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湖南省浏阳、醴陵、攸县三校2015届高三数学联考试题 文


湖南省浏阳、醴陵、攸县三校 2015 届高三数学联考试题 文
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1、设全集 U ? R, A ? {x | 2x ( x?2) ? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)} , 则图中阴影部分表示的集合为 A. ?x | x ? 1 ? B.

?x | x ? 1 ? D. x 1 ? x ? 2

C. ?x | 0 ? x ? 1 ?

?

?
?
2 ), f ? x ? ? 0 ,则

2、已知 f ? x ? ? 3sin x ? ? x ,命题 p : ?x ? (0, A. p 是真命题, ?p : ?x ? (0,

?
2

), f ? x ? ? 0

┐ B. p 是真命题, p : ?x0 ? ? 0,

? ?? ? , f ? x0 ? ? 0 ? 2?

C. p 是假命题, ?p : ?x ? (0,

?
2

), f ? x ? ? 0

┐ D. p 是假命题, p : ?x0 ? ? 0,

? ?? ? , f ? x0 ? ? 0 ? 2?

3、定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f (?x) ? ? f ? x ? , f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ,且 x ? (?1, 0) 时,

1 f ? x ? ? 2 x ? ,则 f ? log2 20? ? 5 4 A.1 B. C. ?1 5

D. ?

4 5

4、某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的 销售量 y(单位:个)的统计资料如下表所示:由上表可得

? ? ?4 ,据此模型预测零售价 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 回归直线方程 y
为 15 元时,每天的销售量为 A.51 个 B.50 个 C.49 个 D.48 个 )

5、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( A.31 B.32 C.63 D.64

6、已知函数 f ? x ? ?

a 3 x ? ax 2 ? cx, g ( x) ? ax 2 ? 2ax ? c, a ? 0 ,则它们的图象可能是 3
-1-

7、已知函数 f ? x ? ? sin(? x ? A.关于直线 x ? C.关于直线 x ?

?
4

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象是

? ?
8 4

对称 对称

B.关于点 ( D.关于点 (

? ?
4

, 0) 对称 , 0) 对称

8

8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过, 其中 AD ? 2, DC ? 2, BC ? 1 ,它可能随机在草原上任何一 处(点) ,若落在扇形沼泽区域 ADE 以外丹顶鹤能生还, 则该丹顶鹤生还的概率是( A. ) C. 1 ?

1 ? ? 2 15

B. 1 ?

?
10

? 6

D. 1 ?

9 、已知函数 y ? f ? x ? 对于任意的 x ? ( ?

? ?

3? 10

, ) 满足 f ? ? x? cos x? f ? x ? sin x? 0(其中 2 2


,则下列不等式不成立的是( f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数) A. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

3

C. f (0) ?

2f( ) 4
3

?

4

B. D.
2

2 f (? ) ? f (? ) 3 4 f (0) ? 2 f ( ) 3

?

?

?

10 、已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? d (bc, d 均为常数 ) ,当 x ? (0,1)时取极大值,当

1 x ? (1, 2) 时取极小值,则 (b ? ) 2 ? (c ? 3) 2 的取值范围是 2
A. (

37 ,5) 2

B.

?

5, 5

?

C. (

37 , 25) 4

D. ? 5, 25?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上

-2 -

11、若不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? m ?1 恒成立,则实数 m 的取值范围是

12、定义行列式的运算:

a1 a2 b1 b2

? a1b2 ? a2b1 ,若将函数 f ? x ? ?

3 sin x 的图象向左平移 1 cos x

t (t ? 0) 个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 t 的最小值为
13、设曲线 y ?

2 ? cos x ? 在点 ( , 2) 处切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则 a ? sin x 2

14、已知命题 p : 函数 f ? x ? ? lg( x2 ? 4x ? a2 ) 的定义域为 R;命题 q : ?m ? [?1,1] ,不等式

a2 ? 5a ? 3 ? m2 ? 8 恒成立,如果命题“ p ? q “为真命题,且“ p ? q ”为假命题,则实
数 a 的取值范围是 15、已知函数 f ? x ? ? e ? 2x ? a 有零点,则 a 的取值范围是
x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、 (本小题满分 12 分)已知幂函数 是单调增函数 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 设函数 g ( x) ?

f ( x) ? x?m ?2m?3 (m ? z) 为偶函数,且在区间 (0, ??) 上

2

1 9 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? b( x ? R ) , 其中 a, b ? R .若函数 g ( x) 仅在 x ? 0 处 4 2

有极值,求 a 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x , ( m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 ?0, ? ? 上的值域; (Ⅱ)已知 ?ABC 外接圆半径 R ? 3 , f ( A ? 的边分别是 a , b ,求

?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B 所对 4 4

?

1 1 ? 的值. a b
的前 项和 S n ? n ? 5an ? 85 ,

18.(本小题满分 12 分)已知数列 (Ⅰ)求 的通项公式;

(Ⅱ) 令 b n ? log 5

1 ? a1 1 ? a2 1 ? an ? log 5 ? ? ? log 5 ,求数列 18 18 18 6 6 6

的前 项和



19.

( 本 小 题 满 分

12

分 )

如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 ,
-3-

?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? ,
PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 2 .
(I ) 求证: CE ∥平面 PAB ; ( II ) 求四面体 PACE 的体积.

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为

F1 和 F2 ,且| F1 F2 |=2,
点(1,

3 )在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 且与直线 l 相切圆的方程.

12 2 ,求以 F2 为圆心 7

21.(本小题满分 14 分).已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x 2 ? ax ? 3)e x (a 为实数) . (Ⅰ) 当 a=5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间[t,t+2](t >0)上的最小值; (Ⅲ) 若存在两不等实根 x1, x2 ? [ ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e x f ( x) 成立,求实数 a 的取值范 围.

1 e

浏攸醴 11 月高三文科数学考试答案
-4-

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. D 【解析】因为图中阴影部分表示的集合为 A

?CU B ? ,由题意可知

A ? ? x 0 ? x ? 2? , B ? ? x x ? 1? ,所以

A

?CU B ? ? ? x 0 ? x ? 2? ? x x ? 1? ? ? x 1 ? x ? 2? ,故选 D.
? ?

2. B 【解析】依题意得,当 x ? ? 0,

??

? 时, f ? ? x ? ? 3cos x ? ? ? 3 ? ? ? 0 ,函数 f ? x ? 是减 2?

函数, 此时 f ? x ? ? f ? 0? ? 3sin 0 ? ? ? 0 ? 0 ,即有 f ? x ? ? 0 恒成立, 因此命题 p 是真命题,


? ?? p 应是“ ?x0 ? ? 0, ? , f ? x0 ? ? 0 ”.综上所述,应选 B. ? 2?
3. C 【 解 析 】 由 f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ? f ? x ? ? f ? x ? 4? , 因 为 4 ? log2 20 ? 5 , 所 以

0 ? log ? 4 ?, 1 ?1 ? 4 ? log2 20 ? 0 ,所以 2 20
4? ? f ? log 2 20 ? ? f ? log 2 20 ? 4 ? ? ? f ? 4 ? log 2 20 ? ? ? f ? log 2 ? ? ?1 .故选 C. 5? ?
4. C 【解析】由题意知 x ? 17.5, y ? 39 ,代入回归直线方程得 a ? 109, 109 ? 15 ? 4 ? 49 , 故选 C.

? ? ? ? ?

5. C [ 解析 ] 设等比数列 {an} 的首项为 a ,公比为 q ,易知 q≠1,根据题意可得 a(1-q2) =3, 1-q a a(1-q6) 2 3 解得 q = 4 , =- 1 ,所以 S = =(-1)(1-4 )=63. 6 1-q 1-q a(1-q4) =15, 1-q 6. B 【解析】因为 f ? ? x ? ? ax ? 2ax ? c ,则函数 f ? ? x ? 即 g ? x ? 图象的对称轴为 x ? ?1 ,故
2

可排除 A, D ; 由选项 C 的图象可知, 当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , 故函数 f ? x ? ?

a 3 x ? ax 2 ? cx 3
-5-

在 ? 0, ?? ? 上单调递增,但图象中函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上不具有单调性,故排除 C. 本题应选

B.
7. A 【解析】依题意得 T ?

2?

?? ? ? ? , ? ? 2 ,故 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,所以 ? 4? ?

? ?? ? ? ? ?? f ? ? ? sin ? 2 ? ? ? ? sin ? 1 ? 0 , 8 4? 2 ?8? ?
3? ? 2 ?? ? ? ? ?? ? 0, 因此该函数的图象关于直线 x ? 对称, ? f ? ? ? sin ? 2 ? ? ? ? sin 8 4 2 4 4? ?4? ?
不关于点 ? 8. B 【解析】过点 D 作 DF ? AB 于点 F ,在 Rt ?AFD 中,易知 AF ? 1, ?A ? 45 ,

? ?? ? ?? ? , 0 ? 和点 ? , 0 ? 对称,也不关于直线 x ? 对称.故选 A. 4 ?4 ? ?8 ?

1 1 5 ? 2 ? 2 ? 1? ?1 ? ,扇形 ADE 的面积 S2 ? ? 2 2 2 5 ? ? S1 ? S2 2 4 ? 生还的概率 P ? ? ? 1 ? ,故选 B. 5 S1 10 2
梯形的面积 S1 ? 9.A 10. D 【解析】因为 f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c ,依题意,得
2

? ? ,则丹顶鹤 ? 2? ?? 4 4
2

f ? ? 0 ? ? c ? 0, ? ? ? f ? ?1? ? 2b ? c ? 3 ? 0, ? f ? ? 2 ? ? 4b ? c ? 12 ? 0, ?
则点 ? b, c ? 所满足的可行域如图所示 (阴影部分, 且不包括 边界) ,其中 A ? ?4.5,6? , B ? ?3,0? , D ? ?1.5,0? .

1? 2 ? 1 ? ? T ? ? b ? ? ? ? c ? 3? 表示点 ? b, c ? 到点 P ? ? ,3 ? 的距离的平方,因为点 P 到直线 2? ? 2 ? ?

2

-6-

AD 的 距 离 d ?
2

? 1? 2?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2? 22 ? 12

? 5 , 观 察 图 形 可 知 , d 2 ? T ? PA

2

, 又

1? 2 ? PA ? ? ?4 . ? 5 ? ? ? ?6 ? ? 3 2? ?
2

,所以 2 5 5 ? T ? 25 ,故选 D.

二、填空题: (5 题,每题 5 分) 11.

??3,5?

【解析】由于 x ? 1 ? x ? 3 ? ? x ? 1? ? ? x ? 3? ? 4 ,则有 m ?1 ? 4 ,即

?4 ? m ? 1 ? 4 ,解得 ?3 ? m ? 5 ,故实数 m 的取值范围是 ? ?3,5? .
12.

5? 6

【解析】 f ? x ? ? 3 cos x ? sin x ? 2cos ? x ?

? ?

??

? ,平移后得到函数 6?

? ? ? ? ? y ? 2cos ? x ? ? t ? ,则由题意得 ? t ? k? , t ? k? ? , k ? Z ,因为 t ? 0 ,所以 t 的最小 6 6 6 ? ?
值为

5? . 6

13.1 【解析】 由题意得 y? ?

? 2 ? cos x ?? sin x ? ? 2 ? cos x ?? sin x ?? ? 1 ? 2 cos x
sin x
2

sin x

2

, 在点 ?

?? ? ,2? ?2 ?

处的切线的斜率 k1 ?

1 ? 2 cos sin
2

?
2 ? 1.
1 , a

?
2

又该切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,直线 x ? ay ? 1 ? 0 的斜率 k 2 ? ? 由 k1k2 ? ?1,解得 a ? 1. 14.

??2, ?1? ? 2,6?

2 【解析】若命题 p 为真,则 ? ? 16 ? 4a ? 0 ? a ? 2 或 a ? ?2 . 若命题 q 为真,因为

2 所以 m ? 8 ? ? 2 2,3? .因为对于 ?m ?? ?1,1? , 不等式 a2 ? 5a ? 3 ? m2 ? 8 m ?? ?1,1? , ? ?

-7-

2 恒成立 ,只需满足 a ? 5a ? 3 ? 3 ,解得 a ? 6 或 a ? ?1 . 命题“ p ? q ”为 真命题, 且

“ p ? q ”为假命题,则 p, q 一真一假. ①当 p 真 q 假时,可得 ?

?a ? 2或a ? ?2, ? 2 ? a ? 6; ? ?1 ? a ? 6

②当 p假q真 时,可得 ?

? ?2 ? a ? 2, ? ?2 ? a ? ?1 . a ? ? 1 或 a ? 6 ?

综合①②可得 a 的取值范围是 ? ?2, ?1? 15.

? 2,6? .

? ??, ?2 ? 2ln 2?
x

【解析】由 f ? ? x ? ? e ? 2 ? 0 ,解得 x ? ln 2. 当 x ? ? ??,ln 2? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ? ln 2, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增. 故该函数的最小值为 f ? ln 2? ? e
ln2

? 2ln 2 ? a ? 2 ? 2ln 2 ? a.

因为该函数有零点,所以 f ? ln 2? ? 0 ,即 2 ? 2 ln 2 ? a ? 0 ,解得 a ? ?2 ? 2ln 2. 故 a 的取值范围是 ? ??, ?2 ? 2ln 2? . 16.【答案】 (1) f ( x) ? x4 (1) (2) a ? [?2, 2]

f ( x) 在区间 (0, ??) 上是单调增函数,??m2 ? 2m ? 3 ? 0
2

即 m ? 2m ? 3 ? 0 ??1 ? m ? 3, 又 m ? z,? m ? 0,1, 2 ???????4 分 而 m ? 0, 2 时, f ( x) ? x 不是偶函数, m ? 1 时, f ( x) ? x 是偶函数,
3 4

? f ( x) ? x4 .

????????????????6 分
2

2 (2) g '( x) ? x( x ? 3ax ? 9), 显然 x ? 0 不是方程 x ? 3ax ? 9 ? 0 的根.

为使 g ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 x ? 3ax ? 9 ? 0 恒成立,???????8 分
2

即有 ? ? 9a ? 36 ? 0 ,解不等式,得 a ?? ?2, 2? .???????11 分
2

这时, g (0) ? ?b 是唯一极值. ? a ?? ?2, 2? .

?????12 分

-8-

17.解: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m2 ? 2 ,所以 m2 ? 2=2 .?????????2 分

π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .?????????????4 分 4 ? ?π ? 在 [0, ] 上递增.在 ? , π ? 递减, ?4 ? 4
所以函数 f ( x) 在 ?0,π? 上的值域为 [? 2 ,2] ;?????????????5 分

π π (2)化简 f ( A ? ) ? f (B ? ) ? 4 6 sin Asin B 得 4 4


sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .??7

由正弦定理,得 2R ? a ? b ? ? 2 6ab ,?????????????????9 分 因为△ABC 的外接圆半径为 R ? 3 . a ? b ? 2ab .??????????11 分 所以

1 1 ? ? 2 ?????????????????????????12 分 a b
① . ② .——4 分 为等比数列,首项 ,公比为 .

18. 解:(Ⅰ) 由 可得: 同时 ②-①可得: 从而

. ————————6 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知



————8 分

故 19、答案:1)法一: 取 AD 得中点 M,连接 EM,CM.则 EM//PA

.——12 分

因为 EM ? 平面PAB, PA ? 平面PAB,
P

所以, EM / /平面PAB

(2 分)
E

A B M

-9D

在 Rt ACD 中, ?CAD ? 60?, CM ? AM 所以, ?ACM ? 60? 而 ?BAC ? 60? ,所以,MC//AB. (3 分)

因为 MC ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, 所以, MC / /平面PAB 又因为 EM (4 分)
P

MC ? M

所以, 平面EMC / /平面PAB
E

因为 EC ? 平面EMC, 所以,EC / /平面PAB 法二: 延长 DC,AB,交于 N 点,连接 PN.

(6 分)
B

A D

因为 ?NAC ? ?DAC ? 60?, AC ? CD 所以,C 为 ND 的中点. (3 分)
N

C

因为 E 为 PD 的中点,所以,EC//PN 因为 EC ? 平面PAB, PN ? 平面PAB,

所以,EC / /平面PAB

(6 分) (7 分)

2)法一:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ? 平面ABCD ,所以, PA ? CD 又因为 CD ? AC, AC

(8 分) (10 分)

PA ? A ,所以, CD ? 平面PAC

因为 E 是 PD 的中点,所以点 E 平面 PAC 的距离 h ? 所以,四面体 PACE 的体积 V ?

1 CD ? 3 , 2

S

PAC

?

1 ? 2? 2 ? 2 2

1 S 3

PAC

1 2 3 ? h ? ? 2? 3 ? 3 3

(12 分)

法二:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ? 平面ABCD ,所以, VP ? ACD ? 分)

1 S 3

ACD

1 4 3 ? PA ? ? 2 ? 2 3 ? 3 3

(10

- 10 -

因为 E 是 PD 的中点,所以,四面体 PACE 的体积 V ?

1 2 3 VP ? ACD ? 2 3

(12 分)

20.(1)椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

?????. . (4 分)

(2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,意.

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合题 2 2
????(6 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则
x1 ? x 2 ? ? 8k 2 8k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) , ,可得 |AB|= ?????. . (9 分) x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又圆 F2 的半径 r=

2|k | 1? k 2

,∴ ? A F2 B 的面积=

1 12 | k | k 2 ? 1 = 12 2 ,化简得: |AB| r= 2 7 3 ? 4k 2

17 k 4 + k 2 -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ?????. . (13 分) 21.解:(Ⅰ)当 a ? 5 时 g( x ) ? (? x 2 ? 5 x ? 3) ? e x , g (1) ? e . ???1 分 ???2 分 ???4 分

g?( x ) ? (? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e . (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 ,

x
f ?( x ) f ( x)

1 (0, ) e

1 e
0
极小值(最小值)

1 ( , ??) e

?
单调递减

?
单调递增

???6 分

①当 t ?

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数, e
- 11 -

所以 f ( x )min ? f (t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

???7 分

1 1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ( , e ) 上 f ( x ) 为增函数, e e e
???8 分 ???9 分

1 1 所以 f ( x )min ? f ( ) ? ? e e

(Ⅲ) 由 g( x) ? 2e x f ( x) ,可得: 2 x ln x ? ? x2 ? ax ? 3 ,

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x
2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 3 , h ?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x x2

令 h( x) ? x ? 2 ln x ?

x
h ?( x) h( x)

1 ( ,1) e

1

(1,e)

?
单调递减

0
极小值(最小值)

?
单调递增 ???10 分

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0. e e

? 实数 a 的取值范围为 4 ? a ? e ? 2 ?

3 . e

???14 分

- 12 -


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湖南省浏阳、醴陵、攸县三校2015届高三联考化学试题
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