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2013届高三数学(理)二轮复习 必考问题专项突破2 函数与方程及函数的实际应用


题2

函数与方程及函数的实际应用

1.(2010·天津)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是(

x

).

A.(-2,-1)
C.(0,1)

B.(-1,0) D.(1,2)

1 答案:B [由 f(-1

)= -3<0,f(0)=1>0 及零点定理,知 f(x)的零点在区间(-1,0) 2 上.] 2.(2012·湖北)函数 f(x)=xcos x 在区间[0,4]上的零点个数为(
2

).

A.4
C.6

B.5 D.7

π 2 2 答案:C [令 xcos x =0,则 x=0,或 x =kπ + ,又 x∈[0,4],因此 xk= 2 (k=0,1,2,3,4),共有 6 个零点.] 1 ?1?x 3.(2012·北京)函数 f(x)=x -? ? 的零点个数为( 2 ?2? ).

kπ +

π 2

A.0 B.1
C.2 D.3 答案:B 1 2 1 ?1?x [因为 y=x 在 x∈[0,+∞)上单调递增,y=? ? 在 x∈R 上单调递减,所以 2 ?2? 1 2 1 2

f(x)=x -? ?x 在 x∈[0,+∞)上单调递增,又 f(0)=-1<0,f(1)= >0,所以 f(x)=x 2

?1? ? ?

?1?x -? ? 在定义域内有唯一零点,选 B.] ?2?
4.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函 1 3 数关系式为 y=- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件. 3 1 3 2 解析 ∵y=f(x)=- x +81x-234,∴y′=-x +81. 3 令 y′=0,得 x=9,x=-9(舍去). 当 0<x<9 时,y′>0,函数 f(x)单调递增; 当 x>9 时,y′<0,函数 f(x)单调递减. 故当 x=9 时,y 取最大值. 答案 9

高考对本部分的考查有: (1)①确定函数零点; ②确定函数零点的个数; ③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围. (2)函数简单性质的综合考查.函数的实际应用问题. (3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查. 利用函数性质解决相关的最值.题型既有选择题、填空题,又有解答题,客观题主要考 查相应函数的图象和性质,主观题考查较为综合,在考查函数的零点、方程根的基础上,又 注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法.

1.二次函数图象是连接三个“二次”的纽带,是理解和解决问题的关键,应认真研究、 熟练掌握. 2.关于零点问题,要学会分析转化,能够把与之有关的不同形式的问题,化归为适当方 程的零点问题. 3.函数模型的实际应用问题,主要抓好常见函数模型的训练,重点放在信息整理与建模 上.

必备知识 ?零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有 f(a)·f(b)<0, 那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0,这个 c 也就是 方程 f(x)=0 的根. 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点.
[来源:Zxxk.Com]

?在处理二次函数问题时,要注意 f(x)的几种常见表达形式 (1)y=ax +bx+c; (2)y=a(x-x1)(x-x2); (3)y=a(x-h) +k. 应根据题目的特点灵活选用上述表达式. ?应用函数模型解决实际问题的一般 程序 ? 读题 ? 文字语言? ? 建模 ? 数学语言? ? 求解 ? 数学应用? ? 反馈 检验作答?
2 2

与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、 面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后 应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 必备方法 1.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时,数形结合 是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式, 然后构造两个函数 f(x),g(x),即把方程写成 f(x)=g(x)的形式,这时方程根的个数就是两 个函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 2.二次函数 y=a(x-h) +k(a≠0),x∈[p,q]的最值问题实际上是研究函数在[p,q] 上的单调性.常用方法:(1)注意是“轴动区间定”,还是“轴定区间动”,找出分类的标准; (2)利用导数知识,最值可以在端点和驻点处寻找. 3.f(x)≥0 在[p,q]上恒成立问题,等价于 f(x)min≥0,x∈[p,q].
2

函数零点的判断 常考查:①根据函数解析式判断零点所在的区间;②根据函数解析式求零点的个数问 题.可采用零点判定定理、 数形结合法求解,高考命题有加强的趋势,难度中档偏下. 【例 1】? (2011·陕西)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内( ).

A.没有零点
C.有且仅有两个零点 [审题视点]

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

[听课记录] [审题视点] 将问题转化为判断 y= x与 y=cos x 的交点个数. B [

在同一直角坐标系中分别作出函数 y= x和 y=cos x 的图象,如图,由于 x>1 时,y=

x>1,y=cos x≤1,所以两图象只有一 个交点,即方程 x-cos x=0 在[0,+∞)内只有
一个根,所以 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内只有一个零点.] 确定函数零点的常用方法: ①解方程判定法,若方程易 求解时用此法; ②零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识; ③数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入 手,可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角 式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
?x +2x-3,x≤0, ? 【突破训练 1】 函数 f(x)=? ? ?-2+ln x,x>0
2

的零点个数为(

).

A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
2

[当 x≤0 时,令 x +2x-3=0,解得 x=-3;当 x>0 时,令-2+ln x=0,

2

解得 x=e .所以已知函数有两个零点,选 C.] 函数思想的应用 函数思想在高考中并不单独考查,而往往与导数结合命制压轴性大题,试题围绕二次函 数、二次方程及二次不等式的关系展开,解题的关键是从判别式、韦达定理、对称轴、开口

方向等方面去考虑结论成立的所有条件,难度较大.

【例 2】 ? 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 a>b>c,且 a+b+c=0,试证明 f(x)=0 必有两个实根; 1 (2)若对 x1,x2∈R 且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两不等 2 实根,且必有一个实根属于(x1,x2). [审题视点]
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

2

[听课记录] [审题视点] (1)将已知条件 b=-(a+c)代入 f(x)=0 后, 再对 f(x)=0 分解因式求根. (2) 1 利用函数与方程的思想构造函数 f(x)- [f(x1)+f(x2)],利用函数零点判定定理可知函数在 2 (x1,x2)有一零点. 证明 (1)若 a>b>c,a+b+c=0, 则 a>0,c<0,且 b=-(a+c), 所以方程 f(x)=0 可化为 ax -(a+c)x+c=0, 即 a(x-1)?x- ?=0, a
2

? ?

c?

?

则 f(x)=0 有两根 x1=1,x2= . 1 (2)令 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)], 2

c a

g(x1)= [f(x1)-f(x2)],g(x2)= [f(x2)-f(x1)],
且 x1<x2,f(x1)≠f(x2), 1 2 所以 g(x1)g(x2)=- [f(x1)-f(x2)] <0, 4 即函数 g(x)在区间(x1,x2)内有零点,则方程 g(x)=0 有一实根属于(x1,x2),由二次函 数的性质可知必有另一实根. 二次函数问题通常利用二次方程、二次不等式之间的关系来处理,从而使方程 问题函数化,函数问题方程化,体现了函数与方程的思想. 【突破训练 2】 已知 a 是实数, 函数 f(x)=2ax +2x-3-a, 如果函数 y=f(x)在区间[- 1,1]上有零点,求实数 a 的取值范围. 解 当 a=0 时,f(x)=2x-3,
2

1 2

1 2

3 其零点 x= 不在区间[-1,1]上. 2 当 a≠0 时,函数 f(x)在区间[-1,1]分为两种情况: ①函数在区间[-1,1]上只有一个零点,
? ?Δ =4-8a? 此时? ? ?f? -1? f?

-3-a? ≥0, 1? =? a-5? ?

a-1? ≤0,

?Δ =4-8a? -3-a? =0, ? 或? 1 ?-1≤-2a≤1. ?

3+ 7 解得 1≤a≤5 或 a=- . 2 ②函数在区间[-1,1]上有两个零点,此时

?Δ =8a +24a+4>0, ? 1 ?-1<-2a<1, ?f? 1? ≥0, ?f? -1? ≥0
a>0,
2

?Δ =8a +24a+4>0, ? 1 或?-1<- <1, 2a ?f? 1? ≤0, ?f? -1? ≤0,
a<0,
2

3+ 7 解得 a≥5 或 a<- . 2 综上所述,如果函数在区间[-1,1]上有零点, 3+ 7? ? 那么实数 a 的取值范围为?-∞,- ?∪[1,+∞). 2 ? ?

函数与方程的综合应用 函数综合题的求解往往运用多种知识和技能.因此,必须全面掌握有关的函数知识,并 且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析,处理好各 种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法将题目逐步化归为基本问题来解 决.
[来源:学科网 ZXXK]

【例 3】? 已知二次函数 y=g(x)的导函数的图象与直线 y=2x 平行,且 y=g(x)在 x= -1 处取得极小值 m-1(m≠0),设函数 f(x)=

g? x? . x

(1)若曲线 y=f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值; (2)当 k(k∈R)取何值时,函数 y=f(x)-kx 存在零点,并求出零点. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)利用已知条件用含 m 的式子表示 f(x),再结合点 P 到点 Q 的最值,利用 基本不等式求 m 值. (2)将已知转化为 f(x)-kx=0,进而求其根,需要根据解题对 k,m 分类讨论. 解 (1)设 g(x)=ax +bx+c(a≠0),则 g′(x)=2ax+b;
2

又 y=g′(x)的图象与直线 y=2x 平行, ∴2a=2,a=1,又 g(x)在 x=-1 处取得极小值, ∴g′(-1)=0,b=2. ∴g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,∴c=m.

g? x? m f(x)= =x+ +2,设 P(x0,y0), x x
则|PQ| =x0+(y0-2) =x0+?x0+ ? x
2 2 2 2 0

? ?

m ?2

?

=2x0+ 2+2m≥2 2m +2m. ∴2 2m +2m=2,∴m= 2-1 或- 2-1. (2)由 y=f(x)-kx=(1-k)x+ +2=0, 得(1-k)x +2x+m=0. 当 k=1 时,方程(*)有一个解 x=- , 2 故函数 y=f(x)-kx 有一个零点 x=- ,(*) 2 当 k≠1 时,方程(*)有两解?Δ =4-4m(1-k)>0,
2 2

2

m2 x0

2

m x

m

m

1 若 m>0,则 k>1- ,函数 y=f(x)-kx 有两个零点

m

x=

-2± 4-4m? 1-k? 2? 1-k?



1± 1-m? 1-k? ; k-1

1 若 m<0,则 k<1- ,故函数 y=f(x)-kx 有两个零点

m

x=

-2± 4-4m? 1-k? 2? 1-k?



1± 1-m? 1-k? ; k-1

当 k≠1 时,方程(*)有一解?Δ =4-4m(1-k)=0,

k=1- ,函数 y=f(x)-kx 有一个零点 x= . m k-1
综上:当 k=1 时,函数 y=f( x)-kx 有一个零点 x=- ; 2 1 1 当 k>1- (m >0),或 k<1- (m<0)时,

1

1

m

m

m

1± 1-m? 1-k? 函数 y=f(x)-kx 有两个零点 x= ; k-1 1 1 当 k=1 - 时,函数 y=f(x)-kx 有一个零点 x= . m k-1 此题考查了函数的零点、最值、一元二次方程等基础知识,运用导数研究函数 的性质的方法,体现了函数与方程,分类与整体的数学思想方法.

?2,x≥2, ? 【突破训练 3】 (2011·北京)已知函数 f(x)=?x ?? x-1? 3,x<2, ?
若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 解析

作出函数 f(x)的图象,如图,由图象可知,当 0<k<1 时,函数 f(x)与 y=k 的图象有 两个不同的交点,所以所求实数 k 的取值范围是(0,1). 答案 (0,1) 函数模型及其应用 该类试题以实际生活为背景,通过巧妙设计和整合命制,试题常与函数解析式的求法、 函数最值、不等式、导数等知识交汇,多以求最值为高考考向.这类题目对学生的阅读、审 题能力、建模能力提出了较高的要求.

【例 4】? (2011·湖南)如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速 移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量 包括两部分:①P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比, 1 1 比例系数为 ;②其他面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动 10 2 3 距离 d=100,面积 S= 时. 2

(1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 先求 E 移动时单位时间内的淋雨量(分两部分:一是 P 或 P 的平行面;二是 其他面的淋雨量之和).再分 0<v≤c 或 c<v≤10 两种情况,利用函数的单调性求解. 解 1? 3 1 100? 3 (1)由题意知, 移动时单位时间内的淋雨量为 |v-c|+ , y= ? |v-c|+ ? E 故 2? 20 2 v ?20

5 = (3|v-c|+10).

v

5 5? (2)由(1)知,当 0<v≤c 时,y= (3c-3v+10)=

3c+10?

v

v

-15;当 c<v≤10 时,y

5 5? = (3v-3c+10)=

10-3c?

v

v

+15.

?5? ? 故 y=? 5? ? ?

3c+10?

v
10-3c?

-15,0<v≤c,
[来源:学|科|网]

v

+15,c<v≤10.

10 3c ①当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数,故当 v=10 时,ymin=20- . 3 2 10 ②当 <c≤5 时,在(0,c]上 y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数, 3 50 故当 v=c 时,ymin= .

c

(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要在阅读上下功夫,一般情况下,应

用题文字叙述比较长,要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式, 然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法. 【突破训练 4】 (2012·东北三校二模)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销 1 ?10.8-30x ,0<x≤10, ? 售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,且 R(x)=? 108 1 000 ? x - 3x ,x>10. ?
2 2

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注: 年利润=年销售收入-年总成本) 解 (1)当 0<x≤10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- -10; 30

x3

1 000 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x, 3x

?8.1x-30-10,0<x≤10, ? ∴W=? 1 000 ?98- 3x -2.7x,x>10. ?
(2)①当 0<x≤10 时,由 W′=8.1- =0,得 x=9. 10 当 x∈(0,9)时,W′>0;当 x∈(9,10]时,W′<0, ∴当 x=9 时,W 取得最大值, 1 3 即 Wmax=8.1×9- ×9 -10=38.6. 30 ②当 x>10 时,W=98-?

x3

x2

?1 000+2.7x?≤98-2 ? ? 3x ?

1 000 ×2.7 x=38, 3x

1 000 100 当且仅当 =2.7 x,即 x= 时,W 取得最大值 38. 3x 9 综合①②知:当 x=9 时,W 取得最大值 38.6, 故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大.

利用导数来研究函数的零点问题 利用导数可判断函数图象的变化趋势及单调性,而函数的单调性往往与方程的解交汇命

题.因此,可借助导数这一工具来研究函数的零点问题. 3 ? π? 【示例】? (2012·福建)已知函数 f(x)=axsin x- (a∈R),且在?0, ?上的最大值为 2? 2 ? π -3 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π )内的零点个数,并加以证明. [满分解答] (1)由已知得 f′(x)=a(sin x+xcos x),

? π? 对于任意 x∈?0, ?,有 sin x+xcos x>0. 2? ?
3 当 a=0 时,f(x)=- ,不合题意; 2

? π? f ? π? ? π? 当 a<0 时, ∈?0, ?时, ′(x)<0, x 从而 f(x)在?0, ?内单调递减, f(x)在?0, ? 又 2? 2? 2? ? ? ?
3 ? π? 上的图象是连续不间断的,故 f(x)在?0, ?上的最大值为 f(0)=- ,不合题意;(4 分) 2? 2 ?

? π? ? π? ? π? 当 a>0,x∈?0, ?时,f′(x)>0,从而 f(x)在?0, ?内单调递增,又 f(x)在?0, ? 2? 2? 2? ? ? ?
π 3 π -3 ? π? ?π ? 上的图象是连续不间断的,故 f(x)在?0, ?上的最大值为 f? ?,即 a- = ,解得 a 2? 2 2 2 ? ?2? =1. 3 综上所述,得 f(x)=xsin x- .(6 分) 2 (2)f(x)在(0,π )内有且只有两个零点.证明如下: 3 3 ?π ? π -3>0,又 f(x)在?0,π ? 由(1)知,f(x)=xsin x- ,从而有 f(0)=- <0,f? ?= ? 2? 2 2 2 ?2? ? ? 上的图象是连续不间断的,

? π? 所以 f(x)在?0, ?内至少存在一个零点. 2? ? ? π? ? π? 又由(1)知 f(x)在?0, ?上单调递增,故 f(x)在?0, ?内有且只有一个零点.(9 分) 2? 2? ? ?
当 x∈?

?π ,π ?时,令 g(x)=f′(x)=sin x+xcos x. ? ?2 ?

?π ? ?π ? 由 g? ?=1>0,g(π )=-π <0,且 g(x)在? ,π ?上的图象是连续不间断的,故存在 ?2? ?2 ? ? ? m∈? ,π ?,使得 g(m)=0.
π ?2

?

?π ? 由 g′(x)=2cos x-xsin x,知 x∈? ,π ?时,有 g′(x)<0, ?2 ? ?π ? 从而 g(x)在? ,π ?内单调递减. ?2 ?
当 x∈?

?π ,m?时,g(x)>g(m)=0,即 f′(x)>0,从而 f(x)在?π ,m?内单调递增, ? ?2 ? ?2 ? ? ?

?π ? ?π ? π -3>0,故 f(x)在?π ,m?上无零点;(12 分) 故当 x∈? ,m?时,f(x)≥f? ?= ?2 ? 2 ?2 ? ?2? ? ?
当 x∈(m,π )时,有 g(x)<g(m)=0,即 f′(x)<0,从而 f(x)在(m,π )内单调递减. 又 f(m)>0,f(π )<0,且 f(x)在[m,π ]上的图象是连续不断的,从而 f(x)在(m,π ) 内有且仅有一个零点. 综上所述,f(x)在(0,π )内有且只有两个零点.(14 分) 老师叮咛:本题综合考查了导数法判断函数的单调性、最值和函数零点的判断.第? 问需对 a 分类讨论,利用 f′? x? 的正负与 f? x? 单调性的关系求得结果.第? 1?

2? 问需要经

过二次求导,原因是一次求导不能判断其导数的正负,还需第二次求导,再结合零点存在定 理判断函数在某个区间内零点存在情况. 【试一试】 已知函数 f(x)=x ,g(x)=x+ x.求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数, 并说明理由. 解 由 h(x)=x -x- x知, ∈[0, x +∞), h(0)=0, h(1)=-1<0, (2)=6- 2 而 且 h >0,则 x=0 为 h(x)的一个零点,且 h(x)在(1,2)内有零点.因此,h(x)至少有两个零点. 1 1 1 1 1 3 2 2 法一 h′(x)=3x -1- x- ,记 φ (x)=3x -1- x- ,则 φ ′(x)=6x+ x- . 2 2 2 2 4 2 则 x∈(0,+∞)时,φ ′(x)>0,因此 φ (x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ (x)在(0, +∞)内至多只有一个零点.又因为 φ (1)>0,φ ?
3 3

? 3? ? 3 ? ?<0,则 φ (x)在? ,1?内有零点.所 3? ? ?3 ?

以 φ (x)在(0, +∞)内有且只有一个零点. 记此零点为 x 1, 则当 x∈(0, 1)时, (x)<φ (x1) x φ =0;当 x∈(x1,+∞)时,φ ( x)>φ (x1)=0. 所以,当 x∈(0,x1)时,h(x)单调递减.而 h(0)=0,则 h(x)在(0,x1]内无零点;当 x ∈(x1,+∞)时,h(x)单调递增,则 h(x)在(x1,+∞)内至多只有一个零点. 从而 h(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点. 1 1 1 3 2 2 法二 由 h(x)=x(x -1-x- ),记 φ (x)=x -1-x- ,则 φ ′(x)=2x+ x- . 2 2 2 2 当 x∈(0,+∞)时,φ ′(x)>0,从而 φ (x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ (x) 在(0, +∞)内至多只有一个零点.因此 h(x)在(0,+∞)内也至多只有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点.
[来源:学科网 ZXXK]


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2013届高三数学(理)二轮复习 必考问题专项突破22 数学思想在解题中的应用(2)
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