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2016届高考数学(理)二轮复习专题课件:第2讲 三角函数的图象与性质(全国通用)


专题六

三角函数与解三角形

第2讲

三角函数的图象与性质

专题六

三角函数与解三角形

2016考向导航 历届高考考什 么? 1.三角函数的图 象与性质 2.三角函数y= Asin(ωx+φ)或y =Acos(ωx+φ) 卷Ⅰ, T8 三年真题统计 2015 2014 2013 卷Ⅰ,T6 卷Ⅱ,T14 2016会怎样考? (1)以三角函数 的恒等变换为平 台,转化成y= Asin(ωx+φ), 写出其相关性质 (2)对称性与三 角函数的特殊取 值是重点

的图象、性质
及解析式

1.必记概念与定理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

?-π + 2kπ , ? 2 [-π+2kπ, π + 2kπ ?为增; 2kπ]为增; ? 2 单调性 π ? + 2kπ , [2kπ,π+ ?2
3π ? + 2kπ 为减 ? 2

?-π + kπ , ? 2
π + kπ ? 为 ? 2 增

2kπ]为减

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

对称中心

(kπ,0)

?kπ +π , 0? ?kπ , 0? ? ? ?2 ? 2

对称轴

π x= kπ+ 2

x = kπ



2.活用公式与结论 (1)三角函数的两种常见变换 ① y= sin x ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 平移|φ|个单位长度
向左( φ>0)或向右( φ<0)

1 横坐标变为原来的 倍 ω y= sin(x+ φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 纵坐标不变

y= sin(ωx+ φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω >0).

纵坐标变为原来的A倍

② y= sin

1 横坐标变为原来的 倍 ω― x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 纵坐标不变 向左( φ>0)或向右( φ<0) ω

y= sin ω x ― ― ― ― φ ― ― ― ― ― ― → 平移| |个单位长度

y= sin(ωx+ φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω >0).

纵坐标变为原来的A倍

(2)确定函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω >0)解析式的方法 最大值-最小值 最大值+最小值 2π A= ,B= ,ω= ,求 φ 时, 2 2 T 常根据“五点法”中的第一个点求解,可以根据图象的升降找 准第一个零点的位置,把第一个零点作为突破口.

3.辨明易错易混点 (1)三角函数值是比值, 是一个实数, 这个实数的大小和点 P(x, y)在终边上的位置无关,只由角 α 的终边位置决定. (2)求 y= Asin(ωx+ φ)的单调区间时, 要注意 ω, A 的符号. ω<0 时,应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解;在书 写单调区间时,不能弧度和角度混用,需加 2kπ 时,不要忘掉 k∈ Z,所求区间一般为闭区间. (3)在平移变换中易忽视平移前后两个函数的名称变化, 若不一 致,应先利用诱导公式化为同名函数.

考点一

三角函数的性质

(2014· 高考课标全国卷Ⅱ,5分)函数f(x)=sin(x+2φ) 1 . -2sin φcos(x+φ)的最大值为________
[解析] ∵f(x)=sin(x+2φ)- 2sin φcos(x+φ) =sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)

=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-

2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin[(x+φ)-φ]=sin x, ∴f(x)的最大值为1. [ 名师点评 ] 求解有关三角函数的性质问题时,一般将原式

子化成标准型f(x)=Asin (ω x+φ)+B,然后对比函数y=sin x
的性质进行求解.

函数f(x)=sin(x+2φ)+msin φcos(x+φ)(m是不为0的常数) 的最大值是与φ无关的定值,则m的值为( )D

A.1

B.2

C.-1 D.-2 解析:∵ f(x) = sinφ cos(x+ φ)+ cos φ sin(x+ φ )+ msin φ cos(x+ φ) = cos φ sin(x+ φ)+(1+m )sin φ cos(x+ φ). ∴ f(x)max= cos 2φ +( 1+m)2 sin2φ 2 2 = (m + 2m)sin φ + 1. ∵ f(x)max 是与 φ 无关的定值,∴m 2+ 2m= 0, 又∵m≠ 0,∴m=- 2.

1.已知函数 y= sin ω x(ω>0)在区间 [0, 1]内至少出现 2 次最 大值,则 ω 的最小值为( A ) 5 5 A. π B. π 2 4 3 C.π D. π 2 解析:要使 y=sin ω x(ω>0)在区间 [0,1]内至少出现 2 次最大 5 5 2π 5 值,[0,1]内至少包含 个周期,故只需要 · ≤ 1,故 ω≥ 4 4 ω 2 π.

π 2. 设向量 a=( 3sin x, sin x), b=(cos x, sin x), x∈ [0, ]. 则 2 函数 f(x)= a· b 的最大值为 ( C ) 1 A. 2 B. 1 3 C. 2 D. 2

解析: f(x)= a· b= 3sin x· cos x+sin2 x 3 1 1 = sin 2x- cos 2x+ 2 2 2 π 1 = sin(2x- )+ , 6 2 π π π 当 x= ∈[0, ]时, sin(2x- )取最大值 1. 3 2 6 3 所以 f(x)的最大值为 . 2

3.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0对x∈R恒

?0,π ?∪?5π ,π ? ? 6 ? ? 6 .? 成立,则α的取值范围为 ___________________
解析:由题意,要使 8x2- (8sin α )x+ cos 2α ≥ 0 对 x∈ R 恒 1 2 成立,需 Δ= 64sin α - 32cos 2α ≤ 0,化简得 cos 2α ≥ .又 2 0≤ α≤π , π 5π ∴ 0≤ 2α ≤ 或 ≤ 2α ≤ 2π , 3 3 π 5π 解得 0≤α≤ 或 ≤α ≤π . 6 6

考点二

三角函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图象

与性质及解析式 (2015· 高考全国卷Ⅰ, 5 分 ) 函数 f(x) = cos(ωx + φ) 的部 分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( D )
1 3? ? A. ?kπ - , kπ + ? , k∈ Z 4 4 1 3? ? B. ?2kπ - , 2kπ + ? , k∈ Z 4 4 1 3? ? C. ?k- , k+ ?, k∈ Z 4 4 1 3? ? D. ?2k- , 2k+ ?, k∈ Z 4 4

[解析]

由题图可知, 5 1? ? 周期 T= 2? - ?= 2, 4 4 2π ∴ = 2,∴ ω =π . ω π 1 由π × + φ= + 2kπ , k∈ Z, 4 2 π 不妨取 φ= , 4 π? ? ∴ f(x)= cos?π x+ ?. 4

π 由 2kπ <π x+ < 2kπ +π , 4 1 3 得 2k- < x< 2k+ , k∈ Z, 4 4 ∴ f(x)的单调递减区间为 ?2k-1, 2k+3 ?, k∈ Z.故选 D. ? 4 4?

[名师点评]

利用函数y=Asin (ωx+φ)或y=Acos (ωx+φ)的

图象求解析式的三个基本步骤: (1)先利用周期求ω; (2)再利用图象的水平点或其他特殊点求φ; (3)最后用最值点或图象与y轴的交点求A.

π π 函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0,ω >0,- <φ < )的图象如图所 2 2 示.若点 P、Q 是其图象上的两个极值点,则 |PQ|的最小值为 ( C ) A. 4π B. 4 C. 2 D. 2π π 2+ 4

π 解析:由题图可知,函数 y= Asin(ωx+ φ)的周期 T= 4[ - 3 2 (- π )]= 4π , 3 2π 1 ∴ω = = , 4π 2 2 又∵f(0)= 3, f(- π )=0, 3 ? ?Asin φ = 3 ∴? , π ? ?Asin(- 3 + φ)=0 π π 由 A>0,- <φ < , 2 2

π ∴ A= 2,φ = , 3 π 1 ∴ y= 2sin( x+ ). 2 3 当 P、 Q 是两个极大 (小 )值点时, |PQ|min= T= 4π , 当 P、Q 一个是极大值点,另一个是极小值点时,设 P(x1,y1)、 Q(x2 , y2 ), |PQ|= ( x1- x2 )2+( y1- y2) 2 ≥ ( 2π ) 2+ 42 = 2 π 2+ 4, ∴ |PQ|min= 2 π 2+ 4, ∵ 2 π 2+ 4<4π , ∴ |PQ|min= 2 π 2+ 4,故选 C.

π 1.若函数 f(x)= Asin ( x+ φ)(A>0)满足 f(1)= 0,则 ( D ) 2 A. f(x- 2)一定是奇函数 B. f(x+ 1)一定是偶函数 C. f(x+ 3)一定是偶函数 D. f(x- 3)一定是奇函数 2π 解析:由于函数 f(x)的最小正周期为 = 4,又由 f(1)= 0 可知 π 2 (1, 0)为函数 f(x)图象的一个对称中心,且 f(x- 3)的图象是由 函数 f(x)的图象向右平移 3 个单位所得,故函数 f(x- 3)图象的 一个对称中心为 (4, 0),又函数 f(x)的最小正周期为 4,故(0, 0)也是函数 f(x- 3)图象的一个对称中心,即图象关于原点对 称,函数 f(x- 3)为奇函数,故选 D.

2.函数 f(x)= Asin (ωx+ φ )(A>0,ω >0)的图象如图所示,则 f(1)+ f(2)+ f(3)+?+f(2 016)=(A )

A. 0 B. 2 C. 2+ 1 D. 1

2π π 解析:由题图可知 φ=0,ω = = , 4 T πx ∴ f(x)= 2sin , 4 其图象关于 (4, 0),x= 2, x= 6 对称, ∴ f(1)+ f(2)+ f(3)+?+ f(8)=0, ∵ T= 8, 2 016= 252× 8, ∴ f(1)+ f(2)+ f(3)+?+ f(2 016)



= 0.

3.将函数 f(x)=sin (2x+ φ)(0<φ<π )的图象上所有点向右平移 π π 3 个单位后得到的图象关于原点对称,则 φ 等于 ________ . 6 π 解析:将函数 f(x)=sin (2x+ φ)的图象向右平移 个单位后得 6

π π 到 y=sin [2(x- )+ φ]= sin (2x- + φ)的图象,因为该函数 6 3 π 是奇函数,且 0<φ<π ,所以 φ= . 3

考点三

与三角函数有关的动点轨迹图象的判断

(2014· 高考课标全国卷Ⅰ, 5 分 ) 如图,圆 O 的半径为 1 , A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线 OA,终

边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直
线 OP的距离表示成 x的函数 f(x),则 y= f(x)在[0,π]上的图象 大致为( B )

π? ? [解析] 如图所示,当 x∈ 0, 时,则 P(cos x,sin x), ? 2? M(cos x, 0),作 MM′⊥ OP, M′为垂足, |MM′ | 则 = sin x, |OM| f( x) ∴ = sin x, cos x

1 ∴ f(x)= sin xcos x= sin 2x, 2 π 1 则当 x= 时, f(x)max= ; 4 2 π ? 当 x∈ , π ?时, ?2 ? f( x) 有 = sin (π -x), |cos x| 1 f(x)=- sin xcos x=- sin 2x, 2 3π 1 当 x= 时, f(x)max= . 4 2 只有 B 选项的图象符合.

[ 名师点评 ]
骤:

判断与三角函数有关的动点轨迹的三个基本步

(1)根据几何关系,建立自变量(动点)与相关量之间的关系;

(2)根据目标要求,建立函数关系;
(3)根据函数关系研究其图象与性质时可将平面几何中点所在 的特殊位置与图形结合起来,或将运动变化趋势与图象结合

起来.

如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角
x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂 足为M,将点M到直线OP的距离与O到M的距离之和表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致是( )

B

π 解析:如图所示,当 x∈ [0, )时, 2 则 P (cos x,sin x),

|MM′ | M(cos x, 0),作 MM′⊥ OP, M′为垂足,则 = sin x, |OM| |MM′ | ∴ = sin x, cos x ∴ |MM′|= sin xcos x, |OM|= cos x, 此时 f(x)=sin x· cos x+ cos x.

= cos x(1+ sin x) π 当 x∈ ( , π ]时, 2 |MM′ | = sin (π - x). |cos x| ∴ |MM′ |=- sin xcos x. |OM|= |cos x|=- cos x, 此时 f(x)=- sin xcos x- cos x =-cos x(1+ sin x), ∴ f(x)= |cos x|(1+ sin x), x∈ [0, π ], π ∵ f( )=0,排除 D. 2 π 3 3 3 3 f( )= · = >1, f(0)= 1, 6 2 2 4 排除 A、 C.故选 B.

π π? ? 1.函数 f(x)= 2x-tan x 在?- , ?上的图象大致为( C ) 2 2

解析:函数 f(x)= 2x- tan x 为奇函数, 所以图象关于原点对称,所以排除 A、 B. π 当 x→ 时,f(x)→-∞, 2 故排除 D,选 C.

2.函数y=xcos x+sin x的图象大致为(

)D

解析:法一:令 f(x)= xcos x+ sin x, ∵ f(- x)=-x· cos x- sin x=- f(x), ∴函数 y= xcos x+ sin x 为奇函数,可排除 B. 令 xcos x+ sin x= 0,得 tan x=-x, 在同一坐标系中画出函数 y= tan x 和 y=- x 的图象如图, 由图可知函数 y= xcos x+ sin π x 的零点有一个介于 到 π 之间,可排除 A、 C,故选 D. 2

法二:令 f(x)= xcos x+ sin x, 则 f(- x)=- xcos x-sin x=-f(x), ∴ f(x)为奇函数, ∵奇函数的图象关于原点对称,而 B 中图象不关于原点对称, ∴排除 B; π π 当 x= 时, f(x)= 1,而由 C 中图象知当 x= 时, f(x)≠ 1, 2 2 ∴排除 C; 当 x=π 时, y=-π ,而 A 中,当 x=π 时, y>0, ∴排除 A,故选 D.

3. 如图,P 是等腰直角三角形斜边 AB 上的动点,AC=1, π ∠BCP=x,则函数 y=|CP|=f(x),x∈[0, ]的大致图象 2 是( B )

解析:在△ BCP 中,由正弦定理得 |CP| 1 = , π 3π sin sin ( - x) 4 4 2 2 π ∴ y= f(x)= , x∈[0, ] 2 3π sin ( - x) 4 ∴ f(0)= 1,排除 D,又 f(x)非一次函数 (线性 ),排除 A. 2 π 2 f( )= = 3- 1. 6 6+ 2 4

对于选项 B、 C(如图 ) 2 -1 2 直线 MN 的方程为 y= x+ 1. π 4 π 2+ 1 当 x= 时, y= 6 3 π 2+ 1 而 f( )= 3- 1< . 故选 B. 6 3


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