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2001年全国高中数学联赛试卷及答案


2001 年全国高中数学联合竞赛试题
第一试 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题,每题均给出(A)、(B)、 一、选择题 (C)、(D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题 后的括号内.每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在 括号内),一律得 0 分. 1. 已知 a 为给定的实数,

那么集合 M = x | x 3 x a + 2 = 0, x ∈ R 的子集的个数为
2 2

{

}

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)不确定 2. 命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中,必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 3. 在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|cotx|, y=lg|sinx|中以 上单调递增的偶函数是 (A) y=sin|x| (B) y=cos|x| (C)

【答】(



【答】( 为周期、 (0, 在 【答】(



π
2

)



y=|cotx| (D) y=lg|sinx|

4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A)k= 8 3 (B)0<k≤12 (C) k≥12(D) 0<k≤12 或 k= 8 3 5.若 1 + x + x 2 【答】( )

(

)

1000

的展开式为 a0 + a1 x + a2 x + + a2000 x
2

2000

,则 【答】( )

a0 + a3 + a6 + a9 + + a1998 的值为
(A) (B) (C) (D)

6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之 和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是 【答】( ) (A) 2 枝玫瑰价格高 (B) 3 枝康乃馨价格高 (C) 价格相同 (D) 不确定 填空题(满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 二、填空题 7.椭圆 ρ =

1 的短轴长等于 2 cos θ



8.若复数 z1,z2 满足| z1|=2,| z2|=3, 3 z1 2 z2 =

3 i ,则 z1z2= 2




9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是

1

10. 不等式

1 3 + 2 > 的解集为 log 1 x 2
2



11.函数 y = x +

x 2 3 x + 2 的值域为



12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图) , 要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植 物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种栽种方案.
三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设 {a n } 为等差数列, {bn } 为等比数列,且 b1 = a1 ,b2 = a2 , b3 = a3 , ( a1 < a2 ) ,
2 2 2

又 lim (b1 + b2 + + bn ) =
n →+∞

2 + 1 .试求{an}的首项与公差.

x2 2 2 14.设曲线 C1: 2 + y = 1 (a 为正常数)与 C2:y =2(x+m) 在 x 轴上方仅有一 a
个公共点 P.(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2) O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0 < a < 大值(用 a 表示). 15.用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个 如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论.

1 时,试求 ΔOAP 的面积的最 2

2

2001`年全国高中数学联合竞赛加试试题
(10 月 14 日上午 10:00 考生注意:(1) 本试卷共三大题,全卷满分 150 分. 一.(本题满分 50 分) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N. 求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE; (2) OH⊥MN. 12:00)

二.(本题满分 50 分)

设 xi ≥ 0 (i=1,2,…,n)且 值.

∑ xi + 2
2 i =1

n

1≤ k < j ≤ n



n k x k x j = 1 ,求 ∑ xi 的最大值与最小 j i =1

三. (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平 行于矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值.

3

2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一. 选择题: 6.A

1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 二.填空题:

7.

2 3 3

8.

30 72 + i 13 13

9.

6 6
732

10.

2 7 1, 2 ∪ (4 , + ∞ ) 11. (0,1) ∪

3 1 , 2 ∪ (2 , + ∞ )

12.

三.解答题: 13.设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得

a12 (a1 + 2d ) 2 = (a1 + d ) 4
解得: d = (2 ± 2 )a1

化简得: 2a12 + 4a1 d + d 2 = 0 ……………………………………………………… 5 分

而 2 ± 2 < 0 ,故 a1<0 若 d = (2 2 )a1 ,则 q =
2 a2

a12
2 a2

= ( 2 + 1) 2

若 d = (2 + 2 )a1 ,则 q =

a12

= ( 2 1) 2

……………………………… 10 分

但 lim (b1 + b2 + + bn ) = 2 + 1 存在,故| q |<1,于是 q = ( 2 + 1) 2 不可能.
n → +∞

从而

a12 1 ( 2 1)
2

= 2 + 1 a12 = ( 2 2 2)( 2 + 1) = 2
……………………………… 20 分

所以 a1 = 2 , d = (2 + 2 ) a1 = 2 2 2

4

x2 + y2 =1 14.解:(1)由 a 2 y 2 = 2( x + m )

消去 y 得: x 2 + 2a 2 x + 2a 2 m a 2 = 0



设 f ( x) = x 2 + 2a 2 x + 2a 2 m a 2 ,问题(1)化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等 根. 只需讨论以下三种情况: 1°△=0 得: m = 合; 2°f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a; 3°f (-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a,即 0<a<1 时适 合. f (a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a. 综上可知,当 0<a<1 时, m = 分 (2)△OAP 的面积 S = ∵0<a<

a2 +1 ,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适 2

a2 +1 或-a<m≤a; 2 当 a≥1 时,-a<m<a.……………………………………………… 10

1 ay p 2

1 ,故-a<m≤a 时,0< a 2 + a a 2 + 1 2m <a, 2
x p = a 2 + a a 2 + 1 2m

由唯一性得

显然当 m=a 时,xp 取值最小.由于 xp >0,从而 yp = 1

x2 p a2

取值最大,此时

y p = 2 a a 2 ,∴ S = a a a 2 . a2 +1 1 时,xp=-a2,yp= 1 a 2 ,此时 S = a 1 a 2 . 2 2 1 下面比较 a a a 2 与 a 1 a 2 的大小: 2 1 1 令 a a a 2 = a 1 a 2 ,得 a = 2 3 1 1 1 故当 0<a≤ 时, a a a 2 ≤ a 1 a 2 ,此时 S max = a 1 a 2 . 3 2 2
当m =

5



1 1 1 < a < 时, a a a 2 > a 1 a 2 ,此时 S max = a a a 2 .……… 20 分 3 2 2

15.解:设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG,当 R i=a i,i=3,4,5,6,R1、 R2 是 a1、a2 的任意排列时,RFG 最小 ……………………………………………… 5 分 证明如下: 1.设当两个电阻 R1、R2 并联时,所得组件阻值为 R,则

1 1 1 = + .故交换二电 R R1 R2

阻的位置,不改变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2. 2.设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB

R AB =

R R + R1 R3 + R2 R3 R1 R2 + R3 = 1 2 R1 + R2 R1 + R2

显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最 小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最小的—个. 3.设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD

1 1 1 = + RCD R AB R4 = R1 R2 + R1 R3 + R1 R4 + R2 R3 + R2 R4 R1 R2 R4 + R1 R3 R4 + R2 R3 R4
1≤i < j ≤ 4

若记 S1 =

∑R R
i

j

,
,则 S1、S2 为定值,于是 RCD =

S2 =

i 1≤i < j < k ≤ 4

∑R R R
j

k

S 2 R1 R2 R3 S1 R3 R4

只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<Rl,即得 总电阻的阻值最小 …………………………………………………………………… 15 分 4°对于图 3 把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要 RFG 最小,由 3° 必需使 R6<R5;且由 1°应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5<R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4<R3<R2 且 R4<R3<R1, 这就说明,要证结论成立……………………………………………………………20 分

6

2001 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准
一.证明:(1)∵A、C、D、F 四点共圆 ∴∠BDF=∠BAC

1 (180°-∠BOC)=90°-∠BAC 2 ∴OB⊥DF.
又∠OBC= (2)∵CF⊥MA ① ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2 ∵BE⊥NA ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2 ② ∵DA⊥BC ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2 ③ ∵OB⊥DF ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2 ④ ∵OC⊥DE ∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2 ⑤ …………………………………… ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2 MO 2-MH 2=NO 2-NH 2 ∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 另证:以 BC 所在直线为 x 轴,D 为原点建立直角坐标系, 设 A(0,a),B(b,0),C (c,0),则 k AC = ∴直线 AC 的方程为 y =

30 分

50 分

a a , k AB = c b

a c ( x c) ,直线 BE 的方程为 y = ( x b) c a

7

c y = a ( x b) 由 y = a ( x c) c
同理可得 F (

得 E 点坐标为 E (

a 2 c + bc 2 ac 2 abc , ) a2 + c2 a2 + c2

a 2 b + b 2 c ab 2 abc , ) a 2 + b2 a2 + b2

直线 AC 的垂直平分线方程为 y

a c c = (x ) 2 a 2 b+c 直线 BC 的垂直平分线方程为 x = 2
得O(

a c c y 2 = a (x 2 ) 由 x = b + c 2

b + c bc + a 2 , ) 2 2a

k OB

bc + a 2 bc + a 2 2a = = b+c ac ab b 2

, k DF =

ab 2 abc ab ac = a 2 b + b 2 c a 2 + bc

∵ k OB k DF = 1 同理可证 OC⊥DE.

∴OB⊥DF

在直线 BE 的方程 y =

bc c ( x b) 中令 x=0 得 H (0, ) a a

bc + a 2 bc + 2 2a a = a + 3bc ∴ k OH = b+c ab + ac 2 ab ac 直线 DF 的方程为 y = 2 x a + bc
ab ac y = a 2 + bc x 由 y = a ( x c) c a 2 c + bc 2 abc ac 2 得N( 2 , ) a + 2bc c 2 a 2 + 2bc c 2

a 2b + b 2c abc ab 2 同理可得 M ( 2 , ) a + 2bc b 2 a 2 + 2bc b 2

8

∴ k MN =

a (b 2 c 2 )(a 2 + bc) ab + ac = 2 2 2 (c b)(a + bc)(a + 3bc) a + 3bc

∵kOH kMN =-1,∴OH⊥MN. 二.解:先求最小值,因为 (


i =1

n

xi ) 2 =


i =1

n

xi2 + 2

1≤ k < j ≤ n



k xk x j ≥ 1 j

∑x
i =1

n

i

≥1

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi=1,xj=0,j=i ∴

∑x
i =1

n

i

最小值为 1. …………………………………………………………… 10 分

再求最大值,令 xk = k y k ∴

∑ ky
k =1

n

2 k

+2

1≤ k < j ≤ n

∑ ky
n

k

yj =1



设M =

∑x = ∑
k k =1 k =1

n

y1 + y 2 + + y n = a1 y2 + + yn = a2 k yk , 令 y n = an
…………………………………………………… 30 分

则①

2 2 a12 + a 2 + + a n = 1
n

令 a n 1 =0,则 M =
n n


k =1

k ( ak a k +1 )
n n n

=


k =1

k ak


k =1

k a k +1 =


k =1 n

k ak


k =1 n

k 1a k =

∑(
k =1

k k 1 )a k

由柯西不等式得:

M ≤[

∑(
k =1

n

k k 1 )2 ] 2 (

1

∑a
k =1

2 k)

1 2

=[

∑(
k =1

k k 1)2 ] 2

1

等号成立

2 2 a12 ak an == == 1 ( k k 1)2 ( n n 1 )2

9



2 2 a12 + a 2 + + a n

1 + ( 2 1 )2 + + ( n n 1 )2
k k 1 [

=

2 ak

( k k 1 )2

ak =

∑(
k =1

n

(k=1,2,…,n)
2
1 2

k k 1 ) ]

由于 a1≥a2≥…≥an,从而 y k = a k a k +1 =

2 k ( k +1 + k 1) [

∑(
k =1

n

≥ 0 ,即 xk≥0

k k 1) ]
2

1 2

所求最大值为 [

∑(
k =1

n

k k 1 )2 ] 2

1

…………………………………………… 50 分

三.解:记所求最小值为 f (m,n),可义证明 f (m,n)=rn+n-(m,n) (*) 其中(m,n) 表示 m 和 n 的最大公约数 ……………………………………… 10 分 事实上,不妨没 m≥n (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为 rn +n-(m,n) 当用 m=1 时,命题显然成立. 假设当, m≤k 时, 结论成立(k≥1). m=k+1 时, n=k+1, 当 若 则命题显然成立. 若 n<k+1,从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图),由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分 D D1 法使得所得正方形边长之和恰为 m—n+n—(m-n,n)=m C -(m,n),于是原矩形 ABCD 有一种分法使得所得正方形 边 长 之 和 为 rn + n - (m , n n) …………………………………… 20 分 (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. m A1 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=rn+n-(m,n) A B 假设当 m≤k 时,对任意 1≤n≤m 有 f (m,n)=rn+n -(m,n) 若 m=k+1,当 n=k+1 时显然 f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 al,a2,…,ap 不妨 a1≥a2≥…≥ap 显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n,则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界).于是 a1+a2+…+ap 不小于 AB 与 CD 之和. 所以 a1+a2+…+ap≥2m>rn+n-(m,n) 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,…

10

ap 的正方形,由归纳假设 a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n) 从而 a1+a2+…+ap≥rn+n-(m,n) 于是当 rn=k+1 时,f (m,n)≥rn+n-(m,n) 再由(1)可知 f (m,n)=rn+n-(m,n). …………………………………………50 分

11


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