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课题:立体几何中的证明方法——证明线面垂直


从化三中“一师一优课”推荐课学案

专题 7:立体几何中的证明方法——证明线面垂直
学案设计:黄林城 一、考试大纲
1.以立体几何的定义、 公理和定理为出发点, 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与 判定定理; 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

二、考情分析:近五年高考理科数学(全国Ⅰ卷)立体几何解答题考点统计 2013 年 T18 2014 年 T19 2015 年 T18 2016 年 T18 2017 年 T18 年份 第 1 问(证明) 线⊥线 线=线 (线⊥线) 面⊥面 面⊥面 面⊥面 第2问 (求空间角) 线面角 面面角 线线角 面面角 面面角 三、知识梳理 1.证明线线垂直的方法: (1)利用特殊平面图形的性质; (2)利用勾股定理的逆定理; (3)利用线面垂直的性质定理: 2.证明线面垂直的方法: (1) 利用线面垂直的定义:a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α ; (2) 利用判定定理 1: m,n?α ,m∩n=A? ??l⊥α ; l⊥m,l⊥n ?
l ?? ? ??l ?a a ? ??

(3) 利用判定定理 2:a∥b,a⊥α ?b⊥α ; (4) 利用面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a?α ,a⊥l?a⊥β . 3.证明面面垂直的方法: (1)利用面面垂直的定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; (2)利用判定定理:a?α ,a⊥β ?α ⊥β . 4. 垂直关系的转化:

四、典例分析 【例 1】 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60°, AB=2AD, PD⊥底面 ABCD. 证明:PA⊥BD.

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反馈练习 1:如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. 证明:AB⊥A1C.

【例 2】 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面梯形 ABCD 中, BC / / AD , 平面 SAB ⊥平面 ABCD ,△ SAB 是等边三角形,AC=2AB=4,BC=2AD=2DC= 2 5 . 求证:平面 SAB ⊥平面 SAC .

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反馈练习 2: (2017· 全国Ⅰ卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD, 且 ?BAP ? ?CDP ? 90? .证明:平面 PAB⊥平面 PAD.

五、课堂总结 通过本节课的学习, 你掌握了立体几何线面垂直证明的方法吗?你有什么新 的收获?

六、课后检测 1.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. 求证:平面 PAC⊥平面 PBC.

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2.(2012· 全国课标卷)如图,三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB= 1 90°,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1 的中点.证明:平面 BDC1⊥平面 BDC.

3.(2016· 全国Ⅱ卷)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5, 5 AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF=4,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置,OD′= 10.证明:D′H⊥平面 ABCD.

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