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评析复习参考对2008年浙江省高考数学卷概率试题的


民族神话 鸿蒙未辟 宇宙洪荒 亿万斯年 四极不张 本文发表于浙 师大《中学教 研》 (数学)2008 年第 12 期

对 2008 年浙江省高考数学卷概率试题的评析
甘建飞(海盐元济高级中学 314300) 卢 明 甘建飞 自 2004 年高考数学浙江省自主命题以来,概率问题文科有三年考大题(2004 年没考) , 理科有四年考大题,2007 年文理科均没有考大题.凡是考的几年中,试题的模型都是摸球, 题次都放在 17 题~19 题的位置,分值为 12~14 分,文理科试题难度差异明显.总体而言 概率试题难度比较平稳,难度系数一般在 0.4~0.7.从概率试题的数据特点看,2004 年和 2006 年袋(或盒子)中球的数量都是已知的,而 2005 年和 2008 年袋(或盒子)中的球的 数量都是未知的,似乎很有规律. 连续考了多年的摸球,今年仍然考摸球,这一点大大出乎人们的意料.值得称颂的是今 年的理科概率试题, 尤其是第二问, 命题者的思路不落俗套, 一改以往的 “计算” “证明” 为 , 给人以全新的感觉. 不仅形式上变了脸, 而且知识的覆盖上也有了拓展, 除了常规考查内容, 如排列组合、对立事件、相互独立事件的概率及随机变量的分布列、数学期望等概念外,还 将利用函数的单调性求最值、不等式的放缩等解题思想内隐其中,提升了试题的品位. 下面笔者对 2008 年浙江理科卷概率试题的解法、存在问题等进行评析. 白球和红球. 已知从袋中任意摸出 1 个球, 题目 一个袋中装有若干个大小相同的黑球、 得到黑球的概率是 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . . . 5 9 (Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii) 从袋中任意摸出 3 个球, 记得到白球的个数为 ξ , 求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ . (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于

2

7

7 .并指出袋中 10

哪种颜色的球个数最少. 1.解法探讨 . (Ⅰ)解: (i)设 10 个球中有 n 个白球. 解法一:记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,则

-1-

P( A) =

1 1 2 C n C10?n C n 7 + 2 = ,即 2 C10 C10 9

n 2 ? 19n + 70 = 0 ,
所以 n = 5 , n = 14 (舍) . 故袋中有白球 5 个. 解法二:利用“解法一”中 A 事件的对立事件来计算. 记 A 的对立事件为 B ,即“从袋中任意摸出 2 个球都不是白球” ,则

P ( A) = 1 ? P ( B ) = 1 ?

2 C10? n 7 = ,解得 n = 5 . 2 9 C10

(ii)由(i)知袋中有白球 5 个,且黑球和红球一共 5 个. 随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3,分布列是
3 C5 1 P (ξ = 0) = 3 = , C10 12 1 C 52 C 5 5 = , 3 12 C10 1 C 5 C 52 5 P (ξ = 1) = = , 3 12 C10 3 C5 1 = . 3 C10 12

P (ξ = 2) =

P (ξ = 3) =

ξ 的数学期望 Eξ = 0 ×
(Ⅱ)证明:

1 5 5 1 3 + 1× + 2 × + 3 × = . 12 12 12 12 2 2 m, m ≥5, m. 且 5| 5

证法一: 设袋中共有 m 个球, 其中 y 个黑球. 由题意得 y =

记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球”为事件 C,C 的对立事 ,则 件为 D ,即“从袋中任意摸出 2 个球都不是黑球”

C2 P( D) =

C

2 m? m 5 2 m

3 3 m( m ? 1) 9 6 5 5 = = ? . m(m ? 1) 25 25(m ? 1) 9 6 ? ( x ≥ 5) ,因为 25 25( x ? 1)

构造函数 f ( x ) =

f / ( x) =

6 > 0 ,所以 f (x) 在 [5,+∞ ) 上单调递增. 25( x ? 1) 2 9 6 9 6 3 ? ≥ ? = . 25 25(m ? 1) 25 25(5 ? 1) 10 3 7 = . 10 10



P ( D) =

等且仅当 m = 5 时取等号.所以,当 m ≥ 5 时总有

P (C ) < 1 ? P ( D) = 1 ?

-2-

即从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率小于 小于 .. 又

7 . 10

7 7 2 < ,所以白球数量多于黑球数量,即白球数量多于 m ,因 10 9 5 1 此红球数量少于 m ,故袋中红球个数最少. 5
证法二:假设同“证法一” ,直接利用对立事件算.

m ? y m ? y ?1 P(C ) = 1 ? P( D) = 1 ? × = 1? m m ?1 2 m 3 6 5 )= 2+ = 1 ? × (1 ? . 1 5 m ?1 5 25(1 ? ) m
构造函数 f ( x) =

2 2 m ? m m ? m ?1 5 × 5 m m ?1

2 + 5

6 1 25(1 ? ) x

( x ≥ 5) ,易知 f (x) 在 [5,+∞ ) 上单调

递减.于是

P(C ) =

2 + 5

6 25(1 ? 1 ) m



2 + 5

6 1 25(1 ? ) 5

=

7 . 10

等且仅当 m = 5 时取等号. 评注: “证法一”的结论“ 评注: 分

7 7 ”是取不到的,而“证法二”的结论至此却无法排除“ ” . 10 10

析:从袋中任意摸出 2 个球有三种情况: (黑,黑)(黑,非黑)(非黑, 、 、 非黑) .

证法三:设袋中共有 m 个球,其中 y 个黑球.由题意得 y =

2 m ,且 m ≥ 5 , 5

5| m .记“任意摸出 2 个球,第一次摸到黑球”为事件 D, “任意摸 出 2 个球,恰好第二次摸到黑球”为事件 E,则 D 与 E 互斥.于是

P (C ) = P ( D) P ( E) + y y ?1 m ? y 3 y y 3 y ( + )+ × = + × m m ?1 m ?1 5 m ?1 m 5 m ?1 2 2 m m 3 5 2 6 1 2 6 1 7 = 5 + × = + × ≤ + × = . 1 5 25 1 10 m 5 m ? 1 5 25 1? 1? m 5 7 ” . 评注: “证法三”的结论同样无法排除“ 评注: 10
=
-3-

证法四: 试题标准答案的解法 (试题标准答案的解法 试题标准答案的解法)设袋中共有 n 个球,其中 y 个黑球. 由题意得 y = 所以 即 所以

2 n, 5 4 2y = n < n , 5

(1) (2)

2y ≤ n ?1, y 1 ≤ . n ?1 2

记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球”为事件 C,则

P(C ) =
评注: “证法四”无法排除“ 评注:

1 2 3 Cy 2 3 y 2 3 1 7 + × 1 = + × ≤ + × = . 5 5 C m?1 5 5 m ? 1 5 5 2 10

7 ” ,原因是由于从(1)式推到(2)式时出现的“等号”而 10 4 引起的.事实上,当等号取到时, n = n ? 1 ? n = 5 只有唯一解,因此(2)式中当 n > 5 5
时等号不可能成立. ) 2.错误归纳 . 学生在解本题过程中出现的主要错误和思维障碍是: 一是不能准确地完成数学建模, 即在古典概型问题中不能准确地把握 “符合限制条件的 所有基本事件的数量” 的求法. 二是不能熟练运用对立事件, 使解题过程未能达到最优化. 三 是遇到用分式表述、 含有参数的概率证明题学生觉得无从下手, 没有联想到可以利用函数的 单调性求最值和不等式放缩等方法来予以解决, 导致思维搁浅. 四是虽能判断出袋中红球的 个数最少,但是在解题过程中没有进行具体的说明或推演. 3.解题回顾 . 3.1 命题背景 . 与本题背景相似的命题是: 一个袋中装有 10 个大小相同的小球,其中 4 个黑球,5 个白球,1 个红球.求: (Ⅰ)从袋中随机摸出 1 个球是黑球的概率; (Ⅱ)从袋中随机摸出 2 个球,至少有 1 个是白球的概率. 将以上命题的条件和结论互换,使袋中球的数量变成未知,再进行适当的改造,并推广 到一般,便成为本题的模型.特别是本题第二问的证明,把概率问题与函数方法、不等式方 法相联系,体现了在多种知识的交汇点处命题的思想,突出了对学生分析问题、解决问题和 知识的综合应用能力的考查,与往年的试题相比, “熟”中有“新” . 3.2 反思与探讨 . 笔者认为以下二个问题值得探讨. 第一,袋中球的总数最少应该是几个?试题的第二问要求证的结论“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 ,从逻辑上讲“小于 ...10 ” ..10 ”或“等于 10 ”两个

7

7

7

-4-

结论中只要有一个成立即结论成立.但是在这个概率模型中,当且仅当 m = 5 时才能取到 “

7 7 ” .事实上袋中球的总数必须满足 5 | m 且 m ≥ 10 ,即“ ”是取不到的.下面给出 10 10
假设 m = 5 ,则由“从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 ”知,袋中有 2 个 . 5

证明:

2

黑球,于是袋中白球和红球总数为 3 个.设白球为 x 个,则从袋中任意摸出 2 个球,至少得 到 1 个白球的概率为 .
1 C 1 C 5? x C x2 7 x + 2 = C 52 C5 9



9 x 2 ? 81x + 140 = 0 .

所以 m ≥ 10 . 易知,m = 10 显然, 2、 都不是上述一元二次方程的根, 1、 3 矛盾. m ≠ 5 , 故 符合题意. 第二,除了 10 以外,袋中第二个符合题意的球的总数是几?为了搞清这个问题,笔者 编了以下程序: input x n=5 do c=2 Do a=2*n*(n-1) b=9*c*(c-1) if a=b then print n en dif c=c+1 loop until c>n-1 print n n=n+5 loop until n>x end 输入 n=70000,经运行后得到如下十一组解: 10,10990,25835,34770,37725,46660,49615,52570,55525,64460,67415. 可见,袋中第二个符合题意的球的总数是 10990.鉴于此,如果在本题条件中加上“袋 中球的总数不少于 10 个”的限制条件,并将第二问的求证结论加强为“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率小于 ..

7 ” ,那么命题将更加严谨、完美. 10
执笔: 执笔:卢明

-5-


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