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等差数列前n项和公式推导


等差数列前n项和
数学与统计学院 090901210 李雪娟

一、复习:
1、等差数列:
an-an-1=d(n≧2,n∈N+)

2、等差数列通项式:
an=a1+(n-1)d

小故事:
高斯是伟大的数学家,天文学家。10岁时 一次老师说:现在给大家出道题: 1+2+…+100=? 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3 =6…算的不亦乐乎时,高斯站起来回答说: 1 +2+…+100=5050.老师问他怎样计 算的,他回答说:1+100=101;2+99=101;… 50+51=101,所以

101×50=5050.

这个故事告诉我们求等差数列前 n项和的一种很重要的思想方法,就 是我们要介绍的“倒序相加”法。

二、等差数列前n项和公式1:
对等差数列a1,a2,…,an前n项求和,



Sn=a1+a2+a3+…+an,
Sn=an+an-1+an-2+...+a2+a1,

上面两式相加得:
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1) +(a3+an-2)+...+(an+an)
因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…,所以2Sn=n(a1+an)

n(a1+an) S n= 2

(1 )

2 、等差数列前n项和公式2 用上述公式(1)要求S n 必备三个条件: n,a1,an,但an=a1+(n-1)d,带入公式(1) 即得

n(n ? 1)d S n = na1 ? 2

(2)

公式(2)又可化为

S n=

d 2 d ? ( a 1? ) n n 2 2

当d ≠0时,这是一个常数项为零的关 于n的二项式.

三、讲解例题:
例1、一堆放铅笔的V型架的最下层放一支铅笔,往上 每一层都比它下一层多放一支,最上层放120支,问:这 个V型架上共放多少支铅笔?

解:由题意知,这个V型架上共放120层铅笔且自下而 上各层的铅笔成等差数列,记为{an}其中a1=1,a120=120,根 据等差数列前n项和公式得:

120 ? (1 ? 120) =7260(支) S120= 2
答:V型架上共有7260支铅笔。

例2、等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项 的和是54?

解:设题中的等差数列为{an},前n项和为S n, 则:
a1=-10, d=(-6)-(-10)=4, S n=54,

有公式(2)可得:

n(n ? 1) ?10n ? ? 4 ? 54 2

解之得:n1=9, n2=-3(舍)所以等 差数列-10,-6,-2,2,…前9项和 是54.

四、巩固练习
1、求集合M={m/m=7n,n ∈N +且m <100}的元 素个数,并求这些元素的和。 2、已知一个等差数列的前100项和是310, 前20项的和是1220,求其前n项和公式.

五、课后作业 已知等差数列的前n项和为a,前2n 项和为b,求前3n项和。

下课!


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