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高三理科模拟五(含答案)


数学(理)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B={2,4,5,6,8} , 则 (CU A) ? (CU B) 为 (A){5,8} 【答案】B 【解析一】因为全集 U={0,1,2,

3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B={2,4,5,6,8} , 所以 CU A ? ?2,4,6,7,9? , CU B ? ?0,1,3,7,9?,所以 (CU A) ? (CU B) 为{7,9}。故选 B 【解析二】 集合 (CU A) ? (CU B) 为即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素,所剩 的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选 B (2)复数 (B){7,9} ( B ) (C){0,1,3} (D){2,4,6}

2?i ? (A) 2?i 3 4 3 4 (A) ? i (B) ? i 5 5 5 5

(C) 1 ?

4 i 5

(D) 1 ? i

3 5

【答案】A 【解析】

2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 3 ? 4i 3 4 ? ? ? ? i ,故选 A 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 5 5 5

【点评】本题主要考查复数代数形式的运算,属于容易题。复数的运算要做到细心准确。 (3)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a ? b|,则下面结论正确的是 ( B ) (A) a∥b (C){0,1,3} 【答案】B 【解析一】由|a+b|=|a ? b|,平方可得 a ? b=0, 所以 a⊥b,故选 B (B) a⊥b (D)a+b=a ? b

【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a ? b|分别为以向量 a,b 为邻边的平 行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|a ? b|,所以该平行四边形为矩形,所以 a⊥b,故 选B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题。解析 一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解。

(4)已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 ( C ) (A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (B) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (C) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 (D) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 【答案】C 【解析】命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题,又(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0 否定 为(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0,故选 C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于容易题。 (5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 ( C ) (A)3×3! 【答案】C 【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有 3! 种排法,三个家庭 共有 3!? 3!? 3! ? (3!)3 种排法;再把三个家庭进行全排列有 3! 种排法。因此不同的坐法种数 为 (3!)4 ,答案为 C 【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题。 (6)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 (A) ? 1 (C) (B) (D) (B) 3×(3!)3 (C)(3!)4 (D) 9!

2 3

3 2

(D) 4

【答案】D 【 解 析 】 根 据 程 序 框 图 可 计 算 得

s ? 4, i ? 1; s ? ?1, i ? 2; s ? s?

2 , i ? 3; 3

3 , i ? 4; s ? 4, i ? 5, 由此可知 S 的值呈周期出现, 其周期为 4, 2

输出时 i ? 9 因此输出的值与 i ? 1 时相同,故选 D 【点评】本题主要考查程序框图中的循环结构、数列的周期性以及运算求解能力, 属于中档题。此类题目需要通过计算确定出周期(如果数值较少也可直接算出结果) ,再根 据周期确定最后的结果。

(7)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,两边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 ( C ) (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为

x cm ,则线段 CB 的长为 ( 12 ? x )cm, 那么矩形的面积为

x(12? x )cm2,
由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 。又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm2 的概率 为

2 ,故选 C 3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的 能力,属于中档题。 (8)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,则 lim

an ? n ?? S n

(A)0

(B)

1 2

(C) 1

(D)2

解析:由 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,且 Sn?2 ? 2Sn?1 ? a1 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ? a2=2a1w_w w. k#s5_u.c o*m 故{an}是公比为 2 的等比数列 - Sn=a1+2a1+22a1+??+2n 1a1=(2n-1)a1 则 lim 答案:B (9)椭圆

an 2n?1 a 1 ? lim n 1 ? n ?? S n ?? (2 ? 1) a 2 n 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a 2 b2
? 1?

点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 w(( D )) ()o*m (A) ? ? 0,
? ? 2? ? 2 ?

(B) ? 0, ? ? 2?

(C) ? ? 2 ?1,1?

(D) ? ,1?

?1 ? ?2 ?

解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 w_w w. k#s5_u.c o*m 而|FA|=

a2 b2 ?c ? w_w_w.k*s 5*u.c o*m c c

|PF|∈[a-c,a+c] 于是

b2 ∈[a-c,a+c] c

即 ac-c2≤b2≤ac+c2
2 2 2 ? ? ac ? c ? a ? c ∴? 2 2 2 ? ? a ? c ? ac ? c

?c ?1 ? ?a ?? w_w_w.k*s 5*u.c o*m c c 1 ? ? ?1或 ? ? a 2 ?a
又 e∈(0,1) 故 e∈ ? ,1? 答案:D (10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m
2 2 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,2 A3 A2 =24 个 2 2 ②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 A2 A2 =12 个

?1 ? ?2 ?

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (11)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________。

【答案】38 【解析】 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱, 其中长方体的 长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表面 积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为 2(3 ? 4 ? 4 ?1 ? 3 ?1) ? 2? ?1?1 ? 2? ? 38

【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解 能力,属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后 再根据几何体的形状计算出表面积。
2 (12)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列{an}的

通项公式 an =______________。 【答案】 2
n

2 【解析】? a5 ? a10 ,?(a1q4 )2 ? a1q9 ,?a1 ? q,?an ? qn ,

? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ?

1 (舍去), ? an ? 2 n 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。 (13)已知 P,Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分别 作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。 【答案】 ? 4 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y , 则y ?

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所 2

以 过 点 P , Q 的 抛 物 线 的 切 线 方 程 分 别 为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联 立 方 程 组 解 得 故点 A 的纵坐标为 ? 4 x ? 1, y ? ? 4, 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法, 属于中档题。 曲线在切点处的导数即为切线的斜率, 从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起, 这是写出 切线方程的关键。 (14)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两 两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________。 【答案】

3 3

【解析】因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥 看作为一个正方体的一部分, (如图所示) ,此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直 径,球心为正方体对角线的中点。 球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的 高。已知球的半径为 3 ,所以正方体的棱长为 2,可求得正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上的

高为

2 3 2 3 3 ,所以球心到截面 ABC 的距离为 3 ? ? 3 3 3

【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以 及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到 条件中的垂直关系,把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了。 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
? x ? 2cos ? ? y ? 1 ? 2sin ? ? A. (坐标系与参数方程)直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 被曲线 ? ( 为参数)所截得的弦

长为

2 3
B. (不等式选讲)若关于 x 不等式 | x ? 1| ? | x ? m |? 2m 的解集为 ? ,则实数 m 的取值范围为
m? 1 3

D ?1 ,B D ? 2 , C. (几何证明选讲) 若 Rt ?ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于 D , 且A 则 S?ABC ?

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案及解析】

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列 的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的 关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。 (18)(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A/ B / C / , ?BAC ? 90? ,

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点。
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A/ ACC / ;
/ (Ⅱ)若二面角 A ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值。

【答案及解析】

【点评】 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定, 借助空间直角坐标系求平 面的法向量的方法, 并利用法向量判定平面的垂直关系, 考查空间想象能力、 推理论证能力、

运算求解能力,难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行 来证明。 (19)(本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观 众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” 。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X。若每 次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E ( X ) 和方差 D( X ) 。

附: ? ?
2

n(n11n22 ? n12 n21 )2 , n1? n2? n?1n?2

【答案及解析】

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列, 期望 E ( X ) 和方差 D( X ) ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中。准确读取 频率分布直方图中的数据是解题的关键。

(20)(本小题满分 12 分) 如 图 , 椭 圆 C0 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0 , a , b 为 常 数 ) , 动 圆 a 2 b2

C1 : x2 ? y 2 ? t12, b ? t1 ? a 。点 A1, A2 分别为 C0 的左,右顶点, C1 与

C0 相交于 A,B,C,D 四点。
(Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 与 C0 相交于 A , B , C , D 四点,其中 b ? t2 ? a ,

/

/

/

/

2 为定值。 t1 ? t2 。若矩形 ABCD 与矩形 A/ B / C / D / 的面积相等,证明: t12 ? t2

【答案及解析】

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直 线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强,运算量较大。在 求解点 M 的轨迹方程时,要注意首先写出直线 AA 1 和直线 A2 B 的方程,然后求解。属于中 档题,难度适中。

(21)(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln( x ?1) ? x ?1 ? ax ? b(a, b ? R, a, b为常数) ,曲线 y ? f ( x) 与 直线 y ?

3 x 在(0,0)点相切。 2

(Ⅰ)求 a , b 的值。 (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x ) ? 【答案及解析】

9x 。 x?6

【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本

3 x 在(0,0)点相切, 2 9x 求出 a , b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明 f ( x ) ? 即可。从近几年 x?6
题容易忽略函数 f ( x) 的定义域,根据条件曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? 的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练。本题属于中 档题。


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