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1.1正弦定理和余弦定理


新课标高中数学-必修五导学案
§1.1 正弦定理和余弦定理及应用 1. = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径. sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形:(1) a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;(2) a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 2.余弦定理:a =b +c -2bccos A, b =a +c

-2accos B, c =a +b -2abcos C. 变形:cos A=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a

b

c

b2+c2-a2 , 2bc

cos B=

a2+c2-b2 , 2ac

cos C=

a2+b2-c2 . 2ab

3.三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc 1 (1)S= a· ha(ha 表示 a 边上高)(2)S= absinC= acsinB= bcsinA= .(3)S= r(a+b+c)(r 内切圆半径). 2 2 2 2 4R 2 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 例 1. (1)在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45° ,则此三角形有( A.无解 B.两解 C.一解 ) D.解的个数不确定

cos A-3cos C 3c-a sin C (2)在△ABC 中,已知 = ,则 的值为________. cos B b sin A 7 例 2 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= . 9 (1)求 a,c 的值;(2)求 sin(A-B)的值.

变式:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,点(a,b)在直线 4xcos B-ycos C=ccos B 上.

BC =3,b=3 2,求 a 和 c. (1)求 cos B 的值;(2)若 BA ·

考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例 3 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcos C+ccos B=a sinA, 则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 )

变式:在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小;(2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

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考点三 与三角形面积有关的问题 例 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2B,sin B= (1)求 cos A 及 sin C 的值;(2)若 b=2,求△ABC 的面积. 3 . 3

π? 2 ? π? 例 5.在△ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos? ?C+4?+cos?C-4?= 2 . (1)求角 C 的大小;(2)若 c=2 3且 sin A=2sin B,求△ABC 的面积.

考点四 解三角形的应用 例 6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2b-c)cos A-acos C=0. 3 3 (1)求角 A 的大小;(2)若 a= 3,S△ABC= ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 4

例 7.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

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【巩固提高】 1.已知锐角△ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为( A、75° B、60° C、45° )

D、30° ) D、等腰或直角三角形 )

2.在 ?ABC 中,已知 a 2 tan B ? b 2 tan A ,则该 ?ABC 的形状为( A、等腰三角形 B、直角三角形 C、正三角形

o 3.已知 ?ABC 中 ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a , b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ? (

A. 2 4.△ABC 中,

B.4+ 2 3

C.4— 2 3
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

D. 6 ? 2

cos A a ? ,则△ABC 一定是 cos B b
B.直角三角形

A.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

5.在△ABC 中,∠A=60° ,a= 6 ,b=4,满足条件的 △ABC A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.有无数多个 )

6.在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a= 2 ,A=45°,B=60°,则 b=( A

3

B

2

C 1 )

D

2

7.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 2, BC ? 10 ,则 CA ? AB = ( A

3 2

B

2 3

C

?

2 3

D

?

3 2


8.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a, b, c 成等比数列,则角 B 的取值范围是(

A

(0, ] 6

?

B

[ ,? ) 6

?

C

(0, ] 3

?

D

[ ,? ) 3
2

?

9.△ABC 的三个内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,a sin A sin B ? b cos A ? A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3

2a ,则

b ?( a



10.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为 A. π 6 B. π 3 C. π 5π 或 6 6 π 2π D. 或 3 3 ( D. 60 或 120 )

11.在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? 2 3 , B ? 600 ,则角 A 的大小为 A. 30 B. 60 C. 30 或 150

12.某观察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30 ,灯塔 B 在观察站 C 正西方向,则两灯塔 A 、 B 间的距离为 ( ) A. 500 米 B. 600 米 C. 700 米
3

D. 800 米

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13.在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 ?ABC 是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 ( ) D.无法确定

14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B ) ?

1 ,则 c ? ( 3

)

(A) 4

(B) 15

(C) 3

(D) 17 ) C.

15.在 ?ABC 中, a ? 2, b ? A.

? 4

6 ? 3? B. 或 4 4

2, B ?

?

,则 A 等于(

? 3


D.

3? 4

16.在 ?ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10, A ? 300 ,则角 B 等于( A. 105
0

B. 60
2

0

C. 15

0

D. 105 或15 ).

0

0

17.在 ?ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则三角形一定是( A.直角三角形 B.等边三角形

C.等腰直角三角形

D.钝角三角形

18. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? ( 3, ? 1) , n ? (cos A,sin A) ,若 m ? n ,且

a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A , B 的大小为(
π π A. , 6 3 2π π B. , 3 6 π π C. , 3 6

). D. π π , 3 3

19.在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

3 CB =-27. 20.已知在△ABC 中,C=2A,cos A= ,且 2 BA · 4 (1)求 cos B 的值;(2)求 AC 的长度.

C 21.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a2-(b-c)2=(2- 3)bc,sin Asin B=cos2 ,BC 2 边上的中线 AM 的长为 7. (1)求角 A 和角 B 的大小;(2)求△ABC 的面积.

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