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2015-2016学年湖北省武汉市江岸区高二(下)期末数学试卷(理科)解析版


2015-2016 学年湖北省武汉市江岸区高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2016 春?江岸区期末)已知复数 z= ,设 是 z 的共轭复数,则复数 在复

平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第

二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (5 分) (2016 春?江岸区期末)下面几种推理中是演绎推理的序号为( A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电 B.猜想数列
2



{an}的通项公式为

(n∈N+)

C.半径为 r 圆的面积 S=πr ,则单位圆的面积 S=π 2 2 2 D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,推测空间直角坐标系中球的 2 2 2 2 方程为(x﹣a) +(y﹣b) +(z﹣c) =r 3. (5 分) (2016 春?江岸区期末)利用数学归纳法证明不等式 1+ + +… ≥2,n∈N )的过程中,由 n=k 变到 n=k+1 时,左边增加了( k﹣1 k A.1 项 B.k 项 C.2 项 D.2 项 4. (5 分) (2016 春?江岸区期末)下列各命题中,不正确的是( A.若 f(x)是连续的奇函数,则 B.若 f(x)是连续的偶函数,则 C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则 D.若 f(x)在[a,b]上连续,且 ,则 f(x)在[a,b]上恒正
*

<f(n) (n

) )

5. (5 分) (2016 春?江岸区期末)已知椭圆 则双曲线的渐近线方程是( A.x=± y B.y=± ) x C.x=±

+

=1 和双曲线



=1 有公共焦点,

y D.y=±

x

6. (5 分) (2016 春?江岸区期末)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列, 则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.
x 2

7. (5 分) (2016 春?江岸区期末)设函数 f(x)=(x﹣2)e +a(x﹣1) (a≥0)在(0,2) 内有两个零点,则实数 a 的取值范围是( )

A.a>0 B.a>1 C.a> D.a>2 2 8. (5 分) (2016 春?江岸区期末)设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F、准线为 l,过抛物 线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B,设 C( p,0) ,AF 与 BC 相交于点 E,若|CF|=2|AF|, 且△ACE 的面积为 3,则 p 的值是( ) A.3 B.3 C. D.2 9. (5 分) (2016 春?江岸区期末)记动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角 线 BD1 上一点,记 =λ ,当∠APC 为钝角时,则 λ 的取值范围为( )

A. (0,1) B. ( ,1) C. (0, ) D. (1,3) 10. (5 分) (2016?安庆校级模拟)若过点 P(a,a)与曲线 f(x)=xlnx 相切的直线有两条, 则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,e) B. (e,+∞)C. (0, ) D. (1,+∞)

11. (5 分) (2016?太原二模)已知双曲线 交于点 P,若函数 y= 心率是( ) A. B.

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象

的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,则双曲线的离

C.

D.

12. (5 分) (2016?开封四模)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,? x∈R,有 f(﹣x) 2 +f(x)=x ,在(0,+∞)上 f′(x)<x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数 m 的取 值范围为( ) A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) 二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2016 春?江岸区期末) dx 的值等于 .

14. (5 分) (2014?凉州区二模)对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式: 2 2 2 2 =1+3 3 =1+3+5 4 =1+3+5+7… 3 3 3 2 =3+5 3 =7+9+11 4 =13+15+17+19… 2 3 根据上述分解规律,若 m =1+3+5+…+11,p 分解中最小正整数是 21,则 m+p= . ﹣x﹣2 15. (5 分) (2016 春?江岸区期末)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e ﹣x, 则曲线 y=f(x)在点(2,3)处的切线方程是 . 16. (5 分) (2016 春?江岸区期末)卵形线是常见曲线的一种,分笛卡尔卵形线和卡西尼卵 形线,卡西尼卵形线是平面内与两个定点(叫做焦点)距离之积等于常数的点的轨迹.某同 学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究,设焦点 F1(﹣c,0) ,F2(c, 2 0)是平面内两个定点,|PF1|?|PF2|=a (a 是定长) ,得出卡西尼卵形线的相关结论:①既 是轴对称图形也是中心对称图形; ②若 a=c, 则曲线过原点; ③若 0<a<c, 则曲线不存在; 2 2 2 2 2 2 ④若 0<c<a,则 a ﹣c ≤x +y ≤a +c .其中正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,70 分) 17. (10 分) (2016 春?江岸区期末)设函数 f(x)=(x+a)e ,已知曲线 y=f(x)在点(1, f(1) )处切线与直线 ex﹣y=0 平行. (1)求 a 的值; (2)求 y=f(x)的单调区间. 18. (12 分) (2012?泉州一模)已知点 F(1,0) ,直线 l:x=﹣1,动点 P 到点 F 的距离等 于它到直线 l 的距离. (Ⅰ)试判断点 P 的轨迹 C 的形状,并写出其方程. (Ⅱ)是否存在过 N(4,2)的直线 m,使得直线 m 被截得的弦 AB 恰好被点 N 所平分? 19. (12 分) (2016 春?江岸区期末)已知函数 f(x)=alnx+ x ﹣(1+a)x. (1)当 a>1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若 f(x)≥0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 20. (12 分) (2016 春?江岸区期末)如图,已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面,平面 ABCD∩平面 ABPE=AB,且 AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且 AE∥BP. (Ⅰ)设点 M 为棱 PD 中点,求证:EM∥平面 ABCD; (Ⅱ) 线段 PD 上是否存在一点 N, 使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ?若存 在,试确定点 N 的位置;若不存在,请说明理由.
2 x

21. (12 分) (2016?河南模拟)已知椭圆 C:

的离心率为

,点

在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满 足此圆与 l 相交两点 P1,P2(两点均不在坐标轴上) ,且使得直线 OP1,OP2 的斜率之积为 定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由. 22. (12 分) (2010?广东模拟)已知函数 f(x)=lnx+ (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在极值,求 f(x)的零点个数. ﹣kx(k 为常数)

2015-2016 学年湖北省武汉市江岸区高二(下)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2016 春?江岸区期末)已知复数 z= ,设 是 z 的共轭复数,则复数 在复

平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z,求出 ,得到复数 在复平面上对应 的点的坐标,则答案可求. 【解答】解:复数 z= = ,

由 是 z 的共轭复数,得 . 则复数 在复平面上对应的点的坐标为: (﹣1,1) ,位于第二象限. 故选:B. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题. 2. (5 分) (2016 春?江岸区期末)下面几种推理中是演绎推理的序号为( A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电 B.猜想数列
2



{an}的通项公式为

(n∈N+)

C.半径为 r 圆的面积 S=πr ,则单位圆的面积 S=π 2 2 2 D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,推测空间直角坐标系中球的 2 2 2 2 方程为(x﹣a) +(y﹣b) +(z﹣c) =r 【分析】 本题考查的是演绎推理的定义, 判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否 符合演绎推理的定义,能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分. 【解答】解:选项 A 是由特殊到一般的推理过程,为归纳推理, 选项 B 是由特殊的 n 的值:1,2,3,…到一般的值 n 的推理过程,为归纳推理, 2 对于 C:半径为 r 圆的面积 S=πr ,因为单位圆的半径为 1,则单位圆的面积 S=π 中 2 半径为 r 圆的面积 S=πr ,是大前提 单位圆的半径为 1,是小前提 单位圆的面积 S=π 为结论. C 是演绎推理; 选项 D 是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程, 故选 C. 【点评】 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义, 即是否是 由特殊到一般的推理过程.

判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义, 即是否是由特殊到 与它类似的另一个特殊的推理过程. 判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义, 能否从推理过程中 找出“三段论”的三个组成部分.

3. (5 分) (2016 春?江岸区期末)利用数学归纳法证明不等式 1+ + +… ≥2,n∈N )的过程中,由 n=k 变到 n=k+1 时,左边增加了( k﹣1 k A.1 项 B.k 项 C.2 项 D.2 项 【分析】依题意,由 n=k 递推到 n=k+1 时,不等式左边为 1+ + +…+ + + +…+
*

<f(n) (n



,与 n=k 时不等式的左边比较即可得到答案.

【解答】解:用数学归纳法证明等式 1+ + +…+

<f(n) (n≥2,n∈N )的过程中,

*

假设 n=k 时不等式成立,左边=1+ + +…+



则当 n=k+1 时,左边=1+ + +…+

+

+

+… +



∴由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式左边增加了:
k+1 k k

+

+… +



共(2 ﹣1)﹣2 +1=2 项, 故选:D. 【点评】本题考查数学归纳法,考查观察、推理与运算能力,属于中档题. 4. (5 分) (2016 春?江岸区期末)下列各命题中,不正确的是( A.若 f(x)是连续的奇函数,则 B.若 f(x)是连续的偶函数,则 C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则 D.若 f(x)在[a,b]上连续,且 【分析】A..若 f(x)是连续的奇函数,则 出答案; B.若 f(x)是连续的偶函数,则 = ,据此即可判断出答案; ,则 f(x)在[a,b]上恒正 = ,据此即可判断 )

C.因为 f(x)在[a,b]上连续且恒正,根据其单调性即可判断出是否正确; D.举出反例即可否定. 【解答】解:A.∵f(x)是连续的奇函数,∴ ﹣ =0,故 A 正确; = =2 , = + =

B. ∵( f x) 是连续的偶函数, ∴ 故 B 正确; C.∵f(x)在[a,b]上连续且恒正,∴ D.举反例: = =4﹣

,故 C 正确; ,而 f(x)=x 在区间[﹣1,0)上恒小于 0,
3

即函数 f(x)在区间[﹣1,2]上不恒为正,故 D 不正确. 综上可知:只有 D 不正确. 故选 D. 【点评】正确理解定积分的性质是解题的关键.

5. (5 分) (2016 春?江岸区期末)已知椭圆 则双曲线的渐近线方程是( A.x=± y B.y=± ) x C.x=±
2 2 2

+

=1 和双曲线



=1 有公共焦点,

y D.y=±
2 2

x
2

【分析】由题意可得焦点在 x 轴上,2m ﹣n =m +n ,化为 m =2n ,运用双曲线的渐近线方 程,即可得到所求. 【解答】解:由题意可得焦点在 x 轴上, 椭圆
2 2

+
2

=1 和双曲线
2 2 2



=1 有公共焦点,可得:

2m ﹣n =m +n ,化为 m =2n , 即 m=± n, 即有双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y=±| |x,

即为 y=±

x.即 x=±

y,

故选:C. 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用椭圆和双曲线的基本量的关系,考 查运算能力,属于基础题. 6. (5 分) (2016 春?江岸区期末)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列, 则该椭圆的离心率是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为 2c,2b,2a,通过椭圆的短轴长是长轴 长与焦距的等比中项,建立关于 a,b,c 的等式,求出椭圆的离心率即可. 【解答】解:设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为 2c,2b,2a, ∵椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列, ∴4b =2a?2c, 2 ∴b =a?c 2 2 2 ∴b =a ﹣c =a?c, 2 2 两边同除以 a 得:e +e﹣1=0, 解得,e= ∴e= . (舍负) ,
2

故选:B. 【点评】本题考查椭圆的基本性质,等比数列性质的应用,考查计算能力,属于基础题. 7. (5 分) (2016 春?江岸区期末)设函数 f(x)=(x﹣2)e +a(x﹣1) (a≥0)在(0,2) 内有两个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A.a>0 B.a>1 C.a> D.a>2 【分析】 根据函数与方程之间的关系, 利用参数分离法进行转化, 构造函数, 求函数的导数, 利用导数研究函数的单调性,利用数形结合进行求解即可. 【解答】解:由 f(x)=0 得 a(x﹣1) =﹣(x﹣2)e , 当 x=1 时,方程不成立, 即 x≠1,则 a= ,
2 x x 2

设 h(x)=



则 h′(x)=

=

=



当 0<x<2 且 x≠1 时,由 h′(x)>0 得 0<x<1, 此时函数单调递增, 由 h′(x)<0 得 1<x<2, ∵h(0)=2,h(2)=0,当 x→1 时,h(x)→+∞, x 2 ∴要使 f(x)=(x﹣2)e +a(x﹣1) (a≥0)在(0,2)内有两个零点,

则 a>2, 故选:D.

【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用参数分离法构造函数,求出函数的导数,利 用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.综合性较强,难度较大. 8. (5 分) (2016 春?江岸区期末)设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F、准线为 l,过抛物 线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B,设 C( p,0) ,AF 与 BC 相交于点 E,若|CF|=2|AF|, 且△ACE 的面积为 3,则 p 的值是( ) A.3 B.3 C. D.2 【分析】化简参数方程为普通方程,求出 F 与 l 的方程,然后求解 A 的坐标,利用三角形 的面积列出方程,求解即可. 【解答】解:抛物线 y =2px(p>0)焦点为 F( ,0) ,如图:过抛物线上一点 A 作 l 的垂 线,垂足为 B, 设 C( p,0) ,AF 与 BC 相交于点 E. |CF|=2|AF|, |CF|=2p,|AB|=|AF|=p,A( p,p) , ∵ = =
2 2

∴可得 S△ ACF=S△ ACE. ∵△ACE 的面积为 3,即: × ×2p×p=3, 解得 p=3. 故选:A.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,三角形面积的计算,考查分析问题解决问题的 能力,属于中档题. 9. (5 分) (2016 春?江岸区期末)记动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角 线 BD1 上一点,记 =λ ,当∠APC 为钝角时,则 λ 的取值范围为( )

A. (0,1) B. ( ,1) C. (0, ) D. (1,3) 【分析】由题意,以 出 、 、 、 为单位正交基底建立空间直角坐标系,利用坐标表示求 ? <0,得出关于 λ 的不等式,求出解集即可. 为单位正交基底,

,由∠APC 为钝角等价于 、 、

【解答】解:由题意知,以

建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz, 则有 A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,D(0,0,1) ; 由 所以 = =(1,1,﹣1) ,得 = + + =λ =(λ,λ,﹣λ) ,

=(﹣λ,﹣λ,λ)+(1,0,﹣1)=(1﹣λ,﹣λ,λ﹣1) , =(﹣λ,﹣λ,λ)+(0,1,﹣1)=(﹣λ,1﹣λ,λ﹣1) ,

显然∠APC 不是平角, 所以∠APC 为钝角等价于 cos∠APC=cos< , >= ,

则等价于

?

<0;
2

即(1﹣λ) (﹣λ)+(﹣λ) (1﹣λ)+(λ﹣1) =(λ﹣1) (3λ﹣1)<0, 解得 <λ<1; 因此,λ 的取值范围是( ,1) . 故选:B.

【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角,以及一元二次不等式的解法问题,属于基 础题. 10. (5 分) (2016?安庆校级模拟)若过点 P(a,a)与曲线 f(x)=xlnx 相切的直线有两条, 则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,e) B. (e,+∞)C. (0, ) D. (1,+∞) ,

【分析】 设切点为 (m, mlnm) , 求出导数, 求得切线的斜率, 由两点的斜率公式可得 = 设 g(m)=

,求出导数和单调区间,可得最大值,由题意可得 0< < ,解不等式即

可得到所求范围. 【解答】解:设切点为(m,mlnm) ,f(x)=xlnx 的导数为 f′(x)=1+lnx, 可得切线的斜率为 1+lnm, 由切线经过点 P(a,a) ,可得 1+lnm= 化简可得 = , (*) , ,

由题意可得方程(*)有两解, 设 g(m)= ,可得 g′(m)= ,

当 m>e 时,g′(m)<0,g(m)递增; 当 0<m<e 时,g′(m)>0,g(m)递减. 可得 g(m)在 m=e 处取得最大值 , 即有 0< < ,解得 a>e. 故选:B. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,考查函数方程的转 化思想,以及运算能力,属于中档题.

11. (5 分) (2016?太原二模)已知双曲线 交于点 P,若函数 y= 心率是( ) A. B.

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象

的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,则双曲线的离

C.

D.

【分析】设出切点坐标,通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出 切点坐标,然后求解双曲线的离心率. 【解答】解:设 ,函数 y= 的导数为:y′= ,∴切线的斜率为 ,

又∵在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,∴

,解得 x0=1,

∴P(1,1) ,可得

,c =a +b .c=1,解得 a=

2

2

2

因此

,故双曲线的离心率是



故选 A; 【点评】 本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法, 结合双曲线的标准方程与离 心率,对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求. 12. (5 分) (2016?开封四模)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,? x∈R,有 f(﹣x) +f(x)=x ,在(0,+∞)上 f′(x)<x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数 m 的取 值范围为( ) A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) 【分析】令 g(x)=f(x)﹣ x ,由 g(﹣x)+g(x)=0,可得函数 g(x)为奇函数.利 用导数可得函数 g(x)在 R 上是减函数,f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m,即 g(4﹣m)≥g (m) ,可得 4﹣m≤m,由此解得 a 的范围. 【解答】解:令 g(x)=f(x)﹣ x , ∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣ x +f(x)﹣ x =0, ∴函数 g(x)为奇函数. ∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x<0, 故函数 g(x)在(0,+∞)上是减函数,故函数 g(x)在(﹣∞,0)上也是减函数, 由 f(0)=0,可得 g(x)在 R 上是减函数, ∴f(4﹣m)﹣f(m)=g(4﹣m)+ (4﹣m) ﹣g(m)﹣ m =g(4﹣m)﹣g(m)+8 ﹣4m≥8﹣4m, ∴g(4﹣m)≥g(m) ,∴4﹣m≤m,解得:m≥2,
2 2 2 2 2 2 2

故选:B. 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性、 单调性的应用, 体现了转化的数学思想, 属于中档题. 二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2016 春?江岸区期末) dx 的值等于 ﹣1 .

【分析】先根据二倍角公式化简被积函数,再根据定积分的计算法则计算即可. 【解答】解: dx= =cosx﹣sinx,



dx=

(cosx﹣sinx)dx=(sinx+cosx)|

=(sin

+cos

)﹣

(sin0+cos0)= ﹣1, 故答案为: ﹣1 【点评】本题考查了定积分的计算,关键是求出原函数,属于基础题. 14. (5 分) (2014?凉州区二模)对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式: 2 2 2 2 =1+3 3 =1+3+5 4 =1+3+5+7… 3 3 3 2 =3+5 3 =7+9+11 4 =13+15+17+19… 2 3 根据上述分解规律,若 m =1+3+5+…+11,p 分解中最小正整数是 21,则 m+p= 11 . 2 3 【分析】根据 m =1+3+5+…+11,p 的分解中最小的正整数是 21,利用所给的分解规律,求 出 m、p,即可求得 m+p 的值. 【解答】解:∵m =1+3+5+…+11= ∴m=6 ∵2 =3+5,3 =7+9+11, 3 4 =13+15+17+19, 3 ∴5 =21+23+25+27+29, 3 ∵p 的分解中最小的数是 21, 3 3 ∴p =5 ,p=5 ∴m+p=6+5=11 故答案为:11 【点评】本题考查归纳推理,考查学生的阅读能力,确定 m、p 的值是解题的关键. 15. (5 分) (2016 春?江岸区期末)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e 则曲线 y=f(x)在点(2,3)处的切线方程是 2x﹣y﹣1=0 . 【分析】由偶函数的定义,可得 f(﹣x)=f(x) ,即有 f(x)=e 可得切线的斜率,由点斜式方程,即可得到所求切线的方程. 【解答】解:f(x)为偶函数,可得 f(﹣x)=f(x) , 由 x≤0 时,f(x)=e ﹣x, x﹣2 当 x>0 时,﹣x<0,即有 f(﹣x)=e +x, x﹣2 可得 f(x)=e +x,x>0.
﹣x﹣2 ﹣x﹣2

2

=36,

3

3

﹣x,

x﹣2

+x,x>0.求出导数,

由 f′(x)=e +1, 0 可得曲线 y=f(x)在点(2,3)处的切线的斜率为 e +1=2, 即有曲线 y=f(x)在点(2,3)处的切线的方程为 y﹣3=2(x﹣2) , 即为 2x﹣y﹣1=0. 故答案为:2x﹣y﹣1=0. 【点评】本题考查函数的性质和运用,主要是偶函数的定义的运用,考查导数的运用:求切 线的方程,正确求导和运用点斜式方程是解题的关键,属于中档题. 16. (5 分) (2016 春?江岸区期末)卵形线是常见曲线的一种,分笛卡尔卵形线和卡西尼卵 形线,卡西尼卵形线是平面内与两个定点(叫做焦点)距离之积等于常数的点的轨迹.某同 学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究,设焦点 F1(﹣c,0) ,F2(c, 2 0)是平面内两个定点,|PF1|?|PF2|=a (a 是定长) ,得出卡西尼卵形线的相关结论:①既 是轴对称图形也是中心对称图形; ②若 a=c, 则曲线过原点; ③若 0<a<c, 则曲线不存在; 2 2 2 2 2 2 ④若 0<c<a,则 a ﹣c ≤x +y ≤a +c .其中正确命题的序号是 ①②③④ . 【分析】由题意设 P(x,y) ,则
2 2 4

x﹣2

?

=a ,即[(x+c) +y ]?[(x

2

2

2

﹣c) +y ]=a ,对 4 个选项加以验证,即可得出结论. 【解答】解:由题意设 P(x,y) ,则
2 2 2 2 4

?

=a ,

2

即[(x+c) +y ]?[(x﹣c) +y ]=a , ①把方程中的 x 被﹣x 代换,方程不变,故此曲线关于 y 轴对称;把方程中的 y 被﹣y 代 换,方程不变,故此曲线关于 x 轴对称;把方程中的 x 被﹣x 代换,y 被﹣y 代换,方程不 变,故此曲线关于原点对称;故①正确; ②a=c, (0,0)代入,方程成立则曲线过原点,即故②正确; ③∵(|PF1|+|PF2|)min=2c, (当且仅当,|PF1|=|PF2|=c 时取等号) ,∴(|PF1||PF2|) 2 min=c ,∴若 0<a<c,则曲线不存在,故③正确; 2 2 2 2 2 2 ④若 0<c<a,则类比椭圆的性质,可得 a ﹣c ≤x +y ≤a +c ,故④正确. 故答案为:①②③④. 【点评】本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确运用新定义是关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,70 分) x 17. (10 分) (2016 春?江岸区期末)设函数 f(x)=(x+a)e ,已知曲线 y=f(x)在点(1, f(1) )处切线与直线 ex﹣y=0 平行. (1)求 a 的值; (2)求 y=f(x)的单调区间. 【分析】 (1)根据两直线平行的条件,求出曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率 k, 求出函数 f(x)的导函数 f′(x) ,令 x=1,f′(1)=k,求出 a; (2)将(1)中的 a 代入原式,求出 f(x)的导函数 f′(x) ,令 f′(x)>0,得出 y=f(x) 的单调增区间,令 f′(x)<0,得出 y=f(x)的单调减区间. 【解答】解: (1)∵曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线与直线 ex﹣y=0 平行, 直线 ex﹣y=0 的斜率为 e, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处切线的斜率为 k=e. x x ∵函数 f(x)=(x+a)e 的导函数为 f′(x)=e (1+x+a) , 令 x=1,∴f′(1)=k=e,即 e(2+a)=e,

解得 a=﹣1; (2)f(x)=(x﹣1)e , x ∴f′(x)=e ?x, 令 f′(x)>0,解得 x>0;令 f′(x)<0,解得 x<0, ∴y=f(x)的单调减区间为(﹣∞,0) ,单调增区间为(0,+∞) . 【点评】 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 考查了利用导数研究函数的单调性, 考查了运算能力,属于中档题. 18. (12 分) (2012?泉州一模)已知点 F(1,0) ,直线 l:x=﹣1,动点 P 到点 F 的距离等 于它到直线 l 的距离. (Ⅰ)试判断点 P 的轨迹 C 的形状,并写出其方程. (Ⅱ)是否存在过 N(4,2)的直线 m,使得直线 m 被截得的弦 AB 恰好被点 N 所平分? 【分析】 (Ⅰ)根据点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离,利用抛物线的定义,可得点 2 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点、直线 x=﹣1 为准线的抛物线,从而可求抛物线方程为 y =4x; (Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,由中点坐标公式可得 ,直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程与抛物线方
x

程联立,消去 y,利用

,可得结论;解法二:假设存在满足题设的

直线 m. 设直线 m 与轨迹 C 交于 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由中点坐标公式可得



设直线 m 的方程与抛物线方程联立,消去 x,利用 y1+y2=4a=4,可得结论; 解法三:假假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由中点坐标公式可得 ,利用点差法求直线的斜率,从而可得结论.

【解答】解: (Ⅰ)因为点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离, 所以点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点、直线 x=﹣1 为准线的抛物线,…(2 分) 2 所以方程为 y =4x.…(5 分) (Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2, y2) , 依题意,得 .…(6 分)

①当直线 m 的斜率不存在时,不合题意.…(7 分) ②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y﹣2=k(x﹣4) ,…(8 分) 联立方程组 (9 分) ,消去 y,得 k x ﹣(8k ﹣4k+4)x+(2﹣4k) =0, (*)
2 2 2 2




2

,解得 k=1.…(10 分)

此时,方程(*)为 x ﹣8x+4=0,其判别式大于零,…(11 分) ∴存在满足题设的直线 m,且直线 m 的方程为:y﹣2=x﹣4,即 x﹣y﹣2=0.…(13 分) 解法二:假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 依题意,得 .…(6 分)

易判断直线 m 不可能垂直 y 轴,…(7 分) ∴设直线 m 的方程为 x﹣4=a(y﹣2) ,…(8 分) 联立方程组
2

,消去 x,得 y ﹣4ay+8a﹣16=0,…(9 分)

2

∵△=16(a﹣1) +48>0,∴直线与轨迹 C 必相交.…(10 分) 又 y1+y2=4a=4,∴a=1.…(11 分) ∴存在满足题设的直线 m,且直线 m 的方程为:y﹣2=x﹣4 即 x﹣y﹣2=0.…(13 分) 解法三:假设存在满足题设的直线 m.设直线 m 与轨迹 C 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 依题意,得 .…(6 分)

∵A(x1,y1) ,B(x2,y2)在轨迹 C 上, ∴有 ,将(1)﹣(2) ,得 .…(8 分)

当 x1=x2 时,弦 AB 的中点不是 N,不合题意,…(9 分) ∴ ,即直线 AB 的斜率 k=1,…(10 分)

注意到点 N 在曲线 C 的张口内(或:经检验,直线 m 与轨迹 C 相交)…(11 分) ∴存在满足题设的直线 m,且直线 m 的方程为:y﹣2=x﹣4 即 x﹣y﹣2=0.…(13 分) 【点评】本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理 论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.
2

19. (12 分) (2016 春?江岸区期末)已知函数 f(x)=alnx+ x ﹣(1+a)x. (1)当 a>1 时,求函数 f(x)的极值; (2)若 f(x)≥0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)求导数,利用导数的正负,可得函数 f(x)的单调区间; (2)利用(1)中函数的单调性, 求得函数在 x=1 处取得最小值,即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)求导数可得 f′(x)= (x>0) ,

a>1 时,令 f′(x)<0,可得 1<x<a,∵x>0,∴1<x<a; 令 f′(x)>0,可得 x>a 或 x<1,∵x>0,∴0<x<1 或 x>a;

∴函数 f(x)在(0,1) , (a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减, ∴f(x)极大值=f(1)=﹣ ﹣a,f(x)极小值=f(a)=alna﹣ a ﹣a; (2)①a≤0 时,令 f′(x)<0,可得 x<1,∵x>0,∴0<x<1; 令 f′(x)>0,可得 x>1,∵x>0,∴x>1, ∴函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; ∴函数在 x=1 处取得最小值, ∵函数 f(x)≥0 对定义域内的任意的 x 恒成立, ∴f(1)=﹣ ﹣a≥0,解得:a≤﹣ . ②a≥0 时,f(1)=﹣ ﹣a<0,舍去; 综上,a≤﹣ . 【点评】本题考查函数的单调性,考查导数知识的运用,考查分类讨论的数学思想,属于中 档题. 20. (12 分) (2016 春?江岸区期末)如图,已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面,平面 ABCD∩平面 ABPE=AB,且 AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且 AE∥BP. (Ⅰ)设点 M 为棱 PD 中点,求证:EM∥平面 ABCD; (Ⅱ) 线段 PD 上是否存在一点 N, 使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ?若存 在,试确定点 N 的位置;若不存在,请说明理由.
2

【分析】 (I)证明 BP⊥平面 ABCD,以 B 为原点建立坐标系,则 量,求出 =﹣1×0+0×2+

为平面 ABCD 的法向

=0,从而有 EM∥平面 ABCD; =λ ,求出 ,平面 PCD 的法向量 的坐标,令|cos

(II)假设存在点 N 符合条件,设 < , >|=

= 解出 λ,根据 λ 的值得出结论.

【解答】 (Ⅰ)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEP,平面 ABCD∩平面 ABEP=AB,BP⊥AB, ∴BP⊥平面 ABCD,又 AB⊥BC, ∴直线 BA,BP,BC 两两垂直, 以 B 为原点,分别以 BA,BP,BC 为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则 P(0,2,0) ,B(0,0,0) ,D(2,0,1) ,E(2,1,0) ,C(0,0,1) ,∴M(1,1, ) , ∴ =(﹣1,0, ) , =(0,2,0) . 为平面 ABCD 的一个法向量, =0,

∵BP⊥平面 ABCD,∴ ∵ ∴ ⊥ =﹣1×0+0×2+

.又 EM?平面 ABCD,

∴EM∥平面 ABCD. (Ⅱ)解:当点 N 与点 D 重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . 理由如下: ∵ =(2,﹣2,1) , =(2,0,0) , .

设平面 PCD 的法向量为 =(x,y,z) ,则

令 y=1,得 =(0,1,2) . 假设线段 PD 上存在一点 N,使得直线 BN 与平面 PCD 所成角 α 的正弦值等于 . 设 =λ =(2λ,﹣2λ,λ) (0≤λ≤1) ,∴ , >|= = + =(2λ,2﹣2λ,λ) .

∴|cos<

= .

∴9λ ﹣8λ﹣1=0,解得 λ=1 或 (舍去) . ∴当 N 点与 D 点重合时,直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 .

2

【点评】本题考查了线面平行的判断,空间向量的应用与线面角的计算,属于中档题.

21. (12 分) (2016?河南模拟)已知椭圆 C:

的离心率为

,点

在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满 足此圆与 l 相交两点 P1,P2(两点均不在坐标轴上) ,且使得直线 OP1,OP2 的斜率之积为 定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由. 【分析】 (Ⅰ)利用离心率列出方程,通过点在椭圆上列出方程,求出 a,b 然后求出椭圆的 方程. (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,验证直线 OP1,OP2 的斜率之积. 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+m 与椭圆联立,利用直线 l 与椭圆 C 有且只有 2 2 一个公共点,推出 m =4k +1,通过直线与圆的方程的方程组,设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) , 结合韦达定理,求解直线的斜率乘积,推出 k1?k2 为定值即可. 【解答】 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,得 又因为点 所以 解得 a=2,b=1, 所以椭圆 C 的方程为 ,a =b +c ,…(2 分)
2 2 2

在椭圆 C 上, ,…(3 分) , .…(5 分)
2 2

(Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为 x +y =5.…(6 分) 证明如下: 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x +y =r (r>0) . 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+m.…(7 分)
2 2 2 2 2 2

由方程组

得(4k +1)x +8kmx+4m ﹣4=0,…(8 分)

因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, 所以
2 2 2

,即 m =4k +1.…(9 分)
2

2

2

由方程组

得(k +1)x +2kmx+m ﹣r =0,…(10 分) .



设 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,则



,…(11 分)

设直线 OP1,OP2 的斜率分别为 k1,k2, 所以

=

,…(12 分)

将 m =4k +1 代入上式,得

2

2



要使得 k1k2 为定值,则
2 2

,即 r =5,验证符合题意.

2

所以当圆的方程为 x +y =5 时,圆与 l 的交点 P1,P2 满足 k1k2 为定值 当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x=±2, 此时,圆 x +y =5 与 l 的交点 P1,P2 也满足
2 2 2 2

.…(13 分)

. .…

综上,当圆的方程为 x +y =5 时,圆与 l 的交点 P1,P2 满足斜率之积 k1k2 为定值

(14 分) 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思 想以及计算能力.

22. (12 分) (2010?广东模拟)已知函数 f(x)=lnx+ (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在极值,求 f(x)的零点个数. 【分析】 (1)先求出 f′(x)=

﹣kx(k 为常数)

,而方程 x ﹣kx+1=0 的判别式△=k ﹣4,再讨论

2

2

(i)当﹣2<k<2 时(ii)当 k=±2 时, (iii)当 k<﹣2 或 k>2 时的情况,从而求出函数的 单调区间; (2)由(1)知当 k>2 时,得 f 极大值(x)=f(x1 )= <0,当 x∈(0,x2]时,

f(x)≤f(x1)<0,即 f(x)在(0,x2]无零点,当 x∈(x2,+∞)时,f(x)是增函数, 故 f(x)在(x2,+∞)至多有一个零点,另一方面,f(x)在(x2,2k)至少有一个零点, 进而当 f(x)存在极值时,f(x)有且只有一个零点. 【解答】解: (1)函数的定义域为(0,+∞) , f′(x)= ,

方程 x ﹣kx+1=0 的判别式△=k ﹣4, (i)当﹣2<k<2 时,△<0,在 f(x)的定义域内 f′(x)>0, f(x)是增函数; (ii)当 k=±2 时,△=0, 若 k=﹣2,f′(x)= >0,f(x)是增函数

2

2

若 k=2,f′(x)=



那么 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,且 f(x)在 x=1 处连续, 所以 f(x)是增函数; (iii)当 k<﹣2 或 k>2 时,△>0,方程 x ﹣kx+1=0 有两不等实根 x1= ,x2= ,
2 2

当 k<﹣2 时,x1<x2<0,当 x>0 时,x ﹣kx+1>0 恒成立, 即 f′(x)>0,f(x)是增函数 当 k>2 时,x2>x1>0,此时 f(x)的单调性如下表: (0, (x2, x (x1, x) x2 x1 +∞) x1 ) 0 0 f′(x) + ﹣ + f(x) 增 减 增 综上:当 k≤2 时,f(x)在(0,+∞)是增函数 当 k>2 时,f(x)在(0, ) , ( ,+∞)是增函数,

在(



)是减函数;

(2)由(1)知当 k>2 时,f(x)有极值 ∵x1= ∴lnx1<0, 且 f 极大值(x)=f(x1 )= <0, = < <1,

∵f(x)在(0,x1 )是增函数,在(x1,x2)是减函数, ∴当 x∈(0,x2]时,f(x)≤f(x1)<0,即 f(x)在(0,x2]无零点, 当 x∈(x2,+∞)时,f(x)是增函数,故 f(x)在(x2,+∞)至多有一个零点, 另一方面,∵f(2k)=ln(2k)>0,f(x2)<0,则 f(x2)f(2k)<0, 由零点定理:f(x)在(x2,2k)至少有一个零点, ∴f(x)在(x2,+∞)有且只有一个零点 综上所述,当 f(x)存在极值时,

f(x)有且只有一个零点. 【点评】本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,考查根的存在性及 根的个数问题,是一道综合题.


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