当前位置:首页 >> 数学 >>

2016-2017届海淀区高三年级第一学期期中试题及答案解析.理科


海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(理科)2016.11
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出

符合题目 要求的一项。 1. 已知集合 A ? {x x ? 2} , B ? {x ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? A. {x x ? 1} B. {x 2 ? x ? 3} C. {x 1 ? x ? 3} D. {x x ? 2 或 x ? 1}

2. 已知向量 a ? (?1, 2), b ? (2, ?4) ,则 a 与 b A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向

3. 函数 y ? 2 x ? A.1

2 的最小值为 2x B.2 C. 2 2

D.4

4.已知命题 p : ?c ? 0 ,方程 x 2 ? x ? c ? 0 有解,则 ?p 为 A. ?c ? 0 ,方程 x 2 ? x ? c ? 0 无解 B. ?c ≤0,方程 x 2 ? x ? c ? 0 有解 C. ?c ? 0 ,方程 x 2 ? x ? c ? 0 无解 D. ?c ≤0,方程 x 2 ? x ? c ? 0 有解 5.已知函数 y ? a , y ? x , y ? logc x 的图象如图所示,则
x b

y
y ? ax y ? xb
y ? log c x
O

A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. c ? b ? a 6. 设 a , b 是两个向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x

7. 已知函数 f ( x) ? cos4 x ? sin 2 x ,下列结论中错误 的是 ..

理科第 1 页,共 14 页

A. f ( x) 是偶函数

B.函数 f ( x) 最小值为

3 4

π C. 是函数 f ( x) 的一个周期 2

π D.函数 f ( x) 在 内是减函数 (0, ) 2

8.如图所示, A 是函数 f ( x) ? 2x 的图象上的动点,过点 A 作直线平 行于 x 轴,交函数 g ( x) ? 2
x?2

y
B A

的图象于点 B ,若函数 f ( x) ? 2 的图
x

象上存在点 C 使得 ?ABC 为等边三角形, 则称 A 为函数 f ( x) ? 2 x 上 的好位置点.函数 f ( x) ? 2 x 上的好位置点的个数为 A.0B.1C. 2D.大于 2
O

x

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 1 ,则 a2 ? a3 ? _____. 10. 若角 ? 的终边过点 P (3, ?4) ,则 sin(? ? π) ? ____.
??? ? ??? ? 11. 已知正方形 ABCD 边长为 1, E 是线段 CD 的中点,则 AE ? BD ? ____.

π π 12.去年某地的月平均气温 y(℃)与月份 x(月) 近似地满足函数 y ? a ? b sin( x ? ) ( a , b 6 6
为常数).若 6 月份的月平均气温约为 22 ℃,12 月份的月平均气温约为 4 ℃,则该地 8 月份的月平均气温约为℃. 13. 设函数 f ( x) ? ? ①若 a ?
x ? ?2 ? a, x ≤1, (a ? 0 且 a ? 1) . ? ? log a x, x ? 1,

3 ,则函数 f ( x) 的值域为______; 2 ②若 f ( x) 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是_____. 14. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R . ?a, b ? R ,若此函数同时满足: ①当 a ? b ? 0 时有 f (a) ? f (b) ? 0 ; ②当 a ? b ? 0 时有 f (a) ? f (b) ? 0 , 则称函数 f ( x) 为 ? 函数.
在下列函数中:

? 0, x ? 0, ? 1 x ① y ? x ? sin x ;② y ? 3 ? ( ) ;③ y ? ? 1 ? ,x ? 0 3 ? ? x
x

是 ? 函数的为____.(填出所有符合要求的函数序号)
理科第 2 页,共 14 页

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列, 数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? an , 且 b2 ? ?18, b3 ? ?24 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 bn 取得最小值时 n 的值.

16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2x ? ) ? cos2 x . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间.

π 3

π 3

17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 9 x ,函数 g ( x) ? 3x2 ? a . (Ⅰ)已知直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线,且 l 与曲线 y ? g ( x) 相切,求 a 的 值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? g ( x) 有三个不同实数解,求实数 a 的取值范围.

理科第 3 页,共 14 页

18. (本小题满分 13 分) 如图, ?ABC 是等边三角形,点 D 在边 BC 的延长线上,且 BC ? 2CD , AD ? 7 . (Ⅰ)求 CD 的长; (Ⅱ)求 sin ?BAD 的值.
B A

C

D

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ( x2 ? ax ? a) . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 a ≥ 4 时,函数 f ( x) 存在最小值.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 是无穷数列,满足 lg an?1 ?| lg an ? lg an?1 | ( n ? 2,3, 4,? ). (Ⅰ)若 a1 ? 2, a2 ? 3 ,求 a3 , a4 , a5 ;

(Ⅱ)求证: “数列 {an } 中存在 ak (k ? N* ) 使得 lg ak ? 0 ”是“数列 {an } 中有无数多项是 1” 的充要条件; (Ⅲ)求证:在数列 {an } 中 ?ak (k ? N* ) ,使得 1 ≤ ak ? 2 .

理科第 4 页,共 14 页

海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案
数学(理科) 2016.11 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做了该步应得的该步骤分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9.24 12.31 10.

4 5

11.

1 2

3 14.①② 2 (第 13 题,第一空 3 分,第二空 2 分. 第 14 题,选错 0 分;漏选 3 分;全选对 5 分)
13. (? , ??) ; a ≥ 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)法一:设等差数列 {an } 的公差为 d , 因为 bn?1 ? bn ? an , 所以 a2 ? b3 ? b2 ,------------------------------------------------------------------1 分 = ? 24 ? (?18) ? ?6 --------------------------------------------------------2 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a2 ? ? n ? 2? d -----------------------------2 分
? 2n ? 10 .------------------------------------1 分 法二:设等差数列 {an } 的公差为 d ,

因为 bn?1 ? bn ? an , 所以 a2 ? b3 ? b2 = ? 24 ? (?18) ? ?6 ,-------------------------------------------3 分 所以 a1 ? a2 ? d ? ?8 ,-------------------------------------------------------------1 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 10 .------------------2 分 (Ⅱ)法一:因为 bn?1 ? bn ? an , 所以 b2 ? b1 ? a1 , b3 ? b2 ? a2 , b4 ? b3 ? a3 ,?, bn ? bn ?1 ? an ?1 ---------1 分 将上面 n ? 1 个等式的等号两边分别相加, 得 bn ? b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 (n ? 1) 所以 bn ? b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? b2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1

理科第 5 页,共 14 页

? b2 ?

? a2 ? an ?1 ? ? n ? 2 ?
2

--------------------------------------------------1 分

? n 2 ? 11n -------------------------------------------------------------------1 分

又因为 b1 ? b2 ? a1 ? ?10 符合上式,-------------------------------------------1 分
11 ? ? 11 ? ? 所以 bn ? n ? 11n ? ? n ? ? ? ? ? (n ? N* ) -------------------------------1 分 2? ?2? ?
2 2 2

当 n ? 5 或 n ? 6 时, bn 取得最小值 b5 ? b6 ? ?30 .--------------------------2 分 法二:因为 bn?1 ? bn ? an , 所以 b2 ? b1 ? a1 , b3 ? b2 ? a2 , b4 ? b3 ? a3 ,? .---------------------------1 分 所以 bn ? bn ?1 ? an ?1 ? bn ? 2 ? an ? 2 ? an ?1 ? bn ?3 ? an ?3 ? an ? 2 ? an ?1 ??
? b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1

所以 bn ? b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 (n ? 1) ? b2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1
? b2 ?

? a2 ? an ?1 ? ? n ? 2 ?
2

--------------------------------------------------1 分

? n 2 ? 11n -------------------------------------------------------------------1 分

又因为 b1 ? b2 ? a1 ? ?10 符合上式,-------------------------------------------1 分
11 ? ? 11 ? ? 所以 bn ? n2 ? 11n ? ? n ? ? ? ? ? (n ? N* ) -------------------------------1 分 2? ?2? ?
2 2

当 n ? 5 或 n ? 6 时, bn 取得最小值 b5 ? b6 ? ?30 .--------------------------2 分 法三:因为 bn ?1 ? bn ? 2n ? 10 , 所以,当 n ? 5 时,有 bn ?1 ? bn ? 0 ,即 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ;-----------2 分 当 n ? 5 时,有 bn ?1 ? bn ? 0 ,即 b6 ? b5 ;-------------------------------------1 分 当 n ? 5 时,有 bn ?1 ? bn ? 0 ,即 b6 ? b7 ? b8 ? ? .---------------------------2 分 所以 n ? 5 或 n ? 6 时, bn 取得最小值 b5 ? b6 ? ?30 .-----------------------2 分 16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? cos(2x ? ) ? cos2 x ,

π 3

π 2π ? 2π π ? ? ? ? cos 所以 f ( ) ? cos ? 3 3 3 3 ? ? ? 1 ? 1? ? ? ? ? -----------------------------------------------------------------------4 分 2 ? 2?
理科第 6 页,共 14 页

(两个三角函数值各 2 分)

? 1 ----------------------------------------------------------------------------------1 分
(Ⅱ)因为 f ( x) ? cos(2x ? ) ? cos2 x

π 3 π π ? cos2 x cos ? sin 2 x sin ? cos2 x --------------------------------------2 分 3 3
3 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

?

π? ? ? sin ? 2 x ? ? -----------------------------------------------------------------2 分 6? ?
所以 f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? π .----------------------------------------------1 分 2

π π? ? 函数 y ? sin x 的单调增区间为 ? 2kπ ? , 2kπ ? ? (k ? Z) . 2 2? ?
由 2kπ ?

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? , k ? Z ,----------------------------------------2 分 2 6 2

(没有 k 范围,扣 1 分) 得 kπ ?

π π ? x ? kπ ? , 6 3
π π? ? 所以 f ( x ) 的单调增区间为 ? kπ ? , kπ ? ? ( k ? Z ). ----------------------1 分 6 3? ?

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? x3 ? 9 x , 所以 f (0)=0 , f ?( x) ? 3x2 ? 9 ,--------------------------------------------------------1 分 所以 f ?(0) ? ?9 ,----------------------------------------------------------------------------1 分 所以直线 l 方程为 y ? ?9 x .----------------------------------------------------------------1 分 设直线 l 与曲线 y ? g ( x) 相切于点 ( x0 , ?9 x0 ) , 又 g ?( x) ? 6 x ,所以 g ?( x0 ) ? 6 x0 ? ?9 ,解得 x0 ? ? ,---------------------------1 分 又 g ( x0 ) ? ?9 x0 ,即 g (? ) ?

3 2

3 2

27 27 27 ? a ? ,解得 a ? .--------------------------1 分 4 2 4

(Ⅱ)记函数 F ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a , x ? R .

F ? ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3? x ? 3?? x ? 1? ,

理科第 7 页,共 14 页

由 F ? ? x ? ? 0 解得 x ? 3 ,或 x ? ?1 .----------------------------------------------------1 分

F '( x) , F ( x) 的变化情况如下:
x
F ( x) F '( x )
(??, ?1)
+

?1
0 极大值 5?a

(?1,3)

3 0 极小值 ?27 ? a

(3, ??)
+

?
?

?

?

------------------------------------------------------3 分

1? 19 ? 又 因 为 F ? a ? 5? ? ? a ? 5 a ? ?1 ?a?a ? ? 5a ? ? a ? ? ? ? ?? a ? 7 2? 4 ?
2 2 4 2 2

2

, 0 且

a2 ? 5 ? (3, ??) ;

1? 7 ? F ? ?a 2 ? 2 ? ? ? ?a 2 ? 2 ?? a 4 ? 7a 2 ? 1? ? a ? ?a 2 ? 2 ? a ? ? ? a ? ? ? ? 0 ,且 2? 4 ?
?a2 ? 2 ? ? ??, ?1? ,

2

(或者:因为当 x ??? 时, F ( x) ? ?? ,当 x ??? 时, F ( x) ? ?? ) -----------------------------------------------1 分 所以方程 f ( x) ? g ( x) 有三个不同实数解的条件为 ?

?5 ? a ? 0 ,---------------2 分 ??27 ? a ? 0

解得 ?27 ? a ? 5 .-----------------------------------------------------------------------------1 分 综上,实数 a 的取值范围为 ?27 ? a ? 5 .

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)法一:因为 ?ABC 是等边三角形,且 BC ? 2CD , 所以 AC ? 2CD , ?ACD ? 120? ----------------------------------------------2 分 在 ?ACD 中,由余弦定理得

AD2 ? AC 2 ? CD2 ? 2 AC ? CD cos ?ACD ,--------------------------------3 分
所以 7 ? 4CD2 ? CD2 ? 4CD ? CD cos120? -----------------------------------1 分 解得 CD ? 1 .------------------------------------------------------------------------1 分 法二:因为 ?ABC 是等边三角形,且 BC ? 2CD , 所以 AB ? 2CD , BD ? 3CD , ?ABC ? 60? -------------------------------2 分
理科第 8 页,共 14 页

在 ?ABD 中,由余弦定理得

AD2 ? AB2 ? BD2 ? 2 AB ? BD cos ?ABC ,--------------------------------3 分
所以 7 ? 4CD2 ? 9CD 2 ? 12CD ? CD cos60? ---------------------------------1 分 解得 CD ? 1 .-----------------------------------------------------------------------1 分 法三:取 BC 中点 E ,连接 AE .------------------------------------------------------1 分 在等边三角形 ?ABC 中,
AE ? BC , AE ?
A

3 BC ,----------2 分 2
B

设 CD ? x ,则 BC ? 2 x ,-------------1 分

E

C

D

所以 AE ? 3x , DE ? 2 x ,------------------------------------------------1 分 在直角三角形 ?AED 中,

AD 2 ? AE 2 ? DE 2 ? 7 x 2 ? 7 , -------------------------------------------1 分
解得 x ? 1 ,即 CD ? 1 .-------------------------------------------------------1 分 (Ⅱ)在 ?ABC 中, BD ? 3CD ? 3 ,-------------------------------------------------------1 分 由正弦定理,有 所以 sin ?BAD ?

BD AD ,---------------------------------------------3 分 ? sin ?BAD sin ?B
BD sin ?B 3 1 3 21 ? 3? ? ? ------------------------------2 分 AD 2 14 7

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? e x ( x2 ? ax ? a) 得

f ?( x) ? ex ( x2 ? ax ? a) ? e x (2x ? a) ------------------------------------------------------1 分
2 ? ex ? ? x ? ? a ? 2? x ? 2a? ? ------------------------------------------------------------1 分

? ex ? x ? 2?? x ? a ? ,

由 f ? ? x ? ? 0 解得 x ? ?2 ,或 x ? ?a ,--------------------------------------------------1 分 ① 当 ?a ? ?2 ,即 a ? 2 时, f ?( x) ? e x ( x ? 2)2 ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ? ??, ?? ? ;-------------------------------------1 分 ②当 ?a > ? 2 ,即 a ? 2 时,
理科第 9 页,共 14 页

f '( x) , f ( x) 的情况如下:

x
f '( x) f ( x)

(??, ?2)
?
?

?2
0

(?2, ?a)
?
?

?a
0

(?a, +?)
?
?

--------------------------------------------------------------------------------2 分 ③当 ?a < ? 2 ,即 a ? 2 时,

f '( x) , f ( x) 的情况如下:

x
f '( x) f ( x)

(??, ?a)
?
?

?a
0

(?a, ?2)
?
?

?2
0

(?2, +?)
?
?

--------------------------------------------------------------------2 分 综上, 当 a ? 2 时, 函数 f ( x) 的单调增区间为 ? ??, ?? ? ; 当 a ? 2 时, 函数 f ( x) 的

+?) ,单调减区间为 (?2, ?a) ;当 a ? 2 时,函数 单调增区间为 (??, ?2) , (?a, +?) ,单调减区间为 (?a, ?2) .-------1 分 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?a) , (?2,
(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)可知,当 a ≥ 4 时,函数 f ( x) 在 x ? [?a, ??) 上 f ( x) ≥ f (?2) , 且 f (?2) ? e?2 (4 ? a) ≤ 0 .-------------------------------------------------2 分 因为 a ≥ 4 , 所以,当 x ? (??, ?a) 时, x( x ? a) ≥ 0 , e x ? 0 ,
x x (2 ? ax ? a ? ) 所 以 , 当 x ? (??, ?a) 时 , f ( x )? e x

e xx [ ?(a ? a) ? ]

0

-----------------------------------------------------------------------------------------2 分 所以,当 a ≥ 4 时,函数 f ( x) 存在最小值 f ( ?2) .--------------------------1 分 法二:由(Ⅰ)可知,当 a ≥ 4 时,函数 f ( x) 在 x ? [?a, ??) 上 f ( x) ≥ f (?2) , 且 f (?2) ? e?2 (4 ? a) ≤ 0 .-----------------------------------------------------------2 分 当 x ??? 时, x 2 ? ax ? a ? ?? ,所以当 x ??? 时, f ( x) ? 0 ,---1 分
理科第 10 页,共 14 页

由(Ⅰ)可知,函数 f ( x) 在 (??, ?a) 上是增函数, 所以当 x ? (??, ?a) 时, f ( x) ? 0 .--------------------------------------------1 分 所以,当 a ≥ 4 时,函数 f ( x) 存在最小值 f ( ?2) .---------------------------1 分 法三:由(Ⅰ)可知,当 a ≥ 4 时,函数 f ( x) 在 x ? [?a, ??) 上 f ( x) ≥ f (?2) , 且 f (?2) ? e?2 (4 ? a) ≤ 0 .-----------------------------------------------------------2 分

0 有两个根 因 为 当 a ≥ 4 时 , ? ? a 2 ? 4a ? 0 , 所 以 x 2 ? a x? a?

x1 ?

2 ?a ? a ? 4 a ?a ? a 2 ? 4a , x2 ? , 2 2

由二次函数性质可知当 x ? x1 时, x 2 ? ax ? a ? 0 ,-----------------------1 分 又因为 x1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? ? ?a , 2 2

所以当 x ? (??, ?a) 时, f ( x) ? 0 .--------------------------------------------1 分 所以,当 a ≥ 4 时,函数 f ( x) 存在最小值 f ( ?2) .---------------------------1 分

20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 a1 ? 2, a2 ? 3 , lg an?1 ?| lg an ? lg an?1 | ( n ? 2,3, 4,? ). 所以 lg a3 ?| lg3 ? lg 2 |? lg ,即 a3 ?

3 2

3 ;-------------------------------------------1 分 2

所以 lg a4 ?| lg ? lg3|? lg 2 ,即 a4 ? 2 ;-------------------------------------------1 分

3 2

所以 lg a5 ?| lg2 ? lg |? lg

3 2

4 4 ,即 a5 ? .--------------------------------------------1 分 3 3

(Ⅱ)必要性:已知数列 {an } 中有无数多项是 1,则数列 {an } 中存在 ak (k ? N* ) 使得
lg ak ? 0 .

证明:因为数列 ?an ? 中有无数多项是 1,

a =1 , ( 所以数列 ?an ? 中存在 a k k ? N ) 使得 k
*

理科第 11 页,共 14 页

* lg ak ? 0 .---------------------------------1 分 ( 所以数列 ?an ? 中存在 a k k ? N ) 使得

充分性:已知数列 {an } 中存在 ak (k ? N* ) 使得 lg ak ? 0 ,则数列 {an } 中有无数多 项是 1. -------------------------------------------------------------------------1 分 (注:此处 1 分是给在“学生能够将充要性的证明分成两个条件与结论清楚的两 个命题来证明” ) 法一:充分性证明:假设数列 {an } 中没有无数多项是 1,不妨设 am ? 1(m ? N* ) 是数列

{an } 中为 1 的最后一项,则 am ?1 ? 1 ,
若 am ?1 ? 1 ,则由 lg an?1 ?| lg an ? lg an?1 | ( n ? 2,3, 4,? )可得 lg am? 2 ? lg am?1 , 所以 lg am?3 ?| lg am? 2 ? lg am?1 |? 0 ,所以 am ? 3 ? 1 ,这与假设矛盾;------------2 分 若 0 ? am?1 ? 1 , 则由 lg an?1 ?| lg an ? lg an?1 ( 可得 lg am? 2 ? ? lg am?1 , | n ? 2,3, 4,? ) 所以 lg am?3 ?| lg am? 2 ? lg am?1 |? ?2lg am?1 , 所以 lg am? 4 ?| lg am?3 ? lg am? 2 |?| ?2lg am?1 ? lg am?1 |? ? lg am?1 , 所以 lg am?5 ?| lg am? 4 ? lg am?3 |?| ? lg am?1 ? 2lg am?1 |? ? lg am?1 , 所以 lg am?6 ?| lg am?5 ? lg am? 4 |? 0 , 所以 am ? 6 ? 1 ,这与假设矛盾.-----------------------------------------------------------2 分 综上,可知假设不成立,所以原命题正确.

lg ak =0 ”是“数列 ?an ? 中有 ( 由①②可知, “数列 ?an ? 中存在 a k k ? N ) 使得
*

无数多项是 1”的充要条件. 法二:充分性证明:设 bn ? lg an ,则 bn ?1 ?| bn ? bn ?1 | ( n ? 2,3, 4,? ) ,待证命题即:
* 已知数列 {bn } 中存在 bk (k ? N ) 使得 bk ? 0 ,则数列 {bn } 中有无数多项是 0.

3, 4, ?) , ①若 bk ? 0(k =2,
由 bn ?1 ?| bn ? bn ?1 | (n ? 2,3,4,?) 可得 bk ?1 ≥ 0 , (k ? 2,3,4,?) ,且 bk ? 2 ? bk ?1 , 所以 bk ?3 ?| bk ? 2 ? bk ?1 |? 0 . 循此可推证 bk ?3m ? 0 ( m ? N ) ;---------------------------------------------------2 分 ②若 b1 ? 0 ,当 b2 ≥ 0 时, b3 ? b2 ,所以 b4 ? 0 , 由①证明可知 bk ?3m ? 0 ( m ? N ) ;-----------------------------------------------1 分 当 b2 ? 0 时, b3 ? ?b2 ,所以 b4 ?| b3 ? b2 |? ?2b2 ,所以 b5 ?| b4 ? b3 |? ?b2 ,所以
理科第 12 页,共 14 页

b6 ?| b5 ? b4 |? ?b2 ,所以 b7 ?| b6 ? b5 |? 0 ,由①证明可知 bk ?3m ? 0
( m ? N ).-----------------------------------1 分 所以数列 {bn } 中有无数多项是 0. (Ⅲ)法一: 证明:假设在数列 {an } 中,不存在 ak (k ? N* ) 满足 1 ≤ ak ? 2 , 则 0 ? ak ? 1 或 ak ≥ 2 ( k ? 1, 2,3,? ). 由 lg an?1 ?| lg an ? lg an?1 | ( n ? 2,3, 4,? )可得

? an ? a , an ≥ an ?1 , ? n ?1 an ?1 ? ? ( n ? 2,3, 4,? )*,且 an ? 0 ( n ? 1,2,3,? ) , ? an ?1 , a ? a , n n ?1 ? ? an
所以当 n ? 2 时, an ≥ 1. 所以 an ≥ 2 ( n ? 3, 4,5,? ).-------------------------------------------1 分 若 a4 ? a3 ≥ 2 ,则 a5 ? 1 与 a5 ≥ 2 矛盾;----------------------------------------------1 分 若 a4 ? a3 ≥ 2 , 设 bm ? max{a2 m?1 , a2 m? 2 } ( m ? 1, 2,3,? ) ,则 bm ≥ 2 .

max{a2m?1 , a2m?2 } 1 1 ? bm , a2m?4 ≤ max{a2m?2 , a2m?3} 2 2 2 1 1 所以 max{a2m?3 , a2m?4 } ≤ bm ,即 bm?1 ≤ bm ( m ? 1, 2,3,? ) , 2 2 b 所以 bm ≤ m1?1 ,----------------------------------------------------------------------------2 分 2
由(*)可得, a2m?3 ≤ 对于 b1 ,显然存在 l 使得 2l ?1 ≤ b1 ? 2l ,

b1 ? 1,这与 bm ≥ 2 矛盾,--------------------------------------------------1 分 2l 所以假设不成立,原命题正确. 法二:
所以 bl ?1 ≤ 证明:设 bn ? lg an ,则 bn ?1 ?| bn ? bn ?1 | ( n ? 2,3, 4,? ) , 证明“在数列 {an } 中,存在 ak (k ? N* ) 满足 1 ≤ ak ? 2 ”, 即证明“在数列 {bn } 中,存在

bk (k ? N* ) 满足 0 ≤ bk ? lg 2 ”.
理科第 13 页,共 14 页

假设在数列 {bn } 中,不存在 bk (k ? N* ) 满足 0 ≤ bk ? lg 2 , 则 bk ? 0 或 bk ≥ lg 2 ( k ? 1, 2,3,? ). 由 bn ?1 ?| bn ? bn ?1 | ( n ? 2,3, 4,? ) ,* 可得 bn ≥ 0 ( n ? 3, 4,5,? ) 所以 bn ≥ lg 2 ( n ? 3, 4,5,? )-----------------------------------------------------------1 分 若 b4 ? b3 ≥ lg 2 ,则 b5 ? 0 与 b5 ≥ lg 2 矛盾;----------------------------------------1 分 若 b4 ? b3 ≥ lg 2 , 设 cm ? max{b2m?1 , b2m? 2 } ( m ? 1, 2,3,? ) ,则 cm ≥ lg 2 ( m ? 1, 2,3,? ). 由(*)可得, b2 m?3 ≤ max{b2 m?1 , b2 m? 2 } ? lg 2 , b2 m? 4 ≤ max{b2m? 2 , b2m?3} ? lg 2 所以 max{b2m?3 , b2m? 4 } ≤ max{b2 m?1 , b2 m? 2 } ? lg 2 ,即

cm?1 ≤ cm ? lg 2 ( m ? 1, 2,3,? ) ,
所以 cm ≤ c1 ? (m ? 1)lg 2 ,--------------------------------------------------------------2 分 对于 c1 ,显然存在 l 使得 l lg 2 ≤ c1 ? (l ? 1)lg 2 , 所以 cl ?1 ≤ c1 ? l lg 2 ? lg 2 ,这与 cl ?1 ≥ lg 2 矛盾,----------------------------------1 分 所以假设不成立,原命题正确.

理科第 14 页,共 14 页


相关文章:
2016-2017届海淀区高三年级第一学期期中试题及答案解析.理科
2016-2017届海淀区高三年级第一学期期中试题及答案解析.理科_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科)2016.11 本试卷共 4 页,150 ...
2016-2017海淀区高三物理第一学期期中考试习题及详细答案
2016-2017海淀区高三物理第一学期期中考试习题及详细答案_高三理化生_理化生_...海淀区高三年级第一学期期中练习 物 理 2016.11 说明:本试卷共8页,共100分...
2016-2017届海淀区高三年级第一学期期中试题及答案解析.文科
2016-2017届海淀区高三年级第一学期期中试题及答案解析.文科_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(文科)2016.11 本试卷共 4 页,150 ...
2016-2017海淀高三期中练习数学理科试题及答案
2016-2017海淀高三期中练习数学理科试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科)2016.11 本试卷共 4 页,150 分。...
北京市海淀区2017届高三上学期期中考试(理科数学)含答案
北京市海淀区2017届高三上学期期中考试(理科数学)含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科) 2016.11 本试卷共 4 页...
2017届海淀区高三年级第一学期期中语文试题及答案
2017届海淀区高三年级第一学期期中语文试题及答案_高三语文_语文_高中教育_教育专区。2017届海淀区高三年级第一学期期中试题 语文2016.11 一、本大题共8小题,共...
北京市海淀区2016-2017高三年级第一学期期中练习语文(Word版有答案)
北京市海淀区2016-2017高三年级第一学期期中练习语文(Word版有答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 语文一、本大题共 8 小...
北京市海淀区2017届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)
考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上 海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科)作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 2016.11 本...
2016-2017北京市海淀区高三年级第一学期期中练习语文(Word版有答案)
2016-2017北京市海淀区高三年级第一学期期中练习语文(Word版有答案)_高三语文_语文_高中教育_教育专区。2016-2017北京市海淀区高三年级第一学期期中练习语文(Word版...
北京市海淀区2016-2017年高三物理期中试题和答案
北京市海淀区2016-2017年高三物理期中试题和答案,海淀高三第一学期期中考试物理 海淀区高三年级第一学期期中练习 物 理 2016.11 说明:本试卷共8页,共100分。考试...
更多相关标签:
2016 2017年第一学期 | 2016 2017第一学期 | 2017年海淀区腾退规划 | 海淀区2017棚户区改造 | 2017海淀区自住商品房 | 2017海淀区高三期中 | 2017海淀区自住房项目 | 2017海淀区期中考试 |