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数学


2011 中 考数学复习 专 用
第一 章 :实数
一、实数的分类:
? ? ?正整数? ? ? ? ? ? ?整数 ?零 ? ?负整数 ? 有限小数或无限循环小数 ?有理数 ? ? ? ? ? ? ? ? 实数 ? ?分数 ?正分数? ? ? ? ?负分数 ? ? ? ? ? ?正无理数? ?无理数 ? ? 无限不循环小数 ? ?负无理数 ? ?

zhōnɡ kǎo shù xué fù

xí zhuānyònɡ



yī zhānɡ

shí shù

1、有理数:任何一个有理数总可以写成 p 的形式,其中 p、q 是互质的整
q

数,这是有理数的重要特征。 2、无理数:初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根,如
2 、 3 4 ;特定结

构的不限环无限小数,如 1.101001000100001……;特定意义的数,如 π、 sin 45 °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才 下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1)实数 a 的相反数是 -a; (2)a 和 b 互为相反数 ? a+b=0 2、倒数: (1)实数 a(a≠0)的倒数是 1 ; (2)a 和 b 互为倒数 ? ab ? 1 ; (3 )
a

注意 0 没有倒数 3、绝对值: (1)一个数 a 的绝对值有以下三种情况:
?a , ? a ? ?0, ?? a , ? a?0 a?0 a?0

(2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴 上表示这个数的点到原点的距离 (3) 去掉绝对值符号 (化简) 必须要对绝对值符号里面的实数进行数性 (正、 负)确认,再去掉绝对值符号 4、n 次方根 (1)平方根,算术平方根:设 a≥0,称 ? 平方根。 (2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有 平方根。 (3)立方根: 3 a 叫实数 a 的立方根。 (4)一个正数有一个正的立方根;0 的立方根是 0;一个负数有一个负的 立方根。 三、实数与数轴 1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、 单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系:数轴上的每一个点都表示一个实数,而 每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一
a叫

a 的平方根,

a叫

a 的算术

1

一对应的关系。 四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数,右边的数总比左边的数大。 2、正数大于 0;负数小于 0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反 而小。 五、实数的运算 1、加法: (1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加; (2) 异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,用较大的绝对值减去较小的绝 对值.可用加法交换律、结合律 2、减法:减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法: (1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。 (2)n 个实数相乘,有一个因数为 0,积就为 0;若 n 个非 0 的实数 相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积 为正;当负因数为奇数个时,积为负。 (3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法: (1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。 (3)0 除以任何数都等于 0,0 不能做被除数。 5、乘方与开方:乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减 是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级 的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。无 论何种运算,都要注意先定符号后运算。 六、有效数字和科学记数 法 1、科学记数法:设 N>0,则 N= a× 10n (其中 1≤a<10,n 为整数) 。 2、有效数字:一个近似数,从左边第一个不是 0 的数,到精确到的数位为 止,所有的数字,叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种: (1)精确 到那一位; (2)保留几个有效数字。

第二 章 :代数式
一、代数式 1、 代数式: 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子, 叫代数式。 单独一个数或者一个字母也是代数式。 2、代数式的值:用数值代替代数里的字母,计算后得到的结果叫做代 数式的值。 3、代数式的分类:
? ? ?单项式 ? ?整式? ?有理式? ?多项式 代数式? ? ? ?分式 ?无理式 ?



èr zhānɡ

dài shù shì

二、整式的有关概念及运算 1、概念

2

(1)单项式:像 x、7、 2 x 2 y ,这种数与字母的积叫做单项式。单独一 个数或字母也是单项式。 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数叫做这个单项式 的次数。 单项式的系数:单项式中的数字因数叫单项式的系数。 (2)多项式:几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项:多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项 式含有几项,就叫几项式。 多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式 的次数。不含字母的项叫常数项。 升(降)幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从小(大) 到大(小)的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升(降) 幂排列。 (3)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫 做同类项。 2、运算 (1)整式的加减: 合并同类项:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的 指数不变。 去括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉, 括号里各项都不变;括号前面是“–”号,把括号和它前面的“–” 号去掉,括号里的各项都变号。 添括号法则:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变;括号前 面是“–”号,括到括号里的各项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇到括号,先去括 号,再合并同类项。 (2)整式的乘除: 幂的运算法则:其中 m、n 都是正整数 同底数幂相乘: a m ? a n ? a m?n ;同底数幂相除: a m ? a n ? a m?n ;幂的乘方:
(a m ) n ? a mn 积的乘方: (ab) n ? a n b n 。

单项式乘以单项式:用它们系数的积作为积的系数,对于相同的字母, 用它们的指数的和作为这个字母的指数; 对于只在一个单项式里含 有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式:就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积 相加。 多项式乘以多项式: 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一 项,再把所得的积相加。 单项除单项式:把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在 被除式里含有字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式:把这个多项式的每一项除以这个单项,再把所得的 商相加。 乘法公式: 平方差公式: (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 ; 完全平方公式: (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 , (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2

3

三、因式分解 1、因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分 解。 2、常用的因式分解方法: (1)提取公因式法: ma ? mb ? mc ? m(a ? b ? c) (2)运用公式法: 平方差公式: a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) ; 完全平方公式: a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 (3)十字相乘法: x 2 ? (a ? b) x ? ab ? ( x ? a)(x ? b) (4)分组分解法:将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分 解。 (5)运用求根公式法:若 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个根是 x1 、 x2 ,则有:
ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 )

3、因式分解的一般步骤: (1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; (2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法; (3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公 式法。 (4)最后考虑用分组分解法。 四、分式 1、分式定义:形如 A 的式子叫分式,其中 A、B 是整式,且 B 中含有
B

字母。 (1)分式无意义:B=0 时,分式无意义; B≠0 时,分式有意义。 (2)分式的值为 0:A=0,B≠0 时,分式的值等于 0。 (3)分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的 约分。方法是把分子、分母因式分解,再约去公因式。 (4)最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。 分式运算的最终结果若是分式,一定要化为最简分式。 (5)通分:把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分 式的过程,叫做分式的通分。 (6)最简公分母:各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 (7)有理式:整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质: (1) A ?
B A? M ( M是 ? 0的整式 ) ; (2) A ? A ? M ( M是 ? 0的整式 ) B?M B B?M

(3)分式的变号法则:分式的分子,分母与分式本身的符号,改变其 中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算: (1)加、减:同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母 的分式相加减,先把它们通分成同分母的分式再相加减。 (2)乘:先对各分式的分子、分母因式分解,约分后再分子乘以分子, 分母乘以分母。 (3)除:除以一个分式等于乘上它的倒数式。 (4)乘方:分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

4

五、二次根式 1、二次根式的概念:式子
a (a ? 0) 叫做二次根式。

(1)最简二次根式:被开方数的因数是整数,因式是整式,被开方数 中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。 (2)同类二次根式:化为最简二次根式之后,被开方数相同的二次根 式,叫做同类二次根式。 (3)分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化。 (4)有理化因式:把两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积 不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式(常用的有理 化因 式有:
a 与 a ; a b ?c d

与a

b ?c d



2、二次根式的性质: ( 1) (3)
( a ) 2 ? a(a ? 0) ;

( 2)

?a a2 ? a ? ? ?? a

(a ? 0) ; (a ? 0)

; ( 4) ab ? a ? b (a≥0,b≥0)

a ? b

a b

(a ? 0, b ? 0)

3、运算: (1)二次根式的加减:将各二次根式化为最简二次根式后,合并同类 二次根式。 (2)二次根式的乘法: (3)二次根式的除法:
a b

。 a ? b ? ab (a≥0,b≥0)
? a (a ? 0, b ? 0) b

二次根式运算的最终结果如果是根式,要化成最简二次根式。

第三 章 :方 程 和 方 程 组
一、方程有关概念 1、方程:含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含 有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程 的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 (1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中 x 是未知数,a、b 是 已知数,a≠0) (2)一玩一次方程的最简形式:ax=b(其中 x 是未知数,a、b 是已 知数,a≠0) (3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类 项和系数化为 1。 (4)一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程 (1)一元二次方程的一般形式:ax2 ? bx ? c ? 0(其中 x 是未知数,a、b、 c 是已知数,a≠0) (2)一元二次方程的解法: 直接开平方法、配方法、公式法、因式分 解法

dì sān zhānɡ

fānɡchénɡ hé fānɡchénɡ zǔ

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(3)一元二次方程解法的选择顺序是:先特殊后一般,如没有要求, 一般不用配方法。 (4)一元二次方程的根的判别式: ? ? b 2 ? 4ac 当Δ >0 时 ? 方程有两个不相等的实数根; 当Δ =0 时 ? 方程有两个相等的实数根; 当Δ < 0 时 ? 方程没有实数根,无解; 当Δ ≥0 时 ? 方程有两个实数根 (5)一元二次方程根与系数的关系: 若 x1 , x2 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 那么:x1 ? x2 ? ? b ,
a x1 ? x 2 ? c a

( 6 )以两个数 x1 , x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1 )是:
x 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 ? 0

三、分式方程 (1)定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 (2)分式方程的解法: 一般解法:去分母法,方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法:换元法。 (3)检验方法:一般把求得的未知数的值代入最简公分母,使最简公 分母不为 0 的就是原方程的根;使得最简公分母为 0 的就是原方 程的增根,增根必须舍去,也可以把求得的未知数的值代入原方 程检验。 四、方程组 1、方程组的解:方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。 2、解方程组:求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组 3、一次方程组: (1)二元一次方程组: 一般形式: ?
?a1 x ? b1 y ? c1 ( a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 不全为 ?a2 x ? b2 y ? c2

0)

解法:代入消远法和加减消元法 解的个数:有唯一的解,或无解,当两个方程相同时有无数的解。 (2)三元一次方程组: 解法:代入消元法和加减消元法 4、二元二次方程组: (1)定义:由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以 及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。 (2)解法:消元,转化为解一元二次方程,或者降次,转化为二元一 次方程组。

6

第四 章 : 列 方 程(组) 解应 用 题
一、列方程(组)解应用题的一般步骤 1、审题: 2、设未知数; 3、找出相等关系,列方程(组) ; 4、解方程(组) ; 5、检验,作答; 二、列方程(组)解应用题常见类型题及其等量关系; 1、工程问题 (1)基本工作量的关系:工作量=工作效率×工作时间 (2)常见的等量关系:甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总 量 (3)注意:工程问题常把总工程看作“1” ,水池注水问题属于工程问 题 2、行程问题 (1)基本量之间的关系:路程=速度×时间 (2)常见等量关系: 相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题(设甲速度快) : 同时不同地:甲的时间=乙的时间;甲走的路程–乙走的路程=原 来甲、乙相距路程 同地不同时:甲的时间=乙的时间–时间差;甲的路程=乙的路程 3、水中航行问题: 顺流速度=船在静水中的速度+水流速度;[来源:学科网] 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 4、增长率问题: 常见等量关系:增长后的量=原来的量+增长的量;增长的量=原 来的量×(1+增长率) ; 5、数字问题: 基本量之间的关系:三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位 上的数×100 三、列方程解应用题的常用方法 1、译式法:就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代 数式,然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。 2、线示法:就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系,然后根 据线段长度的内在联系,找出等量关系。 3、列表法:就是把已知条件和所求的未知量纳入表格,从而找出各种 量之间的关系。 4、图示法:就是利用图表示题中的数量关系,它可以使量与量之间的关 系更为直观,这种方法能帮助我们更好地理解题意。



sì zhānɡ

liè fānɡchénɡ



jiě yìnɡyònɡ tí

第五 章 :不 等 式及不 等 式组

dì wǔ zhānɡ

bù děnɡ shì



bù děnɡ shì zǔ

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一、不等式与不等式的性质 1、不等式:表示不等关系的式子。 (表示不等关系的常用符号:≠,<, >) 。 2、不等式的性质: (l)不等式的两边都加上(或减去)同一个数,不等号方向不改变, 如 a> b, c 为实数 ?a+c>b+c (2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变,如 a>b, c>0 ?ac>bc。 (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变,如 a>b,c<0 ?ac<bc. 注:在不等式的两边都乘以(或除以)一个实数时,一定要养成好的习 惯、就是先确定该数的数性(正数,零,负数)再确定不等号方向是否 改变,不能像应用等式的性质那样随便,以防出错。 3、任意两个实数 a,b 的大小关系(三种) : (1)a – b >0 ? a>b (2)a – b=0 ? a=b (3)a–b<0 ? a<b 4、 (1)a>b>0 ?
a ? b

(2)a>b>0 ? a 2 ? b 2 二、不等式(组)的解、解集、解不等式 1、能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组) 的一个解。 不等式的所有解的集合,叫做这个不等式的解集。 不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。 2.求不等式(组)的解集的过程叫做解不等式(组) 。 三、不等式(组)的类型及解法 1、一元一次不等式: (l)概念:含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式, 叫做一元一次不等式。 (2)解法:与解一元一次方程类似,但要特别注意当不等式的两边同 乘以(或除以)一个负数时,不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组: (l)概念:含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组, 叫做一元一次不等式组。 (2)解法:先求出各不等式的解集,再确定解集的公共部分。 注:求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

第六 章 :函数及其图 像
一、平面直角坐标系 2、不同位置点的坐标的特征:

dì liù zhānɡ

hán shù jí



tú xiànɡ

1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系。在 平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。

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(1)各象限内点的坐标有如下特征: 点 P(x, y)在第一象限 ? x >0,y>0; 限 ? x<0,y>0; 点 P(x, y)在第三象限 ? x<0,y<0; 限 ? x>0,y<0。 (2)坐标轴上的点有如下特征: 点 P(x, y)在 x 轴上 ? y 为 0,x 为任意实数。 点 P(x,y)在 y 轴上 ? x 为 0,y 为任意实数。 3.点 P(x, y)坐标的几何意义: (1)点 P(x, y)到 x 轴的距离是| y |; (2)点 P(x, y)到 y 袖的距离是| x |; (3)点 P(x, y)到原点的距离是
x2 ? y2

点 P(x, y)在第二象

点 P(x, y)在第四象

4.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征: (1)点 P(a, b)关于 x 轴的对称点是 P1 (a,?b) ; (2)点 P(a, b)关于 x 轴的对称点是 P2 (?a, b) ; (3)点 P(a, b)关于原点的对称点是 P3 (?a,?b) ; 二、函数的概念 1、常量和变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;保 持数值不变的量叫做常量。 2、函数:一般地,设在某一变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应, 那么就说 x 是自变量, y 是 x 的函数。 (1)自变量取值范围的确是: ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数, 自变量取值范围是全体实 数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数, 自变量取值范围是使分母 不为 0 的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函 数, 自变量取值范围是使 被开方数非负的实数。 注意:在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,还必须 使实际问题有意义。 (2)函数值:给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 (3)函数的表示方法:①解析法;②列表法;③图像法 (4)由函数的解析式作函数的图像,一般步骤是:①列表;②描点; ③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数 直线位置与 k,b 的关系: (1)k>0 直线向上的方向与 x 轴的正方向所形成的夹角为锐角; (2)k<0 直线向上的方向与 x 轴的正方向所形成的夹角为钝角; (3)b>0 直线与 y 轴交点在 x 轴的上方; (4)b=0 直线过原点; (5)b<0 直线与 y 轴交点在 x 轴的下方;

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2、二次函数

抛物线位置与 a,b,c 的关系: (1)a 决定抛物线的开口方向 ?
?a ? 0 ? 开口向上 ?a ? 0 ? 开口向下

(2)c 决定抛物线与 y 轴交点的位置: c>0 ? 图像与 y 轴交点在 x 轴上方;c=0 ? 图像过原点;c<0 ? 图像与 y 轴交点在 x 轴下方; (3)a,b 决定抛物线对称轴的位置:a,b 同号,对称轴在 y 轴左侧; b=0,对称轴是 y 轴; a,b 异号。对称轴在 y 轴右侧; 3、反比例函数:

4、正比例函数与反比例函数的对照表:

第七 章 :统 计初步
一、总体和样本: 在统计时,我们把所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一考察对象 叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个



qī zhānɡ

tǒnɡ jì chū bù

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体的数目叫做样本容量。 二、反映数据集中趋势的特征数 1、平均数 (1) x1 , x2 , x3 ,?, xn 的平均数, x ? 1 ( x1 ? x2 ? ? ? xn )
n

(2)加权平均数:如果 n 个数据中,x1 出现 f1 次,x2 出现 f 2 次,……,xk 出现 f k 次(这里 f1 ? f 2 ? ? ? f k (3)平均数的简化计算: 当一组数据 x1 , x2 , x3 ,?, xn 中各数据的数值较大,并且都与常数 a 接近 时,设 x1 ? a, x2 ? a, x3 ? a,?, xn ? a 的平均数为 x ' 则: x ? x' ? a 。 2、中位数:将一组数据接从小到大的顺序排列,处在最中间位置上的 数据叫做这组数据的中位数, 如果数据的个数为偶数中位数就是 处在中间位置上两个数据的平均数。 3、众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 一组数据的众数可能不止一个。 三、反映数据波动大小的特征数: 1、方差: (l) x1 , x2 , x3 ,?, xn 的方差,
2 2

,则 x ? ? n)

1 ( x1 f1 ? x 2 f 2 ? ? ? x k f k ) n

S2 ?
2

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n
2

2 (2)简化计算公式:S ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? x ( x1 , x2 , x3 ,?, xn 为较小整数时用这个 n

公式要比较方便 (3)记 x1 , x2 , x3 ,?, xn 的方差为 S 2 ,设 a 为常数, x1 ? a, x2 ? a, x3 ? a,?, xn ? a 的 方差为 S `2 ,则 S 2 = S `2 。 注:当 x1 , x2 , x3 ,?, xn 各数据较大而常数 a 较接近时,用该法计算方差 较简便。 2、标准差:方差( S 2 )的算术平方根叫做标准差(S) 。 注:通常由方差求标准差。 四、频率分布 1、有关概念 (1)分组:将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组,当数据 在 100 个以内时,通常分成 5-12 组。 (2)频数:每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频 数之和等于数据总数 n。 (3) 频率: 每个小组的频数与数据总数 n 的比值叫做这一小组的频率, 各小组频率之和为 l。 (4)频率分布表:将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成 的表格叫做频率分布表。 (5)频率分布直方图:将频率分布表中的结果,绘制成的,以数据的 各分点为横坐标,以频率除以组距为纵坐标的直方图,叫做频率分布直 方图。 图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。 每个小长方形的面积等于该组的频率。 所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于 1。 样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量 n 的比例的

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大小, 总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大 小,一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。 2、研究频率分布的方法;得到一数据的频率分布和方法,通常是先整 理数据,后画出频率分布直方图,其步骤是: (1)计算最大值与最小 值的差; (2)决定组距与组数; (3)决定分点; (4)列领率分布表; (5)绘频率分布直方图。

第八 章 : 相 交线与 平 行线
一、知识框架

dì bā zhānɡ

xiānɡ jiāo xiàn yǔ pínɡxínɡxiàn

二、知识概念
1.邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的 两个角是邻补角。 2.对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两 个角互为对顶角。 3.垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂 线。 4.平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角: 同位角:∠1 与∠5 像这样具有相同位 叫做同位角。 内错角:∠2 与∠6 像这样的一对角叫 同旁内角:∠2 与∠5 像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题:判断一件事情的语句叫命题。 7.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移 动 叫做平移平移变换,简称平移。 8.对应点: 平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得 到的,这样的两个点叫做对应点 9.定理 ① 过两点有且只有一条直线 ②两点之间线段最短 ③ 同角或等角的补角相等 ④ 同角或等角的余角相等 ⑤对顶角的性质:对顶角相等。 10 垂线的性质: 性质 1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2 :连接直线外一点与直线上各点的所有线段 做内错角。 置关系的一对角

12

中,垂线段最短。 11.平行公理: 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论: 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线 也互相平行。 12.平行线的性质: 性质 1:两直线平行,同位角相等。 性质 2:两直线平行,内错角相等。 性质 3:两直线平行,同旁内角互补。 13.平行线的判定: 判定 1:同位角相等,两直线平行。 判定 2:内错角相等,两直线平行。 判定 3:同旁内角相等,两直线平行。 14 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 15 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 16 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等 的一条直线

第九章:三角形
一、三角形
(1) 、知识框架

(2) 、知识概念
1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形。 2.三边关系: 三角形任意两边的和大于第三边, 任意两边的差小于第三边。 3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的 线段叫做三角形的高。 4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的 中线。 5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的 顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形 的稳定性。 6.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形

13

的外角。 9.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的 对角线。 10.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正 多边形。 11.平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫 做用多边形覆盖平面。 12.公式与性质:三角形的内角和:三角形的内角和为 180° 13.三角形外角的性质: 性质 1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质 2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 14.多边形内角和公式:n 边形的内角和等于(n-2) ·180° 15.多边形的外角和:多边形的内角和为 360°。 16.多边形对角线的条数: (1)从 n 边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词 (n-2)个三角形。 (2)n 边形共有 n(n - 3) 条对角线。
2

17 定理

①三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° ②推论 1 直角三角形的两个锐角互余 ③推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ④推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

二、 全等三角形 (1)、知识框架

(2)、知识概念
1.全等三角形: 两个三角形的形状、大小、都一样时,其中一个可以经 过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重 合,这两个三角形称为全等三角形。 2.全等三角形的性质: 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 (1)“边角边”简称“SAS” (2)“角边角”简称“ASA” (3)“边边边”简称“SSS” (4)“角角边”简称“AAS” (5)斜边和直角边相等的两直 角三角形(HL) 。 4.角平分线推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤: ①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分

3.三角形全等的判定公理及推论有:

14

线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系) , ②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么 ③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).

三、对称
(1) 、知识框架

(2)、知识概念
1.对称轴: 如果一个图形沿某条直线折叠后, 直线两旁的部分能够互相重合, 那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。 2.性质: (1)轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平 分线。 (2)角平分线上的点到角两边距离相等。 (3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 (4)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分 线上。 (5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 (6)角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 (7)到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 3.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等, (等边对等角) 4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为 “三线合一” 。 5.等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的 边也相等(等角对等边) 6.等边三角形角的特点:三个内角相等,等于 60°, 7.等边三角形的判定: 三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是 60°的三角形是等边三角形。 8.直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 10.定理 ①线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平 分线上 ②关于某条直线对称的两个图形是全等形 ③线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集 合 ④两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在对称轴上

15

⑤如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂 直平分线 逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分则这 两个图形关于这条直线对称

四、 旋转
一 .知识框架

二.知识概念 1.旋转:在平面内,将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度,这样 的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转 角。 (图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角 度的位置移动,其中对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、 对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变。 ) 2.错误!未指定书签。旋转对称中心:把一个图形绕着一个定点旋转一个角 度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋 转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于 0°,大于 360°) 。 3.中心对称图形与中心对称: 中心对称图形:如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与自身重合, 那么我们就说,这个图形成中心对称图形。 中心对称:如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形重 合,那么我们就说,这两个图形成中心对称。 4.错误!未指定书签。中心对称的性质: ①关于中心对称的两个图形是全等形。 ②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称 中心平分。 ③关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相 等。 ④如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这 两个图形关于这一点对称

五、勾股定理 (1) 、.知识框架

(2) 、知识概念
1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,

16

那么 a2+b2=c2。 勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2。 ,那么这 个三角形是直角三角形。 2.定理:经过证明被确认正确的命题叫做定理。 3.我们把题设、 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个 叫做原命题,那么另一个叫做 理逆定理) 它的逆命题。 (例:勾股定理与勾股定

六、 相似

(1 ) 、知识框 架
(2) 、.知识概 念:
1.平行线等分线段定理 若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在 其他直线上截得的线段也相等 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边 2.三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 3.梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L= ( a+b ) ÷2 ,S=L×h 4.(1) 比例的基本性质 如果 a:b=c:d, 那么 ad=bc, 如果 ad=bc, 那么 a:b=c:d (2) 合比性质 如果 a / b=c / d, 那么 (a±b) / b=(c±d) / d (3) 等比性质 如果 a /b=c /d=…=m / n(b+d+…+n≠0), 那么 (a+c+…+m) / (b+d+…+n)=a / b 5. 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比 例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得 的对应线段成比例 6.如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线) 所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边 7..相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 互为相似形的三角形叫做相似三角形 8.错误!未指定书签。相似三角形的判定方法: 断。 (对应边成比例,对应角相等) 1 .平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的 ○ 三角形与原三角形相似; 2 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 ,那么这 ○ 两个三角形相似; ( ASA ) 根据相似图形的特征来判

17

3. 如果两个三角形的两组对应边的比相等 ,并且相应的夹角相等 ,那么这 ○ 两个三角形相似; ( SAS ) 4. 如果两个三角形的三组对应边的比相等 , 那么这两个三角形相似; ○ ( SSS ) 9.直角三角形相似判定定理:
1 .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 ○ 2 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相 ○

似,并且分成的两个直角三角 形也相似 10 错误!未指定书签。相似三角形的性质:
1 . 相似三角形的一切对应线段 ( 对应高、对应中线、对应角平分线、 ○

外接圆半径、内切圆半径 等)的比等于相似比。
2. 相似三角形周长的比等于相似比。 ○ 3 . 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ○

七、锐角三角函数
(1) 、知识框架

(2) 、知识概念 1.Rt△ABC 中 (1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作 sinA= ∠A的对边 斜边 (2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作 cosA= ∠A的邻边 斜边 (3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作 tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边

18

(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作 cota= ∠A的邻边 ∠A的对边
2.特殊值的三角函数:
30? 45? 60?

Sinα Cosα tanα Cotα

1 2

2 2 2 2

3 2
1 2

3 2 3 3
3

1 1

3
3 3

3.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余 角的正弦值 4.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余 角的正切值

第十章:四边形
一.知识框架

19

二.知识概念
1.平行四边形定义: 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质:①平行四边形的对边相等②平行四边形的对角相等。 ③平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定
1 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ○ 2 .对角线互相平分的四边形是平行四边形; ○ 3 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ○ 4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ○

4. 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 5.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形。 6.矩形的性质: ① 矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线平分且相等。 AC=BD 7 矩形判定定理:
1 .有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 ○ 2 .对角线相等的平行四边形是矩形。 ○ 3 .有三个角是直角的四边形是矩形。 ○

8 菱形的定义 :邻边相等的平行四边形。 9.菱形的性质:①菱形的四条边都相等;②菱形的两条对角线互相垂直,并 且每一条对角线平分一组对角。 10.菱形的判定定理:○ 1 .一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ○ 3. 四条边相等的四边形是菱形。 ○

11.

菱形面积 = 对角线乘积的一半,即 S= ( a×b ) ÷2

12.正方形定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 13.正方形的性质:①四条边都相等,四个角都是直角。 ②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条 对角线平分一组对角 ③正方形既是矩形,又是菱形。 14.正方形判定定理: ①邻边相等的矩形是正方形。 角的菱形是正方形。 15.梯形的定义: 一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ②有一个角是直

20

16.直角梯形的定义:有一个角是直角的梯形 17.等腰梯形的定义:两腰相等的梯形。 18.等腰梯形的性质:①等腰梯形同一底边上的两个角相等;②等腰梯形的 两条对角线相等。 19.等腰梯形判定定理:①同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。②对角 线相等的梯形是等腰梯形 20.定理 四边形的内角和等于 360° 21.四边形的外角和等于 360° 22.多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于( n-2 ) ×180° 23.推论 任意多边的外角和等于 360°

第十一 章 :圆
一.知识框架

dì shí yì zhānɡ

yuán

二.知识概念
1.圆:①平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称 为圆心,定长称为半径。 ②圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 ③圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 ④同圆或等圆的半径相等 ⑤到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径 的圆 2. 圆弧和弦 :圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧 称为优弧,小于半圆的弧称 为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3. 圆心角和圆周角 :顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且 它的两边分别与圆有另一个 交点的角叫做圆周角。 4.不在同一直线上的三点确定一个圆 5.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 6. 内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心 叫做三角形的外心。 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆, 其圆心称为内心。

21

7.扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 8.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。 9.圆和点的位置关系 :以点 P 与圆 O 的为例(设 P 是一点,则 PO 是点 到圆心的距离) , ① P 在⊙ O 外, PO> r ② P 在⊙ O 上, PO= r ③ P 在⊙ O 内, PO< r 。 10. 直线与圆有 3 种位置关系 : ①直线 L 和 ⊙ O 相交 d < r ② 直线 L 和 ⊙ O 相切 d=r ③直线 L 和 ⊙ O 相离 d > r 11. 两圆之间有 5 种位置关系: ① 两圆外离 d > R+r ② 两圆外切 d=R+r ③ 两圆相交 R-r < d < R+r(R > r) ④ 两圆内切 d=R-r(R > r) ⑤ 两圆内含 d < R-r(R > r) 12. 切线的判定方法 : 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线。 13. 切线的性质 : ( 1 )经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ( 2 )经过切点垂直于切线的直线 必经过圆心。

( 3 )圆的切线垂直于经过切点的半径。 ( 4 )经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 14.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这 一点的连线平分两条切线的夹角 15. 圆的外切四边形的两组对边的和相等 16.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 17.相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线 段的比例中项 18 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等 19. 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 20. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论 ① 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两 条弧 ② 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对 的另一条弧 ④ 圆的两条平行弦所夹的弧相等 21 圆弧定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

22

推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角 所对的弧也相等 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90° 的圆周角所对的弦 是直径 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是 直角三角形 22 定理 圆的内接四边形的对角互补, 并且任何一个外角都等于它的内对角 23 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 24 定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴ 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵ 经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这 个圆的外切正 n 边形 25 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 26. 圆的计算公式 1. 圆的周长 C=2 πr= πd 2. 圆的面积 S=πr^2; 3. 扇形弧长
l ? n?R 180

(R 为圆的半径, n 是弧所对的圆心角的度数,l 为弧长)
n 1 ?R 2 S 扇形 ? lR 360 2 (R 或

4 扇形面积:

S 扇形 ?

为半径,n 是扇形所对的圆心角

的度数 l 为扇形的弧长 5. 圆锥侧面积 S=πrl 6. 弓形面积 S弓形 ? S扇形 ? S ? 27 尺规作图(基本作图、利用基本图形作三角形和圆) 作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角;作已知角的平分线;作线 段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;


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