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导数的综合运用


选择题

已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为

,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(

).

A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件

C

因为 y′=-x +81,所以当 x>9 时,

y′<0;当 x?(0,9)时,y′>0,所以函数

2

在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,所以 x=9 是函数的 极大值点,又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数在 x=9 处取得最大 值.

选择题

定义在 ( )

上的函数



是它的导函数,且恒有

成立,则

A. C.

B. D.

【答案】D

【解析】 试题分析:由于

,又因为

,从而有:

;构造函数



,从而有



上是增函数,所

以有 即: 考点:函数的导数.

,故选D.

选择题

已知函数 e],使

=

, 成立,则实数 a 的范围为(

=

,若至少存在一个 ).

?[1,

A.[1,+∞)

B.(0,+∞)

C.[0,+∞)

D.(1,+∞)

【答案】B

【解析】 试题分析:令 成立”,所以 ,因为“至少存在一个 有解,则 ?[1,e],使 即

;令 则 考点:导数的应用. .

,则



恒成立,

选择题

函数

的导函数

的图像如图所示,那么

的图像最有可能的是(



A.

B.

C.

D.

【答案】B.

【解析】 试题分析:数形结合可得在 、 上, , 是减函数;在

上, , 是增函数,从而得出结论. 考点:函数的单调性与导数的关系;复合函数的单调性.

选择题

已知函数 ;

的导函数为 时, ,则

,若 ( )

时,



A.25

B.17

C.

D.1

【答案】D.

【解析】 试题分析:由题意知,函数 在 处取得极小值,于是有 即可得出结果. ,即可求出

,即得出函数 的解析式,最后令 考点:导数在函数的极值中的应用.

选择题



,则该函数在点

处切线的斜率等于(



A.

B.

C.

D.

【答案】B.

【解析】 试题分析:直接求出函数 的导数即 知, 处切线的斜率.

,根据导数的几何意义知该函数在点 考点:导数的几何意义.

选择题

定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)=1,且 f(x)的导函数 的 x 的集合为( )

,则满足

A.{x|x<1}

B.{x|-1<x<1}

C.{x|x<-1 或 x>1} D.{x|x>1}

【答案】A

【解析】 试题分析: 即 。令 ,则

,因为在 以函数 在



恒成立,所以在 ,所以



恒成立。所 时,

上单调递增。因为

,所以

。故 A 正确。 考点:1 由导数求函数的单调性;2 用单调性解不等式。

选择题

若函数

是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是(

)。

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】 试题分析:若函数 恒成立,即 考点:利用导数研究函数的单调性 是 R 上的单调函数,只需 ,故选 C

选择题

已知函数 f(x)=1+x-





+?+

,则下列结论正确的是(

)

A.f(x)在(0,1)上恰有一个零点 B.f(x)在(0,1)上恰有两个零点 C.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点

D.f(x)在(-1,0)上恰有两个零点

【答案】C

【解析】函数的导数为 f′(x)=1-x+x -?+x = = .当 x?(0,1) 时,f′(x)>0,此时函数单调递增.当 x?(-1,0)时,f′(x)>0,此时函数单调递增.因

2

2012

为 f(0)=1>0,所以函数在(0,1)上没有零点.又 f(-1)=1-1- 所以函数在(-1,0)上有且只有一个零点,所以选 C.



-?-

<0,

填空题

若关于 的不等式 是 .

的解集中的正整数解有且只有 3 个,则实数 的取值范围

【答案】

.

【解析】

试题分析:原不等式可化为

(其中

,否则原不等式无解),令

,则 且令 有 ,且当

,令 ,所以

,得 的简图如

图所示,当

时,

,当

时,

,当

时,

,又



,要使不等式的解集中正整数有且只有 3 个,由图可知即包含





,所以只需

,故

.

考点:导数的应用,数形结合思想.

填空题

已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn(x)=fn-1′(x)(n

?N ,n≥2),则 f1

*

+f2

+?+f2 014

=________.

【答案】0

【解析】f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,

∴f1

+f2

+?+f2 014

=503f1

+f2

+f3

+f4

+f1

+f2

=0.

填空题

已知函数 f(x)= x- tanx0=________.

sinx-

cosx 的图象在点 A(x0,y0)处的切线斜率为 1,则

【答案】-

【解析】函数的导数 f′(x)=



cosx+

sinx,由 f′(x0)=



cosx0+

sinx0=1 得,-

cosx0+

sinx0=1,即 sin(x0-

)=1,所以 x0-

=2kπ +

,k?Z,即 x0=2kπ +

,k?Z,所以 tanx0=tan(2kπ +

)=tan

=-



填空题

曲线 f(x)=

e -f(0)x+

x

x 在点(1,f(1))处的切线方程为________.

2

【答案】y=ex-

【解析】f′(x)=

e -f(0)+x? f′(1)=

x

e -f(0)+1? f(0)=1.在函数

1

f(x)=

e -f(0)x+

x

x 中,令 x=0,则得 f′(1)=e.所以 f(1)=e-

2

,所以

f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1)+f(1)=ex-

,即 y=ex-



填空题

已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)+xf′(x)>0(其中 f′(x)是

f(x)的导函数),设 a=( 4)f( b,c 由大到小的关系是________.

4),b=

f(

),c=(lg

)f(lg

),则 a,

【答案】a>b>c

【解析】令函数 F(x)=xf(x),则函数 F(x)=xf(x)为偶函数.当 x>0 时,F′(x)=f(x)+ xf′(x)>0,此时函数 F(x)单调递增.则 a=F( 4)=F(-log24)=F(-2)=F(2),b=

F(

),c=F(lg

)=F(-lg5)=F(lg5),因为 0<lg5<1<

<2,所以 a>b>c.

填空题

电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y= 小,则速度应定为________.

x-

3

x -40x(x>0),为使耗电量最

2

【答案】40

【解析】由 y′=x -39x-40=0, 得 x=-1 或 x=40, 由于 0<x<40 时,y′<0; 当 x>40 时,y′>0. 所以当 x=40 时,y 有最小值.

2

填空题

已知 y=f(x)是奇函数,当 x?(0,2)时,f(x)=ln x-ax f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于________.

,当 x?(-2,0)时,

【答案】1

【解析】由题意知,当 x?(0,2)时,f(x)的最大值为-1.

令 f′(x)=

-a=0,得 x=



当 0<x<

时,f′(x)>0;

当 x>

时,f′(x)<0.

∴f(x)max=f

=-ln a-1=-1,解得 a=1.

解答题

已知 t?R,函数 f(x)=(x +tx+t)e . (1)若函数 f(x)没有零点,求实数 t 的取值范围; (2)若函数 f(x)存在极大值,并记为 g(t),求 g(t)的表达式.

2

x

见解析

(1)令 f(x)=0,得(x +tx+t)e ,∴x +tx+t=0. ∵函数 f(x)没有零点,∴△=t -4t<0,∴0<t<4. (2)f′(x)=(2x+t)e +(x +tx+t)e =(x+2)(x+t)e . 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=-t. ①当 t>2 时,-t<-2. f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′ (x) f(x) (-∞,-t) + -t 0 极大值
-t x 2 x x 2

2

x

2

(-t,-2) -

-2 0 极小值

(-2,+∞) +

由上表知,当 x=-t 时,f(x)取得极大值 te , ②当 t=2 时,f′(x)=(x+2) e ≥0,f(x)在 R 上是增函数,f(x)无极大值. ③当 t<2 时,-t>-2. f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-2) + -2 0 极大值
-2 2 x

(-2,-t) -

-t 0 极小值

(-t,+∞) +

由上表知,当 x=-2 时,f(x)取得极大值(4-t)e .



解答题

已知函数 (Ⅰ)若 (Ⅱ)设 ,求函数

( 的极值; .

).

① 当

时,对任意

,都有

成立,求 的最大值;

② 设

的导函数.若存在

,使

成立,求 的取值范围.

(1)极大值是 e ,极小值

-1

(2)①-1-e

-1

②(-1,+∞)

(Ⅰ)当 a=2,b=1 时,f (x)=(2+ )e ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

x

所以 f ′(x)=

e

x

令 f ′(x)=0,得 x1=-1,x2= ,列表 (- 1,0 ) - ↗ 极大值 ↘

x f ′ (x) f (x)

(-∞,-1)

-1

(0, - ↘

)

( ,+∞)

极小值



由表知 f (x)的极大值是 f (-1)=e ,f (x)的极小值是 f ( )=

-1

(Ⅱ)① 因为 g (x)=(ax-a)e -f (x)=(ax- -2a)e ,

x

x

当 a=1 时,g (x)=(x- -2)e . 因为 g (x)≥1 在 x?(0,+∞)上恒成立,

x

所以 b≤x -2x-

2

在 x?(0,+∞)上恒成立.

记 h(x)=x -2x-

2

(x>0),则 h′(x)=

.

当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数; 所以 h(x)min=h(1)=-1-e ; 所以 b 的最大值为-1-e .
-1 -1

②因为 g (x)=(ax- -2a)e ,所以 g ′(x)=(

x

+ax- -a)e .

x

由 g (x)+g′(x)=0,得(ax- -2a)e +( 整理得 2ax -3ax -2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立.
3 2

x

+ax- -a)e =0,

x

等价于存在 x>1,2ax -3ax -2bx+b=0 成立.

3

2

因为 a>0,所以 =

.

设 u(x)=

(x>1),则 u′(x)=



因为 x>1,u′(x)>0 恒成立,所以 u(x)在(1,+∞)是增函数,所以 u(x)>u(1)=-1,

所以 >-1,即 的取值范围为(-1,+∞)

解答题

已知函数 f(x)=e +2x —3x (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2) 当 x ≥1 时,若关于 x 的不等式 f(x)≥ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证函数 f(x)在区间[0,1)上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时 相应 x 的近似值(误差不超过 0.2);(参考数据 e≈2.7, ≈1.6,e ≈1.3)。
0.3

x

2

(1)(e+1)x-y-2=0 (2)a≤e-1 (3)x≈0.45

(1)f'(x)=e +4x-3,则 又 f(1)=e—1,

x

=e+1,

∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e+1=(e+1)(x-1),即:(e+1)x-y-2=0 (2)由 f(x)≥ax,得 ax≤e +2 x -3x,
x 2

∵x≥1 ,∴a≤

令 g(x)=

,则 g’(x)=

∵x≥1 ,∴g’(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴g(x)min=g(1)=e-1, ∴a 的取值范围是 a≤e-1,

(3)∵f'(0)=e -3=-2<0,f'(1)=e+1>0, ∴f'(0)·f'(1)<0 令 h(x)=f'(x)=e +4x-3, 则 h'(x)=e +4>0,f'(x)在正[0,1]上单调递增, ∴.f'(x)在[0,1]上存在唯一零点,f(x)在[0,1]上存在唯一的极值点. 取区间[0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算可知区间[0.3,0.6]的长度为 0.3,所 以该区间的中点 x2=0.45,到区间端点的距离小于 0.2,因此可作为误差不超过 0.2 一个极 值点的相应 x 的值 ∴函数 y=f(x)取得极值时,相应 x≈0.45.
x x

0

解答题

已知函数 (1)当 (2)求函数 时函数

. 取得极小值,求 a 的值; 的单调区间.

见解析

(1)函数

的定义域为





. ∵ ∴ 时函数 . 取得极小值,

∴ 当 ∴ ∴ (2)

. 时,在 是函数 有意义. ∪ , 内 ,在 的极小值点. 内 ,

的定义域为

. 令 (ⅰ)当 时, ,得 .

(ⅱ)当

时,

综上所述: 当 时,函数 ; 当 . 时,函数 的单调递减区间为 , ,单调递增区间为 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ,

解答题

已知函数 (1)当 时,求函数 的单调区间和极值。

(2)若函数

在[1,4]上是减函数,求实数 的取值范围.

(1)减区间是

;增区间是

;极小值是

(2)

(1)函???

的定义域为(0,+∞)。



时, 的变化情况如下:

当 变化时,

的单调递减区间是 极小值是 6分

;单调递增区间是



(2)由

,得

又函数 则

为[1,4]上的单调减函数。 在[1,4]上恒成立,

所以不等式

在[1,4]上恒成立,



在[1,4]上恒成立。



,显然

在[1,4]上为减函数,

所以

的最小值为

的取值范围是

解答题

已知曲线 ①过原点;②在 (1) 求实数 (2)求函数

满足下列条件: 处导数为-1;③在 的值; 的极值. 处切线方程为 .

(1)

(2) 极大值 1,极小值

(1)

根据条件有

解得

(2)由(Ⅰ)





得 的关系如表所示

-1 + ↑ 0 极 大 值 1 在 - ↓ 0 + ↑

极小值

因此函数

处有极大值 1,在

处有极小值



解答题

已知函数 (1)求 的值; (2)求函数 (3)设函数 范围. 的单调区间;

,且



,若函数



上单调递增,求实数 的取值

(1)

(2 递增区间是 (3) ≥11.





的单调递减区间是



(1)由

,得





时,得 . .



解之,得 (2)因为

从而

,列表如下: 1 + ↗ 0 有极大值 - ↘ 0 有极 小值 + ↗

所以

的单调递增区间是





的单调递减区间是 (3)函数 有 因为函数在区间 等价于 只要 ≥0,解得 ≥11,

. , = 上单调递增, 在 上恒成立, ,

所以 的取值范围是 ≥11.

解答题

已知函数 f(x)=x +2bx +cx-2 的图象在与 x 轴的交点处的切线方程是 y=5x-10.

3

2

(1)求函数 f(x)的解析式;

(2)设函数 ,若 g(x)的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g(x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.

见解析

(1)由已知,切点为(2,0),故有 f(2)=0, 即 4b+c+3=0. ① f′(x)=3x +4bx+c,由已知,f′(2)=12+8b+c=5, 即 8b+c+7=0. ② 联立①②,解得 c=1,b=-1. 于是,函数 f(x)的解析式为 f(x)=x -2x +x-2.
3 2 2

(2)



,令 g′(x)=0.

当函数有极值时,方程 由△=4(1-m)≥0,得 m≤1.

有实根,

Ⅰ.当 m=1 时,g′(x)=0 有实根 g(x)无极值.

,在

左右两侧均有 g′(x)>0,故函数

Ⅱ.当 m<1 时,g′(x)=0 有两个实根, 当 x 变化时,g′(x)、g(x)的变化情况如下表: X (-∞,x1) x1 (x1,x2) G′(x) + 0 - g(x) 极大值 故当 m?(-∞,1)时,函数 g(x)有极大值.





x2 0 极小值

(x2,+∞) +



时,g(x)有极大值;



时,g(x)有极小值.

解答题

设函数 f(x)=x+ax +blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2.

2

见解析

(1)



由已知条件得 解得 a=-1,b=3.



(2)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知 f(x)=x-x +3lnx. 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x +3lnx,则
2

2

. 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0.

即 f(x)≤2x-2.

解答题

已知函数

( 为常数,

是自然对数的底数),曲线

在点

处的切线与 轴平行. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 (Ⅲ)设 . 的单调区间; ,其中 为 的导函数.证明:对任意

(Ⅰ)1 (Ⅱ) 在区间 内为增函数;在 内为减函数.

(Ⅲ)见解析.

(Ⅰ)由 f(x)=

可得

,而

,即

,解得 k=1.

(Ⅱ)

,令

可得 x=1,

当 于是

时, 在区间 内为增函数;在

;当

时, 内为减函数.



(Ⅲ) (1)当 时, ,

, .

(2)当

时,要证



只需证

即可

设函数



,

则当 令 当 则当

时 解得 时 时 ;当

. , 时 , ,且 ,

则 综合(1)(2)可知对任意 x>0,

,于是可知当

时 恒成立.

成立

另证 1:设函数

,则

,

则当



,

于是当

时,要证

,

只需证 设 令 当 则当 时 时 解得 ;当

即可, , , 时 , , ,

于是可知当

时 恒成立. 时

成立

综合(1)(2)可知对任意 x>0, 另证 2:根据重要不等式当

,即

,

于是不等式 设 令 当 则当 时 时 解得 ;当 时 , , , , ,

,

于是可知当

??

成立.

解答题

已知函数 函数图象上的两点,且 .

其中 a 是实数.设



为该

(I)指出函数 f(x)的单调区间; (II)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 ,求 的最小值;

(III)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

(I)[-1,0),(0,+∞) (II)1 (III)(-ln2-1,+∞)

(I)函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞). (II)由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时,有 当 x<0 时,对函数 f(x)求导,得 因为 所以 ,所以 . . , ,点 B 处的切线斜率为 . ,

因此

当且仅当

,即



时等号成立. 的最小值为 1. .

所以函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直时, (III)当 或 时, ,故



时,函数 f(x)的图象在点 ,

处的切线方程为







时,函数 f(x)的图象在点 .

处的切线方程为

,即

两切线重合的充要条件是 由(1)式及 知, .

由(1)(2)式得, 设 ,



则 所以 则 所以 又当 .

. 是减函数. .

且趋近于-1 时, .

无限增大,

所以 a 的取值范围是

故当函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是



解答题

已知函数 g(x)="aln" x·f(x)=x +x +bx (1)若 f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,求实数 b 的范围; 2 (2)若对任意 x?[1,e],都有 g(x)≥-x +(a+2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

3

2

(3)当 b=0 时,设 F(x)= ,对任意给定的正实数 a,曲线 y=F(x)上是否 存在两点 P,Q,使得△POQ 是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角 形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

【答案】(1)

;(2)

;(3)详见解析.

【解析】试题分析:(1)先求函数的导数,因为在区间 不单调,所以导函数的值不 恒大于或小于 0,即函数的最大值大于 0,函数的最小值小于 0,即不单调;

(2)根据条件化简

得,



,求出

, 最值; (3)先假设曲线 ,从而由 系式 试题解析:(1)由 得 所以

的最小值即可确定 的范围,首先对函数求导,确定单调性,求出

上存在两点

满足题意,设出

,则

是以 O(O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形可建立关 ,分情况求解即可.



在区间[1,2]上不是单调函数

在[1,2]上最大值大于 0,最小值小于 0

∴ (2)由 ,得 ,且等号不能同时取, .

4分

,即

恒成立,即

6分

令 当 在 . 时,

,求导得, ,从而 , 8分

, ,

上为增函数,

(3)由条件, 假设曲线 不妨设 是以 上存在两点 ,则 ,

, 满足题意,则 ,且 . , , 只能在 轴两侧, 9 分

为直角顶点的直角三角形, (*),

是否存在 ①若 解;



等价于方程 为





时是否有解. ,化简得 ,此方程无

时,方程 12 分

②若

时,方程



,即



设 显然,当 时,

,则 ,即 ,即 在 , 当

, 上为增函数, 时,方程(*)总有解. , ,使得 是以 14 分 (

的值域为

对任意给定的正实数 ,曲线

上总存在两点

为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 轴上. 考点:1.利用导数求最大,最小值;2.导数的综合应用.

解答题

已知函数 f(x)=x + x +ax+b,g(x)=x + x + 1nx+b,(a,b 为常数). (1)若 g(x)在 x=l 处的切线方程为 y=kx-5(k 为常数),求 b 的值; (2)设函数 f(x)的导函数为 f’(x),若存在唯一的实数 x0,使得 f(x0)=x0 与 f′ (x0)=0 同时成立,求实数 b 的取值范围; (3)令 F(x)=f(x)-g(x),若函数 F(x)存在极值,且所有极值之和大于 5+1n2, 求 a 的取值范围.

3

2

3

2

【答案】(1)

;(2)

;(3)

【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义,先求 ,然后将 代入,求出`

,利用

,此点也在函数 f(x)上,代入,即可求出 ;

(2)根据

,消去 ,得到关于

的三次方程,,此方程有唯一解,令

,求出 图像,得到 的取值范围;

,利用导数求出极值点,以及两侧的单调性,从而分析

(3)

,因为存在极值,所以

在 根与系数的关系,代入极值

上有根即方程

在 ,得到 的取值范围.

上有根.得到

试题解析:(1)∵

所以直线



,当

时,

,将(1,6)代入

,得



4分

(2)

,由题意知

消去 ,



有唯一解.



,则



6分

所以

在区间上是增函数,在

上是减函数,



,故实数 的取值范围是



9分

(3)

因为

存在极值,所以 在 上有根.

在 10 分

上有根即方程

记方程 两不等正根.

的两根为 12 分

由韦达定理

,所以方程的根必为

所以

满足方程

判别式大于零

故所求取值范围为 14 分 考点:1.导数的几何意义;2.利用导数求函数极值,单调性;3.导数解决函数的综合问题.

解答题

已知函数 ⑴若 ⑵设 ,且函数



为实数, ,求

), 的表达式;



的值域为 ,且函数

为偶函数,判断

是否大 0?

⑶设

,当 (其中

时,证明:对任意实数 是 的导函数) .



【答案】(1)

,(2)

成立,(3)证明略.

【解析】试题分析:(1)由于 出待定系数

的表达式与

有关,而确定

的表达式只需求 为 的表达 ,

,因此只要根据题目条件联立关于 可不妨假设

的两个关系即可;(2)由 ,则 ,代入

偶函数可先确定 ,而 式即可判断

的符号;(3)原不等式证明等价于证明“对任意实数

” 即等价于证明“ 证 ,再证 .根据不等式性质,可证得

”,可先

. 试题解析:⑴因为 ,所以 ,因为 的值域为 ,所以

,所以

,所以

,所以

; ⑵因为 是偶函数,所以 ,又 ,所以

,因为 ,此时 ; ⑶因为 ,所以

,不妨设

,则

,又 ,所以

,所以

,又

,则

,因



,所以

,则原不等式证明等价于证明“对任意实数



” 即

.

先研究 ① 记 , 以, ② 记 ,即 综上①、②知, 时

,再研究 , , ,即 , .

. ,令 , . ,所以 在 , 单减,所以, 时 ,得 , ,当 单减. 所

单增;当

.

即原不等式得证,对任意实数 , . 考点:二次函数表达式的求解,分段函数求值问题,用导数工具证明不等式,不等式的性 质,化归与转化的思想.

解答题

已知函数 (1)若 (2)若函数 是函数 在

. 的极值点,求曲线 在点 处的切线方程;

上为单调增函数,求 的取值范围.

【答案】(1)

;(2)



【解析】试题分析:解题思路:(1)求导函数,利用

求 ;利用导数的几何意 在该区间恒

义求切线方程;(2)利用“若函数 在某区间上单调递增,则 成立”求解.规律总结:(1)导数的几何意义求切线方程: ;(2)若函数 区间恒成立;“若函数 在某区间上单调递增,则

在该

在某区间上单调递减,则

在该区间恒成立.

试题解析:(1)

由题意知

,代入得

,经检验,符合题意.

从而切线斜率 切线方程为 .

,切点为



(2) 因为 即 上为单调增函数,所以 在 上恒成立;当 上恒成立. 时,由

,得

;设





.所以当且仅当 所以 .

,即

时,

有最大值 2.所以

所以 的取值范围是 考点:1.导数的几何意义;2.根据函数的单调性求参数.

解答题

已知函数 (1)若 x=3 是 (2)若

, 的极值点,求 在 在



).

[1,a]上的最小值和最大值;

时是增函数,求实数 a 的取值范围.

【答案】(1)



;(2)



【解析】试题分析:(1)由已知可得 在[1,4]上的最值. (2)由 在

,从而求得

;再利用函数的导数求得

时是增函数,可得



恒成立;再利用分离参数法将恒成立转化为函数的最值问题加以解决. 试题解析:(1) 当 ; (2) 由题意得, 在 , 恒成立,即 ,由题意得 单调递减,当 . ,则 , 单调递增 ,



恒成立,

而 所以, . 考点:1.函数的极值与最值;2.函数的单调性;3.不等式的恒成立.

解答题

已知函数 f(x)= e ,a,b R,且 a>0. ⑴若 a=2,b=1,求函数 f(x)的极值; x ⑵设 g(x)=a(x-1)e -f(x). ①当 a=1 时,对任意 x (0,+∞),都有 g(x)≥1 成立,求 b 的最大值;

x

②设 g′(x)为 g(x)的导函数.若存在 x>1,使 g(x)+g′(x)=0 成立,求 围.

的取值范

【答案】⑴f (x)的极大值是 f (-1)=e ,f (x)的极小值是 f ( -1 e ;②(-1,+∞).

-1

)=4

;⑵① -1-

【解析】试题分析: ⑴由 a=2,b=1 得,f (x)=(2+

)e , 定义域为(-∞,0)∪

x

(0,+∞);从而可求得 f ′(x)=

e , 令 f ′(x)=0,得 x1=-1,x2=

x

,列表可求得 f (x)的极值.

⑵①当 a=1 时,g (x)=(x-

-2)e ,由已知得不等式 g (x)≥1 在 x?(0,+∞)上恒

x

成立,即 b≤x -2x-

2

在 x?(0,+∞)上恒成立,从而 b≤(x -2x-

2

)min x?(0,+

∞),令 h(x)=x -2x-

2

(x>0)利用函数导数求出 h(x)的最小值即可.

②由于 g (x)=(ax-

-2a)e ,所以 g ′(x)=(

x

+ax-

-a)e ; 由 g (x)+g ′(x)

x

=0,得(ax- -2a)e +( +ax- -a)e =0,整理得 2ax -3ax -2bx+b=0. 3 2 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立,等价于存在 x>1,2ax -3ax -2bx+b=0 成 立.

x

x

3

2

注意到 a>0,所以



(x>1);设 u(x)=

(x>1),则问题等价



的最小值(或下确界),利用函数导数可判断 u(x)在

上的单调性可求得

从而可得

的取值范围为(-1,+∞).

试题解析:⑴当 a=2,b=1 时,f (x)=(2+

)e ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

x

所以 f ′(x)= x (-∞,-1) -1

e .令 f ′(x)=0,得 x1=-1,x2= (-1, 0) - (0, - )

x

,列表

(

,+∞)

f ′ (x) f (x)



极大值





极小值



由表知 f (x)的极大值是 f (-1)=e ,f (x)的极小值是 f (

-1

)= 4



⑵① 因为 g (x)=(ax-a)e -f (x)=(ax- x 2)e .

x

-2a)e ,当 a=1 时,g (x)=(x-

x



因为 g (x)≥1 在 x?(0,+∞)上恒成立,所以 b≤x -2x- 成立.

2

在 x?(0,+∞)上恒

记 h(x)=x -2x- (x>0),则 h′(x)= . 当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数. -1 -1 所以 h(x)min=h(1)=-1-e .所以 b 的最大值为-1-e .

2

②因为 g (x)=(ax-

-2a)e ,所以 g ′(x)=(

x

+ax-

-a)e .

x

由 g (x)+g ′(x)=0,得(ax- -2a)e +( +ax- -a)e =0,整理得 2ax -3ax -2bx+b=0. 3 2 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立,等价于存在 x>1,2ax -3ax -2bx+b=0 成 立.

x

x

3

2

因为 a>0,所以



.设 u(x)=

(x>1),则 u′(x)=

. 因为 x>1,u′(x)>0 恒成立,所以 u(x)在(1,+∞)是增函数,所以 u(x)>u(1)=- 1,

所以 >-1,即 的取值范围为(-1,+∞). 考点:1.函数的极值;2.不等式的恒成立;3.存在成立.

解答题

已知函数 (1)求函数 的解析式;



处的切线方程为

.

(2)若关于 的方程

恰有两个不同的实根,求实数 的值;

(3)数列 整数部分.

满足



,求



【答案】(1)

;(2)



;(3) .

【解析】 试题分析:(1)由题意可得 ,故可从切线斜率 ,又根据 与切点 在 处的切线方程为 建立关于 的方程组

,可解得 ,参变分离后可得: 的 ,满足

,从而

;(2)由(1)及方程 ,因此问题就等价于求使恰有两个不同 ,

的 的值,令

可得

,从而当

时,

取极小值

,当

时,

取极大值

,因此可以大致画出

的示意图,而问题则进一步等价于直线



的图像恰有两个交点,通过示意图易得当 意可知,需求得



时满足题意;(3)通过题 ,可得

的值夹在哪两个整数之间,由(1)

,因此 ∴

,而 ,∴

, ,而将递推公式

可进一步变形为

,从而



又有 试题解析:(1)∵

,从而

的整数部分为 . , 由题意 在 处的

,∴

切线方程为 ; (2)由(1)

,则

,∴

,∴



,∴

,因此问题即等价于存恰有两个不同的 ,使,令 ,则 ,∴ 在

上单调递增,在



上单调递减,∴当

时,

取极小值





时,

取极大值

,又当

时,

,当

时,

,因此可画出函数

的大致示意图如下,而问题就等价

于直线



的图像恰有两个交点,

故要存在两个不同的 满足

,则需



.

(3)由(1) 又∵ ∴

,∴ ,∴

,∴ ,



,得

,∴

,

即 ∴



,又∵ 综上, ,∴ 的整数部分为 . 考点:1.导数的运用;2.数列与不等式综合.



解答题

已知函数 (1)若 (2)若 在 在区间 处取得极值,求

. 的单调递增区间;

内有极大值和极小值,求实数 的取值范围.

【答案】(1)



;(2)实数 的取值范围是

.

【解析】试题分析:(1)根据题意可得

,又由





极值点可得

,可得

,从而

,而

的解为



,因此可以得到 可知, 在

的单调递增区间为 在区间 上有不等零点,



;(2)由

内有极大值和极小值等价于二次函数

因此可以大致画出

的示意图,从而可以列出关于 的不等式组:

,即可解得实数 的取值范围是

.

试题解析:(1)∵

,∴







处取得极值,∴

,即



∴ 或 ,

,令

,则

,∴

∴函数 (2) ∵

的单调递增区间为 在



; 在 内有两不

内有极大值和极小值 ∴

等零点,

而二次函数 致示意图:

,其对称轴

,可结合题意画出

的大

∴ ,解得 考点:1.导数的运用;2.二次函数零点分布.

,∴实数 的取值范围是

.

解答题

已知函数 (1)求函数 (2)若 求实数 的取值范围

, 在 ,对 上的值域;





恒成立,

【答案】(1)

,(2)

.

【解析】试题分析:(1)利用导数求值域,分四步,第一明确定义域:

,第

二求导数零点: 调性:

,令

,得

,第三列表分析单

0 ↑ 极大

— ↓

第四根据区间端点及极值点确定值域: 函数 的值域为

,又

,所以 .

,(2)恒成立问题,一般转化为最值问题:





,由于

,故当

时,

,所以

所以



上恒成立,设



,令



,又

>

,所以

,所



.

试题解析:(1)

,令

,得



0 ↑ 所以 (2)依题意 , ,又 8分 极大

— ↓ ,所以函数 的值域为 6分





,由于

,故当

时,



— ↓

0 极小 ↑

所以



10 分

所以



上恒成立,设



,令





12 分

0 ↑ 极大

— ↓



>

,所以



14 分

所以 16 分 考点:利用导数求值域,利用导数求取值范围

解答题

已知函数:f(x)=x +ax +bx+c,过曲线 y=f(x)上的点 P(1,f(1))的切线方程为 y=3x +1 (1)y=f(x)在 x=-2 时有极值,求 f(x)的表达式; (2)函数 y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求 b 的取值范围.

3

2

【答案】(1) f(x)=x +2x -4x+5; (2) b≥0

3

2

【解析】 试题分析:(1)先由函数导数的几何意义用含 a,b,c 的代数式表达出函数在点 P 处的切线方 程,再与已知的切线相比较可得关于 a,b,c 的两个方程;另又因为 y=f(x)在 x=-2 时有 极值,所以 f′(-2)=0 再得到一个关于 a,b,c 的方程,三个字母三个方程,通过解方程 组就可求得字母 a,b,c 的值,从而求得 f(x)的表达式; (2) 由函数 y=f(x)在区间[-2,1] 上单调递增,知其导函数 f′(x)在[-2,1]上恒有 f′(x)≥0,注意到(1)中的①式:2a+b=0, 所以有 ,从而有 3x -bx+b≥0 在[-2,1]上恒成立,分离参数转化为函数的最值 问题,可求得 b 的取值范围. 3 2 2 试题解析:(1)由 f(x)=x +ax +bx+c,求导数得 f′(x)=3x +2ax+b, 过 y=f(x)上点 P(1,f(1))的切线方程为:y-f(1)=f′(1)(x-1), 即 y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1) 而过 y=f(x)上 P(1,f(1))的切线方程为:y=3x+1
2

即 又∵y=f(x)在 x=-2 时有极值,故 f′(-2)=0 ∴-4a+b=-12③ 3 2 由①②③相联立解得 a=2,b=-4,c=5,所以 f(x)=x +2x -4x+5 (2)y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增 2 又 f′(x)=3x +2ax+b,由(1)知 2a+b=0 2 ∴f′(x)=3x -bx+b 2 依题意 f′(x)在[-2,1]上恒有 f′(x)≥0,即 3x -bx+b≥0 在[-2,1]上恒成立 注意到 ,所以 3x -bx+b≥0 在[-2,1]上恒成立等价于:
2

,令

知当 时 ,当 时 ,所以 在[-2,1)上有最大值为 ,

故知 ,且当 x=1 时 f′(x)≥0 也成立,所以 考点:1.导数的几何意义;2.函数的极值与最值.

解答题

已知函数 (1)求函数

,

. 的极值;(2)若 恒成立,求实数 的值;

(3)设

有两个极值点



(

),求实数

的取值范

围,并证明

.

【答案】(1) ;(2)

;(3) 见解析。

【解析】 试题分析:(1)先求 的定义域,然后对 求导,令 ,又 处取到最小值即可;(3) 在 上有两个不 寻找极 ,则只需

值点,从而求出极值;(2)构造函数 恒成立,再证 在

有两个极值点等价于方程 等的正根,由此可得 的取值范围,

,由根与系数可知

及 利用导函数求

范围为 的最小值即可。

,代入上式得



试题解析:(1)

的定义域是



. ,故当 x=1 时,G(x)的极小值为 0.

(2)令 所以 ,即

,则

, ,

恒成立的必要条件是



,由

得:



当 故

时,由 ,即

知 恒成立.



(3)由 有两个极值点 、 等价于方程

,得 在

. 上有两个不等的正根,

即:

, 解得



由 所以

,得

,其中 .

.



,得



所以 ,即 . 考点:(1)利用导求函数的极值、最值;(2)一元二方程根的分布;(3)构造函数解决 与不等式有关问题。

解答题

已知函数 (1)求函数 (3)设

,

. 的极值;(2)若 有两个极值点 、 恒成立,求实数 的值; ( ),求实数 的取值范

围,并证明

.

【答案】(1) ;(2)

;(3) 见解析。

【解析】 试题分析:(1)先求 值点,从而求出 极值;(2)构造函数 的定义域,然后对 求导,令 寻找极

,又

,则只需

恒成立,

再证



处取到最小值即可;(3) 在 上有两个不等的正根,由此可得

有两个极值点 的取值范围,

等价于方程

,由根与系数可知 上式得 ,利用导函数求



范围为 的最小值即可。

,代入

试题解析:(1)

的定义域是



. ,故当 x=1 时,G(x)的极小值为 0.

(2)令 所以 ,即

,则

, ,

恒成立的必要条件是



,由

得:



当 故

时,由 ,即

知 恒成立.



(3)由 有两个极值点 、 等价于方程

,得 在

. 上有两个不等的正根,

即:

, 解得



由 所以

,得

,其中 .

.



,得



所以 ,即 . 考点:(1)利用导求函数的极值、最值;(2)一元二方程根的分布;(3)构造函数解决 与不等式有关问题。

解答题

已知函数



(1)当 a=1 时,求曲线 在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求 a 的值; (3)若对任意 围. ,且 恒成立,求 a 的取值范

【答案】(1)

(2)

.(3)

.

【解析】

试题分析:(1)当 时, 利用切线的斜率等于在切点处的导函数值,可得斜率得解.

.

(2)函数

的定义域是

. 根据当

时、当

、当

时、当

时等 几种情况,“求导数,求驻点,讨论区间单调

性,确定函数的最值”,建立 的方程. (3)设 ,问题转化成“只要 在 上单调递增即可.”

当 当

时,根据 时,只需 在

,知



上单调递增; ”.

上恒成立,问题转化成“只要

(1)当

时,

.

因为

.

2分

所以切线方程是

3分

(2)函数

的定义域是

.



时,



,即



所以



.

6分



,即

时,

在[1,e]上单调递增,

所以

在[1,e]上的最小值是

,解得



7分



时,

在[1,e]上的最小值是

,即







,而 意; 9分



,不合题



时,

在[1,e]上单调递减,

所以

在[1,e]上的最小值是

,解得

,不合题意 所以 .

(3)设 只要 在

,则 上单调递增即可.

, 11 分



当 当

时, 时,只需 ,

,此时 在



上单调递增; ,只要

12 分

上恒成立,因为

则需要



13 分

对于函数

,过定点(0,1),对称轴

,只需



即 . 综上 . 14 分 考点:应用导数研究函数的单调性、最(极)值,导数的几何意义,不等式恒成立问题, 转化与化归思想,分类讨论思想.

解答题

已知函数 f(x)=x -(1+2a)x+aln x(a 为常数). (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的方程; (2)当 a>0 时,讨论函数 y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.

2

【答案】(1)y=2x.

(2)函数 f(x)的单调增区间是

,单调减区间是

.

【解析】解:(1)当 a=-1 时,f(x)=x +x-ln x,

2

则 f′(x)=2x+1- , 所以 f(1)=2,且 f′(1)=2. 所以曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x.

(2)由题意得 f′(x)=2x-(1+2a)+





(x>0).

由 f′(x)=0,得 x1=

,x2=a.

①当 0<a<

时,由 f′(x)>0 且 x>0,

得 0<x<a 或

<x<1;

由 f′(x)<0 且 x>0,得 a<x<

.

所以函数 f(x)的单调递增区间是(0,a)和

,单调递减区间是



②当 a= 时,f′(x)= ≥0,当且仅当 x= f′(x)=0. 所以函数 f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数;

时,

③当

<a<1 时,由 f′(x)>0 且 x>0,

得 0<x<

或 a<x<1;

由 f′(x)<0 且 x>0,得

<x<a.

所以函数 f(x)的单调递增区间是 ④当 a≥1 时,由 f′(x)>0 且 x>0,

和(a,1),单调递减区间是



得 0<x<



由 f′(x)<0 且 x>0,得

<x<1.

所以函数 f(x)的单调增区间是

,单调减区间是

.

解答题

已知函数 f(x)=ax-ln x,g(x)= ,它们的定义域都是(0,e],其中 e 是自然对数的 底 e≈2.7,a?R. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值;

(2)当 a=1 时,求证:f(m)>g(n)+ 对一切 m,n?(0,e]恒成立; (3)是否存在实数 a,使得 f(x)的最小值是 3?如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明 理由.

【答案】(1)1

(2)见解析

(3)见解析

【解析】解:(1)当 a=1 时,f(x)=x-ln x.

所以 f′(x)=1- . 令 f′(x)=0,得 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) - 1 0 1 (1,e] +

所以当 x=1 时,f(x)min=1. (2)证明:由(1)知,当 m?(0,e]时, 有 f(m)≥1.

因为 0<x≤e,所以 g′(x)= ≥0, 即 g(x)在区间(0,e]上为增函数,

所以 g(x)≤g(e)=



<





所以 g(x)+ < + =1, 所以当 m,n?(0,e]时,

g(n)+

<1≤f(m).

所以 f(m)>g(n)+ 对一切 m,n?(0,e]恒成立. (3)假设存在实数 a,使 f(x)的最小值是 3,则

f′(x)=a-



.

①当 a≤ 时,因为 0<x≤e,所以 ax≤1, 所以 f′(x)≤0,所以 f(x)在(0,e]上为减函数. 所以当 x=e 时,fmin(x)=ae-1=3,

解得 a=

(舍去);

②当 a>

时,

若 0<x<

时,f′(x)<0,f(x)在

上为减函数;



<x≤e 时,f′(x)>0,f(x)在

上为增函数.

所以当 x= 时,fmin(x)=1-ln =3,解得 a=e . 2 所以假设成立,存在实数 a=e ,使得 f(x)的最小值是 3.

2

解答题

已知函数 f(x)=x -1 与函数 g(x)=aln x(a≠0). (1)若 f(x),g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线,求实数 a 的值; (2)设 F(x)=f(x)-2g(x),求函数 F(x)的极值. 【答案】(1)a=2. (2)见解析

2

【解析】解:(1)因为 f(1)=0,g(1)=0, 所以点(1,0)同时在函数 f(x),g(x)的图像上, 2 因为 f(x)=x -1,g(x)=aln x,

所以 f′(x)=2x,g′(x)=



由已知,得 f′(1)=g′(1),所以 2= ,即 a=2. 2 (2)因为 F(x)=f(x)-2g(x)=x -1-2aln x(x>0),

所以 F′(x)=2x-





当 a<0 时, 2 因为 x>0,且 x -a>0,所以 F′(x)>0 对 x>0 恒成立, 所以 F(x)在(0,+∞)上单调递增,F(x)无极值; 当 a>0 时, 令 F′(x)=0,解得 x1= ,x2=- (舍去), 所以当 x>0 时,F′(x),F(x)的变化情况如下表: x F′(x) F(x) (0, - 递减 ) 0 极小值 ( ,+∞) + 递增

所以当 x= 时,F(x)取得极小值,且 F( )=( 综上,当 a<0 时,函数 F(x)在(0,+∞)上无极值; 当 a>0 时,函数 F(x)在 x=

) -1-2aln

2

=a-1-aln a.

处取得极小值 a-1-aln a.

解答题

已知函数

.

(1)当 (2)当 探究函数

时,讨论函数 时,在函数 在Q 时

的单调性; 图象上取不同两点 A、B,设线段 AB 的中点为 点处的切线与直线 AB 的位置关系? 图象是否存在不同的两点 A、B 具有(2)问中所得出的结论. ,试

(3)试判断当

【答案】(1)函数 AB 平行; (3)

在定义域

上单调递增;(2)函数在 Q 点处的切线与直线

图象不存在不同的两点 A、B 具有(2)问中所得出的结论.

【解析】 试题分析:(1)求导即可知其单调性;(2)利用导数求出函数 在点

Q 处的切线的斜率,再求出直线 AB 的斜率,可看出它们是相等的,所以函数在 Q 点处的切线与直线 AB 平行; (3)设 ,若 满足(2)中结论,则有

,化简得

(*).如果这个

等式能够成立,则存在,如果这个等式不能成立,则不存在.设

,则*式整理得

,问题转化成该方程在

上是否有解.再设函数

,下

面通过导数即可知方程 (2)中结论.



上是否有解,从而可确定函数

是否满足

(1)由题知



因为 (2)

时, ,

,函数

在定义域 ,

上单调递增;

4分

所以函数 Q 点处的切线与直线 AB 平行; (3)设 ,若

.7 分 满足(2)中结论,有

,即



(*)

.9 分

设 解;

,则*式整理得 11 分

,问题转化成该方程在

上是否有

设函数

,则

,所以函数



单调递增,即 (2)中结论. 考点:导数的应用.

,即方程



上无解,即函数

不满足

解答题

已知函数 ⑴当 ⑵若 时,求函数 ,函数

,函数 的表达式; 在 上的最小值是 2 ,求 的值;

(3)⑵的条件下,求直线

与函数

的图象所围成图形的面积.

【答案】⑴当 ⑵

时,函数

(3)

【解析】 试题分析:(1)对 x 的取值分类讨论,化简绝对值,求出 相等,代入到 中得到即可; 的最小值即可求出 ; 得到 和 导函数

(2)根据基本不等式得到

(3)根据(2)知 先联立直线与函数解析式求出交点,利用定积分求 直线和函数图象围成面积的方法求出即可.

⑴∵ ∴当 时,

, ; 当 时,

∴当

时,

; 当

时,



∴当

时,函数



⑵∵由⑴知当 ∴当 ∴函数

时, 时, 在

, 当且仅当 上的最小值是 时取等号. ,∴依题意得 ∴ .

⑶由

解得

∴直线

与函数

的图象所围成图形的面积

= 考点:利用导数研究函数的单调性,基本不等式,利用定积分求封闭图形的面积

解答题

已知曲线 y = x + x-2 在点 P0 处的切线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, 求 P0 的坐标; ⑵若直线

3

平行直线

, 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

【答案】(1)

的坐标为



【解析】 试题分析:(1)根据曲线方程求出导函数,因为已知直线 的斜率为 4,根据 切线与已知直线平行得到斜率相等都为 4,所以令导函数等于 4 得到关于 x 的方程,求出 方程的解,即为切点 的横坐标,代入曲线方程即可求出切点的纵坐标,又因为切点在第 3 象限,进而写出满足题意的切点的坐标;

(2)由直线 l1 的斜率为 4,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,得到直线 l 的斜率为 ,又根据(1)中求得的切点坐标,写出直线 l 的方程即可. ⑴由 由已知得 又∵点 ∴切点 ,得 ,解之得 在第三象限, 的坐标为 . .当 时, ;当 时, .

-

⑵∵直线 ∵l 过切点
,

, 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 点 的坐标为 )

,

∴直线 l 的方程为 即 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.



解答题

已知 (1)求函数 (2)求函数 (3)对一切的 的单调区间; 在 , 上的最小值; 恒成立,求实数 的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间是

,单调递增区间是

;

(2)

;(3)

.

【解析】

试题分析:(1)求导得

,在

中,由

解得减区间

,由

解得增区间

;(2)当

时,无解,当

时,

,当

时,

;(3)

,即,

利用分离变量法得



构造函数 ,可得 的范围 .

,则





有最大值

解:(1)



解得

的单调递减区间是

,



解得

的递增区间是

4分

(2) (ⅰ)0<t<t+2< ,t 无解;

(ⅱ)0<t< <t+2,即 0<t< 时,



(ⅲ)

,即

时,



单调递增,



, (3)由题意: 即 ,

8分

,

可得

,



,



,

令 当 当

,得 时, 时, , ;当

(舍), 时, , ,

取得最大值,

的取值范围是 . 考点:分类讨论的数学思想,利用导数求函数的单调区间,最值

12 分

解答题

设函数 (1) 当 (2) 当 时,求函数 时,求函数

. 的单调区间; 在 上的最小值 和最大值 .

【答案】(1) 值. .



上单调递增;(2)

的最小值

,最大

【解析】 试题分析:(1)求导得 解集为 R; (2),由导函数 , 时, , ,讨论单调区间,求出在

的最值.分类讨论,对导函数 ,最大值 ,则 解:对函数 (1)当 可知 (2)当 时, , 时, 在 ,求导得 ,由 上单调递增. , 即即



时, 时,解出方程

上单调递增,最小值 的根 ,比较大小可得最值.

., ,



其图像开口向上,对称轴 (i)当 在 时, (ii)当 ,

,且过点

, ,即 时, 取得最小值 , ,即 时,令 , ,当

上单调递增,从而当 取得最大值

时,

解得 注意到 因为 所以 因为 的最小值 , , 所以

, . ,

, 所以 的最大值 时, 的最小值 , ,最大值

综上所述,当

. 12 分 考点:利用导函数求函数的单调区间,一元二次函数的最值,分类讨论的数学思想.

解答题

已知函数 f(x)=x +x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标;

3

(3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-

x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程.

【答案】(1)y=13x-32 (2)直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26) (3)切线坐标:(1,-14)(-1,-18) 切线方程:y=4x-18 或 y=4x-14

【解析】解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. 3 2 ∵f′(x)=(x +x-16)′=3x +1. ∴f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)设切点为(x0,y0), 2 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x0 +1, ∴直线 l 的方程为 2 3 y=(3x0 +1)(x-x0)+x0 +x0-16, 又∵直线 l 过点(0,0), 2 3 ∴0=(3x0 +1)(-x0)+x0 +x0-16, 3 整理得,x0 =-8,∴x0=-2, 3 ∴y0=(-2) +(-2)-16=-26, 2 k=3×(-2) +1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).

(3)∵切线与直线 y=- x+3 垂直, ∴切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 2 则 f′(x0)=3x0 +1=4, ∴x0=±1,

∴ 或 ∴切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14.

解答题

设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为 定值,并求此定值.

【答案】(1)f(x)=x- (2)见解析

【解析】解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y=

x-3,

当 x=2 时,y=



又 f′(x)=a+



于是

,解得

故 f(x)=x-



(2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 f′(x)=1+

知,曲线在点 P(x0,y0)处的切

线方程为 y-y0=(1+

)·(x-x0),即 y-(x0-

)=(1+

)(x-x0).

令 x=0 得,y=- ,从而得切线与直线 x=0,交点坐标为(0,- ). 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).

所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 |- ||2x0|=6. 曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,此 定值为 6.

解答题

已知函数 f(x)=x -4x +5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程.

3

2

【答案】(1)x-y-4=0 (2)x-y-4=0 或 y+2=0

【解析】解:(1)∵f′(x)=3x -8x+5, ∴f′(2)=1,又 f(2)=-2, ∴曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(-2)=x-2,即 x-y-4=0. 3 2 (2)设切点坐标为(x0,x0 -4x0 +5x0-4), 2 ∵f′(x0)=3x0 -8x0+5, 2 ∴切线方程为 y-(-2)=(3x0 -8x0+5)(x-2), 3 2 又切线过点(x0,x0 -4x0 +5x0-4), 3 2 2 ∴x0 -4x0 +5x0-2=(3x0 -8x0+5)(x0-2), 2 整理得(x0-2) (x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, ∴经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0.

2

解答题

已知 f(x)是定义在集合 M 上的函数.若区间 D? M,且对任意 x0?D,均有 f(x0)?D,则称 函数 f(x)在区间 D 上封闭. (1)判断 f(x)=x-1 在区间[-2,1]上是否封闭,并说明理由;

(2)若函数 g(x)= 在区间[3,10]上封闭,求实数 a 的取值范围; 3 (3)若函数 h(x)=x -3x 在区间[a,b](a,b?Z,且 a≠b)上封闭,求 a,b 的值.

【答案】(1)函数 f(x)在区间[-2,1]上不是封闭的 (2)[3,31] (3)a=-2,b=2

【解析】解:(1)因为函数 f(x)=x-1 在区间[-2,1]上单调递增, 所以当 x?[-2,1]时,f(x)的值域为[-3,0]. 而[-3,0]?[-2,1],所以函数 f(x)在区间[-2,1]上不是封闭的.

(2)因为 g(x)= =3+ . ①当 a=3 时,函数 g(x)=3,显然{3}? [3,10],故 a=3 满足题意;

②当 a>3 时,在区间[3,10]上,函数 g(x)单调递减,此时 g(x)的值域为

.



? [3,10]

得 ,解得 3≤a≤31, 故 3<a≤31;

③当 a<3 时,在区间[3,10]上,有 g(x)=3+ <3,不合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是[3,31]. 3 (3)因为 h(x)=x -3x, 2 所以 h′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1). 因为当 x<-1 或 x>1 时,h′(x)>0; 当 x=-1 或 x=1 时,h′(x)=0; 当-1<x<1 时,h′(x)<0, 所以函数 h(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,+ ∞)上单调递增. 从而 h(x)在 x=-1 处取得极大值 2,在 x=1 处取得极小值-2.

由题意知



解得 因为 a<b,所以-2≤a≤0,0≤b≤2. 又 a,b?Z,故 a 只可能取-2,-1,0,b 只可能取 0,1,2. ①当 a=-2 时,因为 b>0,故由 h(-1)=2 得 b≥2,因此 b=2.经检验,a=-2,b=2 符 合题意; ②当 a=-1 时,由 h(-1)=2,得 b=2,此时 h(1)=-2?[-1,2],不符合题意; ③当 a=0 时,显然不符合题意. 综上所述,a=-2,b=2.

解答题

记函数 fn(x)=a·x -1(a?R,n?N )的导函数为 f′n(x),已知 f′3(2)=12. (1)求 a 的值; 2 (2)设函数 gn(x)=fn(x)-n ln x,试问:是否存在正整数 n 使得函数 gn(x)有且只有一个零 点?若存在,请求出所有 n 的值;若不存在,请说明理由;

n

*

(3)若实数 x0 和 m(m>0 且 m≠1)满足 证明.



,试比较 x0 与 m 的大小,并加以

【答案】(1)a=1 (3)见解析

(2)存在 n=1,使得函数 gn(x)有且只有一个零点.

【解析】解:(1)f3′(x)=3ax ,由 f3′(2)=12 得 a=1. n 2 (2)gn(x)=x -n ln x-1,

2

g′n(x)=nx

n-1





. ,

因为 x>0,令 gn′(x)=0 得 x= 当 x> 当 0<x<

时,gn′(x)>0,gn(x)是增函数; 时,gn′(x)<0,gn(x)是减函数.

所以当 x=

时,gn(x)有极小值,也是最小值,

gn( )=n-nln n-1. 当 x→0 时,gn(x)→+∞; 当 x→+∞时,gn(x)→+∞. 当 n≥3 时,gn( 当 n=2 时,gn( )=n(1-ln n)-1<0,函数 gn(x)有两个零点; )=-2ln 2+1<0,函数 gn(x)有两个零点;

当 n=1 时,gn( )=0,函数 gn(x)有且只有一个零点. 综上所述,存在 n=1,使得函数 gn(x)有且只有一个零点. n-1 (3)fn′(x)=n·x .

因为





所以





解得 x0=

.

则 x0-m= , n 当 m>1 时,(n+1)(m -1)>0. n+1 n n 设 h(x)=-x +x(n+1)-n(x≥1),则 h′(x)=-(n+1)x +n+1=-(n+1)·(x -1) ≤0,当且仅当 x=1 时取等号, 所以 h(x)在[1,+∞)上是减函数. 又 m>1,所以 h(m)<h(1)=0, 所以 x0-m<0,所以 x0<m. n 当 0<m<1 时,(n+1)(m -1)<0. n+1 设 h(x)=-x +x(n+1)-n(0<x≤1), n n 则 h′(x)=-(n+1)x +n+1=-(n+1)·(x -1)≥0,当且仅当 x=1 时取等号,所以 h(x)在(0,1]上是增函数. 又因为 0<m<1,所以 h(m)<h(1)=0, 所以 x0-m>0,所以 x0>m. 综上所述,当 m>1 时,x0<m,当 0<m<1 时,x0>m.

解答题

设 f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为 f′(x).如果存在实数 a 和函数 2 h(x),其中 h(x)对任意的 x?(1,+∞)都有 h(x)>0,使得 f′(x)=h(x)(x -ax+1), 则称函数 f(x)具有性质 P(a).

(1)设函数 f(x)=ln x+ (x>1),其中 b 为实数. ①求证:函数 f(x)具有性质 P(b); ②求函数 f(x)的单调区间; (2)已知函数 g(x)具有性质 P(2).给定 x1,x2?(1,+∞),x1<x2,设 m 为实数,α =mx1 +(1-m)x2,β =(1-m)x1+mx2,且α >1,β >1,若|g(α )-g(β )|<|g(x1)-g(x2)|, 求 m 的取值范围.

【答案】(1)当 b≤2 时,函数 f(x)的单调增区间为(1,+∞);

当 b>2 时,函数 f(x)的单调减区间为(1, +∞). (2)(0,1)

),单调增区间为(



【解析】解:(1)由 f(x)=ln x+

,得 f′(x)=

.

①证明:因为 x>1 时,h(x)= >0,所以函数 f(x)具有性质 P(b). 2 2 2 ②当 b≤2 时,由 x>1 得 x -bx+1≥x -2x+1=(x-1) >0, 所以 f′(x)>0.从而函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 2 当 b>2 时,令 x -bx+1=0 得

x1=

,x2=

.

因为 x1=





<1,

x2= >1, 所以当 x?(1,x2)时,f′(x)<0;当 x?(x2,+∞)时,f′(x)>0;当 x=x2 时,f′(x) =0.从而函数 f(x)在区间(1,x2)上单调递减,在区间(x2,+∞)上单调递增. 综上所述,当 b≤2 时,函数 f(x)的单调增区间为(1,+∞);

当 b>2 时,函数 f(x)的单调减区间为(1, +∞). (2)由题设知,g(x)的导函数

),单调增区间为(



g′(x)=h(x)(x -2x+1), 其中函数 h(x)>0 对于任意的 x?(1,+∞)都成立, 2 所以当 x>1 时,g′(x)=h(x)(x-1) >0, 从而 g(x)在区间(1,+∞)上单调递增. ①当 m?(0,1)时, 有α =mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1, α <mx2+(1-m)x2=x2,即α ?(x1,x2), 同理可得β ?(x1,x2). 所以由 g(x)的单调性知 g(α ),g(β )?(g(x1),g(x2)),从而有|g(α )-g(β )|<|g(x1) -g(x2)|,符合题意. ②当 m≤0 时,α =mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2,β =(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1 =x1,于是由α >1,β >1 及 g(x)的单调性知 g(β )≤g(x1)<g(x2)≤g(α ), 所以|g(α )-g(β )|≥|g(x1)-g(x2)|,与题意不符. ③当 m≥1 时,同理可得α ≤x1,β ≥x2, 进而得|g(α )-g(β )|≥|g(x1)-g(x2)|,与题意不符. 综上所述,所求的 m 的取值范围为(0,1).

2

解答题

已知函数 (1)当 时,①求函数 的切线方程; (2)若函数

。 的单调区间;②求函数 的图象在点 处

既有极大值,又有极小值,且当

时,

恒成立,求

的取值范围.

【答案】(1)函数的单调递增区间是:

,单调递减区间是:(1,

3);(2)

【解析】 试题分析:(1)①:当 m=2 时,可以得到 f(x)的具体的表达式,进而求得 式,根据 即可确定 f(x)的单调区间;②:根据①中所得的 的表达

的表达式,可以得



的值,即切线方程的斜率,在由过(0,0)即可求得 f(x)在(0,0)处的切线方程;(2) 有两个不同的零点,在 时,

f(x)即有极大值,又有极小值,说明

恒成立,

说明

<36 恒成立,



,通过判断

在[0,4m]上的单调性,即

可求把

用含 m 的代数式表示出来,从而建立关于 m 的不等式.

(1)当 m=2 时, ①令 ∴函数的单调递增区间是: ②∵

则 ,解得 x=1 或 x="3" 2分

1分

,单调递减区间是:(1,3) 4 分 6 分;

,∴函数 y=f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程为 y=3x

(2)因为函数 f(x)既有极大值,又有极小值,则 根,则有

有两个不同的



8分

令 可. , ,

,依题意:



10 分

,又



∴g(x)最大值为

12 分,

13 分

∴m 的取值范围为 14 分.. 考点:1、利用导数求函数的单调区间和切线方程;2、恒成立问题的处理方法.

解答题

函数 (1) (2)若 时,求 在 最小值; 是单调减函数,求 取值范围.

【答案】(1)f(x)最小值是 1;(2)a≤

.

【解析】 试题分析:(1)可以对 f(x)求导,从而得到 f(x)的单调性,即可求得 f(x)的最小值;(2) 根据条件“若 f(x)在 是单调减函数”,说明 f”(x)<0 在 恒成立,而 f’

(x)=

,参变分离后原题等价于求使



恒成立的 a 的取值范

围,从而把问题转化为求函数



上的最小值,而 a 的取值范围即 a≤

.

(1) 时



, 时 单增, , 时



∴f(x)在(0,1)单减,在

有最小值 1

6分

(2)





为减函数,则





,当

恒成立,∴

最小值

9分









12 分 考点:1、利用函数的导函数讨论函数的单调性;2、恒成立问题的处理方法.

解答题

已知函数 (1)若曲线 式; (2)讨论函数 在点

,其中

. ,求函数 的解析

处的切线方程为

的单调性;

(3)若对于任意的

,不等式



上恒成立,求 的取值范围.

【答案】(1)函数 ,

的解析式为 内是增函数;当 时 在

;(2)当 ,

时,

在 内是增函

数,在



内是减函数;(3)

.

【解析】

试题分析:(1)先求出导函数

,进而根据曲线

在点



的切线方程为

得到



,从中可求解出

的值,进而可确定函数 的解析式;(2)针对导函数,对 分 、 两 类,由导数大于零求出函数的单调增区间,由导数小于零可求出函数的单调递减区间;

(3)要使对于任意的

,不等式



上恒成立,只须

,由(2)的讨论,确定函数

,进而得到不等





,该不等式组对任意的

成立,从中可求得

.

(1) 由切点

,由导数的几何意义得 在直线 上可得

,于是 ,解得

所以函数

的解析式为

3分

(2)因为 当 当 时,显然 时,令 , ,解得 的变化情况如下表: ,这时 在 , 内是增函数

当 变化时,



极大值





极小值

所以 在 数.......7 分



内是增函数,在



内是减函

(3)由(2)知,



上的最大值为



中的较大者,对于任意的

,不等式



上恒成立,当且仅当



对任意的

成立,从而得

,所以满足条件的 的取值范围是

..................13 分. 考点:1.导数的几何意义;2.函数的单调性与导数;3.函数的最值与导数.

解答题

已知曲线 (1)求 (2)求曲线过点

在 的解析式;

处的切线方程是

.

的切线方程.

【答案】(1)

;(2)所求切线的方程为



.

【解析】

试题分析:(1)根据曲线在 将些等式化成关于 问强调的是过点 程

处的切线方程是 ,进而可得

,得到

,进而

的方程组即可求解

的解析式;(2)因为本小 ,进而得到切线方 ,求解关于 的方程

的切线问题,故需要先设切点的坐标 ,再将 代入得

即可得出 (1)因为 又因为函数在



,进而可写出所求切线的方程. ,所以

处的切线方程是

所以

所以 (2)设曲线过点 则由 因为切线过点 所以 即

6分 的切线的切点为 ,此时切线方程为

或 所以所求切线的方程为 考点:导数的几何意义. 或

解答题

已知函数

为常数,e=2.71828?是自然对数的底数),曲线

在点

处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值,并求 (2)设 的单调区间; 为 的导函数.证明:对任意 .

,其中

【答案】(1) 见试题解析.



的单调递增区间是

,单调递减区间是

;(2)证明过程

【解析】 试题分析:(1)利用在 处的导数为 0,可求 k,进而再利用导函数求出 时成立,只需证 ,易证 . 时,又 最大值为 ,则对任意 的单调区

间;(2)由(1)易证不等式在

(1) 由已知,

, ,∴ .

由 设 由 当 时 知,当

, ,则 时 ,从而 ,即 ,从而 . ,单调递减区间是 ≤0<1+ . 在 在 , 上是减函数,

综上可知,

的单调递增区间是 时,

(2)由(1)可知,当 时成立, 当 设 当 所以当 所以 时, 时, 时,

,故只需证明

>1,且 , ,当

,∴ ,则 时, , , ,



取得最大值 ,

综上,对任意 考点:导数的几何意义,利用导数求函数的最值.

解答题

设函数 数,且 在



,其中 为实数,若



上是单调减函

上有最小值,求 的取值范围.

【答案】a?(e,+∞)

【解析】 试题分析:分别利用导数求出 在 上是单调减函数,且 单调区间与 在 在 上的最小值,与给定的

上有最小值相结合,得出关于 的关系

式,可得 的取值范围.

解:令 , -1 -1 考虑到 f(x)的定义域为(0,+∞),故 a>0,进而解得 x>a ,即 f(x)在(a ,+∞)上是单调减函数, -1 同理,f(x)在(0,a )上是单调增函数. 由于 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞) 令 g'(x)=e -a=0,得 当 时,
x

(a ,+∞),从而 a ≤1,即 a≥1,

-1

-1

. ;当 x> 时, .

又 g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以 , 即 a>e.综上,有 a?(e,+∞). 考点:利用导数求函数的单调区间与最值.


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