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2015-2016学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(理科)(b卷)解析版


2015-2016 学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(理科) (B 卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题各有四个选择支,仅有一 个选择支正确.请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑. 1. (5 分) (2016 春?东莞市期末)复数 z=i +i 的实部与虚部分别是( ) A.﹣1,1 B.1,﹣1 C.1,1 D.﹣1

,﹣1 2. (5 分) (2016 春?东莞市期末)对具有线性相关关系的两个变量 y 与 x 进行回归分析,得 到一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2)…(xn,yn) ,则下列说法中不正确的是( ) A.若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =0.52x+ ,则 y 与 x 具有正相关关系 B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适 2 2 D.用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小说明拟合效果越好 3. (5 分) (2016 春?东莞市期末)向量的运算常常与实数运算进行类比,下列类比推理中结 论正确的是( ) A.“若 ac=bc(c≠0) ,则 a=b”类比推出“若 ? = ? ( ≠ ) ,则 = ” B.“在实数中有(a+b)c=ac+bc”类比推出“在向量中( + )? = ? + ? ” C.“在实数中有(ab)c=a(bc)”类比推出“在向量中( ? )? = ?( ? )” D.“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”类比推出“若 ? =0,则 = 或 = ” 4. (5 分) (2014?潮安县校级模拟) 用反证法证明命题: “已知 a, b 为实数, 则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ) 2 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 5. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(5,9) ,若 p(ξ>c+2) =p(ξ<c﹣2) ,则 c 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知具有线性相关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据: x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程 = x+0.5,则 的值为( )
2 2

A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 2 7. (5 分) (2016 春?东莞市期末)抛物线 y=3﹣x 与直线 y=2x 与所围成图形(图中的阴影 部分)的面积为( )

A.10

B.

C.11

D.
n *

8. (5 分) (2016 春?东莞市期末)若(3x+ ) (n∈N )的展开式中各项系数的和为 P, 所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272,则正整数 n 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 9. (5 分) (2016 春?东莞市期末)有 3 位老师和 3 个学生站成一排照相,则任何两个学生 都互不相邻的排法总数为( ) A.36 B.72 C.144 D.288 10. (5 分) (2016 春?东莞市期末)经检测有一批产品合格率为 ,现从这批产品中任取 5 件,设取得合格产品的件数为 ξ,则 P(ξ=k)取得最大值时 k 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 11. (5 分) (2016 春?东莞市期末)定义方程 f(x)=f′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的 3 “异驻点”.若函数 g(x)=2016x,h(x)=ln(x+1) ,φ(x)=x ﹣1 的“异驻点”分别为 α,β, γ,则 α,β,γ 的大小关系为( ) A.α>β>γ B.β>α>γ C.β>γ>α D.γ>α>β 12. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知函数 f(x)= 处的切线与 f(x)的图象有三个公共点,则 b 的取值范围是( ) A.[﹣8,﹣4+2 ) B. (﹣4﹣2 ,﹣4+2 ) C. (﹣4+2 ,8] 2 ,﹣8] 在点(1,2)

D. (﹣4﹣

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置 上. 13. (5 分) (2016 春?东莞市期末)用 1,2,3,4 这四个数字能组成 个没有重复数 字的四位数. 3 14. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知函数 f(x)=3x﹣x ,当 x=a 时 f(x)取得极大值 为 b,则 a﹣b 的值为 . 15. (5 分) (2016?梅州二模) (x+ ﹣2) 的展开式中的常数项为
5

(用数字作答)

16. (5 分) (2016 春?东莞市期末)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画 点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数: 将三角形数 1,3,6,10,…记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn},可以推测: (1)b5= ; (2)b2n﹣1= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2016 春?东莞市期末)已知复数 z1=2+a +i,z2=3a+ai(a 为实数,i 虚数单位) 且 z1+z2 是纯虚数. 2 (1)求 a 的值,并求 z1 的共轭复数; (2)求 的值.
2

18. (12 分) (2016 春?东莞市期末)某市教育局委托调查机构对本市中小学学校使用“微课 掌上通”满意度情况进行调查.随机选择小学和中学各 50 所学校进行调查,调查情况如表: ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 评分等级 ☆ 2 7 9 20 12 小学 3 9 18 12 8 中学 (备注:“☆”表示评分等级的星级,例如“☆☆☆”表示 3 星级. ) (1)从评分等级为 5 星级的学校中随机选取两所学校,求恰有一所学校是中学的概率; (2)规定:评分等级在 4 星级以上(含 4 星)为满意,其它星级为不满意.完成下列 2×2 列联表并帮助判断:能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用是否满意与学校类 别有关系? 学校类型 满意 不满意 总计 50 小学 50 中学 100 总计 19. (12 分) (2016 春?东莞市期末)“莞马”活动中的 α 机器人一度成为新闻热点,为检测其 质量,从一生产流水线上抽取 20 件该产品,其中合格产品有 15 件,不合格的产品有 5 件. (1)现从这 20 件产品中任意抽取 2 件,记不合格的产品数为 X,求 X 的分布列及数学期 望; (2)用频率估计概率,现从流水线中任意抽取三个机器人,记 ξ 为合格机器人与不合格机 器人的件数差的绝对值,求 ξ 的分布列及数学期望. 2 20. (12 分) (2016 春?东莞市期末)已知 f(x)=lnx+ax ﹣ax+5,a∈R. (1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,求实数 a 的取值范围. 21. (12 分) (2016 春?东莞市期末)已知 f(n)=1+
*

+

+

+…+

,g(n)= ﹣



n∈N . (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明. x 22. (12 分) (2016 春?东莞市期末)设 f(x)=e ﹣ax(a∈R) ,e 为自然对数的底数. (1)若 a=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线方程; (2)求函数 f(x)在[0,1]上的最小值.

2015-2016 学年广东省东莞市高二 (下) 期末数学试卷 (理 科) (B 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题各有四个选择支,仅有一 个选择支正确.请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑. 2 1. (5 分) (2016 春?东莞市期末)复数 z=i +i 的实部与虚部分别是( ) A.﹣1,1 B.1,﹣1 C.1,1 D.﹣1,﹣1 【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可. 【解答】解:复数 z=i +i=﹣1+i. 复数的实部与虚部分别是:﹣1;1. 故选:A. 【点评】本题考查复数的基本概念,考查计算能力. 2. (5 分) (2016 春?东莞市期末)对具有线性相关关系的两个变量 y 与 x 进行回归分析,得 到一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2)…(xn,yn) ,则下列说法中不正确的是( ) A.若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =0.52x+ ,则 y 与 x 具有正相关关系 B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适 2 2 D.用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小说明拟合效果越好 【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数,残差平方和和相关系数,只 有残差平方和越小越好,其他的都是越大越好. 【解答】解:若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =0.52x+ ,b=0.52>0,则 y 与 x 具有正相关关系,正确; 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好,正确; 可用残差图判断模型的拟合效果, 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中, 说明这样的模 型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.故正确; 2 相关指数 R 取值越大,说明残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故不正确. 故选:D. 【点评】 本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法, 要想知道两个变量之间的有关或无关 的精确的可信程度,只有利用独立性检验的有关计算,才能做出判断.属于基础题. 3. (5 分) (2016 春?东莞市期末)向量的运算常常与实数运算进行类比,下列类比推理中结 论正确的是( ) A.“若 ac=bc(c≠0) ,则 a=b”类比推出“若 ? = ? ( ≠ ) ,则 = ” B.“在实数中有(a+b)c=ac+bc”类比推出“在向量中( + )? = ? + ? ” C.“在实数中有(ab)c=a(bc)”类比推出“在向量中( ? )? = ?( ? )”
2

D.“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”类比推出“若 ? =0,则 = 或 = ” 【分析】对四个选项,利用向量的数量积的定义与性质,分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:由条件,得出( ﹣ )? =0, ∴( ﹣ )与 垂直,则 = ,不一定成立,故 A 不正确; 向量的乘法满足分配律,故 B 正确; 在向量中( ? )? 与 共线, ?( ? )与 共线,故 C 不正确; 若 ? =0,则 ⊥ , = 或 = 不一定成立,故 D 不正确. 故选:B. 【点评】类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 4. (5 分) (2014?潮安县校级模拟) 用反证法证明命题: “已知 a, b 为实数, 则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ) 2 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可. 【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, ∴用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 2 是:方程 x +ax+b=0 没有实根. 故选:A. 【点评】本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查. 5. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(5,9) ,若 p(ξ>c+2) =p(ξ<c﹣2) ,则 c 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【分析】随机变量 ξ 服从正态分布 N(5,9) ,得到曲线关于 x=5 对称,根据 P(ξ>c+2) =P(ξ<c﹣2) ,结合曲线的对称性得到点 c+2 与点 c﹣2 关于点 5 对称的,从而解出常数 c 的值得到结果. 【解答】解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(5,9) , ∴曲线关于 x=5 对称, ∵P(ξ>c+2)=P(ξ<c﹣2) , ∴c+2+c﹣2=10, ∴c=5, 故选:B. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础 题.
2 2

6. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知具有线性相关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据: x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程 = x+0.5,则 的值为( )

A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 【分析】求出横标和纵标的平均数,写出样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程,得 到关于 a 的方程,解方程即可. 【解答】解:∵ =3, =5, ∴这组数据的样本中心点是(3,5) 把样本中心点代入回归直线方程 = x+0.5 ∴5=3 +0.5, ∴ =1.5 故选:C. 【点评】本题考查线性回归方程,解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点,这是求解 线性回归方程的步骤之一. 7. (5 分) (2016 春?东莞市期末)抛物线 y=3﹣x 与直线 y=2x 与所围成图形(图中的阴影 部分)的面积为( )
2

A.10

B.

C.11

D.

【分析】联解方程组,得直线与抛物线交于点 A(﹣3,﹣6)和 B(1,2) ,因此求出函数 2 3﹣x ﹣2x 在区间[﹣3,1]上的定积分值,就等于所求阴影部分的面积,接下来利用积分计 算公式和法则进行运算,即可得到本题的答案. 2 【解答】解:由抛物线 y=3﹣x 与直线 y=2x 联立, 解得交于点 A(﹣3,﹣6)和 B(1,2) ∴两图象围成的阴影部分的面积为 S=
3 2

(3﹣x ﹣2x)dx=
3 2

2

=(3×1﹣ ×1 ﹣1 )﹣[3×(﹣3)﹣ ×(﹣3) ﹣(﹣3) ] = ,

故选:D. 【点评】 本题求直线与抛物线围成的阴影部分图形的面积, 着重考查了定积分计算公式和定 积分的几何意义等知识,属于基础题.

8. (5 分) (2016 春?东莞市期末)若(3x+ ) (n∈N )的展开式中各项系数的和为 P, 所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272,则正整数 n 的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 n n 【分析】令 x=1,可得 4 =P,又 2 =S,P+S=272,联立解出即可得出. n n 【解答】解:令 x=1,可得 4 =P,又 2 =S,P+S=272, n n ∴4 +2 ﹣272=0, n 解得 2 =16, 解得 n=4. 故选:A. 【点评】本题考查了由二项式定理性质及展开式的通项公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 9. (5 分) (2016 春?东莞市期末)有 3 位老师和 3 个学生站成一排照相,则任何两个学生 都互不相邻的排法总数为( ) A.36 B.72 C.144 D.288 【分析】可以考虑到用插空法求解,先把 3 位老师排好,然后有 4 个空排学生,然后列出式 子,根据分步计数原理求解即可. 【解答】解:考虑 3 位学生不相邻排法,可以考虑到用插空法求解, 先把 3 位老师排好,然后有 4 个空排学生, 3 3 故有 A3 ?A4 =144 排法. 故选:C 【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题,站队问题是一个典型的排列组合问题,对于 不相邻的问题,一般采用插空法来解.本题是一个基础题

n

*

10. (5 分) (2016 春?东莞市期末)经检测有一批产品合格率为 ,现从这批产品中任取 5 件,设取得合格产品的件数为 ξ,则 P(ξ=k)取得最大值时 k 的值为( A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】随机变量 ξ~B(5, ) ,P(ξ=k)= )

,由式子的意义知:概

率最大也就是 ξ 最可能的取值.这和期望的意义接近.由 Eξ=5× =3.75,知 k=4 是极值, 由此能求出 p(ξ=k)取最大值时 k 的值. 【解答】解:由题意,随机变量 ξ~B(5, ) , ∴P(ξ=k)= ,

由式子的意义知:概率最大也就是 ξ 最可能的取值.这和期望的意义接近. ∵Eξ=5× =3.75, ∴k=4 是极值, ∴P(ξ=k)取最大值时 k 的值是 4.

故选:C. 【点评】本题考查二项分布的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行 等价转化. 11. (5 分) (2016 春?东莞市期末)定义方程 f(x)=f′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的 3 “异驻点”.若函数 g(x)=2016x,h(x)=ln(x+1) ,φ(x)=x ﹣1 的“异驻点”分别为 α,β, γ,则 α,β,γ 的大小关系为( ) A.α>β>γ B.β>α>γ C.β>γ>α D.γ>α>β 【分析】由题设中所给的定义,对三个函数所对应的方程进行研究,分别计算求出 α,β,γ 的值或存在的大致范围,再比较出它们的大小即可选出正确选项. 【解答】解:①∵g(x)=2016x,∴g′(x)=2016,由 g(x)=g′(x) ,解得 2016x=2016, ∴α=1. ②∵h(x)=ln(x+1) , ∴h′(x)= ,由 h(x)=h′(x) ,得到 ln(x+1)= ,则 h′(x)= + , ,因此函数 h(x)在(﹣1,+∞)

令 h(x)=ln(x+1)﹣ 单调递增.

∵h(0)=﹣1<0,h(1)=ln2﹣ >0,∴0<β<1. ③∵φ(x)=x ﹣1,∴φ′(x)=3x ,由 φ(x)=φ′(x) ,得 x ﹣1=2x , 2 3 ∵2x >0, (x=0 时不成立) ,∴x ﹣1>0,∴x>1,∴γ>1. 综上可知:γ>α>β. 故选:D. 【点评】本题考查了导数的运算法则、新定义“新驻点”、对数函数的单调性,属于中档题.
3 2 3 2

12. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知函数 f(x)=

在点(1,2)

处的切线与 f(x)的图象有三个公共点,则 b 的取值范围是( ) A.[﹣8,﹣4+2 ) B. (﹣4﹣2 ,﹣4+2 ) C. (﹣4+2 ,8] D. (﹣4﹣ 2 ,﹣8] 【分析】先利用导数研究在点(1,2)处的切线方程,然后作出函数图象,随着 b 减小时, 半圆向下移动,当点 A(﹣4,b)落在切线上时,在点(1,2)处的切线与 f(x)的图象 有三个公共点,直到半圆与直线相切前,切线 f(x)的图象都有三个公共点,只需求出零 界位置的值即可. 2 【解答】解:当 x>0 时,f(x)=x +1, 则 f′(x)=2x, ∴f′(1)=2×1=2, 则在点(1,2)处的切线方程为 y=2x, 当 x≤0 时,y=f(x)= 即(x+2) +(y﹣b) =4(y≥b) 作出函数图象如右图
2 2

+b,

随着 b 减小时,半圆向下移动,当点 A(﹣4,b)落在切线上时,在点(1,2)处的切线与 f(x)的图象有三个公共点,即 b=2×(﹣4)=﹣8, 再向下移动,直到半圆与直线相切前,切线 f(x)的图象有三个公共点,相切时与 f(x) 的图象有两个交点 即 =2,解得 b=﹣4﹣2 <﹣8

∴b 的取值范围是(﹣4﹣2 故选:D.

,﹣8].

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数图象,同时考查了数 形结合的数学思想和分析问题的能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置 上. 13. (5 分) (2016 春?东莞市期末)用 1,2,3,4 这四个数字能组成 24 个没有重复数字 的四位数. 【分析】本题属于排列问题,全排即可得到答案. 4 【解答】解:把 1,2,3,4 全排列,故有 A4 =24 个, 故答案为:24. 【点评】本题考查了简单的排列问题,属于基础题. 14. (5 分) (2016 春?东莞市期末)已知函数 f(x)=3x﹣x ,当 x=a 时 f(x)取得极大值 为 b,则 a﹣b 的值为 ﹣1 . 【分析】求导数得到 f′(x)=3﹣3x ,根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号,从 而得出函数 f(x)的极大值点和极大值,从而求出 a﹣b 的值. 2 【解答】解:f′(x)=3﹣3x ; ∴x<﹣1 时,f′(x)<0,﹣1<x<1 时,f′(x)>0,x>1 时,f′(x)<0; ∴x=1 时,f(x)取得极大值 2; 即 a=1,b=2; ∴a﹣b=﹣1. 故答案为:﹣1.
2 3

【点评】考查基本初等函数的求导公式,二次函数符号的判断,熟悉二次函数的图象,以及 函数极大值的定义及求法.
5

15. (5 分) (2016?梅州二模) (x+ ﹣2) 的展开式中的常数项为 ﹣252 (用数字作答) 【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的系数等于 0,求得 r 的值,即可求得展 开式中的常数项的值. 【解答】 解: (x+ ﹣2)= (﹣1) ?x , 故展开式的常数项为 ?(﹣1) =﹣252,
5 5 5 5

=

的展开式中, 分子中含 x 的项为

5

?

故答案为:﹣252. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系 数,配方是关键,属于中档题. 16. (5 分) (2016 春?东莞市期末)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画 点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数: 将三角形数 1,3,6,10,…记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn},可以推测: (1)b5= 105 ; (2)b2n﹣1= .

【分析】 (1)由题设条件及图可得出 an+1=an+(n+1) ,由此递推式可以得出数列{an}的通项 为,an= n(n+1) ,由此可列举出三角形数 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66, 78,91,105,120,… ,从而可归纳出可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组 的后两个数可被 5 整除,由此规律即可求出 b5; (2)由(1)中的结论即可得出 b2n﹣1═ (5n﹣1) (5n﹣1+1) . 【解答】解: (1)由题设条件可以归纳出 an+1=an+(n+1) , 故 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=n+(n﹣1)+…+2+1= n(n+1) 由此知,三角数依次为 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,… 由此知可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个, 即每五个数分为一组, 则该组的后两个 数可被 5 整除, ∴b5=105; (2)由于 2n﹣1 是奇数,由(I)知,第 2n﹣1 个被 5 整除的数出现在第 n 组倒数第二个,

故它是数列{an}中的第 n×5﹣1=5n﹣1 项, 所以 b2n﹣1═ (5n﹣1) (5n﹣1+1)= 故答案为:105; . .

【点评】本题考查数列的递推关系,数列的表示及归纳推理,解题的关键是由题设得出相邻 两个三角形数的递推关系,由此列举出三角形数,得出结论“被 5 整除的三角形数每五个数 中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被 5 整除”,本题综合性强,有一 定的探究性,是高考的重点题型,解答时要注意总结其中的规律. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2016 春?东莞市期末)已知复数 z1=2+a +i,z2=3a+ai(a 为实数,i 虚数单位) 且 z1+z2 是纯虚数. 2 (1)求 a 的值,并求 z1 的共轭复数; (2)求 的值.
2

【分析】 (1)由已知复数 z1,z2,求出 z1+z2,再由 z1+z2 是纯虚数列出方程组,求解即可得 2 2 a 的值,进一步求出 z1 ,则 z1 的共轭复数可求; (2)直接把 z1,z2 代入 【解答】解: (1)∵ ∴ ∵z1+z2 是纯虚数, ∴ ,解得 a=﹣2. . 的共轭复数为:35﹣12i; , ,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.



∴ 故

(2)

=

=



【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的求法,是基础题. 18. (12 分) (2016 春?东莞市期末)某市教育局委托调查机构对本市中小学学校使用“微课 掌上通”满意度情况进行调查.随机选择小学和中学各 50 所学校进行调查,调查情况如表: ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 评分等级 ☆

2 7 9 20 12 小学 3 9 18 12 8 中学 (备注:“☆”表示评分等级的星级,例如“☆☆☆”表示 3 星级. ) (1)从评分等级为 5 星级的学校中随机选取两所学校,求恰有一所学校是中学的概率; (2)规定:评分等级在 4 星级以上(含 4 星)为满意,其它星级为不满意.完成下列 2×2 列联表并帮助判断:能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用是否满意与学校类 别有关系? 学校类型 满意 不满意 总计 50 小学 50 中学 100 总计 【分析】 (1)由古典概型公式,分别求得从 5 星级的 20 所学校中随机选取 2 所总事件个数 m 及恰有 1 所学校是中学的事件个数 n,P= = ,代入即可求得 x 和 y 的值; (2)根据所给数据,可得 2×2 列联表,求出 K ,与临界值比较,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用满意与学校类型有关系. 【解答】解: (1)因为从 5 星级的 20 所学校中随机选取 2 所,共有 分) ; 其中恰有 1 所学校是中学的共有 故所求概率为 P= = ; ? =96 种结果,…(2 分) ; …(4 分) ; =190 种结果,…(1
2

(2)由 2×2 列联表: 学校类型 满意 32 小学 20 中学 52 总计 …(7 分) ; 经计算 K 的观测值:K =
2 2

不满意 18 30 48

总计 50 50 100

≈5.769>3.841 …(11 分) ;

所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用满意与学校类型有关系.…(12 分) ; 【点评】本题考查古典概型概率公式,列联表,独立性检验的方法等知识,考查了学生处理 数据和运算求解的能力,属于中档题. 19. (12 分) (2016 春?东莞市期末)“莞马”活动中的 α 机器人一度成为新闻热点,为检测其 质量,从一生产流水线上抽取 20 件该产品,其中合格产品有 15 件,不合格的产品有 5 件. (1)现从这 20 件产品中任意抽取 2 件,记不合格的产品数为 X,求 X 的分布列及数学期 望; (2)用频率估计概率,现从流水线中任意抽取三个机器人,记 ξ 为合格机器人与不合格机 器人的件数差的绝对值,求 ξ 的分布列及数学期望. 【分析】 (1)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,求出相应的概率,可求 X 的分布列及数 学期望;

(2)合格机器人的件数可能是 0,1,2,3,相应的不合格机器人的件数为 3,2,1,0.所 以 ξ 的可能取值为 1,3,求出相应的概率,可求 ξ 的分布列及数学期望. 【解答】解: (1)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2 …(1 分) ; P(X=0)= = ,

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



所以随机变量 X 的分布列为: X 0 1 P …(5 分) ; ∴E(X)=0× +1× +2×

2

= .…(6 分) ;

(2)合格机器人的件数可能是 0,1,2,3,相应的不合格机器人的件数为 3,2,1,0. 所以 ξ 的可能取值为 1, 3 … (8 分) ; 由题意知: P(ξ=3)= 所以随机变量 ξ 的分布列为: ξ 1 3 P …(11 分) ; ∴ …(12 分) ; + = …(9 分) ; …(10 分) ;

【点评】本题考查随机变量的分布列及数学期望,考查学生的计算能力,确定变量的取值与 相应的概率是关键. 20. (12 分) (2016 春?东莞市期末)已知 f(x)=lnx+ax ﹣ax+5,a∈R. (1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)求导数得到 ,根据 f(x)在 x=1 处有极值便可得到 f′(1)
2

=0,从而可求出 a 的值,并可验证该值成立; 2 (2)根据 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增便可得出 f′(x)≥0 恒成立,进而得出 2ax ﹣ax+1≥0 在(0,+∞)上恒成立,这样讨论 a 的值:a<0,a=0,和 a>0 这三种情况,对 每种情况验证是否满足条件,从而求出实数 a 的取值范围.

【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , ∵f(x)在 x=1 处有极值,∴f′(1)=1+2a﹣a=0; 解得:a=﹣1; 此时 ;



当 0<x<1 时 f′(x)>0,当 x>1 时 f′(x)<0,符合题意; ∴实数 a 的值为﹣1; (2)∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; ∴ 即 2ax ﹣ax+1≥0 在(0,+∞)恒成立; 当 a<0 时,显然不符合题意; 当 a=0 时,1≥0 恒成立,符合题意; 当 a>0 时,要使 需 ,解得 0<a≤8; 恒成立;
2

在(0,+∞)恒成立;

综上可知实数 a 的取值范围是[0,8]. 【点评】 考查基本初等函数导数的求法, 函数极值的定义, 函数在极值点处导数的取值情况, 函数的单调性和函数导数符号的关系,要熟悉二次函数的图象. 21. (12 分) (2016 春?东莞市期末)已知 f(n)=1+
*

+

+

+…+

,g(n)= ﹣



n∈N . (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明. 【分析】 (1)根据已知 , ,n∈N .我们易
*

得当 n=1,2,3 时,两个函数函数值的大小,比较后,根据结论我们可以归纳推理得到猜 想 f(n)≤g(n) ; (2)但归纳推理的结论不一定正确,我们可用数学归纳法进行证明,先证明不等式 f(n) ≤g(n)当 n=1 时成立,再假设不等式 f(n)≤g(n)当 n=k(k≥1)时成立,进而证明当 n=k+1 时,不等式 f(n)≤g(n)也成立,最后得到不等式 f(n)≤g(n)对于所有的正整 数 n 成立; 【解答】解: (1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1,所以 f(1)=g(1) ; 当 n=2 时, , ,

所以 f(2)<g(2) ; 当 n=3 时, , ,

所以 f(3)<g(3) . (2)由(1) ,猜想 f(n)≤g(n) ,下面用数学归纳法给出证明:

①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立. ②假设当 n=k(k≥3)时不等式成立, 即即 + +…+ < , ,

那么,当 n=k+1 时,

因为



所以
*



由①、②可知,对一切 n∈N ,都有 f(n)≤g(n)成立. 【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质,其步骤为:设 P(n)是 关于自然数 n 的命题,若 1) (奠基) P(n)在 n=1 时成立;2) (归纳) 在 P(k) (k 为任 意自然数)成立的假设下可以推出 P(k+1)成立,则 P(n)对一切自然数 n 都成立. 22. (12 分) (2016 春?东莞市期末)设 f(x)=e ﹣ax(a∈R) ,e 为自然对数的底数. (1)若 a=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线方程; (2)求函数 f(x)在[0,1]上的最小值. 【分析】 (1)求出函数的导数,计算 f′(0) ,f(0) ,求出切线方程即可; (2)求出函数的 导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值即可. x 【解答】解: (1)当 a=1 时,f(x)=e ﹣x, x 所以 f′(x)=e ﹣1; 0 0 ∴f′(0)=e ﹣1=0,f(0)=e ﹣0=1; 所以曲线 y=f(x)在 x=0 的切线方程为 y=1; (2)f′(x)=e ﹣a; (i)当 a≤0 时,f′(x)>0 恒成立,即函数 f(x)在[0,1]上为增函数, 所以函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 f(0)=1; (ii)当 a>0 时,令 f′(x)=0 得到 x=lna; 若 lna≤0,即 0<a≤1 时,在[0,1]上,f′(x)>0,函数 f(x)在[0,1]上为增函数, 所以函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 f(0)=1; 若 lna≥1,即 a≥e 时,在[0,1]上,f′(x)<0,函数 f(x)在[0,1]上为减函数, 所以函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 f(1)=e﹣a; 若 0<lna<1,即 1<a<e 时,在[0,lna)上 f′(x)<0,在(lna,1]上 f′(x)>0, 即函数 f(x)在[0,lna)上单调递减,在(lna,1]上单调递增, 所以函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 f(lna)=a﹣alna; 综上所述,当 a≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 1; 当 1<a<e 时,函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 e﹣a; 当 a≥e 时,函数 f(x)在[0,1]上的最小值为 a﹣alna. 【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分 类讨论思想,是一道中档题.
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