塔方法中需要计算 f (x,y)的次数为___.

? ? ( ?) ? ( ?) =_________. ? , C?( ?) ? , C ? ? ,那么 C ? ? ? ?

二.单选题 1.x = 1.234, 有 3 位有效数字,则相对误差限 ? r ?( ). -1 -2 -3 (A).0.5×10 ; (B). 0.5×10 ; (C). 0.5×10 ; (D). 0.1×10 -2. 2.当 a (

??? x? ? x ? ? ?x? ? ?.? ? )时,线性方程组 ?? x? ? ? x ? ? ?x ? ? ?.? 的迭代解一定收敛. ?? x ? ? x ? ax ? ?.? ? ? ? ?
18

(A) >=6 (B) =6 (C) <6 (D) >6. 3.过点(x0,y0), (x1,y1),…,(x5,y5)的插值多项式 P(x)是( )次的多项式。 (A). 6 (B).5 (C).4 (D).3. 4.In = f (x 0) + f (x1) 在 [-1, 1]上至多具有( )次代数精度. (A).1; (B).2; (C).3; (D). 4. 5.求解初值问题 ?

? y ? ? f ( x, y ) 欧拉法的局部截断误差是( )。 ? y ( x? ) ? y ?
(C) O(h4) (D) O(h5)

(A) O(h2) (B) O(h3) 三.计算解答题

? 8 x1 ? x 2 ? 2 x3 ? 24 ? ? 4 x1 ? 11x 2 ? x3 ? 33 ?6 x ? 3 x ? 12 x ? 36 2 3 ? 1
⑴.说明方程组一定有迭代解; ⑵.取 X (0) = (0,0,0) T,写出高斯-塞德尔迭代的前两次迭代值 X (1),X (2). 2.若

?

1

?1

f (x) dx = A0 f (-1) +A1 f (0) +A2 f (1) 有二次代数精度,求 A0,A1,A2 。。

3.设方程为 x3+x2-11 = 0.如何判断在 [1,2]之间存在近似根。若用牛顿法求解,请指出初值 应取哪一个值,为什么? 4.已知微分方程

? ? y ?1 ?y ? x ? ? ? y (1) ? 0
取步长 h=0.2, 试用欧拉法求出满足已知微分方程和初始条件的函数 y 的前三个值。 练习

f ( x) ? 3 x 3 ? 1 计 算 函 数 f ( x) 的 2 阶 均 差 f [0, 1, 2] , 和 4 阶 均 差 f [0, 1, 2, 3, 4] . 1 1 1 二. 试确定求积公式: ? f ( x ) dx ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ' (0) ? f ' (1)] 的代数精度. 0 2 12 三. 设函数 f ( x ) 满足表中条件: 0 1 2 k xk 0 1 2 f ( xk ) 1 0 1 f ' ( xk ) -2 0
一.已知函数 (1) 填写均差计算表(标有*号处不填):

k
0 1 2

xk
0 1 2

f [ xk ]
1 0 1

f [ xk , xk ?1 ]
*** -1 1

f [ xk , xk ?1 , xk ? 2 ]
*** *** 1 2 次

(2) 分 别 求 出 满 足 条 件

L2 ( xk ) ? f ( xk ), N 2 ( xk ) ? f ( xk ), (k ? 0, 1, 2) 的

Lagrange 和 Newton 差值多项式.

19

(3) 求出一个四次插值多项式 H 4 ( x ) ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 四(1). 用 Romberg 方法计算

?

3

1

x dx ,将计算结果填入下表(*号处不填).

k
0 1 2 3

T2

k

S2

k ?1

C2

k ?2

R2

k ?3

*** 2.79306 2.79634 2.79734
1

*** *** 2.79740
2

*** *** ***

(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式

??1 f ( x)dx ? ? Ak f ( xk ) 的 Gauss 点 xk 与
k ?0

系数 Ak ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分:

?

3

1

x dx .

七. (1) 证明方程 x ? ln x ? 2 ? 0 在区间(1, ? )有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写 出 Newton 迭 代 公 式 , 并 计 算 此 单 根 的 近 似 值 .( 要 求 精 度 满 足 :

| xk ?1 ? xk |? 10 ?5 ).
? y ' ? f ( x, y ) 的计算格式为: ? y ( x0 ) ? y 0 y n ?1 ? y n ? h[af ( xn , y n ) ? bf ( xn ?1 , y n ?1 )] ,假设 y ( xn ) ? y n , y ( xn ?1 ) ? y n ?1 ,试确 3 定参数 a, b 的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: o( h ) .
八. 设求解初值问题 ?

计算方法试题(十二)
一、填空题:(每空 2 分,共 20 分) 1. Hermite 插值多项式余项为 (1) .

2. 矩阵特征值上界定理有不等式 ? ( A) (2) 4. 设 A 非奇异,则 Cond ( A) v ? (5)

A (填 ?, ?, 或 ? ).
阶.

3. n+1 个节点插值型求积公式的代数精确度至少是(3) 阶,最高是(4) . (6) . .

5. 设迭代法的迭代矩阵为 B,则迭代法收敛的充分必要条件是 6. 设 f ( x) 可微,求方程 f ( x) ? 0 根的牛顿迭代格式是 7. 乘幂法和反幂法可分别求出矩阵 A 的 (8) (7)

特征值和 (9)

特征值.

8.若求解常微分方程初值问题的数值方法相容,则其截断误差至少是(10) 阶精度. 二、(13 分)已知函数表

x
f ( x)

-1 0

0 -1

1 2

2 15

(1)求 f ( x ) 的三次 Lagrange 型插值多项式及其插值余项(要求化成最简形式)。 (2)求 f ( x ) 的 Newton 插值多项式(要求化成最简形式)。
20

三、(12 分) 讨论使 max |1 ? c( x ? a ) | 取最小值的 c 是否唯一。
a ? x ?b

四、(13 分) 已知

?2 1 2? ? A?? ?0 1 3? , 求 A ? ?6 1 2? ?
五、(12 分)设矩阵

1,

A

?

, A 的 LU 分解.

?1 A?? ??

2? , 1? ?
b a

求当 ? 为何值时,解线性方程组 Ax ? b 的 Gauss-Seidel 迭代法收敛。 六、(10 分) 叙述 m 阶代数精度的定义,写出求

?

f ( x) dx

的 Simpson 公式,并验证 Simpson 公式的代数精度为 3 阶。

计算方法试题(十三)
一.填空题 (每小题 4 分,共 20 分) 1、x 1 = 1.1,x 2 = 2.2, x 1 的误差限为 0.2, x 2 的误差限为 0.1,则 x 1?x 2 的误差限为 _____. 2、(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组 AX=b,若____________________ _____,则雅可比迭代法和高斯?赛德尔迭代法收敛。 3、 二阶均差 f (x0, x 1, x2) = _________________________________. 4、已知 n=3 时,科茨系数 C ?
( ?)

5、四阶龙格?库塔方法中需要计算 f (x,y)的次数为___. 二.单选题 (每小题 4 分,共 20 分) 1.x = 1.234, 有 3 位有效数字,则相对误差限 ? r ?( ). -1 -2 -3 (A).0.5×10 ; (B). 0.5×10 ; (C). 0.5×10 ; (D). 0.1×10 -2. 2.当 a (

? ? ( ?) ? ( ?) =_________. ? , C?( ?) ? , C ? ? ,那么 C ? ? ? ?

??? x? ? x ? ? ?x? ? ?.? ? )时,线性方程组 ?? x? ? ? x ? ? ?x ? ? ?.? 的迭代解一定收敛. ?? x ? ? x ? ax ? ?.? ? ? ? ?
)次的多项式。

(A) >=6 (B) =6 (C) <6 (D) >6. 3.1.过点(x0,y0), (x1,y1),…,(x5,y5)的插值多项式 P(x)是不超过( (A). 6 (B).5 (C).4 (D).3. 4.In = f (x 0) + f (x1) 在 [-1, 1]上具有( )次代数精度. (A).1; (B).2; (C).3; (D). 4. 5.求解初值问题 ?

? y ? ? f ( x, y ) 欧拉法的局部截断误差是( )。 ? y ( x? ) ? y ?

(A) O(h2) (B) O(h3) (C) O(h4) (D) O(h5) 三.计算解答题 (每小题 15 分,共 60 分) 1. 8 x ? x ? 2 x ? 24

? 1 2 3 ? ? 4 x1 ? 11x 2 ? x3 ? 33 ?6 x ? 3 x ? 12 x ? 36 2 3 ? 1

21

⑴.说明方程组一定有迭代解; ⑵.取 X (0) = (0,0,0) T,写出高斯-塞德尔迭代的前两次迭代值 X (1),X (2). 2. 若

?

1

?1

f (x) dx = A0 f (-1) +A1 f (0) +A2 f (1) 有二次代数精度,求 A0,A1,A2



3.设方程为 x3+x2-11 = 0. ⑴. 如何判断在 [1,2]之间存在近似根。 若用牛顿法求解, 请指出初值应取哪一个值,为什么? ⑵. 请用牛顿法求出近似根,精确到 0.001。 4.已知微分方程

? ? y ?1 ?y ? x ? ? ? y (1) ? 0
取步长 h=0.2, 试用欧拉法求出满足已知微分方程和初始条件的函数 y 的前三个值。 计算方法模拟试卷及解答 一、单项选择题 1.用

22 作为 ? = 3.14159265…的近似值有几位有效数字?( ) 7

A.1 B.2 C.3 D.4 2.用 3.140 作为 ? = 3.14159265…的近似值有几位有效数字?( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知某有效数字为-0.0500,则它有几位有效数字?( ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 4. 用 2.72 作为 e = 2.71828…的近似值有几位有效数字?( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知某有效数字为 ? 5.00 ? 10 A. 1 B. 3
?2 ?2

,则它有几位有效数字?( C. 4 D. 5 )



6.已知某有效数字为 6.80 ? 10 ,则它有几位有效数字?( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.用秦九韶算法计算一元 n 次多项式需要作( )

D. n 次乘法运算 8. 在处理一个实际问题时,误差是不可避免的,通常可分类为四种误差,它们分别是模型 误差、观测误差、截断误差、舍入误差。“计算方法”这门课程主要涉及( ) A. 模型误差和观测误差 B. 模型误差和舍入误差 C. 观测误差和截断误 D. 截断误差和舍入误差 9. 在实际生活中,有些物理量难以直接测量,而是通过测量其他物理量,再根据有关公式 计算出来。例如矩形面积通常是通过测量长和宽再相乘得到。现测得某矩形场地的长为 (100 ? 0.5)m 、宽为 (50 ? 0.5)m ,则矩形场地面积的相对误差限约为( ) A. 1% B.1.5% C.2% D. 2.5% 10.下列有关二分法的说法中错误的是( ) A.二分法的主要优点是算法简单、可靠 B.二分法也可以用来求复根 C.二分法不适合求方程的偶数重根 D.二分法的分析学依据是连续函数的零点定理 11. 下列关于数值计算中误差问题的说法中,正确的是( )
22

n(n ? 1) 次乘法运算 2 2 C. n 次乘法运算
A.

B. 2n 次乘法运算

A.现代计算机的高速度、大存储量使得计算过程零误差已经成为现实 B. 在现代计算机上运算可以做到没有误差,但浮点数的存储则不可避免带有误差 C.在现代计算机上存储可以做到没有误差,但涉及无穷级数求和运算时,则不可避免 带有误差 D.无穷级数使得计算机在运算中必有误差,而无理数的存在使得实数的存储也有误差 12.过 n ? 1 个互异插值节点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式分别记为 Ln ( x) 和

N n ( x) ,则( ) A. Ln ( x) 和 N n ( x) 其实是一回事,只是表示形式不一样 B. 两者有时相等,有时不相等,相等与否取决于 f ( x) 在插值节点上的函数值 C. 两者之间没有任何关系 D. Ln ( x) 恒大于 N n ( x) 13.设 p ( x) 为关于互异点 xi (i ? 0,1,..., n) 的插值多项式,下列说法中正确的是( ) A. 满足插值条件的多项式 p ( x) 存在并且往往不唯一 B. p ( x) 必为 n 次多项式 C. n 越大,则逼近效果越好 D. 拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式是 p ( x) 的两种不同表现形式而已,实际上是
同一个多项式 14. 已知某个过函数 f ( x) 的 5 个互异点的插值多项式 P ( x) 次数恰好为 2,则 f ( x) 的( A. 零阶差商为零 B. 一阶差商为零 C. 二阶差商为零 D. 三阶差商为零 15. 已知 f [ x 0 , x1 , x 2 ] ? 3 , f [ x1 , x 2 , x 4 ] ? 4 ,则 f [ x 4 , x1 , x 2 ] 为( A. 1 B.4 C. 7 D. 12 16. 设方程 f ( x) ? 0 同解于 g ( x) ? h( x) ,则 f ( x) ? 0 的根是( A. y ? g ( x) 与 y ? h( x) 的交点 C. y ? g ( x) 与 y ? h( x) 交点的横坐标 17. 下列关于机械求积 ) )



B. y ? g ( x) 与 y ? x 交点的横坐标 D. y ? h( x) 与 y ? x 交点的横坐标
n

?

b

a

f ( x)dx ? ? Ak f ( x k ) 的说法中正确的是( )
k ?0

A.求积系数 Ak 仅依赖于 f ( x) 的形式

B. 求积系数 Ak 仅依赖于求积节点 x k 的选取

C.求积系数 Ak 与求积节点 x k 的选取及 f ( x) 的形式均不相干 D.求积系数 Ak 与求积节点 x k 的选取及 f ( x) 的形式均有关系 18. 在下列有关龙贝格求积公式和高斯求积的说法中,不正确的是( ) A. 龙贝格求积公式其方法的实质是基于误差的事后估计式对近似值作修正(即误差补 偿),使之更接近于真值 B. 高斯求积公式不必是插值型求积公式 C. 高斯求积的优点是节点少、精度高;缺点是高斯点求解困难 D. 龙贝格公式仅适合于等距求积节点的情形 19.在下列有关线性方程组数值解法的说法中,不正确的是( ) A. 线性方程组的直接法适合求解低阶稠密矩阵阵 B. 线性方程组的迭代法适合大型稀疏矩阵 C. 追赶法的时间复杂度为 O ( n ) D. 高斯消去法的实质是将设法将原方程组同解于一个上三角方程组
2

?17 x1 ? 2 x 2 ? 3 x3 ? ?19.2 ? 20. 给定线性方程组 ? ? 2 x1 ? 8 x 2 ? 3 x3 ? 9.4 ,则( ) ? 2 x ? 4 x ? 27 x ? 19.5 2 3 ? 1
23

A. B. C. D.

雅可比迭代法收敛、高斯-赛德尔迭代法发散 雅可比迭代法发散、高斯-赛德尔迭代法收敛 雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法均收敛 雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法均发散

21. 辛甫生公式

?

b

a

f ( x)dx ?

b?a a?b [ f (a) ? f ( ) ? f (b)] 的代数精度为( ) 6 2

A.1 次 B.2 次 C.3 次 D.4 次 22.柯特斯公式(即四阶的牛顿-柯特斯公式)的代数精度为( ) A.2 次 B.3 次 C.4 次 D.5 次 二、填空题 1.测量某一木条长为 102.0cm ? 0.05cm,则该测量结果有 位有效数字。 2.测量某一木条长为 50cm ? 0.5cm,则该测量结果的绝对误差限为 。 3.已知某有效数字为-0.500,则它的相对误差限的上界为 。 4.用秦九韶算法计算一元 n 次多项式需要作 次乘法运算 5.过点(1,1)、(2,2)和(3,3)的拉格朗日插值多项式为 L2 ( x) ? _______________。(要 求将结果化为最简形式) 6.已知 f ( x) ? 2 x ? 5 ,则差商 f [1,2,3,4] ?
3


5

7. 已知 f ( x) ? 2 x ? 3 x ?
4 3

3

4 x ? 5 x ? 6 ,则差商 f [0,1, 2 , e, ? ] ? _____。
2 4

8. 梯形公式

?

b

a

f ( x)dx ?

b?a [ f (a ) ? f (b)] 具有 2

次代数精度。

? y ' ? 2x ,0 ? x ? 1 ,若取步长 h ? 0.1 ,则欧拉公式为_________________。 9.初值问题 ? ? y (0) ? 0
10.解非线性方程的弦截法与牛顿法相比,其特点是____________________________,从而 避免了计算导数值。

?? 1? ? ? ? ? 11.设 x ? 3 ,则 x 1 ? ? ? ?2? ? ?1 ? 2 0 ? ? 12.设 A ? 2 4 ? 3? ? ? ,则 A ? ?5 4 ? 1? ?
14. 设 f ( x) ? x
3



?



13.高斯消去法主要有两个环节,分别是

和回代过程。

, 取 步 长 h ? 0.1 , 则 计 算 f ' (3.0) 近 似 值 的 中 点 公 式 为

f ' (3.0) ? ___________________。(只要求给出表达式,不要求计算出结果)。 b b?a 15. 梯形公式 ? f ( x) dx ? [ f (a ) ? f (b)] 具有______次代数精度。 a 2 n x ? xj 16. 设 l k ( x) ? ? ( k ? 0,1,2,..., n ) 是互异节点 xi (i ? 0,1,2,..., n) 的拉格朗日插值 j ?k xk ? x j
j ?0

基函数,则

?l
k ?0

n

k

( x) ? _______。
2

17. 用 牛 顿 迭 代 法 求 解 f ( x) ? x ? 5 ? 0 在 x 0 ? 2 附 近 的 根 , 则 迭 代 格 式 为

x k ?1 ? ____________________________。
24

18. 已知 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 5 x ? 8 ,则差商 f [0,1,2, ? ,2009] ? _____。
5 3

19. 已 知 f [ x 0 , x1 , x 2 ] ? 1 , f [ x1 , x 2 , x 4 ] ? 2 , f [ x 2 , x3 , x 4 ] ? 3 , 则 f [ x 4 , x1 , x 2 ] = 。

20. 两点高斯求积公式

?

1

?1

f ( x)dx ? f (?

1 3

)? f(

1 3

) 具有______次代数精度。
阶。

21. 牛顿迭代法求方程的单根时,收敛速度为

?1 ? 2 0 ? ? 22. 设 A ? 2 4 ? 3? ? ? ,则 A 1 ? ?5 4 ? 1? ?
三、判断改错题



1.用计算机求解现实中复杂的工程问题时误差往往是不可避免的。(

) )

2.数值稳定的算法是指在计算过程中舍入误差对计算结果影响不大的算法。( 3.插值多项式的次数越高,其逼近效果越好。( ) )

4.辛甫生公式(即二阶牛顿-柯特斯公式)具有 2 次代数精度。( 5.牛顿迭代法求方程的单根时线性收敛。( )

6.现代高科技使得我们对物理量(比如长度)的测量可以做到完全精确。( 7.机械求积方法



?

b

a

f ( x)dx ? ? Ak f ( x k ) 中,求积系数 Ak 与求积节点 x k 的选取及 f ( x) 的
k ?0

n

形式均有关系。(

) )

8.四阶的柯特斯公式具有五次代数精度。(

9.龙格-库塔方法的设计思想是设法在 [ x n , x n ?1 ] 内多预报几个点的斜率值, 用它们的加权平 均作为 [ x n , x n ?1 ] 上平均斜率 K 的近似值。(
*



10.龙贝格求积公式其方法的实质是基于误差的事后估计式对近似值作修正 (即误差补偿) , 使之更接近于真值。( 11.机械求积 )

?

b

a

f ( x)dx ? ? Ak f ( x k ) 的思想本质是在 [a, b] 取若干节点,用它们函数值的
k ?0

n

加权平均作为 [ a, b] 上平均高度 f (? ) 的近似。(

) )

12.牛顿迭代法求方程的根时,不管是单根还是重根均是平方阶收敛。( 13.牛顿迭代法求方程的根时,对初值 x 0 很敏感。(
25



14.对于任一个线性方程组,高斯-赛德尔迭代法的计算效果总是比雅可比迭代法好。( 四、简答题 1.简述误差的四种主要来源。2.简述减少误差的有效途径(至少 4 条)。 3.若 x ?? 10 ,则应该如何计算
3



x ? 1 ? x ? 1 才能使结果较为精确。

五、计算题 1.用二分法求方程 f ( x) ? x ? x ? 1 ? 0 在[1,2]内的近似根,要求精确到小数点后面第 2
3

位。 2.用二分法求方程 f ( x) ? x ? 10 ? 0 在[3,4]内的近似根,要求误差不超过
2 5 4 2

1 ? 10 ?1 。 2

3.用秦九韶算法求 f ( x) ? x ? 3 x ? 4 x ? x ? 1 在 x ? 2 处的函数值 f ( 2) 。 4.给定数据如下表: 3 6 11 试求出二次牛顿插值多项式,并用它求出 f ( 2.5) 的近似值。 5. 将区间四等分,利用复化梯形公式计算

x f ( x)

1

2

3

?

1

0

e ? x dx 的近似值。

2

? x1 ? 3 x 2 ? 2 x3 ? 1 ? 6. 用高斯消去法求解线性方程组 ? x1 ? x 2 ? x3 ? 6 ?2 x ? 2 x ? x ? 1 2 3 ? 1 7. 用最小二乘法求形如 y ? a ? bx 的经验公式,使它与下列数据拟合: x 1 2 3 y 3.1 5.1 7.1
要求结果保留 2 位有效数字。 8、设 f ( x) 充分光滑, f ( a ) ? f (b) ? 0 ,求证: max f ( x) ?
a ? x ?b '

(b ? a ) 2 max f " ( x) a ? x ?b 8

? y ? 3x ,0 ? x ? 1 ,取步长 h ? 0.2 。 ? y (0) ? 0 1 sin x 10. 将区间四等分,利用复化梯形公式计算 ? dx 的近似值。(提示:计算时 x ? 0 处 0 x sin x 的函数值定义为 f (0) ? lim ? 1) x ? ?0 x
9. 用欧拉方法求解初值问题 ? 计算方法模拟试卷答案 一、单项选择题 CABCB BDDBB DADDB CBBCC CD 二、填空题 1. 4 2. 0.5 ㎝ 3. 0.1% 4. n 5. x 6. 2 9. y n ?1 ? y n ? 0.2 x n ( n ? 0,1,2,...9) 10. 用差商代替导数 12. 10 17. 13. 消元过程 14.

7. 2 8. 1 11. 6 16. 1

3.13 ? 2.9 3 0.2
19. 2

15. 1 20. 3

1 5 ( xk ? ) , 2 xk

k ? 0,1,2,... 18. 0
26

21.平方(或 2) 22. 10 三、判断改错题 1.√ 2. √ 3. × 插值多项式的次数过高可能出现龙格现象,整体的逼近效果反而变差。 4. × 辛甫生公式(即二阶牛顿-柯特斯公式)具有 3 次代数精度。 5. × 牛顿迭代法求方程的单根时平方阶收敛。6. × 测量误差难以避免 7. × 机械求积方法

?

b

a

f ( x)dx ? ? Ak f ( x k ) 中,求积系数 Ak 仅依赖于求积节点 x k 的选
k ?0

n

取,与 f ( x) 的形式无关

8. √

9. √10. √

11. √

12. × 牛顿迭代法求方程的根时,在单根处平方阶收敛,在重根处线性阶收敛。13. √ 14. × 大多数情况下,高斯-赛德尔迭代法的计算效果比雅可比迭代法好,但并不总是如 四、简答题 1. 答:模型误差、测量误差、截断误差和舍入误差 2. 答:①使用数值稳定的计算公式;②避免两相近数相减;③避免用绝对值很大的数作乘 数或绝对值很小的数作除数;④避免两个悬殊太大的数作加减运算,防止“大数吃掉小 数”;⑤简化计算,减少运算次数。 3. 答:注意到:当 x ?? 10
3

时,

x ? 1 ? x ? 1 。按照避免两相近数相减的原则,最好 ? 2 x ?1 ? x ?1

不去直接相减,这里可以用分子有理化技术来处理:

x ?1 ? x ?1 ?
五、计算题

( x ? 1 ? x ? 1)( x ? 1 ? x ? 1) x ?1 ? x ?1
*

1. 解:首先预估二分次数,由 x ? x k ?

即 k ? log 2 100 ? 6.64 ,取 k ? 7 ,至多二分 7 次,即可达到所要求的精度。计算过程 见下表:

2 ?1 1 b?a ? ? 得: k ?1 ? ? 10? 2 ,即 2 k ? 100 , k ?1 2 2 2

k
0 1 2 3 4 5 6 7

a k ( f (a k ) 符号)
1(-) 1(-) 1.25(-) 1.25(-) 1.3125(-) 1.3125(-) 1.3125(-) 1.3203125(-)

bk ( f (bk ) 符号)
2(+) 1.5(+) 1.5(+) 1.375(+) 1.375(+) 1.34375(+) 1.328125(+) 1.328125(+)

x k ( f ( x k ) 符号)
1.5(+) 1.25(-) 1.375(+) 1.3125(-) 1.34375(+) 1.328125(+) 1.3203125(-) 1.32421875

x7 ? 1.32421875 即为满足精度要求的近似根。 b?a 知, 2 k ?1 b?a * 欲满足精度要求 x ? x k ? ? ,只需 k ?1 ? ? 2 1 4?3 1 将 a = 3, b = 4, ? = ? 10 ?1 代 入 得 : k ?1 ? ? 10 ?1 , 即 2 k ? 10 , 即 2 2 2 k ? log 2 10 ? 3.322 ,取 k ? 4 ,至多二分 4 次,即可取得所要求的精度的近似根。
2. 解:首先预估二分次数,由误差估计式 x ? x k ?
*

计算过程见下表:

k

a k ( f (a k ) 符号)
27

bk ( f (bk ) 符号)

x k ( f ( x k ) 符号)

0 1 2 3 4

3(-) 3.5(-) 3.5(-) 3.5(-) 3.5625(-)

4(+) 4(+) 3.75(+) 3.625(+) 3.625(+)

3.5(-) 3.75(+) 3.625(+) 3.5625(-) 3.59375(-) 秦九

x 4 ? 3.59375 即为满足精度要求的近似根。 5 4 3 2 3. 解:将 f ( x) 写成 x 的降幂排列形式: f ( x) ? x ? 2 x ? 0 ? x ? 0 ? x ? 5 x ? 2
韶算法的计算格式如下:(5 分) 1 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 -2 10 8

x?2
得 f ( 2) ? 8 1

4. 解:差商形式的牛顿插值多项式如下:

N 2 ( x) ? f ( x0 ) ? f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) ? f [ x0 , x1 , x 2 ]( x ? x0 )( x ? x1 )
差商表计算如下:

xk
1 2 3 故二次牛顿插值多项式为:

f ( xk )
3 6 11

f [ x k , x k ?1 ]
3 5

f [ x k , x k ?1 , x k ? 2 ]

1

N 2 ( x) ? 3 ? 3( x ? 1) ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? x 2 ? 2 将 x ? 2.5 ,代入得 f ( 2.5) 的近似值: f ( 2.5) ? N 2 ( 2.5) ? 8.25
注:由于本题为等距节点,故也可用差分形式的牛顿插值多项式来计算。 5. 解:复化梯形公式为 Tn ?
n ?1 2 h [ f (a ) ? 2? f ( x k ) ? f (b)] ,这里 f ( x) ? e ? x , a ? 0 , 2 k ?1 b?a 1 ? ? 0.25 。(2 分) 计算中用到的各点函数值如下表: b ? 1 , n ? 4 ,步长 h ? n 4 k 0 1 2 3 4 xk 0 0.25 0.5 0.75 1 f ( xk ) 1 0.9394 0.7788 0.5698 0.3679

将表中数据代入得:

T4 ?

0.25 { f (0) ? 2 ? [ f (0.25) ? f (0.5) ? f (0.75)] ? f (1)} 2 ? 0.125 ? [1 ? 2 ? (0.9394 ? 0.7788 ? 0.5698) ? 0.3679] ? 0.7430 ?1 3 ? 2 1 ? ?1 )r ?0 ? 2 3 ? ?(? 2 2 5 ?? ? ? ? ?0 ? 8 5 ? 1? ? ?1 3 ? 2 1 ? ?0 1 ? 3 ? 5 ? 2 2? ? ? ? 0 ? 8 5 ? 1 ? ?

从而

?e
0

1

? x2

dx ? 0.7430

?1 3 ? 2 1 ? r ? r 2 1 ? ? ?r? 3 ?2r 1 6、解: 1 1 1 6 ? ? ? ? ? ?2 ? 2 1 1? ?

28

?1 3 ? 2 1 ? ?0 1 ? 3 ? 5 ? 2 2? ? ? 3? ?0 0 1 ? ? T 用回代法解之得: x3 ? 3 , x 2 ? 2 , x1 ? 1 。故方程组的解为 x ? (1,2,3)
r3 ?8 r2

1 ? ?1 3 ? 2 1r ? ? ?? 3 7 3 ???? ?0 1 ? 2 ? 5 ? 2 ? ?? ? ?0 0 ? 7 ? 21? ? ?

7. 解:线性拟合的正规方程组形式: ? 由表中数据求得: N ? 3 , 代入得

?x

i

? 6 , ? y i ? 15.3 , ? xi2 ? 14 , ? xi y i ? 34.6 ,

aN ? b? xi ? ? y i 2 ?a ? x i ? b ? x i ? ? x i y i

? 3a ? 6b ? 15.3 ? a ? 1.1 (2 分),解之得 ? ? ?6a ? 14b ? 34.6 ?b ? 2.0 故经验公式为: y ? 1.1 ? 2.0 x ? 8. 证明:首先由 f ( x) ? C [ a, b] (充分光滑)知, f ( x) 在 [ a, b] 上具有最大值和最小值,
并能取到最小值到最大值之间的任何值 (闭区间上连续函数的三大性质: 有界、 最值、 介值) 。 因此

max
a ? x ?b

f ( x) 存在。同理, max f " ( x) 也存在。
a ? x ?b

下 面 证 明 不 等 式 。 考 察 关 于 端 点 a 和 b 的 拉 格 朗 日 插 值 多 项 式 L1 ( x) , 显 然 由 条 件

f " (? ) ( x ? a )( x ? b) ,其中 ? ? [a, b] 2 f " (? ) f " (? ) 于是得: f ( x) ? ( x ? a )( x ? b) (1 分),立即推出 f ( x) ? ( x ? a )(b ? x) 2 2
又由拉格朗日余项定理知, f ( x) ? L1 ( x) ?

f (a ) ? f (b) ? 0 知, L1 ( x) ? 0 。

a?b 2 (b ? a ) 2 ? ( x ? a ) ? (b ? x) ? 由基本不等式 ab ? ( ) 知, ( x ? a )(b ? x) ? ? ? ? 2 2 4 ? ? 又显然有 f " (? ) ? max f " ( x) ,
a ? x ?b

2

(b ? a ) 2 两个不等式两边相乘再乘 得, f ( x) ? 8
1 2

max
a ? x ?b

f " ( x) f ( x) ? (b ? a ) 2 8

由于此不等式对一切 x ? [ a, b] 均成立,从而有: 证毕。 9. 解:欧拉折线法的递推式为:

max
a ? x ?b

max
a ? x ?b

f " ( x) 。

y n ?1 ? y n ? hf ( x n , y n ) ? y n ? 0.2 ? 3 x n ? y n ? 0.6 x n
(4 分) 由该递推公式得到的具体计算结果如下表:

,

n ? 0,1,2,...

xn yn

0 0

0.2 0
n ?1

0.4 0.12

0.6 0.36

0.8 0.72

1.0 1.2

10. 解:复化梯形公式为 Tn ?

h sin x ,a ? 0 , [ f (a ) ? 2? f ( x) ? f (b)] ,这里 f ( x) ? 2 x k ?1 b?a 1 ? ? 0.25 。(2 分) 计算中用到的各点函数值如下表: b ? 1 , n ? 4 ,步长 h ? n 4

29

k xk

0 0 1

1 0.25 0.9896

2 0.5 0.9589

3 0.75 0.9089

4 1 0.8415

f ( xk )
注意 f ( x) ?

sin x sin x 在 x ? 0 处无定义, 但根据极限 lim ? 1 知, x ? 0 为 f ( x) 的 x x x ? ?0 可去间断点,于是可以定义 f (0) ? 1 ,由数学分析知,这样做不会改变定积分的值。
将表中数据代入得:

T4 ?

0 .25 { f ( 0 ) ? 2 ? [ f ( 0 .25 ) ? f ( 0 .5) ? f ( 0 .75 )] ? f (1)} 2 ? 0 .125 ? [1 ? 2 ? ( 0 .9896 ? 0 .9589 ? 0 .9089 ) ? 0 .8415 ] ? 0 .9445

于是

?

sin x dx ? 0.9445 0 x
1

30


相关文章:
计算方法与实习(第五版)期末复习资料
计算方法与实习(第五版)期末复习资料_理学_高等教育_教育专区。《计算机在材料科学中的应用》习题课第一章 误差等概念 1. 误差来源:模型误差、观测误差、截断误差...
六下复习资料学生版
9页 1下载券 计算方法复习资料(学生版... 30页 2下载券喜欢此文档的还喜欢...六年级下册课文复习小学语文六年级下册课文复习要点 1 文言文两则 1.《学弈》...
概率复习(学生版)
概率复习(学生版) 第一部分是基础测试,着重查看学生基础是否全面扎实,对概率模型...这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查...
复习题(选择、计算)学生
复习题(选择、计算)学生_管理学_高等教育_教育专区...伺机购买质高价廉的原材料 6、下列项目中属于非速...前者所得结论总是与内含报酬率一致,后者所得结论...
必修1计算题复习(学生用)
高中物理必修 1 计算复习(学生用)一、单项选择题(12x2 分=24 分) 2015.01.12 1、若规定向东方向为正方向,今有一个皮球停在水平面上某处,轻轻踢它一脚,...
《数值计算方法》实验指导书(学生版)
《数值计算方法》实验指导书(学生版) 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 理学院 《数值计算方法》 实验指导书 适合专业:信息与计算科学 数学与应用数学 统计学...
3.1.4.基本计算(学生版)
3.1.4.基本计算(学生版)_数学_小学教育_教育专区。班级 ,组别 ,姓名 ,学号 ...·L-1 3、差量 -3- 根据化学反应前后物质的有关物理量发生的变化,找出...
2014年高考政治计算题(学生版)专题复习
2014年高考政治计算(学生版)专题复习_高二政史地...1700 元 D. 48 元 (八)收入分配方式计算 明确...(1)计算表格中 A、 B 的值,并结合材料一分析...
2015年高考政治计算题(学生版)专题复习
2015年高考政治计算(学生版)专题复习_政史地_高中...1700 元 D. 48 元 (八)收入分配方式计算 明确...(1)计算表格中 A、 B 的值,并结合材料一分析...
更多相关标签: