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上海高一第二学期数学期末考试


2011 年高一第二学期期末考试 数学试卷
一、填空题: (每小题 3 分,满分 36 分) 1. 函数 y ? 2 x?1 的反函数是_________. 2. 函数 y ? log 1 ( x 2 ? 6 x ? 17) 的值域是___________.
2

3. 若函数 g ( x) ? lg( x 2 ? ax ? 3a) 在 [

2,+∞ )是增函数,则实数 a 的取值范围是 ______.
3 ? 4. 已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? - ,则 tan( ? 2? ) =_________. 5 4

5. 已知两点 P(4,-9) , Q(-2,3),则直线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ 的比是 _______. 6. 已 知 向 量 a ? (cos? , sin ? )
cos(? ? ? ) =_______.

b ? (cos? , sin ? ) ,

a ?b ?

2 3 , 则 3

7. 当 ? ? cos

?
12

2? ?1 1 1 2? -1 的值是________. 时,行列式

8. 已知 tan ? =-1,则 2 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 1 的值是_________. 9. 已知集合 P={ x x( x - 1 ) ? 0 } Q={ x y ? ln(x ? 1) },则 P ? Q =_______. 10. 设函数 f ( x) ? cos( 2 x ? ①点 ( ?

?
3

) ? 1,有以下结论:

?
12

, 0) 是函数 f(x)图像的一个对称中心;②直线 x ?

?
3

是函数 f(x)图像的一

条对称轴;③函数 f(x)的最小正周期是 ? ;④将函数 f(x)的图像向右平移 对应的函数是偶函数。

? 后, 6

其中所有正确结论的序号是____________. ? 11. 关于 x 的方程 2 sin( x ? ) ? m ? 0 在 ?0, ? ?上有解, 则 m 的取值范围是_______. 3
?2 ? x , x ? (?? ,1? ? 4 ,则 x 的取值范 12. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ,那么 f (?1) =_______,若 f ( x) ? x , x ? ?1,?? )
围是_________.
-1-

二、选择题: (每小题 3 分,满分 12 分) 13. 在解三角形中,已知 A,a,b,给出下列说法: (1)若 A≥90°,且 a≤b,则此三角形不存在;
(2)若 A≥90°,则此三角形最多有一解; (3)当 A<90° ,a<b 时三角形不一定存在; (4)若 A<90° ,且 a=bsinA,则此三角形为直角三角形,且 B=90° ; (5)当 A<90° ,且 bsinA<a≤b 时,三角形有两解。 其中正确说法的个数……………………………………………………………( A. 1 个 A. y ? x ? B. 2 个 C. 3 个 B. y ? 3 ? 3
x ?x

) )

D. 4 个

14. 在下列函数中,最小值为 2 的是…………………………………………(

1 x

C. y ? lg x ?

1 (1 ? x ? 10) lg x

D. y ? sin x ?

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2

15. 函数 f ( x) ? A. 2?

2 sin x 1 的最小正周期是…………………… ( ? 2 cos x
B. ? C.

)

16. 函数 y ? A sin(?x ? ? ), (? ? 0, ? ?

, x ? R) 的部分图像如图,则函数表达式 2 为…………………………………………………………………………( )

?

? 2

D.

? 4

?? ?? A. y ? 2 sin ? x ? ? 4? ?2 ?? ?? B. y ? 2 sin ? x ? ? 4? ?2 ?? ?? C. y ? 2 sin ? x ? ? 4? ?4
?? ? ? D. y ? 2 sin ? ? ? ?4 4?

三、解答题: (17~20 每小题 10 分,21 题 12 分)
17. 解方程: sin x ?
2

2 3 sin x cos x ? cos2 x ? 0 3

-2-

18. 已知点 A(3,0) ,B(0,3) ,C ?cos? , sin ? ?, ? ? ?

? ? 3? ? , ? ?2 2 ?

(1)若

AC ? BC ,求 ? 的值;
的值。

2 sin 2 ? ? sin 2? (2)若 AC ? BC ? ?1,求 1 ? tan?

19. 已知 f ( x) ? 2 sin? x ?

? ?

??

?, 3? x? 2? ? ? x 2 x? ? 。且 m ∥ n ,求 f ( x) 的值; 2?

①若向量 m ? ? cos , 3 cos ?, n ? ? ? cos , sin

? ?

x 2

②在△ABC 中,?A,?B,?C 的对边分别是 a,b,c,且满足 ?2a ? c ?cos B ? b cosC , 求

f ( A) 的取值范围。

20. 设函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ? log2 ( x ? 1). (1)求函数 f ( x) 的奇偶性

, ? ? ?的增减性,并进行证明; (2)判断函数 f ( x) 在 ?1
(3)若 x ?

?3,??? 时,不等式 f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
-3-

21. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? a cos x ? 1 ? a , a ? R , x ? [0, (I)求 f ( x ) 的对称轴方程;

?
2

] .

(II)若 f ( x ) 的最大值为 2 ,求 a 的值及此时对应 x 的值; (III)若定义在非零实数集上的奇函数 g ( x) 在 (0, ?? ) 上是增函数,且 g (2) ? 0 ,求当

g[ f ( x)] ? 0 恒成立时,实数 a 的取值范围.

-4-

21. 设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t ? sin
2

x x cos ? 2t 2 ? 6t ? 2( x ? R) 2 2

(1)当 t=1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)若 t ? R ,将 f ( x) 的最小值记为 g (t ) ,求 g (t ) 的表达式; (3)当 ? 1 ? t ? 1 时,关于 t 的方程 g (t ) ? kt 有且只有一个实根,求实数 k 的取值范围.

-5-


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